第五章 复数（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数的单元测试卷，主要考查复数的分类、实部和虚部、几何意义、四则运算、共轭复数。 第五章 复数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．复数2+i的实部是（    ） A．2 B． C．2+ D．0 2．若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为0，则b的值为（ ） A．2 B． C．- D．-2 3．设复数z1=-2+3i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4. 设z1=2+bi，z2=a+i，当z1+z2=0时，复数a+bi为（ ） A．1+i B．2+i C．3 D．-2-i 5. 复数z=-3+6i在复平面内对应的点的坐标是（ ） A．(3,6) B．(-3,6) C．(3,-6) D．(-3,-6) 6. 复数z=7-2i的共轭复数为（ ） A．7+2i B．-7+2i C．7-2i D．-7-2i 7.若a∈R，(a+i)(1-ai)=2，则a=（ ） A．-2 B．-1 C． 1 D．2 8. 若复数z满足z=(2+i)·i,则复平面内z对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9. 复数(2i+)3的模是（ ） A．0 B．1 C．-1 D．-i 10.已知复数z满足=3+2i，则z的实部与虚部之和为（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 11.已知复数z=a+bi(a,b∈R)，若iz在复平面内对应的点位于第三象限，则（ ） A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 12.z1,z2都是复数，则下列命题中正确的是（ ） A．若+=0，则z1=z2=0 B． |z1|2= C．|z1·z2|=|z1|·|z2| D．|z1|<1则-1<z1<1 13.在复平面内，复数z=(-2+i)(-i)对应的点在（ ） A．第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 14.若复数z=(x2-1)+(x-1)i是纯虚数，则实数x的值为（ ） A． ±1 B. 1 C．-1 D. 0 15.若复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i=0，则实数m=（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知复数z1=1-2i,z2=-2+4i（其中i为虚数单位），则z1+z2=______。 17. 已知复数z=(6-8i)(2-i)，则z的虚部为______。 18. 已知复数z=m+i(m∈R)，且|z|=，则m=______。 19. 方程2x2-6x+5=0的解是x=______。 20. 若2x+yi-(y-4i)=3-5i(x,y∈R)，则x+y=______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．计算：(1) (6-5i)(3-2i); (2) i(3-2i). 22. 若复数(3-i)m-(1+i)对应的点在第三象限内，求实数m的取值范围. 23．设复数z=a+i（a为正实数，i为虚数单位），|z|=. (1) 求复数z; (2) 计算：z·(z+1). 24．若1-i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根，求p·q. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数的单元测试卷，主要考查复数的分类、实部和虚部、几何意义、四则运算、共轭复数。 第五章 复数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数2+i的实部是（    ） A．2 B． C．2+ D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查复数的基本概念，复数的代数表示法及复数的实部和虚部 【详解】由题意，得复数2+i的实部是2.故A选项正确 故选：A. 2．若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为0，则b的值为（ ） A．2 B． C．- D．-2 【答案】A 【分析】本题考查的是复数的基本概念，复数的实部和虚部。 【详解】复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为0，得2-b=0，即b=2，故A选项正确。 故选：A. 3．设复数z1=-2+3i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查复数的加减运算。 【详解】根据复数运算可知，z1-z2=-3+i，在复平面内对应的点为（-3,1），位于第二象限，故B选项正确； 故选：B. 4. 设z1=2+bi，z2=a+i，当z1+z2=0时，复数a+bi为（ ） A．1+i B．2+i C．3 D．-2-i 【答案】D 【分析】本题考查复数加减运算求参数。 【详解】因为z1+z2=2+bi+a+i=2+a+(b+1)i=0，所以，解得，故a+bi=-2-i，故D选项正确. 故选：D. 5. 复数z=-3+6i在复平面内对应的点的坐标是（ ） A．(3,6) B．(-3,6) C．(3,-6) D．(-3,-6) 【答案】B 【分析】本题考查的是复数的几何意义，在复平面中，横坐标是实部，纵坐标是虚部。 【详解】根据题意，复数z=-3+6i的实部和虚部分别是-3,6，所以在复平面内对应的点的坐标为（-3,6），故选项B正确 故选：B. 6. 复数z=7-2i的共轭复数为（ ） A．7+2i B．-7+2i C．7-2i D．-7-2i 【答案】A 【分析】本题考查的是共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数为共轭复数。 【详解】根据题意，复数z=7-2i的共轭复数为7+2i,故A选项正确。 故选：A. 7. 若a∈R，(a+i)(1-ai)=2，则a=（ ） A．-2 B．-1 C． 1 D．2 【答案】C 【分析】本题考察的是复数的乘法运算 【详解】 因为a∈R，(a+i)(1-ai)=2，a+i-a2i-ai2=2,因为i2=-1,则2a+(1-a2)i=2,即该复数虚部为零，可得，解得,所以C选项正确。 故选：C. 8. 若复数z满足z=(2+i)·i,则复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是复数的运算及共轭复数。 【详解】复数 z=(2+i)⋅i=2i+i2=2i−1=−1+2i，所以复数z的共轭复数为=-1-2i,则复平面内对应的点为（-1，-2），位于第三象限，故选项C正确。 故选：C. 9. 复数(2i+)3的模是（ ） A．0 B．1 C．-1 D．-i 【答案】B 【分析】本题考察的是复数的模，先计算再求模长。 【详解】首先简化内层表达式：=−i,所以2i+=2i+(−i)=i.因此原式化为 i3。而 i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i.复数 −i 的模为：∣−i∣=02+(−1)2=1.，故选项B正确。 故选：B 10. 已知复数z满足=3+2i，则z的实部与虚部之和为（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查的复数的实部与虚部，乘法运算。 【详解】由方程=3+2i可得z=(2−i)(3+2i)=2·3+2·2i−i·3−i·2i=6+4i−3i−2i2.利用 i2=−1，则6+4i−3i+2=8+i.因此 z=8+i，实部为8，虚部为1，实部与虚部之和为 8+1=9，所以D选项正确 故选：D. 11. 已知复数z=a+bi(a,b∈R)，若iz在复平面内对应的点位于第三象限，则（ ） A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 【答案】C 【分析】本题考查复数的几何意义及复数的运算。 【详解】已知复数 z=a+bi（a,b∈R），则iz=i(a+bi)=ai+bi2=ai−b=−b+ai.因此 iz 在复平面内对应的点为 (−b,a)。由于该点位于第三象限，则需满足：⇒，故C选项正确。 故选：C 12. z1,z2都是复数，则下列命题中正确的是（ ） A．若+=0，则z1=z2=0 B． |z1|2= C．|z1·z2|=|z1|·|z2| D．|z1|<1则-1<z1<1 【答案】C 【分析】本题考查的是复数的运算。 【详解】对于选项A，在复数范围内，由+=0不能推出 z1=z2=0，反例：取 z1=1，z2=i，则+=12+i2=1+(−1)=0,但 z1≠0且 z2≠0，因此选项A错误； 对于选项B，设复数 z1=a+bi，其中 a,b∈R。则 |z1|2=a2+b2是一个实数而 =(a+bi)2=a2−b2+2abi一般是一个复数。两者并不恒等。例如，取 z1=i，|i|2=1，但 i2=−1，显然不相等，因此选项B错误； 对于选项C，对于任意复数 z1 和 z2，等式|z1·z2|=|z1|·|z2|成立。这是复数模的基本性质之一，因此选项C正确； 对于选项D，复数不能比较大小，因此“-1 < z1 < 1”没有意义，除非明确 z₁ 是实数。若 z1 是复数且 |z1| < 1，只能说明它在复平面上位于单位圆内部，但 z1不一定是实数，更不一定满足 -1 < z1 < 1。反例：取 z1 = 0.5i，|z1| = 0.5 < 1，但 z1不是实数，无法与 -1、1 比较大小，因此选项D错误； 故选：C. 13. 在复平面内，复数z=(-2+i)(-i)对应的点在（ ） A．第一象限 B. 第二象限 C． x轴上 D. y轴上 【答案】A 【分析】本题主要考查复数的几何意义及运算。 【详解】复数 z=(−2+i)(−i)计算如下：z=(−2)(−i)+i(−i)=2i−i2=2i−(−1)=1+2i.其实部为 1，虚部为 2，在复平面内对应点的坐标为 (1,2)，位于第一象限，所以选项A正确。 故选：A. 14. 若复数z=(x2-1)+(x-1)i是纯虚数，则实数x的值为（ ） A． ±1 B. 1 C．-1 D. 0 【答案】C 【分析】本题考察的是复数的概念和分类。 【详解】要使复数 z=(x2−1)+(x−1)i为纯虚数，必须满足实部为零且虚部不为零： ,解 x2−1=0得 x=1或 x=−1。