【江苏专用】45分钟综合训练卷（4）（高教版）-2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 综合训练卷（4） 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块上册》（高教版）教材1～5章。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义，分析求解即可. 【详解】，因为底数， 所以函数在定义域上单调递减，所以， 所以当时，恒成立，即充分性成立； 但当，即时，不一定有，即必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．设（为虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由复数的运算求出，再求复数的模即可. 【详解】由，所以， 由，可得， 所以. 故选：A. 3．已知m，n，l是直线，α，β是平面，，，，，，则直线m与n的位置关系是（ ） A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 【答案】C 【分析】根据题意结合面面垂直的性质即可得解. 【详解】因为，，，，所以， 又因为，所以， 故选：C. 4．过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解. 【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点； 当斜率存在时，设直线为， 联立，得①. 当，即时，①式只有一个解； 当时，则，解得； 综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条， 故选：. 5．正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出图像，结合正方体的性质及线面平行的判定即可得解. 【详解】 如图，连接，过点作交于，因为是的中点，所以是的中点， 由正方体的性质易得，所以，因为平面，平面， 所以平面， 此时是的中点，故， 故选：. 6．在平行四边形中，已知点的坐标为，向量，则顶点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合平面向量的坐标表示，即可得解. 【详解】平行四边形中，已知点的坐标为，向量， 设，则， 因为平行四边形中，， 所以， 则，解得， 所以， 故选：. 7．已知△的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】设椭圆的另外一个焦点为， 由椭圆方程知：， ∵，， ∴， ∴△的周长为. 故选：D. 8．倾斜角为45°的直线经过点，且与抛物线：交于，两点，若为的焦点，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】首先求出直线方程，再联立两方程，根据韦达定理以及焦半径公式求解即可. 【详解】因为倾斜角为45°的直线经过点，所以直线的斜率为， 则直线的方程为， 抛物线：的准线方程为， 设，所以由焦半径公式得：， 所以联立方程得，， ， ，所以． 故选：C. 9.双曲线的渐近线方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程，求得a和b的值，继而求解. 【详解】因为双曲线， 所以，且焦点在x轴上， 所以，，所以双曲线渐近线方程为. 故选：B 10椭圆上一点P满足，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论和的情况，由椭圆方程得到，结合椭圆方程，得到，再由得到，即可解得. 【详解】因为椭圆， 若，则，，则， 所以，即， 即， 所以离心率； 若，则，所以， 因为，所以不符合题意，故排除此情况， 综上，椭圆的离心率为. 故选：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．已知为单位向量，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的模以及向量运算求解即可. 【详解】由题意，， 所以，从而， 故，所以． 故答案为：. 12．已知向量，且，则 . 【答案】 【分析】由题意，先求得的坐标，再利用向量相等求解. 【详解】因为， 所以， 又因为，所以， 所以． 故答案为：. 13．若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的2倍，则等于 ． 【答案】3 【分析】根据抛物线的定义以及性质求解即可. 【详解】因为点到其焦点的距离是到轴距离的2倍，所以，解得. 即，代入，得，结合，解得． 故答案为：3. 14．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且，点为侧棱的中点，则与平面所成角的正切值为 ． 【答案】 【分析】先证明平面，即可证为平面的垂线，即可证为线面角，利用边的关系即可求解正切值. 【详解】连接，如图所述， 因为平面，平面，`所以， 又因为底面是正方形，所以， 又，平面， 所以平面， 所以是与平面所成角， 因为平面，平面， 所以， 在直角中，，则， 又为侧棱的中点， 所以，且， 所以， 因为平面， 又平面，所以， 所以在直角中，， 所以与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知平行四边形，，，，求： (1)点D的坐标 (2)若向量，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由向量的坐标表示得出，再由列方程求解即可. （2）由向量的坐标表示得出，，，再代入列方程求解即可. 【详解】（1）令，且，，， 则，， 由为平行四边形，可得，即， 所以，解得 所以点D的坐标为. （2）由（1）可知，， ，，， 由， 得， 即， 所以，解得. 16．已知抛物线的准线方程为． (1)求p的值； (2)直线交抛物线于两点，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由抛物线的准线方程可得，即可解得的值； （2）根据的值，求得抛物线的标准方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，利用弦长公式计算，即可求解． 【详解】（1）因为抛物线的准线方程为， 即， 所以； （2）由（1）知，， 所以抛物线方程为， 设，， 所以， 消元整理得， 所以，， 所以. 故，故与平面所成的角为. 17．已知复数的对应点为，且满足 (1)判断点的轨迹； (2)求的最大值和最小值； (3)求点到直线的最大距离和最小距离. 【答案】(1)点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. (2)最大值为，最小值为 (3)最大距离为，最小距离为 【分析】（1）根据题意，结合复数模的计算，即可求解； （2）根据题意，结合复数的几何意义及点与圆的位置关系，利用两点之间的距离，即可求解； （3）根据题意，结合直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）由题意，设， 又复数的对应点满足， 所以 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. （2）设圆的圆心为,则，半径， 所以, 所以，， 即的最大值为，最小值为； （3）设圆心到直线的距离为， 则， 所以到直线的最大距离为，最小距离为. 18．已知抛物线的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，且准线方程是， (1)求抛物线的标准方程； (2)若点为抛物线上一点，已知点到抛物线焦点的距离为5，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由准线方程是，设抛物线的方程为，列出式子解得，进而得到抛物线的方程； （2）运用抛物线的定义，可得点的横坐标，代入抛物线方程得到的坐标. 【详解】（1）因为抛物线的准线方程为， 所以设抛物线的方程为， 且，解得， 因此，抛物线的标准方程为 . （2）设，则有， 由抛物线的定义，点到准线的距离与点到焦点的距离相等，可得 ， 解得， 将代入，解得， 所以，或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 综合训练卷（4） 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块上册》（高教版）教材1～5章。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设（为虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D． 3．已知m，n，l是直线，α，β是平面，，，，，，则直线m与n的位置关系是（ ） A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 4．过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（    ） A．1 B． C． D． 6．在平行四边形中，已知点的坐标为，向量，则顶点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 7．已知△的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（    ） A． B． C． D． 8．倾斜角为45°的直线经过点，且与抛物线：交于，两点，若为的焦点，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 9.双曲线的渐近线方程为（   ）． A． B． C． D． 10椭圆上一点P满足，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．已知为单位向量，，则 ． 12．已知向量，且，则 . 13．若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的2倍，则等于 ． 14．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且，点为侧棱的中点，则与平面所成角的正切值为 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知平行四边形，，，，求： (1)点D的坐标 (2)若向量，求的值 16．已知抛物线的准线方程为． (1)求p的值； (2)直线交抛物线于两点，求弦长． 17．已知复数的对应点为，且满足 (1)判断点的轨迹； (2)求的最大值和最小值； (3)求点到直线的最大距离和最小距离. 18．已知抛物线的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，且准线方程是， (1)求抛物线的标准方程； (2)若点为抛物线上一点，已知点到抛物线焦点的距离为5，求点的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $