专题强化01：带电粒子在匀强磁场中的运动及其临界问题 （培优）【八大考点+八大题型】-2025-2026学年高二下学期物理精讲与精练高分突破考点专题系列（人教版选择性必修第二册）

专题强化01：带电粒子在匀强磁场中的运动及其临界问题 【题型归纳】 技巧一：分析带电粒子在匀强磁场中运动的方法 基本思路 (1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹 (2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系 (3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式 基本公式 qvB＝m，T＝ 重要结论 r＝，T＝ 圆心的确定 (1)轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线的交点为圆心，如图(a) (2)轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出射点两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b) (3)沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图(c)(当r已知或可算) 半径的确定 方法一：由物理公式求，由于Bqv＝ 所以半径r＝ 方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定 时间的求解 方法一：由圆心角求，t＝·T 方法二：由弧长求，t＝ 技巧二．带电粒子在不同边界磁场中的运动 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)． (2)平行边界(存在临界条件，如图所示)． (3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)． 【题型归纳】 题型一：带电粒子在无边界匀强磁场的运动 【例1】．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）如图所示，表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，粒子电量不变，由图可知粒子（　　） A．带正电荷 B．沿方向运动 C．穿过金属板后，轨迹半径变小 D．穿过金属板前后，运动半周的时间变大 【变式1】．．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）如图所示，从一粒子源O发出质量相等的三种粒子，以相同的速度垂直射入匀强磁场中，结果分成了a、b、c三束，下列说法正确的有（　　） A．a粒子带负电，b粒子不带电，c粒子带正电 B．a粒子带正电，b粒子带正电，c粒子带负电 C．a、c的带电量的大小关系为 D．a、c的带电量的大小关系为 【变式2】．（2025·北京海淀·一模）如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为、大小为v的速度垂直磁场射入。不计重力及粒子间的相互作用。则两粒子（　　） A．在磁场中运动轨迹的半径不同 B．在磁场中运动的时间不同 C．射出磁场时的速度方向不同 D．射出位置到射入位置的距离不同 题型二：带电粒子在直线导体周围运动 【例2】．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中，O为M、N连线的中点，连线上的a、b两点关于O点对称。导线均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度（式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离）。一带负电的小球以初速度从a点出发沿M、N连线运动到b点，运动中小球一直未离开桌面。小球从a点运动到b点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀加速直线运动 B．小球做匀减速直线运动 C．小球对桌面的压力一直在减小 D．小球对桌面的压力一直在增大 【变式1】．（21-22高二下·吉林松原·阶段练习）如图所示，在纸面内水平放置两根长直导线AB和CD，只有一条导线中通有恒定电流。在纸面内，一电子由E点开始经过F运动到G的轨迹如图中曲线所示，下列说法中正确的是（　　） A．导线AB中通有从A到B方向的电流 B．导线AB中通有从B到A方向的电流 C．导线CD中通有从C到D方向的电流 D．导线CD中通有从D到C方向的电流 【变式2】．（21-22高二下·北京西城·期中）两根长直导线，垂直穿过光滑绝缘水平面，与水平面的交点分别为M和N，两导线内通有大小相等、方向相反的电流I，如图所示为其俯视图。A、B是该平面内M、N连线中垂线上的两点，从B点以一指向A点的初速度v射出一个带正电的小球，则小球的运动情况是（　　） A．小球将做匀速直线运动 B．小球将做变速直线运动 C．小球将向左做曲线运动 D．小球将向右做曲线运动 题型三：带电微粒（计算重力）在磁场中的运动问题 【例3】．（22-23高二上·上海·期末）如图所示，质量为的小球，带有的正电荷，套在一根与水平方向成的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为，杆所在空间有磁感应强度的匀强磁场，小球由静止开始下滑，求： （1）小球刚开始运动时加速度大小； （2）小球运动过程中的最大速率（重力加速度g取） 【变式1】．（20-21高二上·江西南昌·期末）质量为m、电荷量为q的小物块，从倾角为θ的粗糙绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向水平向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。若带电小物块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，下面说法正确的是（　　） A．小物块一定带正电荷 B．小物块在斜面上运动时做匀减速直线运动 C．小物块在斜面上运动时做加速度增大，而速度也增大的变加速直线运动 D．小物块在斜面上下滑过程中，当小球对斜面压力为零时的速率为 【变式2】．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道DF相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C点处于MN边界上）。一质量为0.4kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度（不计空气阻力，，）。求： （1）小球受到电场力的大小与方向； （2）半圆轨道的半径R； （3）在半圆轨道部分，摩擦力对小球所做的功。 题型四：带电粒子在直线边界匀强磁场的运动 【例4】．（2025·云南·模拟预测）如图所示，虚线ON上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，完全相同的带电粒子a、b在纸面内以不同的速率从O点沿垂直于ON的方向射入磁场，最后分别从M点、N点离开磁场。已知M点为ON的中点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．两粒子均带正电 B．洛伦兹力对b粒子做的功多 C．b粒子的速率是a粒子的两倍 D．b粒子在磁场中运动的时间是a粒子的两倍 【变式1】．（24-25高二下·江西上饶·期末）如图所示，平行线、间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，、间的距离为。在上的点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射入质量为、电荷量大小为的带正电的粒子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场偏转后，从边界线射出的最低点为点。已知是上的一点，垂直于，、间的距离为，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的速度大小为 B．粒子从边射出的区域长为 C．从边射出的所有粒子中通过磁场最短的时间为 D．斜向上与夹角为方向射入的粒子恰好从点射出 【变式2】．（24-25高二下·重庆·期末）如图所示，xOy区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点以速度大小为射入磁场区域，从N点射出。已知OM=a，ON=，则下列说法正确的（　　） A．粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径大小为3a C．若仅减小磁感应强度，则粒子将从N点下方射出 D．若仅调节入射速度的大小，粒子从y轴上ON之间射出的速度范围为 题型五：带电粒子在弧型边界匀强磁场的运动 【例5】．（25-26高二上·浙江·期中）如图所示，这是一个半径为R的圆柱形绝缘容器的截面，容器内部存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，截面的A处开有一个可容纳微小带电粒子进入的小孔，一个不计重力的带电粒子平行截面从A孔以正对圆心的速度进入容器，粒子质量为m，电荷量为q，粒子与容器壁的碰撞视作弹性碰撞，以下v的取值不能使粒子从A孔再次出来的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）如图所示，一半径为R的圆形区域内充满垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，O为圆形磁场区域的圆心。一带电粒子以速度v从磁场边界P点垂直射入磁场，射入时的速度方向与PO夹30°角，最后从磁场边界Q点射出。已知∠POQ=120°，不计粒子重力，则（    ） A．该粒子带正电 B．该粒子沿OQ方向射出磁场 C．该粒子在磁场中运动的半径为R D．该粒子在磁场中运动的时间为 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为（　　） A． B． C． D． 题型六：由粒子运动轨迹确定磁场范围 【例6】．（21-22高二下·江苏南通·阶段练习）如图所示，圆形区域存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场.一质量为m，电荷量为q的粒子沿平行于直径AC的方向射入磁场，射入点到直径AC的距离为磁场区域半径的一半，粒子从D点射出磁场时的速率为v，不计粒子的重力。则（　　） A．圆形磁场区域的半径为 B．圆形磁场区域的半径为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【变式1】．（24-25高二下·江西新余·阶段练习）如图所示，坐标平面内有边界过P （0， L）点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域。方向垂直于坐标平面，一质量为m、电荷量为e的电子（不计重力），从P点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，从x轴上的Q点射出磁场区域，此时速度与x铀正方向的夹角为60°。下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于坐标平面向外 B．磁场的磁感应强度 C．圆形磁场区域的半径为2L D．带电粒子做圆周运动的半径为L 【变式2】．（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示，矩形ABCD中、。其内部有一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一个质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，经圆形磁场偏转后沿着AC方向从C点飞出矩形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子在磁场里运动的时间为 B．粒子在磁场里运动的时间为 C．圆形磁场区域的最小面积为 D．圆形磁场区域的最小面积为 题型七：带电粒子在磁场运动的多解问题 【例7】．（25-26高三上·云南·月考）如图所示，边长为的等边三角形区域内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点处有一正粒子源，能沿的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则以下说法正确的是（    ）    A．质子的速度可能为 B．质子的速度可能为 C．质子由A到C的时间可能为 D．质子由A到C的时间可能为 题型八：带电粒子在磁场中综合问题 【例8】．（25-26高二上·河南南阳·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy的y≥1.5L区域内存在方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场，y<1.5L区域内存在平行于y轴正方向的匀强电场。电荷量为q、质量为m的带正电粒子从y轴上坐标为（0，4.5L）的P点以方向平行于x轴正方向、大小为v的速度开始运动，第一次从Q点进入电场时速度方向与x轴负方向的夹角α=60°，粒子恰能过坐标原点O。不计粒子重力。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)匀强电场的电场强度大小E； (3)粒子从P点开始运动到第一次返回P点所用的时间t。 【例9】．（25-26高二上·广西钦州·期中）如图所示，在直角坐标系的第一象限内有沿轴正方向的匀强电场，在第四象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带负电的粒子从原点以大小为的速度沿轴正方向射入，通过磁场后到达轴上的点，不计粒子所受的重力。 (1)求匀强磁场的磁感应强度； (2)将该粒子改在轴上的点同样以速度平行于轴正方向射入电场中，从处的点（图中未画出）进入磁场，求电场强度的大小； (3)在第（2）问情景下，粒子最后从轴上点（图中未画出）离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图所示，一个质量为、电荷量为的带电粒子从轴正方向上的点以速度沿与轴成角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直轴射出第一象限。已知，匀强磁场方向垂直第一象限，不计带电粒子的重力。求： (1)匀强磁场的方向，并画出粒子的轨迹； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)带电粒子穿过第一象限所用的时间。 【变式2】．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）如图所示，边长为L的等边三角形内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是边的中点，一质量为m、电荷量为的带电的粒子从D点以速度v平行于边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力。 (1)若粒子垂直于边射出，求粒子做匀速圆周运动的半径； (2)若粒子从C点射出，求粒子在磁场中运动的时间t。 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽合肥·期中）图为某一类型质谱仪的结构示意图，在两平行电极板间有一匀强电场，在电极板的右端有一阻隔板，板上有一小孔只能让没有偏向的带电粒子穿过，整个仪器置于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中。一带电粒子的比荷为，由电极板的左端，对准小孔、平行于电极板射入，从小孔射出后，粒子打在板上距离小孔为d的位置，忽略粒子重力，则电场强度E的大小为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·期中）粒子和质子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，已知两粒子的动量大小相等，忽略粒子之间的相互影响，则粒子和质子的（　　） A．运动半径之比是 B．运动半径之比是 C．运动周期之比是 D．运动周期之比是 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在粒子物理研究中，带电粒子在云室等探测装置中的径迹是非常重要的实验证据。右图是1932年安德森利用放在匀强磁场中的云室记录的正电子的径迹，云室中放有厚的铅板，磁场方向垂直纸面，A、B是径迹上的两个点，若不计正电子受到的重力及运动过程的阻力，下列说法正确的是（    ） A．磁场方向垂直纸面向外 B．正电子的运动方向是从A到B C．正电子在A、B两点受到的洛仑兹力大小相等 D．正电子经过铅板后，运动的周期变小 4．（25-26高二上·山东·期中）我国“人造太阳”——托卡马克装置预计在2030年核聚变演示发电点亮第一盏灯，其内部产生的强磁场将带电粒子约束在特定区域实现受控核聚变。其中沿管道方向的磁场分布如图所示，越靠管的右侧磁场越强，则速度平行于纸面的带电粒子在该磁场中运动时（不计带电粒子重力），下列说法正确的是（　　） A．电子在磁场中沿逆时针方向运动 B．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，磁场可能对其做功 C．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小 D．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，洛伦兹力大小不变 5．（25-26高二上·河北衡水·期中）如图，水平放置的挡板上方有垂直纸面的匀强磁场，一带正电粒子垂直于纸板从板上的小孔射入磁场，另一带电粒子垂直于磁场且与挡板成角射入磁场，、两个带电粒子比荷大小相等，两粒子恰好都打在板上点，不计重力，下列说法正确的是（    ） A．粒子带负电 B．在磁场中的运动时间一定大于在磁场中的运动时间 C．若磁场方向垂直纸面向里，则、的初速度大小之比为 D．若磁场方向垂直纸面向外，则、的初速度大小之比为 6．（2025·贵州·模拟预测）如图，在平面内y轴右侧有以O点为圆心、半径为R的半圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向里。大量质量为m、带电荷量为q（）的粒子以速度从y轴上间各点平行于x轴射入磁场。不计粒子间相互作用及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏连云港·月考）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 二、多选题 8．（25-26高二下·全国·随堂练习）如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　） A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< 9．（25-26高二下·全国·课后作业）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为q（q＞0）的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向与竖直方向呈 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 11．（25-26高三上·青海西宁·期中）如图所示，在平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场。一带电粒子从轴上的点射入磁场，速度方向与轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在点（图中未画出）垂直穿过轴。已知，粒子电荷量为，质量为，重力不计。则（　　） A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．与点相距 三、解答题 12．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，平行于y轴的MN是平面直角坐标系Oxy第四象限内的分界线，第一象限和第四象限内MN的右侧均存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。MN与y轴负半轴之间存在沿x轴负方向的匀强电场I，第三象限存在方向平行纸面的匀强电场II（图中未画出）。一质量为m的带正电的粒子从y轴上的S点以速度v沿纸面进入磁场，v与y轴正方向的夹角为30°。粒子经磁场偏转后垂直MN进入电场I，从y轴上的P点以2v的速度进入电场II，最终从x轴上的Q点以与x轴正方向成60°角的速度离开电场II，并沿直线回到S点。已知OS=3L，OP=L，不计粒子的重力。求 (1)粒子的电荷量； (2)第四象限中电场I的电场强度大小； (3)粒子从P点运动到Q点的时间。 13．（24-25高二上·福建莆田·期中）平面直角坐标系中，第Ⅰ象限存在沿轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从轴负半轴上的P点与轴正方向成120°垂直磁场射入第Ⅳ象限，经轴上的N点与轴正方向成120°角射入电场，最后从轴正半轴上的M点以垂直于y轴方向的速度射出电场，粒子从P点射入磁场的速度为，不计粒子重力，求 (1)粒子在磁场中运动的轨道半径R； (2)粒子从P点运动到M点的总时间t； (3)匀强电场的场强大小E； 14．（25-26高二上·河北·期中）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子运动状态的装置，如题图所示，荧光屏放置于磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外的匀强磁场中并与匀强磁场平行。、、均为荧光屏上的点，且在屏内的同一直线上。发射管（不计长度）位于点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若水平向右发射的带正电的粒子在点产生光点，求此粒子的速度大小； (2)若从水平方向逆时针旋转，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在点产生光点，求正、负粒子运动的时间之比。 15．（25-26高三上·安徽·月考）如图所示，竖直平面的第一象限区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，第二象限存在水平向右的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从x轴上的P点以初速度垂直x轴进入电场中，粒子经y轴上的Q点进入磁场中、又从与Q等高的M点（未标出）离开磁场，最后到达x轴上的N点（未标出）。已知P点坐标为，Q点坐标为，粒子重力不计。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子从P到N的时间。 16．（25-26高二上·浙江宁波·期中）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。简化的离子注入工作原理示意图如图所示。离子源内发出价硼离子，从孔进入加速器，加速后从孔进入质量分析器的中轴线，并沿中轴线做四分之一匀速圆周运动后从孔射出，最后垂直打到注入靶上。已知加速器加速电压为U；质量分析器内部存在着径向电场，中轴线所在圆弧的半径为R，硼离子质量为m，电荷量大小为3e（e为元电荷），忽略硼离子离开离子源时的速度，不考虑离子重力以及离子间的相互作用。 (1)求硼离子离开加速器时的速度大小v。 (2)求为使硼离子能匀速通过质量分析器，请判断中轴线所在处的电场强度E的方向，用“沿径向向内”或“沿径向向外”来描述，并求出该电场强度E的大小。 (3)若质量分析器内的电场改为垂直于纸面的匀强磁场，请判断其方向，用“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”来描述，并求出该磁场的磁感应强度B的大小。 17．（25-26高二上·湖北孝感·期中）如图所示，在xoy平面的第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场；时刻，粒子从P点平行x轴射入电场，以速度ν第一次从Q点穿过x轴进入磁场，速度ν与x轴正方向的夹角。已知P点坐标为，粒子质量为m、电荷量为＋q，重力不计。（取、） (1)求匀强电场的电场强度E的大小； (2)欲使粒子不从y轴射出磁场，求磁感应强度的最小值； (3)若磁感应强度，求粒子第5次通过x轴的坐标。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化01：带电粒子在匀强磁场中的运动及其临界问题 【题型归纳】 技巧一：分析带电粒子在匀强磁场中运动的方法 基本思路 (1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹 (2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系 (3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式 基本公式 qvB＝m，T＝ 重要结论 r＝，T＝ 圆心的确定 (1)轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线的交点为圆心，如图(a) (2)轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出射点两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b) (3)沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图(c)(当r已知或可算) 半径的确定 方法一：由物理公式求，由于Bqv＝ 所以半径r＝ 方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定 时间的求解 方法一：由圆心角求，t＝·T 方法二：由弧长求，t＝ 技巧二．带电粒子在不同边界磁场中的运动 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)． (2)平行边界(存在临界条件，如图所示)． (3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)． 【题型归纳】 题型一：带电粒子在无边界匀强磁场的运动 【例1】．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）如图所示，表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，粒子电量不变，由图可知粒子（　　） A．带正电荷 B．沿方向运动 C．穿过金属板后，轨迹半径变小 D．穿过金属板前后，运动半周的时间变大 【答案】C 【详解】ABC．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力可得 可得 带电粒子穿过金属板后速度减小，可知轨迹半径应减小，故可知粒子运动方向是，粒子所受的洛伦兹力均指向圆心，在e点洛伦兹力向右，则由左手定则可知，粒子应带负电，故AB错误，C正确； D．根据 可知穿过金属板前后，运动半周的时间不变，故D错误。 故选C。 【变式1】．．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）如图所示，从一粒子源O发出质量相等的三种粒子，以相同的速度垂直射入匀强磁场中，结果分成了a、b、c三束，下列说法正确的有（　　） A．a粒子带负电，b粒子不带电，c粒子带正电 B．a粒子带正电，b粒子带正电，c粒子带负电 C．a、c的带电量的大小关系为 D．a、c的带电量的大小关系为 【答案】C 【详解】AB．由左手定则可知，a带正电，b不带电，c带负电，故AB错误； CD．由洛伦兹力提供向心力可得 可得 由题图可知，则有，故C正确，D错误。 故选C。 【变式2】．（2025·北京海淀·一模）如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为、大小为v的速度垂直磁场射入。不计重力及粒子间的相互作用。则两粒子（　　） A．在磁场中运动轨迹的半径不同 B．在磁场中运动的时间不同 C．射出磁场时的速度方向不同 D．射出位置到射入位置的距离不同 【答案】B 【详解】AC．由可得 故两粒子在磁场中运动轨迹的半径相同。如图所示正电荷粒子的运动轨迹为大圆弧，负电荷粒子的运动轨迹为小圆弧 射出磁场时的速度方向相同，故AC错误； B．粒子在磁场中运动周期 若粒子带负电荷，在磁场中运动的时间 若粒子带正电荷，在磁场中运动的时间 故两粒子在磁场中运动的时间不同，故B正确； D．由几何关系可知，两粒子射出位置到射入位置的距离相同，大小等于 故D错误。 故选B。 题型二：带电粒子在直线导体周围运动 【例2】．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中，O为M、N连线的中点，连线上的a、b两点关于O点对称。导线均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度（式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离）。一带负电的小球以初速度从a点出发沿M、N连线运动到b点，运动中小球一直未离开桌面。小球从a点运动到b点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀加速直线运动 B．小球做匀减速直线运动 C．小球对桌面的压力一直在减小 D．小球对桌面的压力一直在增大 【答案】C 【详解】CD．已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度 根据安培定则，结合磁感应强度的叠加原理可知，直线MON上靠近M处的磁场方向垂直于MN向里，靠近N处的磁场方向垂直于MN向外，磁场大小先减小，过O点后反向增大，根据左手定则可知，带负电的小球受到的洛伦兹力方向开始时竖直向下，大小逐渐减小，过O点后洛伦兹力的方向向上，大小逐渐增大，小球在竖直方向受力平衡，则桌面对小球的支持力逐渐减小，根据牛顿第三定律可知，小球对桌面的压力一直在减小，故C正确，D错误； AB．结合上述可知，由于桌面光滑，小球仅在竖直方向上受到重力、洛伦兹力与支持力作用，在沿速度方向不受外力作用，小球所受外力的合力为0，则小球将做匀速直线运动，故AB错误。 故选C。 【变式1】．（21-22高二下·吉林松原·阶段练习）如图所示，在纸面内水平放置两根长直导线AB和CD，只有一条导线中通有恒定电流。在纸面内，一电子由E点开始经过F运动到G的轨迹如图中曲线所示，下列说法中正确的是（　　） A．导线AB中通有从A到B方向的电流 B．导线AB中通有从B到A方向的电流 C．导线CD中通有从C到D方向的电流 D．导线CD中通有从D到C方向的电流 【答案】C 【详解】由于电子在运动的过程中，速度大小不变，根据 可知在F点处轨道半径较小，磁感强度较大，一定是导线CD中通有电流由于，电子带负电荷，根据左手定则可知，F处的磁场方向垂直纸面向内，由安培定则可知，导线CD中电流的方向从C到D。 故选C。 【变式2】．（21-22高二下·北京西城·期中）两根长直导线，垂直穿过光滑绝缘水平面，与水平面的交点分别为M和N，两导线内通有大小相等、方向相反的电流I，如图所示为其俯视图。A、B是该平面内M、N连线中垂线上的两点，从B点以一指向A点的初速度v射出一个带正电的小球，则小球的运动情况是（　　） A．小球将做匀速直线运动 B．小球将做变速直线运动 C．小球将向左做曲线运动 D．小球将向右做曲线运动 【答案】A 【详解】根据安培定则可知，两电流在A点产生的磁感应强度的方向如图所示，根据对称性和平行四边形定则可知，A点处的合磁感应强度的方向沿着AB方向，同理可得在AB连线上各点的合磁感应强度的方向都沿AB方向，与带电小球的初速度方向平行，则带电小球在光滑水平面上不受洛伦兹力作用，小球受到的合外力为0，小球做匀速直线运动，A正确，BCD错误。 故选A。 题型三：带电微粒（计算重力）在磁场中的运动问题 【例3】．（22-23高二上·上海·期末）如图所示，质量为的小球，带有的正电荷，套在一根与水平方向成的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为，杆所在空间有磁感应强度的匀强磁场，小球由静止开始下滑，求： （1）小球刚开始运动时加速度大小； （2）小球运动过程中的最大速率（重力加速度g取） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小球由静止刚开始下滑时，洛伦兹力为0，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 （2）小球下滑过程中，根据左手定则可知小球受到洛伦兹力垂直于杆向上，当小球达到最大速度时，加速度为0，则有 代入数据解得 【变式1】．（20-21高二上·江西南昌·期末）质量为m、电荷量为q的小物块，从倾角为θ的粗糙绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向水平向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。若带电小物块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，下面说法正确的是（　　） A．小物块一定带正电荷 B．小物块在斜面上运动时做匀减速直线运动 C．小物块在斜面上运动时做加速度增大，而速度也增大的变加速直线运动 D．小物块在斜面上下滑过程中，当小球对斜面压力为零时的速率为 【答案】C 【详解】A．由题意可知，小物块受到的洛伦兹力垂直斜面向上，根据左手定则可得：小滑块带负电，故A错误； BC．在向下运动的过程速度增大，洛伦兹力增大，支持力减小，由 得摩擦力减小 所以加速度增大。物块做加速度逐渐增大的加速运动。故B错误C正确； D．由题意，当滑块离开斜面时，洛伦兹力 则 故D错误。 故选C。 【变式2】．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道DF相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C点处于MN边界上）。一质量为0.4kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度（不计空气阻力，，）。求： （1）小球受到电场力的大小与方向； （2）半圆轨道的半径R； （3）在半圆轨道部分，摩擦力对小球所做的功。 【答案】（1）3N，水平向左；（2）1m：（3） 【详解】（1）由题意可知，小球在CD间做匀速直线运动，电场力与重力的合力垂直于CD向下，故有 方向水平向左 （2）在D点速度为 在CD段做直线运动，分析可知，CD段受力平衡，故有 解得 在F点处由牛顿第二定律可得 把代入得 （3）小球在DF段，由动能定律可得 解得 题型四：带电粒子在直线边界匀强磁场的运动 【例4】．（2025·云南·模拟预测）如图所示，虚线ON上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，完全相同的带电粒子a、b在纸面内以不同的速率从O点沿垂直于ON的方向射入磁场，最后分别从M点、N点离开磁场。已知M点为ON的中点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．两粒子均带正电 B．洛伦兹力对b粒子做的功多 C．b粒子的速率是a粒子的两倍 D．b粒子在磁场中运动的时间是a粒子的两倍 【答案】C 【详解】A．由左手定则可知，两粒子均带负电，选项A错误； B．洛伦兹力对两粒子均不做功，选项B错误； C．两粒子均在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 整理得 由题意，因此b粒子的速率是a粒子的两倍，选项C正确； D．粒子在磁场中运动的时间为 结合题图可知两粒子在磁场中运动的时间相同，选项D错误。 故选C。 【变式1】．（24-25高二下·江西上饶·期末）如图所示，平行线、间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，、间的距离为。在上的点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射入质量为、电荷量大小为的带正电的粒子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场偏转后，从边界线射出的最低点为点。已知是上的一点，垂直于，、间的距离为，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的速度大小为 B．粒子从边射出的区域长为 C．从边射出的所有粒子中通过磁场最短的时间为 D．斜向上与夹角为方向射入的粒子恰好从点射出 【答案】B 【详解】AD．如图所示 根据几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力得 解得粒子在磁场中运动的速度大小为 根据几何关系可得 可得，即斜向上与夹角为方向射入的粒子恰好从点射出，故AD错误； B．如图所示 由几何关系可知，粒子从边射出的区域长为，故B正确； C．从边射出的所有粒子中，从点离开磁场所用时间最短，如图所示 根据几何关系可得 可得 则最短的时间为，故C错误。 故选B。 【变式2】．（24-25高二下·重庆·期末）如图所示，xOy区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点以速度大小为射入磁场区域，从N点射出。已知OM=a，ON=，则下列说法正确的（　　） A．粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径大小为3a C．若仅减小磁感应强度，则粒子将从N点下方射出 D．若仅调节入射速度的大小，粒子从y轴上ON之间射出的速度范围为 【答案】D 【详解】A．粒子向左偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，故A错误； B．带电粒子从N点射出，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由几何关系可得 解得r=2a，故B错误； C．粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若减小磁感应强度，则轨道半径增大，可知，粒子可能从N点上方方射出，故C错误； D．带电粒子从N点射出，则； 带电粒子从O点射出，粒子做了半个圆周运动，则半径为， 则 则，即N点的速度大小是O点的速度大小的4倍。故D正确。 故选D。 题型五：带电粒子在弧型边界匀强磁场的运动 【例5】．（25-26高二上·浙江·期中）如图所示，这是一个半径为R的圆柱形绝缘容器的截面，容器内部存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，截面的A处开有一个可容纳微小带电粒子进入的小孔，一个不计重力的带电粒子平行截面从A孔以正对圆心的速度进入容器，粒子质量为m，电荷量为q，粒子与容器壁的碰撞视作弹性碰撞，以下v的取值不能使粒子从A孔再次出来的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】ACD．粒子正对圆心进入圆形磁场，必然沿着半径方向垂直碰撞容器壁，如图所示 进入点和碰撞点与圆心的连线均与速度方向垂直，由几何关系可知进入点连成的三角形和碰撞点连成的三角形全等，故粒子在碰撞点速度方向与半径共线。由图可知 要让粒子从点出射，必须满足 由洛伦兹力充当向心力 可得 联立可得 当时，有 当时，有 当时，有，故ACD正确； B．B选项n没有对应的正整数，故B不可能。 本题选不能从A孔再次射出的，故选B。 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）如图所示，一半径为R的圆形区域内充满垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，O为圆形磁场区域的圆心。一带电粒子以速度v从磁场边界P点垂直射入磁场，射入时的速度方向与PO夹30°角，最后从磁场边界Q点射出。已知∠POQ=120°，不计粒子重力，则（    ） A．该粒子带正电 B．该粒子沿OQ方向射出磁场 C．该粒子在磁场中运动的半径为R D．该粒子在磁场中运动的时间为 【答案】C 【详解】ABC．带电粒子在洛伦兹力作用下在磁场中做匀速圆周运动，设圆心为，运动轨迹如图所示 由几何知识可知，在圆形磁场边界上，四边形为菱形，粒子运动轨迹的轨道半径为，由左手定则知粒子带负电，粒子离开磁场时的径向平行于，故粒子离开磁场时速度方向垂直，故AB错误，C正确； D．带电粒子在磁场中做圆周运动的偏转角度为，运动时间为，故D错误。 故选C。 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图 根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长线通过a点，磁场的半径为L，设粒子的轨迹半径为r，由几何关系得L＋r＝L 由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m 联立解得v＝ 故选C。 题型六：由粒子运动轨迹确定磁场范围 【例6】．（21-22高二下·江苏南通·阶段练习）如图所示，圆形区域存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场.一质量为m，电荷量为q的粒子沿平行于直径AC的方向射入磁场，射入点到直径AC的距离为磁场区域半径的一半，粒子从D点射出磁场时的速率为v，不计粒子的重力。则（　　） A．圆形磁场区域的半径为 B．圆形磁场区域的半径为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【答案】B 【详解】粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可得粒子在磁场中偏转60°，则在磁场中运动的时间为，即 由几何关系可得四边形ODO′E是菱形，则圆形区域中匀强磁场的半径R与粒子运动的轨迹半径r相等，有 解得 则磁场半径为 ACD错误，B正确。 故选B。 【变式1】．（24-25高二下·江西新余·阶段练习）如图所示，坐标平面内有边界过P （0， L）点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域。方向垂直于坐标平面，一质量为m、电荷量为e的电子（不计重力），从P点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，从x轴上的Q点射出磁场区域，此时速度与x铀正方向的夹角为60°。下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于坐标平面向外 B．磁场的磁感应强度 C．圆形磁场区域的半径为2L D．带电粒子做圆周运动的半径为L 【答案】B 【详解】 A．粒子运动轨迹如图，根据左手定则，可知磁场垂直纸面向里，A错误； BD．根据几何知识，可知粒子的轨道半径 为 又洛伦兹力提供向心力，可得 所以 D错误，B正确； C．根据几何知识可知，，所以PQ为圆形磁场的直径，所以有 所以磁场区域的半径为 C错误。 【变式2】．（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示，矩形ABCD中、。其内部有一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一个质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，经圆形磁场偏转后沿着AC方向从C点飞出矩形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子在磁场里运动的时间为 B．粒子在磁场里运动的时间为 C．圆形磁场区域的最小面积为 D．圆形磁场区域的最小面积为 【答案】C 【详解】AB．依题意，该粒子的运动轨迹如图所示    由几何关系可知 解得 可知粒子在磁场中轨迹所对的圆心角为，所以粒子在磁场里运动的时间为 又 联立，解得 故AB错误； CD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 当ab为匀强磁场的直径时，圆形磁场面积最小，设其半径为R，由几何关系可得 可得最小面积为 联立，解得 故C正确；D错误。 故选C。 题型七：带电粒子在磁场运动的多解问题 【例7】．（25-26高三上·云南·月考）如图所示，边长为的等边三角形区域内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点处有一正粒子源，能沿的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，粒子运动的半径 由洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 将代入，只有选项A符合，故选A。 【变式1】．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子可能在两个磁场间做多次运动，画出粒子可能的轨迹，如图所示 所有粒子对应的圆心角均为，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 当时，可得 故选C。 【变式2】．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则以下说法正确的是（    ）    A．质子的速度可能为 B．质子的速度可能为 C．质子由A到C的时间可能为 D．质子由A到C的时间可能为 【答案】C 【详解】AB．因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示    所有圆弧所对圆心角均为，质子可能的运动半径 （n=1，2，3，…） 由洛伦兹力提供向心力得 即 （n=1，2，3，…） 质子的速度不可能为和，故AB错误； CD．质子由A到C的时间可能为 （n=1，2，3，…） 故C正确；D错误。 故选C。 题型八：带电粒子在磁场中综合问题 【例8】．（25-26高二上·河南南阳·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy的y≥1.5L区域内存在方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场，y<1.5L区域内存在平行于y轴正方向的匀强电场。电荷量为q、质量为m的带正电粒子从y轴上坐标为（0，4.5L）的P点以方向平行于x轴正方向、大小为v的速度开始运动，第一次从Q点进入电场时速度方向与x轴负方向的夹角α=60°，粒子恰能过坐标原点O。不计粒子重力。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)匀强电场的电场强度大小E； (3)粒子从P点开始运动到第一次返回P点所用的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，由几何关系有 解得 对粒子受力分析，有 解得 （2）由几何关系可知，Q点的横坐标 设粒子从Q点第一次运动到O点的时间为t1，平行于x轴方向上有 垂直于y轴方向上有 其中，解得， （3）粒子从P点开始运动到第一次过Q点所用的时间 粒子运动至O点时 由此可知粒子的运动轨迹关于y轴对称，粒子从P点开始运动到第一次返回P点所用的时间 解得 【例9】．（25-26高二上·广西钦州·期中）如图所示，在直角坐标系的第一象限内有沿轴正方向的匀强电场，在第四象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带负电的粒子从原点以大小为的速度沿轴正方向射入，通过磁场后到达轴上的点，不计粒子所受的重力。 (1)求匀强磁场的磁感应强度； (2)将该粒子改在轴上的点同样以速度平行于轴正方向射入电场中，从处的点（图中未画出）进入磁场，求电场强度的大小； (3)在第（2）问情景下，粒子最后从轴上点（图中未画出）离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从O点进入磁场运动到P点，洛伦兹力提供向心力，则有 由几何知识可得 解得，磁感应强度 （2）粒子在电场中做类平抛运动，沿轴方向做匀速直线运动，则 解得 沿轴方向做匀加速直线运动 解得 根据牛顿第二定律 解得 （3）粒子离开电场时的速度大小和速度方向与x轴正方向的夹角θ满足， 即 粒子进入磁场运动，洛伦兹力提供向心力则有 解得半径 因为 所以圆周轨道的圆心A在y轴上，如图所示 则粒子在磁场中运动的圆心角为 粒子在磁场中运动的周期为 运动时间为 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图所示，一个质量为、电荷量为的带电粒子从轴正方向上的点以速度沿与轴成角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直轴射出第一象限。已知，匀强磁场方向垂直第一象限，不计带电粒子的重力。求： (1)匀强磁场的方向，并画出粒子的轨迹； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)带电粒子穿过第一象限所用的时间。 【答案】(1)垂直纸面向外，轨迹如图 (2) (3) 【详解】（1）由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，轨迹如图 （2）由几何关系可知 由 可得 （3）带电粒子穿过第一象限转过的角度为 所用的时间 【变式2】．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）如图所示，边长为L的等边三角形内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是边的中点，一质量为m、电荷量为的带电的粒子从D点以速度v平行于边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力。 (1)若粒子垂直于边射出，求粒子做匀速圆周运动的半径； (2)若粒子从C点射出，求粒子在磁场中运动的时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，若粒子垂直于边射出，画出粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得，粒子做匀速圆周运动的半径 （2）根据题意，若粒子从C点射出，画出粒子的运动轨迹如图所示 设粒子的运动半径为，由几何关系有 解得 又有 解得 粒子在磁场中运动的周期为 则粒子在磁场中运动的时间 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽合肥·期中）图为某一类型质谱仪的结构示意图，在两平行电极板间有一匀强电场，在电极板的右端有一阻隔板，板上有一小孔只能让没有偏向的带电粒子穿过，整个仪器置于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中。一带电粒子的比荷为，由电极板的左端，对准小孔、平行于电极板射入，从小孔射出后，粒子打在板上距离小孔为d的位置，忽略粒子重力，则电场强度E的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，粒子在右侧做圆周运动的半径为 根据牛顿第二定律可得 解得 粒子在两平行电极板间运动时，受平衡力作用 解得 故选A。 2．（25-26高三上·重庆·期中）粒子和质子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，已知两粒子的动量大小相等，忽略粒子之间的相互影响，则粒子和质子的（　　） A．运动半径之比是 B．运动半径之比是 C．运动周期之比是 D．运动周期之比是 【答案】A 【详解】AB．设粒子的质量为4，电荷量为2e，质子的质量为，电荷量为e，两粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力 解得 由题可知两粒子的动量大小相等，则粒子和质子的运动半径之比是。故A正确，B错误； CD．两粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，运动周期 则粒子和质子的运动周期之比是。故CD错误。 故选A。 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在粒子物理研究中，带电粒子在云室等探测装置中的径迹是非常重要的实验证据。右图是1932年安德森利用放在匀强磁场中的云室记录的正电子的径迹，云室中放有厚的铅板，磁场方向垂直纸面，A、B是径迹上的两个点，若不计正电子受到的重力及运动过程的阻力，下列说法正确的是（    ） A．磁场方向垂直纸面向外 B．正电子的运动方向是从A到B C．正电子在A、B两点受到的洛仑兹力大小相等 D．正电子经过铅板后，运动的周期变小 【答案】A 【详解】B．正电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 可得运动速率为 由题图可知正电子在铅板上方的轨迹半径比在铅板下方的小，则正电子在铅板上方的速率比在铅板下方的速率小，因穿过铅板后速率会减小，故正电子从下向上穿过铅板，即正电子从B运动到A，故B错误； A．正电子从B运动到A沿顺时针方向偏转，由左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向外，故A正确； C．洛伦兹力，由于正电子在A点的速率大于B点速率，所以正电子在A点比在B点所受的洛伦兹力大，故C错误； D．根据洛伦兹力提供向心力 其中，可得 故粒子穿过铅板后在磁场中做圆周运动的周期不变，故D错误。 故选A。 4．（25-26高二上·山东·期中）我国“人造太阳”——托卡马克装置预计在2030年核聚变演示发电点亮第一盏灯，其内部产生的强磁场将带电粒子约束在特定区域实现受控核聚变。其中沿管道方向的磁场分布如图所示，越靠管的右侧磁场越强，则速度平行于纸面的带电粒子在该磁场中运动时（不计带电粒子重力），下列说法正确的是（　　） A．电子在磁场中沿逆时针方向运动 B．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，磁场可能对其做功 C．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小 D．带电粒子由左侧区域向右侧区域运动时，洛伦兹力大小不变 【答案】C 【详解】A．根据左手定则可知，电子在磁场中沿顺时针方向运动，故A错误； B．离子在磁场中运动时，由于洛伦兹力方向总是与速度方向垂直，可知磁场对其一定不做功，故B错误； C．离子在磁场中，，由洛伦兹力提供向心力，则有，解得，因右侧磁场较强，故带电粒子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小，故C正确； D．离子在磁场中，洛伦兹力为，速度大小不变，故洛伦兹力一直在变大，故D错误。 故选C。 5．（25-26高二上·河北衡水·期中）如图，水平放置的挡板上方有垂直纸面的匀强磁场，一带正电粒子垂直于纸板从板上的小孔射入磁场，另一带电粒子垂直于磁场且与挡板成角射入磁场，、两个带电粒子比荷大小相等，两粒子恰好都打在板上点，不计重力，下列说法正确的是（    ） A．粒子带负电 B．在磁场中的运动时间一定大于在磁场中的运动时间 C．若磁场方向垂直纸面向里，则、的初速度大小之比为 D．若磁场方向垂直纸面向外，则、的初速度大小之比为 【答案】C 【详解】A．根据题意可知，两粒子在磁场中的偏转方向相同，所以根据左手定则可知，两粒子的电性相同，所以带正电，故A错误； B．根据粒子在磁场中做圆周运动周期 又因为，粒子比荷大小相等，所以二者周期相同。若磁场方向垂直纸面向里，粒子的运动轨迹如图1所示，此时在磁场中运动的时间大于，若磁场方向垂直纸面向外，粒子的运动轨迹如图2所示，此时在磁场中运动的时间大于，故B错误。 CD．无论磁场方向是垂直纸面向里还是向外，根据几何知识有 因为 所以粒子做圆周运动的速度为 则，故C正确，D错误。 故选C。 6．（2025·贵州·模拟预测）如图，在平面内y轴右侧有以O点为圆心、半径为R的半圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向里。大量质量为m、带电荷量为q（）的粒子以速度从y轴上间各点平行于x轴射入磁场。不计粒子间相互作用及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得粒子运动的半径为 运动的周期为 粒子进入磁场如图 粒子从A射出磁场对应的圆心为C，此时有 时间最长对应圆心角最大，对应AB最大，由几何知识得，当粒子从c点射出时轨迹圆的圆心角最大，如图所示， 此时，即，则粒子在磁场中运动的最长时间为，故选A。 7．（25-26高二上·江苏连云港·月考）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】B 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有 可得，故A错误； B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知 当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知 故上表面接收到粒子的区域长度为，故B正确； C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C错误； D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D错误。 故选B。 二、多选题 8．（25-26高二下·全国·随堂练习）如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　） A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< 【答案】AB 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即 可得粒子的半径公式 当粒子从左边射出磁场时，不打在极板上，其圆周运动的半径，则有 当粒子从极板右边射出时，不打在极板上，设粒子打在极板上的最大半径为R，由几何关系可得 可得粒子打在极板上最大半径 则要粒子从右边极板飞出，不打在极板上，应满足，即 欲使粒子不打在极板上，粒子的速度v满足v<或v>。 故选AB。 9．（25-26高二下·全国·课后作业）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为q（q＞0）的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径满足 即r＝·（n=1，2，3，…） 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m 则v＝＝·（n=1，2，3，…） 当n=1、2时可得或 选项AB。 10．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向与竖直方向呈 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 【答案】BC 【详解】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为 四边形AONP的圆心角为 粒子在磁场中运动的时间为，故A错误； B．粒子在磁场中速度偏转，从N点射出方向是与竖直方向呈，故B正确； C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确； D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小，最小面积为，故D错误。 故选BC。 11．（25-26高三上·青海西宁·期中）如图所示，在平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场。一带电粒子从轴上的点射入磁场，速度方向与轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在点（图中未画出）垂直穿过轴。已知，粒子电荷量为，质量为，重力不计。则（　　） A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．与点相距 【答案】AC 【详解】A．粒子向下偏转，应用左手定则可以得出粒子带负电荷，A正确； BC．粒子运动的轨迹如图 根据几何关系可知， 粒子运动的轨道半径 洛伦兹力提供向心力 解得，B错误，C正确； D．点与点的距离，D错误。 故选AC。 三、解答题 12．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，平行于y轴的MN是平面直角坐标系Oxy第四象限内的分界线，第一象限和第四象限内MN的右侧均存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。MN与y轴负半轴之间存在沿x轴负方向的匀强电场I，第三象限存在方向平行纸面的匀强电场II（图中未画出）。一质量为m的带正电的粒子从y轴上的S点以速度v沿纸面进入磁场，v与y轴正方向的夹角为30°。粒子经磁场偏转后垂直MN进入电场I，从y轴上的P点以2v的速度进入电场II，最终从x轴上的Q点以与x轴正方向成60°角的速度离开电场II，并沿直线回到S点。已知OS=3L，OP=L，不计粒子的重力。求 (1)粒子的电荷量； (2)第四象限中电场I的电场强度大小； (3)粒子从P点运动到Q点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，则由几何关系可得： 由，解得 （2）粒子从MN边界进入第四象限的电场做匀加速直线运动至P点，设其运动的位移为SOM，根据动能定理有， 解得 （3）以PQ方向和垂直于PQ方向建立坐标系，则在PQ方向，粒子做匀减速直线运动，且初速度为v1，末速度为0。根据运动学规律有，， 解得 13．（24-25高二上·福建莆田·期中）平面直角坐标系中，第Ⅰ象限存在沿轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从轴负半轴上的P点与轴正方向成120°垂直磁场射入第Ⅳ象限，经轴上的N点与轴正方向成120°角射入电场，最后从轴正半轴上的M点以垂直于y轴方向的速度射出电场，粒子从P点射入磁场的速度为，不计粒子重力，求 (1)粒子在磁场中运动的轨道半径R； (2)粒子从P点运动到M点的总时间t； (3)匀强电场的场强大小E； 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 可得粒子在磁场中运动的轨道半径 （2）作出粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子在磁场中转过的角度为150°，粒子在磁场中运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间 由几何知识可得 从N到M运动的时间 则粒子从P点运动到M点的总时间 （3）在电场中竖直方向则有 解得 14．（25-26高二上·河北·期中）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子运动状态的装置，如题图所示，荧光屏放置于磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外的匀强磁场中并与匀强磁场平行。、、均为荧光屏上的点，且在屏内的同一直线上。发射管（不计长度）位于点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若水平向右发射的带正电的粒子在点产生光点，求此粒子的速度大小； (2)若从水平方向逆时针旋转，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在点产生光点，求正、负粒子运动的时间之比。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在点产生光点 由几何关系 其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若从水平方向逆时针旋转，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在点相切，如图 由于从水平方向逆时针旋转，则 由图可知带正电的粒子在磁场中运动对应的圆心角 带负电的粒子在磁场中运动对应的圆心角 粒子在磁场中运动的周期 带电粒子在磁场中的运动时间 则正、负粒子运动的时间比 15．（25-26高三上·安徽·月考）如图所示，竖直平面的第一象限区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，第二象限存在水平向右的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从x轴上的P点以初速度垂直x轴进入电场中，粒子经y轴上的Q点进入磁场中、又从与Q等高的M点（未标出）离开磁场，最后到达x轴上的N点（未标出）。已知P点坐标为，Q点坐标为，粒子重力不计。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子从P到N的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在电场中做抛体运动，根据牛顿第二定律有 沿轴方向有 沿轴方向有 联立解得。 （2）粒子进入磁场的速度为，则有， 代入数据解得 粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可知粒子速度与水平方向夹角满足 则有 由几何关系可知，粒子轨迹圆的圆心在轴上的点，粒子在匀强磁场中做圆周运动的圆半径 由牛顿第二定律可得 代入数据解得。 （3）粒子在磁场内运动的圆心角为，由对称性可知粒子出磁场后方向的速度大小仍为，粒子从到的时间仍为，则粒子从到的时间为 代入数据得。 16．（25-26高二上·浙江宁波·期中）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。简化的离子注入工作原理示意图如图所示。离子源内发出价硼离子，从孔进入加速器，加速后从孔进入质量分析器的中轴线，并沿中轴线做四分之一匀速圆周运动后从孔射出，最后垂直打到注入靶上。已知加速器加速电压为U；质量分析器内部存在着径向电场，中轴线所在圆弧的半径为R，硼离子质量为m，电荷量大小为3e（e为元电荷），忽略硼离子离开离子源时的速度，不考虑离子重力以及离子间的相互作用。 (1)求硼离子离开加速器时的速度大小v。 (2)求为使硼离子能匀速通过质量分析器，请判断中轴线所在处的电场强度E的方向，用“沿径向向内”或“沿径向向外”来描述，并求出该电场强度E的大小。 (3)若质量分析器内的电场改为垂直于纸面的匀强磁场，请判断其方向，用“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”来描述，并求出该磁场的磁感应强度B的大小。 【答案】(1) (2)电场方向沿径向向内， (3)磁场方向垂直纸面向外， 【详解】（1）硼离子在加速器内电场力做正功，根据动能定理有 解得 （2）由题知，硼离子在质量分析器内做匀速圆周运动，由电场力提供向心力，根据向心力指向沿径向向内，可知电场力的方向也沿径向向内，硼离子带正电，则电场方向与受力方向相同，故电场方向沿径向向内； 硼离子在质量分析器内，电场力提供向心力，则有 解得 （3）若质量分析器内的电场改为垂直于纸面的匀强磁场，硼离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据向心力指向沿径向向内，可知洛伦兹力的方向也沿径向向内，硼离子带正电，根据左手定则，可知磁场方向垂直纸面向外； 硼离子在质量分析器内，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 17．（25-26高二上·湖北孝感·期中）如图所示，在xoy平面的第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场；时刻，粒子从P点平行x轴射入电场，以速度ν第一次从Q点穿过x轴进入磁场，速度ν与x轴正方向的夹角。已知P点坐标为，粒子质量为m、电荷量为＋q，重力不计。（取、） (1)求匀强电场的电场强度E的大小； (2)欲使粒子不从y轴射出磁场，求磁感应强度的最小值； (3)若磁感应强度，求粒子第5次通过x轴的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在竖直方向上有 又 粒子的加速度 解得 （2）粒子的最大半径如图所示 设Q点坐标为，根据几何关系有 解得 根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心有 解得 （3）磁感应强度 故粒子不会从左侧穿出y轴，粒子前5次穿过x轴的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心有 解得 由图可知，第1次穿过x轴后，每次向下穿过x轴时向右运动的距离均为 第5次穿过x轴时 故粒子第5次通过x轴的坐标为 2 学科网（北京）股份有限公司 $