再由 x−1≠0排除 x=1，所以 x=−1。因此，实数 x 的值为 −1，所以选项C正确。 故选：C. 15. 若复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i=0，则实数m=（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【答案】B 【分析】本题考查的是复数的运算。 【详解】复数等于0的条件是实部和虚部同时为0。即：，解第一个方程：m2−5m+6=0，因式分解得 (m−2)(m−3)=0，所以 m=2或 m=3。解第二个方程：m2−3m=0，即 m(m−3)=0，所以 m=0 或 m=3。两个方程的公共解为 m=3。当 m=3时，实部 9−15+6=0，虚部 9−9=0，符合条件。因此，实数 m=3，所以选项 B正确。 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知复数z1=1-2i,z2=-2+4i（其中i为虚数单位），则z1+z2=______。 【答案】−1+2i 【分析】本题主要考查复数的加法法则。 【详解】根据复数加法法则，实部与实部相加，虚部与虚部相加：z1+z2=(1−2i)+(−2+4i)=(1−2)+(−2i+4i)=−1+2i.因此，z1+z2=−1+2i。 17. 已知复数z=(6-8i)(2-i)，则z的虚部为______。 【答案】−22 【分析】本题主要考查复数的运算。 【详解】计算： z=(6−8i)(2−i)=6×2+6×(−i)+(−8i)×2+(−8i)×(−i)=12−6i−16i+8i2.由于 i2=−1，则 8i2=−8，代入得：z=12−8−6i−16i=4−22i.因此，z=4−22i，虚部为 −22。 18.已知复数z=m+i(m∈R)，且|z|=，则m=______。 【答案】m=4 或 m=−4 【分析】本题主要考察复数的模计算。 【详解】复数 z=m+i，且 ∣z∣=17。由模的定义：∣z∣=m2+1.因此，m2+1=17.两边平方得： m2+1=17  ，即 m2=16  ⇒m=±4.故 m=4 或 m=−4。 19. 方程2x2-6x+5=0的解是x=______。 【答案】 【分析】本题主要考查根据一元二次方程求解复数解。 【详解】对于方程 2x2−6x+5=0，使用求根公式：x=====.因此，解为 x=。 20.若2x+yi-(y-4i)=3-5i(x,y∈R)，则x+y=______。 【答案】-12 【分析】本题主要考查复数的运算。 【详解】方程 2x+yi−(y−4i)=3−5i化简为：2x−y+(y+4)i=3−5i.根据复数相等，实部与虚部分别相等：,由虚部方程得 y=−9，代入实部方程： 2x−(−9)=3  ⇒2x+9=3  ⇒ 2x=−6  ⇒ x=−3.因此，x+y=−3+(−9)=−12。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．计算：(1) (6-5i)(3-2i); (2) i(3-2i). 【答案】(1) 8−27i；(2)2+3i. 【分析】本题主要考查复数的乘法运算。 【详解】(1) (6−5i)(3−2i)=6×3-6·2i-3·5i+5i·2i=18-12i-15i+10i2=8−27i； (2) i(3−2i)=3i-i·2i=3i-2i2=2+3i. 22．若复数(3-i)m-(1+i)对应的点在第三象限内，求实数m的取值范围. 【答案】 (−1,) 【分析】本题考查的是复数的几何意义、复数的代数表示、复平面、象限的条件、解不等式组。 【详解】复数 z=(3−i)m−(1+i)可化简为：z=(3m−1)+(−m−1)i.其对应复平面上的点坐标为 (3m−1,−m−1)。由于该点在第三象限，故实部与虚部均小于0： ，解得：，因此，实数 m的取值范围为 (−1,)。 23． 设复数z=a+i（a为正实数，i为虚数单位），|z|=. (1) 求复数z; (2) 计算：z·(z+1). 【答案】（1）z=1+i；（2）z·(z+1)=1+3i. 【分析】本题主要考查复数的模、复数的代数运算、复数的几何意义。 【详解】已知复数 z=a+i（a>0），且 ∣z∣=。 （1）由复数模的定义：∣z∣===.两边平方得：a2+1=2⇒a2=1. 由于 a>0，解得 a=1，因此：z=1+i. （2）计算 z·(z+1)，首先计算：z+1=(1+i)+1=2+i. 相乘：z·(z+1)=(1+i)(2+i)=1·2+1·i+i·2+i·i=2+i+2i+i2.因为 i2=−1，所以： 2+3i−1=1+3i.因此，z·(z+1)=1+3i. 24．若1-i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根，求p·q. 【答案】-4 【分析】本题考察的是实系数一元二次方程虚根成对定理,实系数一元二次方程若有虚根，则虚根必成对出现，且互为共轭复数，韦达定理（根与系数的关系）及复数的基本运算。 【详解】已知 1−i是实系数一元二次方程 x2+px+q=0的一个根，根据实系数方程虚根成对的性质，另一根为 1+i。由韦达定理：两根之和 (1−i)+(1+i)=2=−p，解得 p=−2。两根之积 (1−i)(1+i)=1−i2=1+1=2=q，即 q=2。因此，p·q=(−2)×2=−4。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $