专题02 小数除法（必备知识+十六大题型+分层训练）（期末复习讲义）五年级数学上学期人教版

该小学数学“小数除法”期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点结构化呈现计算方法、算理及易错点拨，构建“概念-算理-应用”递进知识脉络，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如“进一法”解决装油问题、小数点移动和差倍问题等实例，培养运算能力与应用意识。配套基础、重难、综合练习，易错点拨精准突破，助力教师分层教学，支持学生自主复习提升。

专题02 小数除法（期末复习讲义） 【原卷版】 核心考点 复习目标 考情规律 小数除法的计算： 掌握小数除以整数和除数是小数的除法计算方法，理解算理，注意商的小数点位置及被除数位数不够时用0补足。 透彻理解算理，熟练运用方法准确计算小数除法，正确处理小数点和补0问题。 以填空、选择和计算题型为主，是基础考点，常结合具体数字考查。 商的近似数： 理解准确数与近似数概念，掌握用“四舍五入”法求商的近似数，注意末尾“0”不能去掉。 清晰区分准确数与近似数，熟练运用“四舍五入”法求商近似数，重视末尾“0”。 多以填空、计算形式出现，结合实际问题考查取近似数的应用。 循环小数： 理解循环小数的定义，掌握其表示方法，能区分有限小数和无限小数。 确理解循环小数概念和表示法，清晰区分有限与无限小数。 以填空、判断形式考查，重点考查对概念的理解。 除法中的变化规律： 掌握商不变性质，以及除数、被除数变化对商的影响。 记变化规律，能运用规律简便计算和解决相关问题。 常出现在填空、选择和简便计算中，考查对规律的应用。 小数除法的实际应用： 运用小数除法解决归一问题、根据实际情况用进一法或去尾法取商的近似值等实际问题。 学会分析实际问题中的数量关系，正确运用方法解决问题，合理取近似值。 是重点考察内容，以解答题为主，结合生活场景考查知识运用能力。 知识点01：小数除法计算 1、除数是整数的小数除法 （1）计算方法：按照整数除法的法则计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部分不够除，商的整数部分写“0”，点上小数点后继续除；若除到被除数末尾仍有余数，在余数末尾添“0”继续除。 （2）算理本质：将被除数看成“几个十分之一”“几个百分之一”，转化为整数除法。 【易错点拨】 （1）商的小数点对齐是关键：避免将商的小数点与除数的小数点对齐。 （2）整数部分不够除需写“0”。 （3）余数添“0”继续除，不能漏添“0”导致商不完整。 2、一个数除以小数 （1）计算方法：看除数有几位小数，就把除数的小数点向右移动几位，使除数变成整数；同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（若被除数位数不足，用“0”补足）；按“除数是整数的小数除法”计算。 （2）算理依据：商不变的性质——被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。 【易错点拨】 （1）除数和被除数的小数点移动位数必须相同。 （2）被除数位数不足用“0”补。 知识点02：商的近似数 求近似数的方法：根据题目要求的“保留位数”，除到比保留位数多一位，再用“四舍五入法”取近似值。 【易错点拨】 （1）除到“多一位”是前提：若要求保留一位小数，需除到小数点后第二位；保留两位小数，除到第三位，不能提前停止计算。 （2）“四舍五入”规则要牢记：看“保留位数的下一位”，小于5舍去，大于或等于5进1。 （3）近似数用“≈”连接。 （4）结合实际确定保留位数。 知识点03：循环小数 1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2、循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3、有限小数：小数部分的位数有限的小数； 无限小数：小数部分的位数无限的小数。 4、循环小数一定是无限小数。 【易错点拨】 （1）只有“依次不断重复”的数字才是循环节。 （2）循环节标记要准确：若循环节是多个数字，需在首位和末位各点一个点；若循环节是单个数字，在该数字上点一个点即可。 （3）循环小数的近似值：取循环小数的近似数时需除到比保留位数多一位，再用四舍五入法。 知识点04：解决问题 1、用 “进一法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分不够1，也要向整数部分进1，确保“所有物品都能被容纳或完成任务”。 （2）适用场景：装东西（如装水、装粮食）、运输货物、分配容器等“必须将物品全部装完或运完”的场景。 【易错点拨】 （1）明确“进一”的必要性：只有当“剩余部分也需要1个单位”时才用进一法，不能随意使用。 （2）结果必须是整数：进一法的结果是比精确商大的最小整数。 （3）避免与“四舍五入”混淆。 2、用 “去尾法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分接近1，也要舍去小数部分，只保留整数部分，确保 “物品数量为完整的个体”。 （2）适用场景：做衣服、裁布料、做蛋糕、剪绳子等“需要完整个体，剩余材料不够做1个” 的场景。 【易错点拨】 （1）明确“去尾”的合理性：只有当“剩余部分不够做1个完整个体”时才用去尾法，不能盲目舍去。 （2）结果必须是整数：去尾法的结果是比精确商小的最大整数。 （3）与“进一法”的场景区分：装东西用进一法（需全部装完），做东西用去尾法（需完整个体），避免混淆（如“用瓶子装水”用进一法，“用布做衣服”用去尾法）。 题型一 除数是整数的小数除法计算与应用 【例1】（24-25五年级上·河北邢台·期末）在一次扑灭山林毛虫的行动中，一架飞机每分钟飞行1000米，喷洒农药的宽度为150米。 （1）如果这架飞机飞行1小时，能给多少平方千米的山林喷洒农药？ （2）若给面积1350公顷的山林喷洒农药，飞机至少需要飞行多少小时？ 【变式】（24-25五年级上·湖北随州·期末）根据65×39＝2535，可知：6.5×3.9＝( )，25.35÷39＝( )。 题型二 与小数点移动相关的和差倍问题 【例2】（21-22五年级上·江西南昌·期末）把一个一位小数的小数点去掉，得到的数比原来大70.2，原小数是( )。 【变式】（23-24五年级上·江西吉安·期末）把一个小数的小数点向右移动一位，得到一个新数，新数与原数相差44.55，原数是( )。 题型三 除数是小数的小数除法计算与应用 【例3】（24-25五年级上·广东广州·期末）下列算式中，如果☆是不为0的自然数，得数最大的是（    ）。 A．☆÷0.5 B．☆÷1.5 C．☆×0.9 D．☆×1.1 【变式】（24-25五年级上·湖南湘西·期末）“低碳生活”是指人们在生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）排放量的一种生活方式。 碳排量计算公式 自来水二氧化碳排放量（kg）＝使用量（吨）×0.91 私家车二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（升）×2.7 （1）乐乐一家一月份开私家车的二氧化碳排放量是216千克，他家这个月开私家车耗油多少？ （2）乐乐家一月份用自来水15吨，他家这个月用水的二氧化碳排放量为多少千克？ （3）为了鼓励人们节约用水，古丈县人民政府采取了按月分段计费的方法收取水费，12吨以内的（含12吨）每吨3.15元，超过12吨的部分，每吨4.25元，乐乐一家一月份应缴纳水费多少钱？ 题型四 被除数和商的大小关系（小数除法） 【例4】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 35.6×1.5( )35.6   2.64÷0.1( )2.64×0.1  87.4÷2.3( )8.74÷0.23 【变式】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）要使“”的积大于0.85，“”中最小填( )，要使“”的商大于0.85，“”只能填( )。 题型五 小数的连除运算 【例5】（2025五年级上·广东·专题练习）用你喜欢的方法计算。 32÷0.4÷2.5       （5.6－2.8）÷1.4         0.72×43＋0.72×57 【变式】（24-25五年级上·广西河池·期末）灵活计算下面各题。 （3.6＋0.81）÷0.9       43.6÷0.25÷4        4.8×0.9＋0.48 题型六 小数的乘、除法混合运算 【例6】（24-25五年级上·云南昭通·期末）脱式计算，能简算的要简算。                                  【变式】（24-25五年级上·青海果洛·期末）再生纸是以废纸为原料，经过多种工序加工生产出来的纸张，被誉为低能耗、轻污染的环保型用纸。已知4千克的废纸可生产3.2千克再生纸，那么15.2千克的废纸可生产多少千克再生纸？下面列式错误的是（    ）。 A．3.2÷4×15.2 B．15.2÷4×3.2 C．15.2÷（4÷3.2） D．4×3.2×15.2 题型七 小数的四则运算及法则 【例7】（24-25五年级上·广东广州·期末）下面各题，怎样简便就怎样计算。 12.5×2.7×0.8    12.8－4.2÷2 【变式】（24-25五年级上·重庆长寿·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 0.8×3×1.25                  2.8×2.9＋2.1×2.8 3.5÷0.25÷4                  15.3÷[2×（2.14＋0.41）] 题型八 小数除法相关的简便计算 【例8】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）脱式计算。（能简算的要简算） （1） （2.6＋4.2÷0.15）×0.01    （2）（6.71＋6.71＋6.71＋6.71）×2.5 （3）48÷12.5÷0.8        （4）9.3×43＋5.7×93 【变式】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                            题型九 用“四舍五入”法求商的近似数 【例9】（24-25五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）竖式计算，带☆的要验算。 7.85×3.4＝       3.26÷0.16≈（得数保留一位小数）        ☆2.04÷24＝ 【变式】（24-25五年级上·重庆合川·期末）小明去超市买食用油，他发现同一种玉米油有A、B两种不同的规格，而且都在开展促销活动。（如下图）小明认为买A规格的玉米油更划算，你同意吗？说说你的观点。 A．3升/桶，原价49.8元/桶，现价42.9元/桶。 B．5升/桶，每桶72元，买1桶，送1瓶0.5升相同的油。 题型十 判定被除数的最大值和最小值 【例10】（22-23五年级上·陕西汉中·期末）一个数除以4.7的商是三位小数，商保留两位小数后约是2.13。这个数最大是多少？最小呢？ 【变式】（21-22五年级上·重庆彭水·期末）算式□÷0.7的商是两位小数，四舍五入保留一位小数是0.3，被除数最小是0.175。( )（判断对错） 题型十一 循环小数 【例11】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）列竖式计算。       （得数保留两位小数）   （商用循环小数表示） 【变式】24-25五年级上·河北石家庄·期末）在0.502，，和0.231中，最小的数是( )，最大的数是( )。 题型十二 用归纳法解决计算器探索规律问题 【例12】（23-24五年级上·江西赣州·期末）根据计算结果的规律填空。 1.23×9＋0.04＝11.11 12.34×9＋0.05＝111.11 123.45×9＋0.06＝1111.11 ( )×9＋0.07＝( )。 【变式】先找出规律，再按规律选择答案。 9.25925×12＝111.111                   9.25925×24＝222.222 9.25925×36＝333.333                   9.25925×84＝（    ）。 A．666.666 B．777.777 C．888.888 题型十三 用“进一法”解决问题 【例13】（2025五年级上·广东·专题练习）妈妈要将2.8千克蜂蜜分装在如图的玻璃瓶，至少需要( )个这样的玻璃瓶才能全部装完。 【变式】（23-24五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）科学课上，为了制作火山爆发的模型，同学们准备了小苏打、面粉、红墨水和水的浆状混合物6.6千克，将它倒进小瓶子里，每个瓶子最多可装0.5千克，需要多少个这样的瓶子？ 题型十四 用“去尾法”解决问题 【例14】（24-25五年级上·广东中山·期末）王师傅制作一种蛋糕，每个需要0.36千克面粉。4.5千克面粉最多可以做多少个这样的蛋糕？ 【变式】（24-25五年级上·广西百色·期末）青少年活动中心要订做一批演出服装，上装用布0.9米，裤子用布0.8米，现有200米布，最多可以做多少套？ 题型十五 利用小数四则混合运算解决问题 【例15】（24-25五年级上·广西南宁·期末）代驾是指当车主不能自行开车时，由专业驾驶人员代替车主驾驶汽车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表。 时段 8千米及以内 超过8千米的部分 备注 6：00—21：59 35元 3.5元/千米 行程不足1千米，按1千米计算 22：00—次日6：59 58元 4.5元/千米 叔叔参加聚会22：30结束时，在该平台预约了代驾服务。到达目的地后，他付了89.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【变式】（23-24五年级上·重庆·期中）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施。某通信公司某年推出5G套餐如下。 每月128元套餐 国内流量50GB；国内通话800分钟 超出部分资费 国内流量5元/GB，满15元后的按2.8元/GB； 国内通话0.15元/分钟 （1）王老师办理了每月128元的5G套餐。7月份他用手机上网共用国内流量45GB，拨打国内电话880分钟。7月份王老师的手机话费是多少元？ （2）8月份，王老师的话费是150元。这个月国内通话只有580分钟。请你算一算，王老师用了多少国内流量？ 题型十六 分段计费问题（小数除法) 【例16】（24-25五年级上·湖南长沙·期末）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术。中国某通信公司2024年推出5G套餐如表格。 5G套餐 每月128元套餐 国内流量50G；国内通话800分钟 超出部分资费 国内流量5元/GB；满15元后按2.8元/GB；国内通话0.15元/分钟 （1）王老师办理了每月128元的5G套餐。7月份他用手机上网共用国内流量45GB。拨打国内电话880分钟。7月份王老师的手机话费是多少元？ （2）8月份，王老师的话费是150元。这个月国内通话只有580分钟。请你算一算，王老师用了多少国内流量？ 【变式】（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）水是生命之源，节约用水，人人有责！武冈市人民政府为了鼓励居民节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费：每户每月用水不超过15吨时（含15吨），每吨2.1元；每月用水超过15吨时，超过部分按每吨3.15元收费。 （1）已知小红家10月用水18吨，她家需要支付水费多少元？ （2）李丽家10月共支付水费56.7元，她家10月用水多少吨？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·福建漳州·期末）一个油桶可以装2.5kg花生油，爷爷要把21.5kg的花生油装在这样的油桶里，需要准备（    ）个油桶。 A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25五年级上·广东广州·期末）下列算式中与6.6÷0.3结果相等的是（    ）。 A．6.6÷0.03 B．66÷0.03 C．66÷3 D．6.6÷3 3．（24-25五年级上·广东广州·期末）某视频App开通VIP会员服务的收费标准如图所示。现在开通年度VIP，相当于平均每月支付（    ）元。 A．186 B．50 C．30 D．15.5 4．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）一块长方形菜地面积是43.2平方米，它的长是4.5米，宽是( )米。 5．（24-25五年级上·河北唐山·期末）在括号里填上“＝”“＜”或“＞” 32.5×10( )3.250.1     1.99( )1.990.99 6．（24-25五年级上·新疆哈密·期末）32.8÷0.25×4＝32.8÷（0.25×4）。( )（判断对错） 7．（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）0.378537853785是一个循环小数。( )（判断对错） 8．（24-25五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 4×1.53×0.25  1.01＋9×1.01     1.05÷0.7＋18.9 9．（24-25五年级上·广东广州·期末）一种枸杞红枣茶每袋有枸杞6.8克，红枣23克，冰糖少许。现在有足够多的红枣和冰糖，有100克枸杞，最多能搭配出多少袋这样的枸杞红枣茶？ 10．（24-25五年级上·河南三门峡·期末）近年来，金砖国家携手开展绿色能源合作。由中国国家电网巴西电力股份公司建设的风电项目每年能供应约3.6亿千瓦时清洁电力，相当于节约标准煤12.96万吨，减少二氧化碳排放35.9万吨。照这样计算，该风电项目3年可以减少二氧化碳排放多少万吨？如果A城市每个月居民用电量为0.45亿千瓦时，该风电项目每年提供的清洁电力可供A城市居民用电几个月？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·江西赣州·期末）从汉字主题文化公园到金凤梅园，乘公交车需要1小时4分钟，骑车需要22分钟。乘公交车所用时间是骑车的（    ）倍。（得数保留两位小数） A．2.90 B．2.91 C．3.00 2．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）每个空瓶可装油1.5千克，把25千克油分装到瓶子中，至少需要这样的瓶子（    ）个。 A．16 B．17 C．18 D．除不尽无法计算 3．（24-25五年级上·广东广州·期末）下面各题中，算式（    ）的商小于1。 A．46.5÷45 B．0.64÷26 C．4.05÷0.6 D．0.65÷0.6 4．（24-25五年级上·江西赣州·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 1.56÷0.99( )1.56        5.72÷1.1( )5.72 2.8×0.86( )2.8          1.76×0.8( )1.76÷0.8 5．（24-25五年级上·云南昭通·期末）一种花布每米的售价是25.4元，买1.8米，40元钱够吗？下面是四名同学的解题思路，他们的思路正确吗？请你判断对错。 聪聪：（元） 40元元，所以不够( ) 明明：（元） 40元＜45元，所以不够( ) 乐乐：（米） 1.6米＜1.8米，所以不够( ) 琪琪：（元） 20元元，所以不够( ) 6．（24-25五年级上·重庆合川·期末）如果a表示一个数，且a÷0.14＝6，那么（a×100）÷（0.14×100）＝600。( )（判断对错） 7．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）循环小数大于有限小数。( )（判断对错） 8．（24-25五年级上·江西赣州·期末）怎样简便就怎样计算。 12.5×0.4×8      24÷0.25÷4       2.8×5.6＋4.4×2.8 9． （24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）列竖式计算 6.52×16＝ 57.6÷0.36＝        63.5÷2.54＝          7.95×3.2＝ 10．（24-25五年级上·重庆长寿·期末）某市倡导“垃圾分类新时尚”理念，引导市民参与生活垃圾分类。如图是一个智能垃圾回收机。 智能垃圾分类回收标准 纸类 纺织类 金属类 塑料类 0.6元/千克 0.5元/千克 1.6元/千克 0.8元/千克 小明奶奶往回收机里投递了3千克废纸和一些旧衣物（纺织类），共得到了6.7元，小明奶奶投了多少千克旧衣服？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25五年级上·河北保定·期末）小马虎在计算一道小数除法题时，错把除数1.34看成了13.4，结果商是0.46，正确的商应该是（    ）。 A．4.6 B．6.164 C．0.046 D．61.64 2．（24-25五年级上·山西阳泉·期末）下面的算式还没有算完，根据算式，正确的商是（    ）。 A． B． C． 3．（24-25五年级上·西藏林芝·期末）一个数的小数点向左移动一位，得到的新数比原来少了226.8。原数是( ) 4．（24-25五年级上·河南新乡·期末）莹莹在一本《趣味数学》中发现了一个有趣的规律，你也来尝试找一找这个规律。根据规律，写出后面两题的结果。 21÷7＝3    22.11÷6.7＝3.3    222.111÷66.7＝3.33 2222.1111÷666.7＝( )。 6666.7×3.3333＝( )。 5．（24-25五年级上·陕西宝鸡·期末）用简便方法表示的商是( )，保留两位小数约是( )。 6．（23-24六年级下·河南南阳·期末）广场的大摆钟每到几整时就会响几下，已知摆钟5时整响了5下花了10秒，当摆钟10时整时，响完10下需要20秒。( )（判断对错） 7．（23-24五年级上·四川达州·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 0.125×32×25      54÷（3.94 ＋6.86）×0.8     22.2×18.4＋44.4×11.2－88.8×0.2 （2＋3.15＋5.87）×（3.15＋5.87＋7.32）—（2＋3.15＋5.87＋7.32）×（3.15＋5.87） 8．（24-25五年级上·重庆万州·期末）牌楼长江大桥（原名万州长江三桥）采用欧式风格，蕴含了西山钟楼古韵味的钻石塔型，同时还体现了中国元素在现代桥梁景观设计中的创新运用，是万州的地标建筑之一。桥梁全长约2.12千米，比万安大桥全长的2倍还多0.28千米，总投资约19.46亿元。桥梁两边的主塔上分别安装88根斜拉索，每根斜拉索里装有121至253根7毫米粗的平行钢丝，全桥所有钢丝加起来可达798万千米，大约可绕地球赤道200圈。小林和小丁分别从牌楼长江大桥的南北两端同时出发相向而行，10分钟后相遇，小林比小丁每分钟少走32米。相遇后他们一起去樱花渡公园坐双人碰碰车一共花了8.5元钱，价格表如下表。 双人碰碰车收费标准： ★1小时及以内收费2.5元。 ★超过1小时的部分，每0.5小时1.5元。（不足0.5小时，按0.5小时计算） （1）万安大桥全长多少米？ （2）地球赤道一圈大约有多少万千米？（得数保留整数） （3）小林和小丁的速度分别是多少米？ （4）如果和小林相遇后小丁继续走，他想在5分钟内走完剩下的路程，小丁每分钟要多走多少米？ （5）小林和小丁在樱花渡公园坐碰碰车坐了多长时间？ 9．（23-24五年级上·福建福州·期末）节约用水，利在当代，功在千秋。为鼓励居民节约用水，福清市某自来水公司采取按月分段计费的方法收取水费。具体标准如下表： 分段计费标准（不足1吨，按1吨收费） 分段 户月用水量（吨） 水费标准（元/吨） 第一档 1~30 2.7 第二档 31~60 3.6 第三档 61吨及以上 4.1 （1）小思家这个月用水65吨，应缴水费多少元？ （2）小维家这个月缴费135元，他家可能用了多少吨水？ 10．（23-24五年级上·湖南长沙·期末）代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表： 行驶里程 7千米及以内 超过7千米的部分 7：00－－21：59 45元 每千米3.5元 22：00－－次日6：59 68元 每千米4.5元 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 （1）王阿姨在公司工作到21：00，感觉很累，于是她在该平台预约了代驾服务回家。从公司到家共行驶了13.5千米，需要支付多少元代驾费？ （2）李叔叔在饭店参加聚会，22：30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务。服务结束后李叔叔支付了117.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 小数除法（期末复习讲义） 【解析版】 核心考点 复习目标 考情规律 小数除法的计算： 掌握小数除以整数和除数是小数的除法计算方法，理解算理，注意商的小数点位置及被除数位数不够时用0补足。 透彻理解算理，熟练运用方法准确计算小数除法，正确处理小数点和补0问题。 以填空、选择和计算题型为主，是基础考点，常结合具体数字考查。 商的近似数： 理解准确数与近似数概念，掌握用“四舍五入”法求商的近似数，注意末尾“0”不能去掉。 清晰区分准确数与近似数，熟练运用“四舍五入”法求商近似数，重视末尾“0”。 多以填空、计算形式出现，结合实际问题考查取近似数的应用。 循环小数： 理解循环小数的定义，掌握其表示方法，能区分有限小数和无限小数。 确理解循环小数概念和表示法，清晰区分有限与无限小数。 以填空、判断形式考查，重点考查对概念的理解。 除法中的变化规律： 掌握商不变性质，以及除数、被除数变化对商的影响。 记变化规律，能运用规律简便计算和解决相关问题。 常出现在填空、选择和简便计算中，考查对规律的应用。 小数除法的实际应用： 运用小数除法解决归一问题、根据实际情况用进一法或去尾法取商的近似值等实际问题。 学会分析实际问题中的数量关系，正确运用方法解决问题，合理取近似值。 是重点考察内容，以解答题为主，结合生活场景考查知识运用能力。 知识点01：小数除法计算 1、除数是整数的小数除法 （1）计算方法：按照整数除法的法则计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部分不够除，商的整数部分写“0”，点上小数点后继续除；若除到被除数末尾仍有余数，在余数末尾添“0”继续除。 （2）算理本质：将被除数看成“几个十分之一”“几个百分之一”，转化为整数除法。 【易错点拨】 （1）商的小数点对齐是关键：避免将商的小数点与除数的小数点对齐。 （2）整数部分不够除需写“0”。 （3）余数添“0”继续除，不能漏添“0”导致商不完整。 2、一个数除以小数 （1）计算方法：看除数有几位小数，就把除数的小数点向右移动几位，使除数变成整数；同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（若被除数位数不足，用“0”补足）；按“除数是整数的小数除法”计算。 （2）算理依据：商不变的性质——被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。 【易错点拨】 （1）除数和被除数的小数点移动位数必须相同。 （2）被除数位数不足用“0”补。 知识点02：商的近似数 求近似数的方法：根据题目要求的“保留位数”，除到比保留位数多一位，再用“四舍五入法”取近似值。 【易错点拨】 （1）除到“多一位”是前提：若要求保留一位小数，需除到小数点后第二位；保留两位小数，除到第三位，不能提前停止计算。 （2）“四舍五入”规则要牢记：看“保留位数的下一位”，小于5舍去，大于或等于5进1。 （3）近似数用“≈”连接。 （4）结合实际确定保留位数。 知识点03：循环小数 1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2、循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3、有限小数：小数部分的位数有限的小数； 无限小数：小数部分的位数无限的小数。 4、循环小数一定是无限小数。 【易错点拨】 （1）只有“依次不断重复”的数字才是循环节。 （2）循环节标记要准确：若循环节是多个数字，需在首位和末位各点一个点；若循环节是单个数字，在该数字上点一个点即可。 （3）循环小数的近似值：取循环小数的近似数时需除到比保留位数多一位，再用四舍五入法。 知识点04：解决问题 1、用 “进一法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分不够1，也要向整数部分进1，确保“所有物品都能被容纳或完成任务”。 （2）适用场景：装东西（如装水、装粮食）、运输货物、分配容器等“必须将物品全部装完或运完”的场景。 【易错点拨】 （1）明确“进一”的必要性：只有当“剩余部分也需要1个单位”时才用进一法，不能随意使用。 （2）结果必须是整数：进一法的结果是比精确商大的最小整数。 （3）避免与“四舍五入”混淆。 2、用 “去尾法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分接近1，也要舍去小数部分，只保留整数部分，确保 “物品数量为完整的个体”。 （2）适用场景：做衣服、裁布料、做蛋糕、剪绳子等“需要完整个体，剩余材料不够做1个” 的场景。 【易错点拨】 （1）明确“去尾”的合理性：只有当“剩余部分不够做1个完整个体”时才用去尾法，不能盲目舍去。 （2）结果必须是整数：去尾法的结果是比精确商小的最大整数。 （3）与“进一法”的场景区分：装东西用进一法（需全部装完），做东西用去尾法（需完整个体），避免混淆（如“用瓶子装水”用进一法，“用布做衣服”用去尾法）。 题型一 除数是整数的小数除法计算与应用 【例1】（24-25五年级上·河北邢台·期末）在一次扑灭山林毛虫的行动中，一架飞机每分钟飞行1000米，喷洒农药的宽度为150米。 （1）如果这架飞机飞行1小时，能给多少平方千米的山林喷洒农药？ （2）若给面积1350公顷的山林喷洒农药，飞机至少需要飞行多少小时？ 【答案】（1）9平方千米； （2）1.5时 【思路引导】对于第（1）题，先将1小时换算为60分钟，飞机1小时飞行的长度为1000×60＝60000米，结合150米的喷洒宽度，根据“长方形面积＝长×宽”，可得喷洒面积为60000×150＝9000000平方米；再依据“1平方千米＝1000000平方米”，换算后面积为9平方千米。  对于第（2）题，先把1350公顷换算为13.5平方千米（因1平方千米＝100公顷），已知飞机1小时可喷洒9平方千米，用总面积除以每小时喷洒面积，即13.5÷9＝1.5小时，得到所需飞行时间。 【规范解答】（1）1时＝60分     150米＝0.15千米     1000米＝1千米     1×0.15×60＝9（平方千米） 答：能给9平方千米的山林喷洒农药。 （2）1350公顷＝13.5平方千米    13.5÷9＝1.5（时） 答：飞机至少需要飞行1.5小时。 【变式】（24-25五年级上·湖北随州·期末）根据65×39＝2535，可知：6.5×3.9＝( )，25.35÷39＝( )。 【答案】 25.35 0.65 【思路引导】积的变化规律：一个因数（0除外）扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），另一个因数（0除外）不变，积就扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一）； 一个因数（0除外）扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），另一个因数（0除外）缩小到原来的几分之一（或扩大到原来的几倍），积不变； 商的变化规律：被除数（0除外）扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），除数（0除外）不变，商扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一）； 被除数（0除外）不变，除数（0除外）扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），商缩小到原来的几分之一（或扩大到原来的几倍），据此解答。 【规范解答】65×39＝2535，2535÷39＝65 65缩小为原来的变为6.5，39缩小为原来的变为3.9，积缩小为原来的。 2535÷100＝25.35，所以6.5×3.9＝25.35。 2535缩小为原来的变为25.25，39不变，商缩小为原来的。 65÷100＝0.65，所以25.35÷39＝0.65。 题型二 与小数点移动相关的和差倍问题 【例2】（21-22五年级上·江西南昌·期末）把一个一位小数的小数点去掉，得到的数比原来大70.2，原小数是( )。 【答案】7.8 【思路引导】把一个一位小数的小数点去掉，相当于小数点向右移动一位，扩大到原来的10倍，比原来大了（10－1）倍，比原来大的数÷比原来大的倍数＝原小数，据此列式计算。 【规范解答】70.2÷（10－1） ＝70.2÷9 ＝7.8 原小数是7.8。 【变式】（23-24五年级上·江西吉安·期末）把一个小数的小数点向右移动一位，得到一个新数，新数与原数相差44.55，原数是( )。 【答案】4.95 【思路引导】把一个数的小数点右移一位，即这个小数扩大到原来的10倍；将原来的数看做1份，现在的数是10份，相差10－1＝9份，相差了44.55；用44.55除以9即可求得1份的量，即原数；据此解答。 【规范解答】44.55÷（10－1） ＝44.55÷9 ＝4.95 即原数是4.95。 题型三 除数是小数的小数除法计算与应用 【例3】（24-25五年级上·广东广州·期末）下列算式中，如果☆是不为0的自然数，得数最大的是（    ）。 A．☆÷0.5 B．☆÷1.5 C．☆×0.9 D．☆×1.1 【答案】A 【思路引导】根据商的变化规律：一个非零数除以小于1的数，商大于这个数；一个非零数除以大于1的数，商小于这个数； 根据积的变化规律：一个非零数乘小于1的数，积小于这个数；一个非零数乘大于1的数，积大于这个数。 【规范解答】A．☆÷0.5，因为0.5＜1，所以☆÷0.5＞☆； B．☆÷1.5，因为1.5＞1，所以☆÷1.5＜☆； C．☆×0.9，因为0.9＜1，所以☆×0.9＜☆； D．☆×1.1，因为1.1＞1，所以☆×1.1＞☆； 接下来比较☆÷0.5与☆×1.1的大小： 假设☆＝1，所以☆÷0.5＝1÷0.5＝2，1×1.1＝1.1，2＞1.1，所以☆×2＞☆×1.1，即☆÷0.5＞☆×1.1。 综上，得数最大的是☆÷0.5。 故答案为：A 【变式】（24-25五年级上·湖南湘西·期末）“低碳生活”是指人们在生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）排放量的一种生活方式。 碳排量计算公式 自来水二氧化碳排放量（kg）＝使用量（吨）×0.91 私家车二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（升）×2.7 （1）乐乐一家一月份开私家车的二氧化碳排放量是216千克，他家这个月开私家车耗油多少？ （2）乐乐家一月份用自来水15吨，他家这个月用水的二氧化碳排放量为多少千克？ （3）为了鼓励人们节约用水，古丈县人民政府采取了按月分段计费的方法收取水费，12吨以内的（含12吨）每吨3.15元，超过12吨的部分，每吨4.25元，乐乐一家一月份应缴纳水费多少钱？ 【答案】（1）80升 （2）13.65千克 （3）50.55元 【思路引导】（1）根据碳排量计算公式可知，耗油量（升）等于私家车二氧化碳排放量÷2.7，又已知乐乐一家一月份开私家车的二氧化碳排放量是216千克，则216除以2.7，计算出结果即可求出他家这个月开私家车耗油多少升。 （2）根据碳排量计算公式可知，用乐乐家一月份用自来水的吨数乘0.91，计算出结果即可求出他家这个月用水的二氧化碳排放量为多少千克。 （3）已知12吨以内的（含12吨）每吨3.15元，则用乘法，先算出12吨水应缴纳水费的钱数；又已知超过12吨的部分，每吨4.25元，则用乐乐家一月份用自来水的吨数减去12，求出超出的部分，再乘4.25，即可求出乐乐家用自来水超出12吨的部分应缴纳水费的钱数，再把这两部分的钱数相加，即可求出乐乐一家一月份应缴纳水费多少钱。 【规范解答】（1）216÷2.7＝80（升） 答：他家这个月开私家车耗油80升。 （2）15×0.91＝13.65（千克） 答：他家这个月用水的二氧化碳排放量为13.65千克。 （3）12×3.15＋（15－12）×4.25 ＝12×3.15＋3×4.25 ＝37.8＋12.75 ＝50.55（元） 答：乐乐一家一月份应缴纳水费50.55元。 题型四 被除数和商的大小关系（小数除法） 【例4】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 35.6×1.5( )35.6   2.64÷0.1( )2.64×0.1  87.4÷2.3( )8.74÷0.23 【答案】 ＞ ＞ ＝ 【思路引导】一个数（0除外）乘一个大于1的数，积大于原数。据此解答第一空； 一个数（0除外）除以一个小于1的数，商大于原数；一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于原数。据此解答第二空； 被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。据此把8.74÷0.23的被除数和除数都乘10，再进行比较，据此解答第三空。 【规范解答】因为1.5＞1，所以35.6×1.5＞35.6 因为0.1＜1，所以2.64÷0.1＞2.64，2.64×0.1＜2.64，所以2.64÷0.1＞2.64×0.1 8.74÷0.23＝（8.74×10）÷（0.23×10）＝87.4÷2.3，所以87.4÷2.3＝8.74÷0.23 【变式】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）要使“”的积大于0.85，“”中最小填( )，要使“”的商大于0.85，“”只能填( )。 【答案】 1 0 【思路引导】根据因数和积的大小关系：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；根据被除数和商的大小关系：一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大；据此解答。 【规范解答】因为＞0.85，则＞1，所以“”中可以填1~9，最小填1； ＞0.85，则＜1，所以“”中填0。 要使“”的积大于0.85，“”中最小填1，要使“”的商大于0.85，“”只能填0。 题型五 小数的连除运算 【例5】（2025五年级上·广东·专题练习）用你喜欢的方法计算。 32÷0.4÷2.5       （5.6－2.8）÷1.4         0.72×43＋0.72×57 【答案】32；2；72 【思路引导】32÷0.4÷2.5，根据除法性质，原式化为：32÷（0.4×2.5），再进行计算。 （5.6－2.8）÷1.4，先计算括号里的减法，再计算括号外的除法。 0.72×43＋0.72×57，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：0.72×（43＋57），再进行计算。 【规范解答】32÷0.4÷2.5 ＝32÷（0.4×2.5） ＝32÷1 ＝32 （5.6－2.8）÷1.4 ＝2.8÷1.4 ＝2 0.72×43＋0.72×57 ＝0.72×（43＋57） ＝0.72×100 ＝72 【变式】（24-25五年级上·广西河池·期末）灵活计算下面各题。 （3.6＋0.81）÷0.9       43.6÷0.25÷4        4.8×0.9＋0.48 【答案】4.9；43.6；4.8 【思路引导】（1）按照四则混合运算的顺序，先计算括号里面的小数加法，再计算括号外面的小数除法； （2）利用除法性质a÷b÷c＝a÷（b×c）简便计算； （3）先把0.48改写成4.8×0.1，再利用乘法分配律的运算进行简便计算。 【规范解答】（1）（3.6＋0.81）÷0.9   ＝4.41÷0.9 ＝4.9 （2）43.6÷0.25÷4 ＝43.6÷（0.25×4） ＝43.6÷1 ＝43.6 （3）4.8×0.9＋0.48 ＝4.8×0.9＋4.8×0.1 ＝4.8×（0.9＋0.1） ＝4.8×1 ＝4.8 题型六 小数的乘、除法混合运算 【例6】（24-25五年级上·云南昭通·期末）脱式计算，能简算的要简算。                                  【答案】；；； ；； 【思路引导】（1）先把10.1转化为10＋0.1，再利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把原式化为简便计算； （2）先利用乘法交换律a×b＝b×a把原式化为，再利用乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把原式化为简便计算； （3）按照从左往右的顺序依次计算； （4）逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把原式化为简便计算； （5）利用除法性质a÷b÷c＝a÷（b×c）把原式化为简便计算； （6）按照四则混合运算的顺序，先计算小括号里面的小数减法，再计算中括号里面的小数乘法，最后计算括号外面的小数除法。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝0.1 （3） ＝ ＝90 （4） ＝ ＝ ＝170 （5） ＝ ＝ ＝0.037 （6） ＝ ＝ ＝0.3 【变式】（24-25五年级上·青海果洛·期末）再生纸是以废纸为原料，经过多种工序加工生产出来的纸张，被誉为低能耗、轻污染的环保型用纸。已知4千克的废纸可生产3.2千克再生纸，那么15.2千克的废纸可生产多少千克再生纸？下面列式错误的是（    ）。 A．3.2÷4×15.2 B．15.2÷4×3.2 C．15.2÷（4÷3.2） D．4×3.2×15.2 【答案】D 【思路引导】A．再生纸质量÷用的废纸质量＝每千克废纸可生产的再生纸质量，每千克废纸可生产的再生纸质量×废纸质量＝相应废纸可生产的再生纸质量； B．先求出废纸质量包含几个4千克，就可以生产几个3.2千克的再生纸； C．废纸质量÷生产的再生纸质量＝每千克再生纸需要的废纸质量，废纸质量÷每千克再生纸需要的废纸质量＝相应废纸可生产的再生纸质量； D．废纸质量×再生纸质量×废纸质量，算式无意义。 【规范解答】A．3.2÷4×15.2 ＝0.8×15.2 ＝12.16（千克） 15.2千克的废纸可生产12.16千克再生纸。 先归一，求出每千克废纸可生产的再生纸质量，再求相应废纸可生产的再生纸质量； B．15.2÷4×3.2 ＝3.8×3.2 ＝12.16（千克） 15.2千克的废纸可生产12.16千克再生纸。 先求出废纸质量包含几个4千克，再求相应废纸可生产的再生纸质量； C．15.2÷（4÷3.2） ＝15.2÷1.25 ＝12.16（千克） 15.2千克的废纸可生产12.16千克再生纸。 先归一，求出每千克再生纸需要的废纸质量，再求相应废纸可生产的再生纸质量； D．4×3.2×15.2，算式无意义。 列式错误的是4×3.2×15.2。 故答案为：D 题型七 小数的四则运算及法则 【例7】（24-25五年级上·广东广州·期末）下面各题，怎样简便就怎样计算。 12.5×2.7×0.8    12.8－4.2÷2 【答案】27；10.7 【思路引导】（1）根据乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变即a×b＝b×a，观察算式中的因数，12.5与0.8相乘可得整数结果，因此交换2.7和0.8的位置，便于后续简便计算。 （2）根据四则混合运算顺序，先算除法，后算减法。 【规范解答】12.5×2.7×0.8 ＝12.5×0.8×2.7 ＝10×2.7 ＝27 12.8－4.2÷2 ＝12.8－2.1 ＝10.7 【变式】（24-25五年级上·重庆长寿·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 0.8×3×1.25                  2.8×2.9＋2.1×2.8 3.5÷0.25÷4                  15.3÷[2×（2.14＋0.41）] 【答案】3；14； 3.5；3 【思路引导】（1）根据乘法交换律计算即可； （2）根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）计算即可； （3）根据除法的性质计算即可； （4）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算除法。 【规范解答】0.8×3×1.25 ＝0.8×1.25×3 ＝1×3 ＝3 2.8×2.9＋2.1×2.8 ＝2.8×（2.9＋2.1） ＝2.8×5 ＝14 3.5÷0.25÷4 ＝3.5÷（0.25×4） ＝3.5÷1 ＝3.5 15.3÷[2×（2.14＋0.41）] ＝15.3÷[2×2.55] ＝15.3÷5.1 ＝3 题型八 小数除法相关的简便计算 【例8】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）脱式计算。（能简算的要简算） （1）（2.6＋4.2÷0.15）×0.01    （2）（6.71＋6.71＋6.71＋6.71）×2.5 （3）48÷12.5÷0.8        （4）9.3×43＋5.7×93 【答案】（1）；（2）； （3）；（4） 【思路引导】（1）先算括号里的除法，再算括号里的加法，最后算括号外的乘法； （2）根据几个相同加数的和写成乘法，即把6.71＋6.71＋6.71＋6.71写成6.71×4，再根据乘法结合律把原式写成6.71×（4×2.5）进行简算； （3）根据除法的性质把原式化为48÷（12.5×0.8）进行简算； （4）根据积的变化规律先把5.7×93化为57×9.3，再根据乘法分配律把原式化为9.3×（43＋57）进行简算。 【规范解答】（1）（2.6＋4.2÷0.15）×0.01      （2）（6.71＋6.71＋6.71＋6.71）×2.5 ＝6.71×4×2.5      （3）48÷12.5÷0.8      （4）9.3×43＋5.7×93 【变式】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                            【答案】2.8；48； 63.4；1 【思路引导】（1）根据四则混合运算顺序，先算乘法，再算减法； （2）根据积的变化规律，先把44×0.48转化成0.44×48，然后根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （3）根据除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c）进行简算； （4）先把0.32拆分成0.4×0.8，再利用乘法交换律和乘法结合律进行简算； 【规范解答】（1） ＝6.4－3.6 ＝2.8 （2） ＝48×0.56＋（44÷100）×（0.48×100） ＝48×0.56＋0.44×48 ＝（0.56＋0.44）×48 ＝1×48 ＝48 （3） ＝63.4÷（2.5×0.4） ＝63.4÷1 ＝63.4 （4） ＝2.5×1.25×（0.4×0.8） ＝2.5×0.4×1.25×0.8 ＝（2.5×0.4）×（1.25×0.8） ＝1×1 ＝1 题型九 用“四舍五入”法求商的近似数 【例9】（24-25五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）竖式计算，带☆的要验算。 7.85×3.4＝       3.26÷0.16≈（得数保留一位小数）        ☆2.04÷24＝ 【答案】26.69；20.4；0.085 【思路引导】（1）先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点，得数的小数部分末尾的0要去掉； （2）根据除数是小数的小数除法计算方法，先把除数0.16的小数点向右移动两位转化成整数16，再把被除数的小数点向右移动两位，然后按照除数是整数的除法进行计算，得数保留一位小数，需要看小数点后第二个数字，如果第二个数字大于或等于5，则进1，小于5，则舍去； （3）根据除数是整数的小数除法计算方法，先按照整数除法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，需要在余数后面添0继续除，若某一位不够商1，需补0占位，验算时用商乘除数看是否等于被除数，也可以用被除数除以商看是否等于除数。 【规范解答】7.85×3.4＝26.69 3.26÷0.16≈20.4             ☆2.04÷24＝0.085         验算： 【变式】（24-25五年级上·重庆合川·期末）小明去超市买食用油，他发现同一种玉米油有A、B两种不同的规格，而且都在开展促销活动。（如下图）小明认为买A规格的玉米油更划算，你同意吗？说说你的观点。 A．3升/桶，原价49.8元/桶，现价42.9元/桶。 B．5升/桶，每桶72元，买1桶，送1瓶0.5升相同的油。 【答案】不同意；观点见详解 【思路引导】由题可知，A规格的玉米油，现价42.9元可以买3升玉米油；B规格的玉米油72元可以买5＋0.5＝5.5（升）玉米油；根据“单价＝总价÷数量”计算出两种规格下每升玉米油的实际价格，再比较单价高低即可。 【规范解答】A规格：42.9÷3＝14.3（元） B规格：72÷（5＋0.5） ＝72÷5.5 ≈13.09（元） 14.3＞13.09 答：小明认为买A规格的玉米油更划算，我不同意；因为B规格的玉米油价格更便宜、更划算。（观点不唯一） 题型十 判定被除数的最大值和最小值 【例10】（22-23五年级上·陕西汉中·期末）一个数除以4.7的商是三位小数，商保留两位小数后约是2.13。这个数最大是多少？最小呢？ 【答案】最大是：10.0298；最小是：9.9875 【思路引导】由于商保留两位小数后约是2.13，四舍法求出来的商是最大的，也就是被除数是最大的，即2.134，五入法求出的商是最小的，即2.125，所以被除数也是最小的，根据公式：被除数＝除数×商，把数代入公式即可求出这个数最大是多少，最小是多少。 【规范解答】由分析可知：当商是2.134的时候，这个数最大。 4.7×2.134＝10.0298 4.7×2.125＝9.9875 答：这个数最大是10.0298；最小是9.9875。 【考点剖析】本题主要考查小数的近似数以及小数乘法的计算方法，熟练掌握它的计算方法并灵活运用。 【变式】（21-22五年级上·重庆彭水·期末）算式□÷0.7的商是两位小数，四舍五入保留一位小数是0.3，被除数最小是0.175。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】被除数＝除数×商，除数是0.7，那么当商最小时，被除数就最小。商保留一位小数是0.3，那么商最小是0.25。用0.25乘0.7，即可求出被除数最小是多少。 【规范解答】商最小是0.25，0.25×0.7＝0.175，所以被除数最小是0.175。 故答案为：√ 【考点剖析】本题考查了小数除法，掌握除法各部分间的关系、商的近似数求法是解题的关键。 题型十一 循环小数 【例11】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）列竖式计算。       （得数保留两位小数）   （商用循环小数表示） 【答案】3.15；5.85； 【思路引导】（1）根据除数是小数的计算方法，先把除数2.8的小数点向右移动一位转化成整数28，再把被除数的小数点向右移动一位，然后按照除数是整数的除法进行计算； （2）先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。得数保留两位小数，需要看小数点后第三个数字，如果第三个数字大于或等于5，则进一，小于5，则舍去； （3）根据除数是小数的计算方法，先把除数0.11的小数点向右移动两位转化成整数11，再把被除数的小数点向右移动两位，然后按照除数是整数的除法进行计算；如果商是循环小数，要找出循环节，在循环节的首位和末尾数字上面各点一个小圆点。 【规范解答】3.15     5.85                           【变式】24-25五年级上·河北石家庄·期末）在0.502，，和0.231中，最小的数是( )，最大的数是( )。 【答案】 0.231 【思路引导】先把循环小数的简写形式改写成无限小数形式，然后根据小数大小的比较方法进行比较。 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【规范解答】＝0.502502…… ＝0.231231…… 所有数的整数部分都是0，因此直接比较小数部分。 比较十分位：0.502和的十分位是5，和0.231的十分位是2。由于2 < 5，因此和0.231都小于0.502和。 比较和0.231：前三位小数都是2、3、1，第四位小数：0.231是0，是1（循环节的第一位），由于0 < 1，因此0.231 < 。 比较0.502和：前三位小数都是5、0、2，第四位小数：0.502是0，是5（循环节的第一位），由于0 < 5，因此0.502 < 。 即，0.231 < ＜0.502 < ； 综上，最小的数是0.231，最大的数是。 题型十二 用归纳法解决计算器探索规律问题 【例12】（23-24五年级上·江西赣州·期末）根据计算结果的规律填空。 1.23×9＋0.04＝11.11 12.34×9＋0.05＝111.11 123.45×9＋0.06＝1111.11 ( )×9＋0.07＝( )。 【答案】 1234.56 11111.11 【思路引导】观察已知的前三个算式发现：乘法中的第一个因数是两位小数，小数点每向后移动一位，就在小数末尾按顺序增加一个数字；第二因数是9；后面相加的数从0.04开始每次增加0.01；积是两位小数，由数字1组成，加数百分位上的数字是几，积就有几个1；据此解答。 【规范解答】1.23×9＋0.04＝11.11 12.34×9＋0.05＝111.11 123.45×9＋0.06＝1111.11 1234.56×9＋0.07＝11111.11 【变式】先找出规律，再按规律选择答案。 9.25925×12＝111.111                   9.25925×24＝222.222 9.25925×36＝333.333                   9.25925×84＝（    ）。 A．666.666 B．777.777 C．888.888 【答案】B 【思路引导】根据这三个算式9.25925×12＝111.111，9.25925×24＝222.222，9.25925×36＝333.333，结合积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘几积也乘几，解答即可。 【规范解答】根据分析可知9.25925×84 ＝9.25925×12×7 ＝777.777 故答案为：B 【考点剖析】重点是能够从三个算式中找出乘积的规律，根据规律选出第四个算式的乘积。 题型十三 用“进一法”解决问题 【例13】（2025五年级上·广东·专题练习）妈妈要将2.8千克蜂蜜分装在如图的玻璃瓶，至少需要( )个这样的玻璃瓶才能全部装完。 【答案】6 【思路引导】将2.8千克蜂蜜分装在0.5千克的瓶子中，求至少需要的瓶子数量，用蜂蜜总量除以每瓶可装质量，有余数瓶子数量需要加1。 【规范解答】2.8÷0.5＝5（个）……0.3千克 5＋1＝6（个） 至少需要6个这样的玻璃瓶才能装完。 【变式】（23-24五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）科学课上，为了制作火山爆发的模型，同学们准备了小苏打、面粉、红墨水和水的浆状混合物6.6千克，将它倒进小瓶子里，每个瓶子最多可装0.5千克，需要多少个这样的瓶子？ 【答案】14个 【思路引导】最后无论剩下多少混合物，都得需要一个瓶子来装，混合物的质量÷每个瓶子装的质量，结果用进一法保留近似数即可。 【规范解答】6.6÷0.5≈14（个） 答：需要14个这样的瓶子。 题型十四 用“去尾法”解决问题 【例14】（24-25五年级上·广东中山·期末）王师傅制作一种蛋糕，每个需要0.36千克面粉。4.5千克面粉最多可以做多少个这样的蛋糕？ 【答案】12个 【思路引导】由题意得，实际上是求4.5里面有几个0.36，根据求一个数里面有几个另一个数的方法，用除法解答即可。根据题意，此题应使用“去尾法”保留整数。 【规范解答】4.5÷0.36≈12（个） 答：4.5千克面粉最多可以做12个这样的蛋糕。 【变式】（24-25五年级上·广西百色·期末）青少年活动中心要订做一批演出服装，上装用布0.9米，裤子用布0.8米，现有200米布，最多可以做多少套？ 【答案】 117套 【思路引导】先用0.9加上0.8计算出一套演出服需要的布料长度，再用200除以一套演出服需要的布料长度，因为剩余的布料不能再做一套衣服，结果用“去尾法”取整数。 【规范解答】200÷（0.9＋0.8） ＝200÷1.7 ≈117（套） 答：最多可以做117套。 题型十五 利用小数四则混合运算解决问题 【例15】（24-25五年级上·广西南宁·期末）代驾是指当车主不能自行开车时，由专业驾驶人员代替车主驾驶汽车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表。 时段 8千米及以内 超过8千米的部分 备注 6：00—21：59 35元 3.5元/千米 行程不足1千米，按1千米计算 22：00—次日6：59 58元 4.5元/千米 叔叔参加聚会22：30结束时，在该平台预约了代驾服务。到达目的地后，他付了89.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【答案】15千米 【思路引导】因为是22：30结束，所以要按表格22：00—次日6：59时间计算；即8千米及以内58元，用付的钱数－58元，求出超出部分需要付的钱数，再用超出部分付出的钱数÷4.5，求出超出8千米以及内的路程，再加上8千米，即可解答。 【规范解答】（89.5－58）÷4.5＋8 ＝31.5÷4.5＋8 ＝7＋8 ＝15（千米） 答：这次代驾服务的行驶里程最多是15千米。 【变式】（23-24五年级上·重庆·期中）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施。某通信公司某年推出5G套餐如下。 每月128元套餐 国内流量50GB；国内通话800分钟 超出部分资费 国内流量5元/GB，满15元后的按2.8元/GB； 国内通话0.15元/分钟 （1）王老师办理了每月128元的5G套餐。7月份他用手机上网共用国内流量45GB，拨打国内电话880分钟。7月份王老师的手机话费是多少元？ （2）8月份，王老师的话费是150元。这个月国内通话只有580分钟。请你算一算，王老师用了多少国内流量？ 【答案】（1）140元 （2）55.5GB 【思路引导】（1）7月份王老师的国内流量没有超标，在套餐内不用另交费；拨打国内电话880分钟，超出标准，用880－800，求出国内电话超出部分时间，再乘0.15，求出超出部分的话费，再加上套餐费，即可解答。 （2）8月份话费中，通话时间没有超过标准，通话费不另行收费；用8月份王老师的话费减去套餐内的128元，求出超出50GB流量所花的费用，因为150－128＝22元，其中的15元可以15÷3＝3GB的流量；剩下的流量费用是单价2.8元的流量费用，用剩下流量费用÷2.8，求出流量，再加上15元的流量数，再加上套餐内的流量数，即可解答。 【规范解答】（1）（880－800）×0.15＋128 ＝80×0.15＋128 ＝12＋128 ＝140（元） 答：7月份王老师的手机话费是140元。 （2）150－128＝22（元） 15÷5＝3（GB） （22－15）÷2.8＋3＋50 ＝7÷2.8＋3＋50 ＝2.5＋3＋50 ＝5.5＋50 ＝55.5（GB） 答：王老师用了55.5GB的国内流量。 题型十六 分段计费问题（小数除法) 【例16】（24-25五年级上·湖南长沙·期末）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术。中国某通信公司2024年推出5G套餐如表格。 5G套餐 每月128元套餐 国内流量50G；国内通话800分钟 超出部分资费 国内流量5元/GB；满15元后按2.8元/GB；国内通话0.15元/分钟 （1）王老师办理了每月128元的5G套餐。7月份他用手机上网共用国内流量45GB。拨打国内电话880分钟。7月份王老师的手机话费是多少元？ （2）8月份，王老师的话费是150元。这个月国内通话只有580分钟。请你算一算，王老师用了多少国内流量？ 【答案】（1）140元；（2）55.5GB 【思路引导】（1）45GB＜50GB，流量没有超出；880分钟＞800分钟，超过套餐国内通话时间；先求出超出部分的时间，再用0.15乘超出部分的时间，求出超出部分需要的话费，再加上每月套餐数额，即为所求话费。 （2）580分钟＜800分钟，国内通话时间没有超出；用话费数额减套餐费用，得到超出部分资费（流量费用数额）；超出部分资费分两段，一段是15元，一段是超出15元的部分，用15元除以5，再用超出15元的部分除以2.8，将这两个商相加，就是超出的流量；最后用套餐流量加上超出的流量，即为总流量。 【规范解答】（1）0.15×（880－800）＋128 ＝0.15×80＋128 ＝12＋128 ＝140（元） 答：7月份王老师的手机话费是140元。 （2）150－128＝22（元） 22－15＝7（元） 15÷5＋7÷2.8＋50 ＝3＋2.5＋50 ＝5.5＋50 ＝55.5（GB） 答：王老师用了55.5GB国内流量。 【考点剖析】本题主要考查分段计费问题，需根据套餐内和超出部分的收费标准分别计算费用。 对于（1），分别计算超出套餐通话时长的费用和套餐费用，再求和； 对于（2），先算出超出套餐的费用，再根据流量收费标准分阶段计算超出的流量，最后加上套餐内流量，得到总流量。 【变式】（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）水是生命之源，节约用水，人人有责！武冈市人民政府为了鼓励居民节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费：每户每月用水不超过15吨时（含15吨），每吨2.1元；每月用水超过15吨时，超过部分按每吨3.15元收费。 （1）已知小红家10月用水18吨，她家需要支付水费多少元？ （2）李丽家10月共支付水费56.7元，她家10月用水多少吨？ 【答案】（1）40.95元 （2）23吨 【思路引导】（1）已知用水量超15吨，按分段计费规则，先算15吨以内的基础水费，再算超出15吨部分的加价水费，最后将两部分费用相加，得出总水费。 （2）已知总水费，先通过15吨的基础水费判断用水量超15吨，再用总水费减去基础水费得到超出部分的费用，结合超出部分的单价算出超出水量，最后加上15吨得到总用水量。 【规范解答】（1）15×2.1＋（18－15）×3.15 ＝31.5＋3×3.15 ＝31.5＋9.45 ＝40.95（元） 答：已知小红家10月用水18吨，她家需要支付水费40.95元。 （2）15＋（56.7－15×2.1）÷3.15 ＝15＋（56.7－31.5）÷3.15 ＝15＋25.2÷3.15 ＝15＋8 ＝23（吨） 答：李丽家10月共支付水费56.7元，她家10月用水23吨。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·福建漳州·期末）一个油桶可以装2.5kg花生油，爷爷要把21.5kg的花生油装在这样的油桶里，需要准备（    ）个油桶。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【思路引导】根据题目，“油桶数量 ＝ 总油量÷每桶油量”，因为油桶个数必须为整数，所以需要用“进一法”取整，由此解答即可。 【规范解答】根据分析： 21.5÷2.5≈9（个） 需要9个油桶。 故答案为：D 2．（24-25五年级上·广东广州·期末）下列算式中与6.6÷0.3结果相等的是（    ）。 A．6.6÷0.03 B．66÷0.03 C．66÷3 D．6.6÷3 【答案】C 【思路引导】根据商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以相同的数商不变，依此逐项判断。 【规范解答】A．6.6÷0.03，被除数不变，除数变小，商变大，结果与6.6÷0.3结果不相等，故不选； B．66÷0.03，被除数乘10，除数除以10，不是同时乘或除以相同的数，结果与6.6÷0.3结果不相等，故不选； C．66÷3，被除数乘10，除数乘10，同时乘或除以相同的数商不变，结果与6.6÷0.3结果相等，选此选项； D．6.6÷3，被除数不变，除数乘10，不是同时乘或除以相同的数，结果与6.6÷0.3结果不相等，故不选。 故答案为：C 3．（24-25五年级上·广东广州·期末）某视频App开通VIP会员服务的收费标准如图所示。现在开通年度VIP，相当于平均每月支付（    ）元。 A．186 B．50 C．30 D．15.5 【答案】D 【思路引导】1年有12个月，现在开通年度VIP需要186元，用年度VIP的总钱数÷12即为平均每月支付的钱数，据此解题。 【规范解答】186÷12＝15.5（元） 相当于平均每月支付15.5元。 故答案为：D 4．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）一块长方形菜地面积是43.2平方米，它的长是4.5米，宽是( )米。 【答案】9.6 【思路引导】由“长方形的面积＝长×宽”可知，宽＝长方形的面积÷长，把题目中的数据代入公式计算，据此解答。 【规范解答】43.2÷4.5＝9.6（米） 所以，宽是9.6米。 5．（24-25五年级上·河北唐山·期末）在括号里填上“＝”“＜”或“＞” 32.5×10( )3.250.1     1.99( )1.990.99 【答案】 ＞ ＜ 【思路引导】①可以根据小数乘除法的运算规则，分别算出左右两边的数值再进行比较； ②根据除法性质，被除数除以一个小于1的数（且除数不为0），商大于被除数。 【规范解答】①32.5×10＝325，3.250.1＝32.5，325＞32.5，所以32.5×10＞3.250.1； ②1.990.99是大于1.99的，所以填0.99＜1，所以1.99＜1.990.99。 6．（24-25五年级上·新疆哈密·期末）32.8÷0.25×4＝32.8÷（0.25×4）。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】乘法和除法是同级运算，在没有括号的情况下，应按从左到右的顺序依次计算。等式右边先计算了乘法（0.25×4），改变了运算顺序，导致计算结果与左边不同。 【规范解答】32.8÷0.25×4 ＝131.2×4 ＝524.8 32.8÷（0.25×4） ＝32.8÷1 ＝32.8 因为524.8≠32.8，所以等式不成立。 故答案为：× 7．（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）0.378537853785是一个循环小数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】循环小数是指小数部分有无限位数，且从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现的小数。据此判断即可。 【规范解答】0.378537853785的小数部分有12位，是一个有限小数，不是循环小数。所以原题干说法错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 4×1.53×0.25  1.01＋9×1.01     1.05÷0.7＋18.9 【答案】1.53；10.1；20.4 【思路引导】（1）利用乘法交换律和结合律，先算4×0.25，进行简算； （2）将1.01看作1×1.01，提取公因数1.01，利用乘法分配律进行简算； （3）先算除法，再算加法。 【规范解答】（1）4×1.53×0.25        ＝（4×0.25）×1.53 ＝1×1.53 ＝1.53 （2）1.01＋9×1.01 ＝1×1.01＋9×1.01 ＝（1＋9）×1.01 ＝10×1.01 ＝10.1 （3）1.05÷0.7＋18.9 ＝1.5＋18.9 ＝20.4 9．（24-25五年级上·广东广州·期末）一种枸杞红枣茶每袋有枸杞6.8克，红枣23克，冰糖少许。现在有足够多的红枣和冰糖，有100克枸杞，最多能搭配出多少袋这样的枸杞红枣茶？ 【答案】14袋 【思路引导】每袋有枸杞6.8克，红枣23克，冰糖少许，现在有足够多的红枣和冰糖，有100克枸杞，要求最多能搭配出多少袋枸杞红枣茶，就用枸杞的总数量÷6.8，如果结果是整数就是多少袋，如果结果不是整数就用去尾法解题。 【规范解答】100÷6.8≈14（袋） 答：最多能搭配出14袋这样的枸杞红枣茶。 10．（24-25五年级上·河南三门峡·期末）近年来，金砖国家携手开展绿色能源合作。由中国国家电网巴西电力股份公司建设的风电项目每年能供应约3.6亿千瓦时清洁电力，相当于节约标准煤12.96万吨，减少二氧化碳排放35.9万吨。照这样计算，该风电项目3年可以减少二氧化碳排放多少万吨？如果A城市每个月居民用电量为0.45亿千瓦时，该风电项目每年提供的清洁电力可供A城市居民用电几个月？ 【答案】107.7万吨；8个 【思路引导】由题意可知，用每年减少二氧化碳的吨数乘3年，即可求出该风电项目3年可以减少二氧化碳排放多少万吨；用每年能供应约3.6亿千瓦时清洁电力除以每个月居民用电量0.45亿千瓦时，即可求出该风电项目每年提供的清洁电力可供A城市居民用电几个月；据此解答即可。 【规范解答】35.9×3＝107.7（万吨）          3.6÷0.45＝8（个） 答：该风电项目3年可以减少二氧化碳排放107.7万吨，如果A城市每个月居民用电量为0.45亿千瓦时，该风电项目每年提供的清洁电力可供A城市居民用电8个月。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·江西赣州·期末）从汉字主题文化公园到金凤梅园，乘公交车需要1小时4分钟，骑车需要22分钟。乘公交车所用时间是骑车的（    ）倍。（得数保留两位小数） A．2.90 B．2.91 C．3.00 【答案】B 【思路引导】乘公交车需要1小时4分钟，1小时＝60分钟，所以1小时4分钟＝64分钟，骑车需要22分钟，求一个数是另一个数的几倍，用除法计算，因此用乘公交车所用时间除以骑车所用的时间即可，最后根据“四舍五入”法将结果保留两位小数。 【规范解答】1小时4分钟＝64分钟 64÷22≈2.91 所以乘公交车所用时间是骑车的2.91倍。 故答案为：B 2．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）每个空瓶可装油1.5千克，把25千克油分装到瓶子中，至少需要这样的瓶子（    ）个。 A．16 B．17 C．18 D．除不尽无法计算 【答案】B 【思路引导】由题意可知，需要瓶子的数量＝油的总质量÷每个瓶子可以装油的质量，即25÷1.5，余下的油装不满一个瓶子时，需要多准备一个瓶子，结果用“进一法”取整数，据此解答。 【规范解答】25÷1.5≈17（个） 所以，至少需要这样的瓶子17个。 故答案为：B 3．（24-25五年级上·广东广州·期末）下面各题中，算式（    ）的商小于1。 A．46.5÷45 B．0.64÷26 C．4.05÷0.6 D．0.65÷0.6 【答案】B 【思路引导】两个数相除（0除外），被除数小于除数，则商小于1；被除数大于除数，则商大于1。 【规范解答】A．46.5＞45，商＞1； B．0.64＜26，商＜1； C．4.05＞0.6，商＞1； D．0.65＞0.6，商＞1。 故答案为：B 4．（24-25五年级上·江西赣州·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 1.56÷0.99( )1.56        5.72÷1.1( )5.72 2.8×0.86( )2.8          1.76×0.8( )1.76÷0.8 【答案】 ＞ ＜ ＜ ＜ 【思路引导】（1）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； （2）一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小； （3）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （4）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； 一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大。 【规范解答】（1）0.99＜1，所以1.56÷0.99＞1.56； （2）1.1＞1，所以5.72÷1.1＜5.72； （3）0.86＜1，所以2.8×0.86＜2.8； （4）0.8＜1，则1.76×0.8＜1.76，1.76÷0.8＞1.76；所以1.76×0.8＜1.76÷0.8。 5．（24-25五年级上·云南昭通·期末）一种花布每米的售价是25.4元，买1.8米，40元钱够吗？下面是四名同学的解题思路，他们的思路正确吗？请你判断对错。 聪聪：（元） 40元元，所以不够( ) 明明：（元） 40元＜45元，所以不够( ) 乐乐：（米） 1.6米＜1.8米，所以不够( ) 琪琪：（元） 20元元，所以不够( ) 【答案】 × √ √ × 【思路引导】用估算解决问题时，要遵循估算的一致性，也就是要估大全估大，要估小全估小，估大够一定够，估小不够一定不够，据此分析。 【规范解答】（元），将1.8估成2，选择估大。即（元），所以买布花的钱少于50.8元，并不能比较买布的钱和40元的大小，思路错误。 聪聪：（元） 40元元，所以不够（×） （元），将25.4估成25，选择估小。即（元），所以买布花的钱大于45元，40元＜45元，所以带40元不够，思路正确。 明明：（元） 40元＜45元，所以不够（√） （米），将25.4估成25，选择估小，被除数不变，除数越小，商越大，所以（米），也就是40元买的布一定没有1.6米长，更买不了1.8米，思路正确。 乐乐：（米） 1.6米＜1.8米，所以不够（√） （元），将1.8估成2，选择估大，被除数不变，除数越大，商越小，所以（元），也就是40元买1.8米布，则每米布的售价比20元多，但无法比较每米布的售价和25.4元的大小，思路错误。 琪琪：（元） 20元元，所以不够（×） 【考点剖析】用估算解决问题，最后还是看估算之后能否帮助比较“所需的钱数”与“带的钱数”的大小关系。 6．（24-25五年级上·重庆合川·期末）如果a表示一个数，且a÷0.14＝6，那么（a×100）÷（0.14×100）＝600。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】本题考查除法商不变的性质。根据该性质，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。本题中，被除数a和除数0.14同时乘100，商应保持不变，即等于a÷0.14＝6，而不等于600。因此，该说法错误。 【规范解答】由已知条件a÷0.14＝6，根据商不变的性质，被除数a和除数0.14同时乘100，商不变，仍为6。即（a×100）÷（0.14×100）＝6。但题干中等于600，故不正确。 故答案为：× 7．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）循环小数大于有限小数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据小数大小比较方法：先比较整数部分，整数部分大的小数就大；整数部分相同，则比较十分位数字，十分位数字大的就大；十分位数字相同，则比较百分位数字，以此类推，直到比较出大小为止。小数的大小取决于其数值，与它是循环小数还是有限小数无关。因此，循环小数不一定大于有限小数。 【规范解答】由分析可知，循环小数和有限小数的大小需要根据具体数值比较。 例如，循环小数 0.333…（即）小于有限小数 0.5（即）， 0.333…＜0.5； 而循环小数 0.666…（即）大于有限小数 0.6（即）， 0.666…＞0.6。 因此，“循环小数大于有限小数”的说法不一定成立，是错误的。 故答案为：× 8．（24-25五年级上·江西赣州·期末）怎样简便就怎样计算。 12.5×0.4×8      24÷0.25÷4       2.8×5.6＋4.4×2.8 【答案】40；24；28 【思路引导】根据乘法交换律，交换0.4与8的位置得12.5×8×0.4，然后按从左往右的顺序计算，先算12.5×8，再将结果与0.4相乘； 根据除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c）得24÷（0.25×4），先算括号里的乘法，再算除法； 根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）得2.8×（5.6＋4.4），先算括号里的加法，再算括号外面的乘法。 【规范解答】12.5×0.4×8 ＝12.5×8×0.4 ＝100×0.4 ＝40     24÷0.25÷4 ＝24÷（0.25×4） ＝24÷1 ＝24     2.8×5.6＋4.4×2.8 ＝2.8×（5.6＋4.4） ＝2.8×10 ＝28 9． （24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）列竖式计算 6.52×16＝ 57.6÷0.36＝        63.5÷2.54＝          7.95×3.2＝ 【答案】104.32；160；25；25.44 【思路引导】小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足； 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 【规范解答】6.52×16＝104.32    57.6÷0.36＝160  63.5÷2.54＝25   7.95×3.2＝25.44          10．（24-25五年级上·重庆长寿·期末）某市倡导“垃圾分类新时尚”理念，引导市民参与生活垃圾分类。如图是一个智能垃圾回收机。 智能垃圾分类回收标准 纸类 纺织类 金属类 塑料类 0.6元/千克 0.5元/千克 1.6元/千克 0.8元/千克 小明奶奶往回收机里投递了3千克废纸和一些旧衣物（纺织类），共得到了6.7元，小明奶奶投了多少千克旧衣服？ 【答案】9.8千克 【思路引导】用纸类回收的价格乘重量求出纸类回收的钱数，用0.6乘3求出废纸的钱数，用6.7减去废纸的钱数就是旧衣物得到的钱数，最后除以0.5即可求出小明奶奶投了多少千克旧衣服。 【规范解答】0.6×3＝1.8（元） 6.7－1.8＝4.9（元） 4.9÷0.5＝9.8（千克） 答：小明奶奶投了9.8千克旧衣服。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25五年级上·河北保定·期末）小马虎在计算一道小数除法题时，错把除数1.34看成了13.4，结果商是0.46，正确的商应该是（    ）。 A．4.6 B．6.164 C．0.046 D．61.64 【答案】A 【思路引导】被除数÷除数＝商，因为小马虎错把除数1.34看成了13.4，结果商是0.46，也就是被除数÷13.4＝0.46，则被除数＝0.46×13.4，再用被除数除以正确的除数1.34，计算出商即可。 【规范解答】0.46×13.4÷1.34 ＝6.164÷1.34 ＝4.6 所以小马虎在计算一道小数除法题时，错把除数1.34看成了13.4，结果商是0.46，正确的商应该是4.6。 故答案为：A 【考点剖析】这类题目，主要找到“不变量”，比如本题中，除数看错了，导致商也变了，但是被除数不变，所以先计算出被除数即可。 2．（24-25五年级上·山西阳泉·期末）下面的算式还没有算完，根据算式，正确的商是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】根据小数除法的计算方法，如果还有余数要添“0”继续除，当余数相同时，商的数字就循环了。算式中，百分位上商1时，余数是8，添“0”继续除；千分位上商6，余数是8，添“0”继续除⋯。当余数是8时，商的数字都是6，所以，该算式的商，从千分位起，都是商6。它的商是循环小数，循环节是6。 【规范解答】这个算式的商，从千分位起，都是商6，它的商是。 故答案为：B 【考点剖析】理解循环小数的意义，熟悉小数除法的算理，是解题关键。 3．（24-25五年级上·西藏林芝·期末）一个数的小数点向左移动一位，得到的新数比原来少了226.8。原数是( ) 【答案】252 【思路引导】小数点向左移动一位，缩小到原来的，由此可知，原来的数是得到的新数的10倍，得到的新数与原数的差÷（倍数－1）＝一倍数，即得到的新数，得到的新数×10＝原数，据此列式计算。 【规范解答】226.8÷（10－1）×10 ＝226.8÷9×10 ＝252 原数是252。 【考点剖析】关键是理解小数点位置的移动引起小数大小的变化，掌握差倍问题的解题方法。 4．（24-25五年级上·河南新乡·期末）莹莹在一本《趣味数学》中发现了一个有趣的规律，你也来尝试找一找这个规律。根据规律，写出后面两题的结果。 21÷7＝3    22.11÷6.7＝3.3    222.111÷66.7＝3.33 2222.1111÷666.7＝( )。 6666.7×3.3333＝( )。 【答案】 3.333 22222.11111 【思路引导】通过观察给定的等式，发现规律：对于第n个等式（n从2开始），被除数的整数部分由n个2组成，小数部分由n个1组成；除数的整数部分由（n－1）个6组成，小数部分为7；商的整数部分为3，小数部分为（n－1）个3。 对于第一个空，对应n＝4，商应为3.333； 第二个空是乘法，6666.7对应n＝5时的除数，3.3333对应n＝5时的商，它们的乘积应为n＝5时的被除数，即22222.11111。 【规范解答】2222.1111÷666.7＝3.333 6666.7×3.3333＝22222.11111 【考点剖析】找此类规律题的核心是：先拆解每个位置（被除数、除数、商）的数字组成特征（如2的个数、6的个数、3的个数的对应关系），建立各部分的数量关联；同时利用乘除互逆验证规律，通过已知等式归纳通用规律后，即可快速推导未知结果。 5．（24-25五年级上·陕西宝鸡·期末）用简便方法表示的商是( )，保留两位小数约是( )。 【答案】 2.17 【思路引导】按小数除法的计算方法进行计算，商的小数部分重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。写循环小数时，为了简便，只写出第一个循环节，并在这个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点“”（循环节只有一个数字的只记一个圆点），表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。再用四舍五入法保留近似数即可。 【规范解答】13÷6＝2.166…＝≈2.17 用简便方法表示13÷6的商是，保留两位小数约是2.17。 6．（23-24六年级下·河南南阳·期末）广场的大摆钟每到几整时就会响几下，已知摆钟5时整响了5下花了10秒，当摆钟10时整时，响完10下需要20秒。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】摆钟响了5下花了10秒，中间有4个间隔，所以每个间隔的时间是10÷4＝2.5（秒）；响10下有10－1＝9（个）间隔，需要2.5×9＝22.5（秒）。据此解答。 【规范解答】5－1＝4（个） 10÷4＝2.5（秒） 10－1＝9（个） 2.5×9＝22.5（秒） 故原题说法错误。 【考点剖析】理解敲的间隔数比敲的次数少1，即响5下，实际隔了5－1＝4个间隔，从而求得一个间隔需要多长时间是解答本题的关键。 7．（23-24五年级上·四川达州·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 0.125×32×25      54÷（3.94 ＋6.86）×0.8     22.2×18.4＋44.4×11.2－88.8×0.2 （2＋3.15＋5.87）×（3.15＋5.87＋7.32）—（2＋3.15＋5.87＋7.32）×（3.15＋5.87） 【答案】100；4；88；14.64 【思路引导】0.125×32×25，将32转换为8×4，然后再用乘法结合律进行简算； 54÷（3.94 ＋6.86）×0.8 ，先算小括号里的加法，再算除法，最后算乘法； 22.2×18.4＋44.4×11.2－88.8×0.2，将22.2×18.4转换为44.4×9.2，88.8×0.2转换为44.4×0.4，再用乘法分配律进行简算； （2＋3.15＋5.87）×（3.15＋5.87＋7.32）—（2＋3.15＋5.87＋7.32）×（3.15＋5.87），假设2＋3.15＋5.87＝a，3.15＋5.87＝b，那么原式可以转化为：a×（b＋7.32）－（a＋7.32）×b，再根据乘法分配与加法交换律进行计算； 【规范解答】0.125×32×25 ＝0.125×8×4×25 ＝（0.125×8）×（4×25） ＝1×100 ＝100 54÷（3.94 ＋6.86）×0.8 ＝54÷10.8×0.8 ＝5×0.8 ＝4 22.2×18.4＋44.4×11.2－88.8×0.2 ＝44.4×9.2＋44.4×11.2－44.4×0.4 ＝44.4×（9.2＋11.2－0.4） ＝44.4×20 ＝888 （2＋3.15＋5.87）×（3.15＋5.87＋7.32）—（2＋3.15＋5.87＋7.32）×（3.15＋5.87） 假设2＋3.15＋5.87＝a，3.15＋5.87＝b，原式可转换为： a×（b＋7.32）－（a＋7.32）×b ＝ab＋7.32a－（ab＋7.32b） ＝ ab＋7.32a－ab－7.32b ＝ ab－ab ＋7.32a－7.32b ＝7.32（a－b） ＝7.32×2 ＝14.64 8．（24-25五年级上·重庆万州·期末）牌楼长江大桥（原名万州长江三桥）采用欧式风格，蕴含了西山钟楼古韵味的钻石塔型，同时还体现了中国元素在现代桥梁景观设计中的创新运用，是万州的地标建筑之一。桥梁全长约2.12千米，比万安大桥全长的2倍还多0.28千米，总投资约19.46亿元。桥梁两边的主塔上分别安装88根斜拉索，每根斜拉索里装有121至253根7毫米粗的平行钢丝，全桥所有钢丝加起来可达798万千米，大约可绕地球赤道200圈。小林和小丁分别从牌楼长江大桥的南北两端同时出发相向而行，10分钟后相遇，小林比小丁每分钟少走32米。相遇后他们一起去樱花渡公园坐双人碰碰车一共花了8.5元钱，价格表如下表。 双人碰碰车收费标准： ★1小时及以内收费2.5元。 ★超过1小时的部分，每0.5小时1.5元。（不足0.5小时，按0.5小时计算） （1）万安大桥全长多少米？ （2）地球赤道一圈大约有多少万千米？（得数保留整数） （3）小林和小丁的速度分别是多少米？ （4）如果和小林相遇后小丁继续走，他想在5分钟内走完剩下的路程，小丁每分钟要多走多少米？ （5）小林和小丁在樱花渡公园坐碰碰车坐了多长时间？ 【答案】（1）920米 （2）4万千米 （3）小林每分钟走90米，小丁每分钟走122米 （4）58米 （5）3小时 【思路引导】（1）根据“已知一个数的几倍多几是多少，求这个数”的数量关系，用牌楼长江大桥全长减去多的0.28千米，得到万安大桥长度的2倍，再除以2即可求出万安大桥的长度（单位：千米），最后将单位换算为米即可。 （2）根据“总数÷份数＝每份数”的数量关系，用钢丝总长度除以圈数，即可得到地球赤道一圈的长度，结果按要求保留整数即可。 （3）首先将牌楼大桥全长的单位由千米转换为米。再根据“路程÷相遇时间＝速度和”，可求出两人的速度和。已知两人速度差，然后利用“（和＋差）÷2＝较大数”可求出小丁的速度，最后根据两人速度差，即可得到小林的速度。 （4）相遇时小丁已走10分钟，根据“路程＝速度×时间”可求出小丁已走的路程，用总路程减去已走路程得到剩余路程。要在5分钟内走完剩余路程，再根据“速度＝路程÷时间”求出所需速度，再减去小丁原来的速度，即可求出每分钟多走的路程。 （5）先用总费用减去1小时的费用，得到超过1小时部分的费用，再根据“数量＝总价÷单价”求出超过部分包含几个0.5小时，进而求出超过的时间，最后加上1小时得到总时间。 【规范解答】（1）已知桥梁全长约2.12千米，比万安大桥全长的2倍还多0.28千米， 则，万安大桥全长： （千米） 0.92千米＝920米 答：万安大桥全长920米。 （2）已知全桥所有钢丝长度为798万千米，可绕地球赤道200圈。 每一圈的长度：（万千米） 得数保留整数：3.99≈4（万千米） 答：地球赤道一圈大约有4万千米。 （3）已知小林和小丁分别从牌楼长江大桥的南北两端同时出发相向而行，10分钟后相遇，小林比小丁每分钟少走32米。 单位转换：2.12千米＝2120米 速度和：（米/分） 已知，速度差为32米/分，而且小丁比小林每分钟多， 则，根据和差公式：（和＋差）÷2＝较大数 小丁的速度： （米/分） 根据小林与小丁的关系，则： 小林的速度：122－32＝90（米/分） 答：小林每分钟走90米，小丁每分钟走122米。 （4）已知相遇时小丁已走10分钟，根据：路程＝速度×时间， 小丁已走路程：（米） 剩余路程：（米） 要在5分钟内走完剩余路程，根据“速度＝路程÷时间”得出， 所需速度：（米/分） 每分钟多走：（米） 答：小丁每分钟要多走58米。 （5）已知一共花了8.5元，以及收费标准，可得： 超过1小时部分的费用：（元） 根据：数量＝总价÷单价，得出： 超过部分包含的0.5小时的数量： （个） 超过的时间： （小时） 总时间： （小时） 答：小林和小丁在樱花渡公园坐碰碰车坐了3小时。 【考点剖析】本题包含5个小问题，分别涉及小数除法、和差问题、行程问题及分段计费问题，需根据各问题的条件选择合适的数学方法求解。 9．（23-24五年级上·福建福州·期末）节约用水，利在当代，功在千秋。为鼓励居民节约用水，福清市某自来水公司采取按月分段计费的方法收取水费。具体标准如下表： 分段计费标准（不足1吨，按1吨收费） 分段 户月用水量（吨） 水费标准（元/吨） 第一档 1~30 2.7 第二档 31~60 3.6 第三档 61吨及以上 4.1 （1）小思家这个月用水65吨，应缴水费多少元？ （2）小维家这个月缴费135元，他家可能用了多少吨水？ 【答案】（1）209.5元 （2）45吨 【思路引导】（1）小思家用水量超过60吨，分三段计费，先求出超出60吨的吨数，第一档满用水量×相应每吨费用＋第二档满用水量×相应每吨费用＋超出60吨的用水量×相应每吨费用＝应缴水费，据此列式解答。 （2）第一档满用水量×相应每吨费用＝第一档满用水量费用，第一档满用水量×相应每吨费用＋第二档满用水量×相应每吨费用＝满第二档用水费用，与小维家水费比较，确定小维家用水量在第二档，（小维家水费－第一档满用水量费用）÷第二档每吨费用＝超出30吨的用水量，再加上30吨是他家用水量，据此列式解答 【规范解答】（1）65－60＝5（吨） 30×2.7＝81（元） 30×3.6＝108（元） 5×4.1＝20.5（元） 81＋108＋20.5＝209.5（元） 答：应缴水费209.5元。 （2）30×2.7＝81（元） 30×3.6＝108（元） 81＋108＝189（元） 81＜135＜189 小维家用水量在第二档。 135－81＝54（元） 54÷3.6＝15（吨） 15＋30＝45（吨） 答：他家可能用了45吨水。 【考点剖析】关键是理解计费规则，掌握小数乘除法的计算方法。 10．（23-24五年级上·湖南长沙·期末）代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表： 行驶里程 7千米及以内 超过7千米的部分 7：00－－21：59 45元 每千米3.5元 22：00－－次日6：59 68元 每千米4.5元 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 （1）王阿姨在公司工作到21：00，感觉很累，于是她在该平台预约了代驾服务回家。从公司到家共行驶了13.5千米，需要支付多少元代驾费？ （2）李叔叔在饭店参加聚会，22：30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务。服务结束后李叔叔支付了117.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【答案】（1）69.5元 （2）18千米 【思路引导】（1）王阿姨在21：00预约代驾服务，按代驾计费标准表格中的第一行进行收费，从公司到家共行驶了13.5千米，把13.5千米看作14千米，14千米＞7千米，所以分两段计费： 第一段，行驶7千米，收费45元； 第二段，超过7千米的部分，行驶了（14－7）千米，单价3.5元，根据“单价×数量＝总价”，求出这一段的费用； 最后把这两段的费用相加，就是王阿姨需要支付的代驾费。 （2）李叔叔在22：30预约代驾服务，按代驾计费标准表格中的第二行进行收费，共支付了117.5元代驾费，117.5元＞68元，所以分两段计费： 第一段：行驶7千米，收费68元； 第二段：超过7千米的部分，这部分交了（117.5－68）元，单价4.5元，根据“总价÷单价＝数量”，求出这一段行驶的路程； 最后把两段的路程相加，即是这次代驾服务的行驶里程。 【规范解答】（1）13.5千米按14千米计算。 45＋3.5×（14－7） ＝45＋3.5×7 ＝45＋24.5 ＝69.5（元） 答：需要支付69.5元代驾费。 （2）7＋（117.5－68）÷4.5 ＝7＋49.5÷4.5 ＝7＋11 ＝18（千米） 答：这次代驾服务的行驶里程最多是18千米。 【考点剖析】本题考查分段计费问题，弄清楚每段的临界点和每段的收费标准，然后根据单价、数量、总价之间的关系列式计算。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $