专题03 简易方程（必备知识+十四大题型+分层训练）（期末复习讲义）五年级数学上学期人教版

该小学数学简易方程期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点，将用字母表示数、方程意义、等式性质、列方程解决问题等内容按“概念理解-技能掌握-实际应用”递进关系构建知识体系，12个知识点分层呈现，清晰展现从基础到复杂的内在联系。 讲义亮点在于“题型+变式”设计，如摆五边形用字母表示小棒数量培养抽象能力，行程问题列方程强化模型意识，分层练习覆盖基础到拓展，助力不同学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

专题03 简易方程（期末复习讲义） 【解析版】 核心考点 复习目标 考情规律 用字母表示数： 理解用字母表示数的意义和作用，能用字母表示运算定律、计算公式和常见数量关系，会根据字母取值求式子的值。 透彻理解用字母表示数的含义，准确运用字母表达各类关系，正确计算含字母式子的值。 多以填空、选择形式出现，考查对基础概念的理解和简单运用。 方程的意义： 明确方程的定义，能判断一个式子是否为方程，理解方程与等式的关系。 精准掌握方程定义，清晰区分方程和等式，准确判断方程。 常以判断、选择形式考察，重点考查对方程概念的理解。 等式的性质与解方程： 解等式的基本性质，运用性质解一步、两步简易方程，掌握解方程的书写规范。 熟练运用等式性质准确解方程，严格遵循书写规范，确保解题正确。 以计算题型为主，直接考查解方程的能力。 列方程解决实际问题： 分析实际问题中的数量关系，设未知数，列方程并求解，涵盖和差倍分、行程、价格等问题。 学会分析问题找数量关系，正确设未知数列方程，提高解决实际问题的能力。 是重点考察内容，以解答题形式出现，考查综合运用知识的能力。 知识点01：用字母表示数量关系 1. 像a，x，n，m……这样的字母或□、△……这样的符号都可以用来表示数。 2. 用字母a，x，n，m……表示数时，应注意字母的取值范围。 3. 将字母用其所取的值代替，可以求含有字母式子的值。 知识点02：用字母表示运算定律和计算公式 运算定律： 加法交换律 α+b=b+α 加法结合律 α+b+c=α+(b+c) 乘法交换律 αb=bα 乘法结合律 (αb)c=α(bc) 乘法分配律 (α+b)c=αc+bc 计算公式： S=αb S=α2 C=2(α+b) C=4α 知识点03：解决形如a±bx的实际问题 实际问题中的数量关系，如速度×时间=路程，单价×数量=总价等，用字母表示时，认真理解题意，明确字母表示的量，正确地列出式子。 将已知数据代入计算公式求值，应注意还原省去的运算符号。 知识点04：解决形如ax±bx的实际问题 ac+bc=(a+b)c 在利用乘法分配律对含字母的式子进行化简时，要先判断字母是否相同，若相同，再将字母前面的数进行加减。 知识点05：方程的意义 含有未知数的等式叫做方程，如x+8=92，6y=400。 方程都是等式，但等式不一定都是方程。 知识点06：等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 知识点07：方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 形如x±ɑ=b 的方程的解法: 知识点08：解简单的方程 形如ɑx=b的方程的解法: 解：ɑx÷ɑ=b÷ɑ x=b÷ɑ 形如ɑ−x=b的方程的解法: 解：ɑ−x+x=b+x b+x =ɑ x =ɑ−b 知识点09：解稍复杂的方程 形如ɑx±b=c的方程的解法： 如解形如b（x±ɑ）=c的方程，可以把（x±ɑ）看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少；或利用乘法分配律将其化为bx±ɑb=c的形式，再解方程。 解稍复杂的方程时，要灵活运用等式的基本性质求解。 知识点10：列方程解决实际问题 列方程解决实际问题的步骤: （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程； （3）解方程并检验作答。 解形如ɑx±b=c的方程，可以把ɑx看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少。 知识点11：x±bx=c的应用 1. 用方程解含有两个未知数的实际问题，可设其中的1倍数（标准量）为x，另一个未知数则用含有x的式子表示出来。 2. 形如ɑx±bx=c的方程的解法： 知识点12：ɑx±bx=c的应用 通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系，结合常用的数量关系式能帮助我们快速列出方程。 行程问题：根据速度、时间和路程三者之间的数量关系列方程解答。 题型一 用字母表示数、数量关系 【例1】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）如果按下图的方式摆五边形，图1需要5根小棒；图2需要9根小棒；图3需要13根小棒；图4需要17根小棒；图5需要( )根小棒；照这样摆，图m需要( )根小棒。 【答案】 21 4m＋1 【思路引导】观察可知，图1需要5根小棒，5＝1×4＋1；图2需要9根小棒，9＝2×4＋1；图3需要13根小棒，13＝3×4＋1；图4需要17根小棒，17＝4×4＋1……由此可知，小棒根数＝图几就用几×4＋1，据此分析。 【规范解答】5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（根） m×4＋1＝（4m＋1）根 图5需要21根小棒；照这样摆，图m需要（4m＋1）根小棒。 【变式】（24-25五年级上·广东揭阳·期末）按照如图的形式来摆桌子和椅子，摆5张桌子，有( )个座位；要有30个座位，需摆 ( )张桌子。 【答案】 22 7 【思路引导】观察图形，长方形桌子除首尾两张桌子以外都是每个长方形的长边分别摆2把椅子，首尾两张桌子的宽边各放一把椅子，据此找到每增加1张桌子时椅子的数量变化，总结出规律，计算摆5张桌子时椅子的数量也就是有多少个座位以及30个座位需要多少张桌子。 【规范解答】由分析可知： 如果摆放1张桌子，需要6把椅子，座位数量是：4×1＋2＝4＋2＝6（个） 如果摆放2张桌子，需要10把椅子，座位数量是：4×2＋2＝8＋2＝10（个） 如果摆放3张桌子，需要14把椅子，座位数量是：4×3＋2＝12＋2＝14（个） …… 按如图方式摆放，每增加1张桌子，就增加4把椅子，也就是增加4个座位。 所以，如果摆放n张桌子，座位数量是：4×n＋2＝（4n＋2）个 当摆放5张桌子时，椅子数量： 4×5＋2 ＝20＋2 ＝22（把） 22把椅子也就是22个座位。 当有30个座位时，可得：4n＋2＝30 n＝（30－2）÷4 ＝28÷4 ＝7（张） 所以，按照如图的形式来摆桌子和椅子，摆5张桌子，有22个座位；要有30个座位，需摆7张桌子。 题型二 用字母表示运算定律及计算公式 【例2】（22-23五年级上·河北邯郸·期末）……第8个图形中，有 个涂色小三角形，第20个图形中，有 个涂色小三角形。 【答案】 36 210 【思路引导】根据观察，图中涂色小三角形的个数分别是，1、1＋2＝3、1＋2＋3＝6…以此类推，第四个图形里有1＋2＋3＋4＝10，第五个图形就是1＋2＋3＋4＋5＝15，由此可得出第n个图形的涂色小三角形的总个数为1＋2＋3＋…＋n＝n×（n＋1）÷2；据此解答即可。 【规范解答】阴影三角形的规律是n×（n＋1）÷2，第8个图形中有： 8×（8＋1）÷2 ＝8×9÷2 ＝72÷2 ＝36（个） 第20个图形中有： 20×（20＋1）÷2 ＝20×21÷2 ＝420÷2 ＝210（个） 所以第8个图形中有36个，第20个图形中有210个。 【变式】（23-24五年级上·湖南张家界·期末）小军把27×（m－0.3）错算成27×m－0.3，他计算的结果与正确结果相差( )。 【答案】7.8 【思路引导】采用赋值法进行分析，假设m＝1，分别计算出27×（m－0.3）和27×m－0.3的结果，求差即可。含有字母的式子求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【规范解答】假设m＝1。 27×（m－0.3） ＝27×（1－0.3） ＝27×0.7 ＝18.9 27×m－0.3 ＝27×1－0.3 ＝27－0.3 ＝26.7 26.7－18.9＝7.8 小军把27×（m－0.3）错算成27×m－0.3，他计算的结果与正确结果相差7.8。 题型三 用字母表示稍复杂的数量关系 【例3】（24-25五年级上·西藏林芝·期末）厦门山海健康步道云海线总长约23千米，起于邮轮码头，止于观音山梦幻沙滩，央宗从邮轮码头出发，扎西从观音山梦幻沙滩出发，同时相向而行，4小时后相遇，________，扎西平均每小时行几千米？若算式是23÷4－a，横线上应补充的信息是（    ）。 A．央宗步行的平均速度是a千米/时 B．央宗走了a小时 C．扎西步行的平均速度是a千米/时 D．扎西走了a小时 【答案】A 【思路引导】分析算式：23÷4－a，其中23千米是指相向而行的总路程，同时出发，相向而行4小时相遇，则23÷4表示央宗和扎西每小时走的路程总和，求扎西平均每小时行多少千米，用央宗和扎西平均每小时走的路程总和－央宗平均每小时走的路程＝扎西平均每小时行几千米，所以算式是：23÷4－a，这个a就表示央宗步行的平均速度是a千米/时，据此分析。 【规范解答】扎西平均每小时行（23÷4－a）千米，则a表示央宗步行的平均速度。 横线上应补充的信息是：央宗步行的平均速度是a千米/时。 故答案为：A 【变式】（23-24五年级上·山东菏泽·期末）要修一段公路，平均每天修c米，修了6天，还剩b米。 （1）用含有字母的式子表示这段公路有多少米。 （2）根据这个式子，求c＝50，b＝200时，公路长多少米？ 【答案】（1）（6c＋b）米      （2）500米 【思路引导】（1）根据题意可得出数量关系：平均每天修路的长度×修的天数＋还剩的长度＝这条公路的全长，据此用含有字母的式子表示这段公路的全长。 （2）把c＝50，b＝200代入（1）的式子中，计算出得数即可。 【规范解答】（1）c×6＋b＝（6c＋b）米 答：这段公路有（6c＋b）米。 （2）当c＝50，b＝200时 6c＋b ＝6×50＋200 ＝300＋200 ＝500（米） 答：公路长500米。 题型四 含有字母式子的化简与求值 【例4】（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）小明今年a岁，爷爷比小明年龄的6倍还多8岁，则爷爷的年龄是( )岁。如果a为9岁时，爷爷的年龄是( )岁。 【答案】 62 【思路引导】用小明的年龄乘6，再加上8即可计算爷爷的年龄；当a＝9时，代入表示爷爷年龄的式子计算即可。 【规范解答】a×6＋8＝（6a＋8）岁 当a＝9时， 6×9＋8 ＝54＋8 ＝62（岁） 小明今年a岁，爷爷比小明年龄的6倍还多8岁，则爷爷的年龄是（6a＋8）岁。如果a为9岁时，爷爷的年龄是62岁。 【变式】（24-25五年级上·新疆哈密·期末）吴老师拿一张50元人民币去买钢笔，一支钢笔的单价是8.6元，老师买了b支钢笔应付( )元，应找回( )元，若b＝4时，应找回( )元。 【答案】 8.6b （50－8.6b） 15.6 【思路引导】钢笔单价×买的数量＝应付钱数，付的钱数－应付钱数＝应找回的钱数，据此用字母表示出应付钱数和应找回的钱数；求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【规范解答】应付钱数：8.6×b＝8.6b（元） 应找回的钱数：（50－8.6b）元 50－8.6b ＝50－8.6×4 ＝50－34.4 ＝15.6（元） 老师买了b支钢笔应付8.6b元，应找回（50－8.6b）元，若b＝4时，应找回15.6元。 题型五 等式的认识及列等量关系式 【例5】（24-25五年级上·河南新乡·期末）宏宏今年身高154厘米，他比去年长高了8厘米，宏宏去年身高多少厘米？设宏宏去年身高x厘米，在解决这个问题时，明明列出的方程是“x＋8＝154”，明明用的等量关系式是( )；亮亮列出的方程是“154－x＝8”，亮亮用的等量关系式是( )。 【答案】 去年身高＋8＝今年身高 今年身高－去年身高＝8 【思路引导】明明列出的方程“x＋8＝154”表示去年身高加上长高的高度等于今年身高，即去年身高＋8＝今年身高； 亮亮列出的方程“154－x＝8”表示今年身高减去去年身高等于长高的高度，即今年身高－去年身高＝8。 【规范解答】在解决这个问题时，明明列出的方程是“x＋8＝154”，明明用的等量关系式是去年身高＋8＝今年身高；亮亮列出的方程是“154－x＝8”，亮亮用的等量关系式是今年身高－去年身高＝8。 【变式】（24-25五年级上·山西长治·期末）在“绿色环保我行动”活动中，哥哥收集了a个易拉罐，妹妹收集了b个易拉罐。如果哥哥给妹妹8个，两人的易拉罐个数就同样多。a与b之间的相等关系可以表示为：( )＝( )。 【答案】 a－8 b＋8 【思路引导】哥哥原有a个，给妹妹8个后，哥哥剩余a－8个；妹妹原有b个，收到8个后，妹妹有b＋8个。此时两人易拉罐个数相等，所以a－8＝b＋8。 【规范解答】a与b之间的相等关系可以表示为：a－8＝b＋8。 题型六 方程的认识 【例6】（24-25五年级上·河北保定·期末）下列说法中，错误的是（    ）。 ①既是一个等式，也是一个方程。 ②两个小数相除，商一定大于1。 ③a÷0.9＞a（a≠0） ④三角形的底越长，它的面积就越大。 ⑤因为2×2=4，22=4，所以2a＝a2。 A．①②④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．①②⑤ 【答案】C 【思路引导】本题考查等式、方程的定义，小数除法的性质，商与被除数的关系，三角形面积以及乘法和乘方的区别。逐一分析。 ①等式是用等号表示左右两边相等的式子，方程是含有未知数的等式。 ②当被除数大于除数，商大于1；当被除数小于除数，商小于1；当被除数等于除数，商等于1。 ③一个数（0除外）除以一个小于1的数（0除外），商大于这个数。 ④三角形的面积＝底×高÷2，三角形的面积与底和高都有关系。 ⑤2a表示2个a相加，a2表示a和a相乘。 【规范解答】①0.5y＝4既是等式，又含有未知数，是方程。①的说法正确。 ②因为被除数和除数的大小无法比较，所以商与1也无法比较。②的说法错误。 ③因为0.9＜1且a≠0，所以a÷0.9＞a。③的说法正确。 ④高不确定，仅底越长，无法判断三角形面积是否越大。④的说法错误。 ⑤只有当a＝2时，2a＝a2，一般情况下2a和a2不相等。⑤的说法错误。 综上，②④⑤的说法错误。 故答案为：C 【变式】（24-25五年级上·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（    ）。 ①0.77777是循环小数。 ②方程一定是等式。 ③a÷0.5＝b×0.8＝c×1（a、b、c均不等于0），则a＜c＜b。 ④在计算5.22÷8.7时，如果去掉被除数和除数的小数点，那么商扩大到原来的10倍。 A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【思路引导】①一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。像5.333…和7.14545…都是循环小数。循环小数一定是无限小数； ②含有未知数的等式叫作方程，由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可； ③假设等式的值为1，分别求出a、b、c的值再比较大小； ④由商的变化规律可知，被除数扩大到原来的100倍，除数扩大到原来的10倍，则商扩大到原来的10倍，据此解答。 【规范解答】①0.77777是有限小数，不是循环小数。 ②由方程的意义可知，方程一定是等式。 ③假设a÷0.5＝b×0.8＝c×1＝1。 a：1×0.5＝0.5 b：1÷0.8＝1.25 c：1÷1＝1 因为0.5＜1＜1.25，所以a＜c＜b。 ④5.22去掉小数点后扩大到原来的100倍，8.7去掉小数点后扩大到原来的10倍，5.22÷8.7＝0.6，522÷87＝6，0.6扩大到原来的10倍是6，所以在计算5.22÷8.7时，如果去掉被除数和除数的小数点，那么商扩大到原来的10倍。 综上所述，说法正确的是②③④。 故答案为：D 题型七 列简易方程 【例7】（23-24五年级上·山西阳泉·期末）下列选项中，不能用方程来表示的是（    ）。 A．买3千克苹果，每千克x元，付出20元，找回2元 B．绕一个包装盒一圈需x厘米，用一根20厘米长的细绳绕包装盒3圈，还多出2厘米 C．3个小球总重量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为20克 【答案】C 【思路引导】A．根据单价×数量＝总价，据此可知买3千克的苹果需要用3x元，再用买苹果花去的钱数加上找回的钱数即可得到付的钱数，据此判断； B．绕一个包装盒一圈需x厘米，3圈需要用3x厘米，再加上多出的长度就是细绳的长度，据此判断； C．一个小球的质量为x克，3个小球总重量为3x克，用3个小球总重量减去一个大球的重量就是2克，据此判断。 【规范解答】A．买3千克苹果，每千克x元，付出20元，找回2元，可列方程为：3x＋2＝20； B．绕一个包装盒一圈需x厘米，用一根20厘米长的细绳绕包装盒3圈，还多出2厘米，可列方程：3x＋2＝20； C．3个小球总重量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为20克，可列方程为：3x－20＝2。 故答案为：C 【变式】（23-24五年级上·山西阳泉·期末）在第19届中国北京科技产业博览会上，一项“中国原创”的重大发明成为世界焦点，这项发明被称为“立体快巴”，也被称为“空中奔跑的巴士”“陆地空客”。普通公交车最大载客a人，“立体快巴”载客量是普通公交车最大载客量的15倍，“立体快巴”最大载客( )人。“立体快巴”的载客量比普通公交车的最大载客量还多1120人，根据上面所述数量关系列出方程是( )。 【答案】 15a 15a－a＝1120 【思路引导】求一个数的几倍是多少，用乘法计算，即用a乘15即可求出“立体快巴”最大载客的人数；因为“立体快巴”的载客量比普通公交车的最大载客量还多1120人，则可得数量关系：“立体快巴”的载客量－普通公交车的最大载客量＝1120，据此填空即可。 【规范解答】a×15＝15a（人） 普通公交车最大载客a人，“立体快巴”载客量是普通公交车最大载客量的15倍，“立体快巴”最大载客15a人。“立体快巴”的载客量比普通公交车的最大载客量还多1120人，根据上面所述数量关系列出方程是15a－a＝1120。 题型八 应用等式的性质1和2解方程 【例8】（24-25五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）解方程。                      【答案】x＝5.7；x＝40；x＝4.4 【思路引导】根据等式的性质2， 方程两边同时除以8，两边再同时加上3.5； 先把方程左边化简为1.45x，根据等式的性质2，两边再同时除以1.45； 先计算出6×1.4＝8.4，根据等式的性质1和2，两边再同时加上8.4，最后两边再同时除以6。 【规范解答】（x－3.5）×8＝17.6 解：（x－3.5）×8÷8＝17.6÷8 x－3.5＝2.2 x－3.5＋3.5＝2.2＋3.5 x＝5.7 3x－1.55x＝58 解：1.45x＝58 1.45x÷1.45＝58÷1.45 x＝40 6x－6×1.4＝18 解：6x－8.4＝18 6x－8.4＋8.4＝18＋8.4 6x＝26.4 6x÷6＝26.4÷6 x＝4.4 【变式】（24-25五年级上·河北邢台·期末）解方程。 4.8x－3.56＝4.6       （5.2x＋13.58）×3＝85.2 【答案】x＝1.7；x＝2.85 【思路引导】依据等式的基本性质，解第一个方程4.8x3.56 ＝ 4.6时，先在等式两边同时加3.56，左边就剩下4.8x，右边算出来是8.16，再在等式两边同时除以4.8，就能算出x＝1.7；解第二个方程（5.2x＋13.58）×3＝85.2时，先在等式两边同时除以3，把左边的括号单独留下来，得到5.2x＋13.58＝28.4，接着在等式两边同时减13.58，左边剩下5.2x，右边算出来是14.82，最后两边同时除以5.2，就能算出x＝2.85。 【规范解答】 解 解 题型九 解含括号的方程 【例9】（24-25五年级上·新疆哈密·期末）解方程。 （1）6x－0.8＝4.6        （2）2.7＋x＝10.4        （3）6×（0.5＋x）＝9 【答案】（1）x＝0.9；（2）x＝7.7；（3）x＝1 【思路引导】（1）6x－0.8＝4.6，根据等式的性质1和2，两边同时加0.8，再同时除以6即可； （2）2.7＋x＝10.4，根据等式的性质1，两边同时减2.7即可； （3）6×（0.5＋x）＝9，根据等式的性质1和2，两边同时除以6，再同时减0.5即可。 【规范解答】（1）6x－0.8＝4.6 解：6x－0.8＋0.8＝4.6＋0.8 6x＝5.4 6x÷6＝5.4÷6 x＝0.9 （2）2.7＋x＝10.4 解：2.7＋x－2.7＝10.4－2.7 x＝7.7 （3）6×（0.5＋x）＝9 解：6×（0.5＋x）÷6＝9÷6 0.5＋x＝1.5 0.5＋x－0.5＝1.5－0.5 x＝1 【变式】（24-25五年级上·重庆渝中·期末）解方程。 ①   ②      ③   ④ 【答案】①x＝8.4；②x＝2；③x＝2.3；④x＝0.7 【思路引导】根据等式的性质：等式的左右两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左右两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍然成立。 ①方程左右两边同时乘4.2，即可解答； ②先将等号左边的式子化简，然后方程左右两边同时除以0.64，即可解答； ③先算出5×0.6＝3，然后方程左右两边同时加上3，最后方程左右两边同时除以4，即可解答； ④方程左右两边同时除以3.4，然后方程左右两边同时减去1.5，即可解答。 【规范解答】① 解： x＝8.4 ② 解：0.64x＝1.28 0.64x÷0.64＝1.28÷0.64 x＝2 ③ 解：4x－3＝6.2 4x－3＋3＝6.2＋3 4x＝9.2 4x÷4＝9.2÷4 x＝2.3 ④ 解： x＋1.5＝2.2 x＋1.5－1.5＝2.2－1.5 x＝0.7 题型十 解等号两边都有未知数的方程 【例10】（22-23五年级上·辽宁鞍山·期末）下面各题的叙述正确的是（    ）。 A．x2＝x＋x B．x＝0.5是方程3÷x＝1.5的解。 C．6－4x＝2x D．13x＋65＝13×（x＋5） 【答案】D 【思路引导】A．一个数的平方等于这个数乘这个数； B．根据等式的性质2，等式两边同时乘x，即原式变为：3＝1.5x，把x＝0.5代入，看等式是否成立； C．当x＝1时，该方程成立，但是当x等于其它的值时，该方程就不成立； D．根据乘法分配律：a×b＋a×c＝a×（b＋c），据此进行计算即可。 【规范解答】A．x2＝x·x，原算式计算错误； B．当x＝0.5时 3＝1.5x 当x＝0.5时，1.5×0.5＝0.75，0.75≠3 所以x＝0.5不是该方程的解； C．当x＝1时 6－4x＝6－4×1＝2 2x＝2×1＝2 此时6－4x＝2x； 当x＝0.5时 6－4x＝6－4×0.5＝4 2x＝2×0.5＝1 此时6－4x≠2x，原题干计算错误； D．13x＋65＝13·x＋13×5＝13×（x＋5），原式计算正确。 故答案为：D。 【考点剖析】本题考查用方程的解，明确方程的解的定义是解题的关键。 【变式】（21-22五年级上·山西阳泉·期末）根据如图，等量关系不成立的是（    ）。 A．29＋2x－x＝48 B．29＋x＋2x＝48 C．48－2x＝29－x D．48＋x＝29＋2x 【答案】B 【思路引导】由图可知，x和48的和与29和2x的和都等于整条线段的量，据此列出方程48＋x＝29＋2x或29＋2x＝48＋x，再根据等式的性质将方程变形。 【规范解答】A．48＋x＝29＋2x 解：48＋x－x＝29＋2x－x 29＋2x－x＝48 29＋2x－x＝48等式成立； B．48＋x＝29＋2x 解：29＋2x＋x＝48＋x＋x 29＋x＋2x＝48＋2x 29＋x＋2x＝48等式不成立； C．48＋x＝29＋2x 48＋x－x＝29＋2x－x 48＝29＋x 48－2x＝29＋x－2x 48－2x＝29－x 48－2x＝29－x等式成立； D．48＋x＝29＋2x等式成立。 故答案为：B 【考点剖析】根据线段图列出正确的方程并并根据等式的性质将方程变形是解答题目的关键。 题型十一 方程的检验 【例11】（24-25五年级上·湖南长沙·期末）解下列方程。（带☆号的要检验） 4.2x－16.8＝25.2       6.7x＋4.3x＝38.5       ☆（10.5－x）÷1.2＝1.5 【答案】x＝10；x＝3.5；x＝8.7 【思路引导】根据等式的性质，方程两边同时加上16.8，然后再同时除以4.2求解； 计算得11x＝38.5，再根据等式的性质，方程两边同时除以11求解； 根据等式的性质，方程两边同时乘1.2，然后再同时加上x，交换两边位置，最后同时减去1.8求解；检验：把得到的未知数的值代入方程的左边，得到的数值与右边相等，即可验证是原方程的解。 【规范解答】（1）4.2x－16.8＝25.2 解：4.2x－16.8＋16.8＝25.2＋16.8 4.2x＝42 4.2x÷4.2＝42÷4.2 x＝10 （2）6.7x＋4.3x＝38.5 解：11x＝38.5 11x÷11＝38.5÷11 x＝3.5 （3）（10.5－x）÷1.2＝1.5 解：（10.5－x）÷1.2×1.2＝1.5×1.2 10.5－x＝1.8 10.5－x＋x＝1.8＋x 1.8＋x＝10.5 1.8＋x－1.8＝10.5－1.8 x＝8.7 检验：把x＝8.7代入方程的左边， 左边＝（10.5－8.7）÷1.2 ＝1.8÷1.2 ＝1.5 右边＝1.5 左边＝右边 所以x＝8.7是原方程的解。 【变式】（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）解下列方程，带*的要检验。             * 【答案】；； 【思路引导】根据等式的性质1和2，在方程两侧同时减去23，再方程两侧同时除以6即可解方程； 先计算12.5与8的乘积，根据等式的性质1，在方程两侧同时加上，再同时方程两侧减去63.5即可解方程； 根据等式的性质1和2，在方程两侧同时除以4，然后方程两侧同时加5，最后方程两侧同时除以6即可解方程，验算时把x的值代入方程计算即可。 【规范解答】 解： 解： 解： 将代入； 右侧 左边＝右边 所以是原方程的解。 题型十二 列方程解含一个未知数的问题 【例12】（24-25五年级上·新疆哈密·期末）低碳生活是指人们在生活中尽量减少碳排放量，从而减少碳（特别是二氧化碳）排放量的一种生活方式，小华的爸爸也加入了低碳生活的行列，他每天采用“步行＋公交＋步行”的方式上班。他每天9：00从家出发，先步行5分钟到达公交站，再乘坐20分钟的公交车，再步行15分钟到达单位。已知小华家到爸爸上班单位的路程是13000米，小华爸爸的步行速度是90米/分钟，问公交车的速度是多少米/分钟？ 【答案】 560米/分钟 【思路引导】已知小华家到爸爸上班单位的路程是13000米，先步行5分钟到达公交站，再乘坐20分钟的公交车，再步行15分钟到达单位，共步行5＋15＝20分钟，爸爸步行速度是90米/分钟，根据“路程＝速度×时间”求出爸爸步行的路程为90×20＝1800米；设公交车的速度为x米/分钟，则公交车行驶的路程为20x米，根据“步行的路程＋公交车行驶的路程＝总路程”，可列出方程为1800＋20x＝13000，根据等式的性质，方程两边同时减去1800，再同时除以20求解出x，即为公交车的速度。 【规范解答】90×（5＋15） ＝90×20 ＝1800（米） 解：设公交车的速度为x米/分钟。 1800＋20x＝13000 1800＋20x－1800＝13000－1800 20x＝11200 20x÷20＝11200÷20 x＝560 答：公交车的速度是560米/分钟。 【变式】（24-25五年级上·云南昭通·期末）那拉高速公路是世界上海拔最高的高速公路，全长295千米。甲车每小时行92千米，乙车每小时行88千米，甲、乙两车分别从这条公路的两端相向开出，甲车出发0.8小时后，乙车才开出。乙车开出几小时后与甲车相遇？（列方程解决） 【答案】1.23小时 【思路引导】先明确“甲车先行的路程＋乙车共同行驶的路程＝公路全长”的等量关系，设乙车开出x小时后相遇，再分别用92×0.8表示甲车先行的路程、（92＋88）x表示两车共同行驶的路程，结合总路程295千米列出方程，最后通过解方程求出x的值，即为乙车开出后相遇的时间。 【规范解答】解：设乙车开出小时后与甲车相遇。 92×0.8＋（92＋88）x＝295 73.6＋180x＝295 73.6＋180x－73.6＝295－73.6 180x＝221.4 180x÷180＝221.4÷180 x＝1.23 答：乙车开出1.23小时后与甲车相遇。 题型十三 列方程解含两个未知数的问题 【例13】（24-25五年级上·湖南株洲·期末）就地热再生技术能一次性实现旧沥青混凝土路面全部原价值就地循环再生利用，有效减少了施工带来的有害气体排放。甲、乙两支修路队同时利用就地热再生技术合修一条440米长的公路。两队各从一端相向施工，5天修完，甲队的施工速度比乙队的1.5倍多3米。甲、乙两队每天分别修多少米？ （1）根据题意列出数量关系。 （2）列方程解答。 【答案】（1）（甲队每天修的长度＋乙队每天修的长度）×天数＝需要修的总长度 （2）54米；34米 【思路引导】（1）根据“合作效率×合作时间＝总长度”可列出等量关系式“（甲队每天修的长度＋乙队每天修的长度）×天数＝需要修的总长度”； （2）设乙队每天修米，则甲队每天修米。根据（1）的等量关系式列方程求解即可。 【规范解答】（1）根据题意列出数量关系为：（甲队每天修的长度＋乙队每天修的长度）×天数＝需要修的总长度； （2）解：设乙队每天修米，则甲队每天修米。 1.5×34＋3 ＝51＋3 ＝54（米） 答：甲、乙两队每天分别修54米、34米。 【变式】（24-25五年级上·重庆长寿·期末）长寿柚是具有悠久历史和独特风味的水果。汁多味浓、醇甜化渣，素有“天然罐头”的美誉。妈妈买A、B两种长寿柚共用460元，已知两种长寿柚共买了50个。 ？ （1）在横线上提出一个两步及以上解决的数学问题。 规格（质量） 单价 A．1kg以上 10元/个 B．0.8kg～1kg 8元/个 （2）解答提出的问题。 【答案】（1）买B种长寿柚多少钱？ （2）160元 【思路引导】（1）依据题意可设A种长寿柚x个，则B种长寿柚（50－x）个，利用“买A、B两种长寿柚共用460元”列方程计算A种长寿柚个数，B种长寿柚个数，可以提问：买B种长寿柚多少钱？（答案不唯一） （2）依据（1）计算出的B种长寿柚个数，利用总价＝单价×数量计算即可。（答案不唯一） 【规范解答】根据分析： （1）买B种长寿柚多少钱？（答案不唯一） （2）解：设A种长寿柚x个，则B种长寿柚（50－x）个 10x＋8×（50－x）＝460 10x＋400－8x＝460 2x＋400＝460 2x＋400－400＝460－400 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 50－30＝20（个） 20×8＝160（元） 答：买B种长寿柚160元。 （答案不唯一） 题型十四 列方程解决稍复杂的实际问题 【例14】．（22-23五年级上·河南郑州·期末）郑州市动物园位于郑州市金水区花园路北段，是河南省唯一一座专业性动物园。周末苗苗到动物园参观，发现一片园区里养有单峰骆驼和双峰骆驼，她数了数共有36个头，48个驼峰，那么这个园区内共有（    ）头双峰骆驼。 A．24 B．12 C．18 D．6 【答案】B 【思路引导】设这个园区内共有x头双峰骆驼，则单峰骆驼有（36－x）头，单峰骆驼数量×1＋双峰骆驼×2＝48，据此列出方程求出x的值即可。 【规范解答】解：设这个园区内共有x头双峰骆驼。 （36－x）×1＋2x＝48 36－x＋2x＝48 36＋x＝48 36＋x－36＝48－36 x＝12 这个园区内共有12头双峰骆驼。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查鸡兔同笼问题，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【变式】（22-23五年级上·江西赣州·期末）有几位同学分一筐脐橙，小明说：“如果每个同学分5个脐橙，则多出7个脐橙。”小聪又说：“如果每个同学分8个脐橙，则少11个脐橙。”这筐脐橙共有多少个？ 【答案】37个 【思路引导】设共有x为同学，因为脐橙的数量不变，根据同学人数×5＋7＝同学人数×8－11，列出方程求出x的值，是同学人数，同学人数×5＋7＝脐橙个数，据此列式解答。 【规范解答】解：设共有x位同学。 5x＋7＝8x－11 5x＋7－5x－7＝8x－11－5x－7 3x－18＝0 3x－18＋18＝0＋18 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 5×6＋7 ＝30＋7 ＝37（个） 答：这筐脐橙共有37个。 【考点剖析】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·广东广州·期末）新年快到了，妈妈和小华一起包饺子。妈妈包了56个饺子，如果妈妈再包4个，就是小华包的饺子数的3倍。设小华包了x个饺子，根据题意，所列方程正确的是（    ）。 A．3x＋4＝56 B．3x＝56＋4 C． D． 【答案】B 【思路引导】题中设小华包了x个饺子，根据等量关系：小华包的饺子数×3＝妈妈包的饺子数＋4，列方程解答即可。 【规范解答】3x＝56＋4 解：3x＝60 3x÷3＝60÷3 x＝20 新年快到了，妈妈和小华一起包饺子。妈妈包了56个饺子，如果妈妈再包4个，就是小华包的饺子数的3倍。设小华包了x个饺子，根据题意，所列方程正确的是3x＝56＋4。 故答案为：B 2．（24-25五年级上·江西赣州·期末）2024年赣州马拉松全马人数为x人，半马人数比全马人数的2倍少3000，那么半马人数为（    ）。 A．2x－3000 B．x÷2－3000 C．2（x－3000） 【答案】A 【思路引导】解答这道题需明确“求一个数的几倍是多少，用乘法”，这道题的等量关系为：半马人数全马人数，据此解答。 【规范解答】根据分析： 半马人数 所以半马人数为2x－3000。 故答案为：A 3．（24-25五年级上·河北唐山·期末）x＝（    ）是方程的解。 A．0.5 B．5 C．5.5 D．55 【答案】B 【思路引导】根据等式的性质：等式两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍然成立。 方程左右两边同时加上0.5x，然后方程左右两边同时减去12.5，最后方程左右两边同时除以0.5，即可求出x的值；据此解答。 【规范解答】 解：15－0.5x＋0.5x＝12.5＋0.5x 15＝12.5＋0.5x 12.5＋0.5x＝15 12.5＋0.5x－12.5＝15－12.5 0.5x＝2.5 0.5x÷0.5＝2.5÷0.5 x＝5 因此，x＝5是方程的解。 故答案为：B 4．（24-25五年级上·江西赣州·期末）赣州高架路总里程127千米，已经修建好n千米，还剩( )千米要修，当n＝98时，还剩( )千米要修。 【答案】 127－n 29 【思路引导】已知已经修建好n千米，用总里程减去已经修建的里程即为剩余需要修建的里程。当n＝98时，代入计算即可。 【规范解答】127－n 当n＝98时 127－n＝127－98＝29（千米） 还剩127－n千米要修，当n＝98时，还剩29千米要修。 5．（24-25五年级上·江西赣州·期末）小华今年x岁，王老师的年龄是小华年龄的3倍少4岁，王老师今年( )岁。 【答案】3x－4 【思路引导】根据题意分析，小华今年x岁，王老师的年龄是小华年龄的3倍少4岁，也就x乘3减去4即3x－4。据此分析解答即可。 【规范解答】小华今年x岁，王老师的年龄是小华年龄的3倍少4岁，王老师今年（3x－4）岁。 6．（24-25五年级上·天津蓟州·期末）若，则。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据乘法交换律和结合律，可将重新组合为。把，代入后计算出结果，即可解答。 【规范解答】 ＝ ＝ 把，代入得： ＝3×2 ＝6 所以若，则。说法正确。 故答案为；√ 7．（24-25五年级上·四川凉山·期末）等式的两边同时乘或除以相同的数，等式仍然成立。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】根据等式的性质，等式两边同时乘或除以同一个不为零的数，等式仍然成立。题干中未说明“相同的数”不能为零，因此当该数为零时，除以零的操作无效，等式不一定成立。 【规范解答】等式的两边同时乘或除以相同的数，如果该数为零，则除以零没有意义，等式不成立。因此，题目的说法是错误的。 故答案为：× 8．（24-25五年级上·江西赣州·期末）解方程。 x＋6.7＝13.5        3（x＋4）＝33        2x－18＝6.6 【答案】x＝6.8；x＝7；x＝12.3 【思路引导】根据等式的性质，方程两边同时减去6.7求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时除以3，再同时减去4求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时加上18，再同时除以2求解出x。 【规范解答】x＋6.7＝13.5 解：x＋6.7－6.7＝13.5－6.7 x＝6.8     3（x＋4）＝33 解：3（x＋4）÷3＝33÷3 x＋4＝11 x＋4－4＝11－4 x＝7     2x－18＝6.6 解：2x－18＋18＝6.6＋18 2x＝24.6 2x÷2＝24.6÷2 x＝12.3 9．（24-25五年级上·广东广州·期末）“古有嫦娥奔月，今有神舟飞天。”2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，本次航天员乘组在空间站组合体共工作生活192天。神舟十八号航天员乘组在空间站组合体工作生活的时间比神舟十二号的2倍还多12天。神舟十二号航天员乘组在空间站组合体工作生活了多少天？ 【答案】90天 【思路引导】因为神舟十八号航天员乘组在空间站组合体工作生活的时间比神舟十二号的2倍还多12天，即神舟十二号航天员乘组在空间站组合体工作生活的时间×2＋12＝神舟十八号航天员乘组在空间站组合体工作生活的时间，设神舟十二号航天员乘组在空间站组合体工作生活了x天，所以可列方程2x＋12＝192。然后根据等式的性质进行解方程即可。 【规范解答】解：设神舟十二号航天员乘组在空间站组合体工作生活了x天。 2x＋12＝192 2x＋12－12＝192－12 2x＝180 2x÷2＝180÷2 x＝90 答：神舟十二号航天员乘组在空间站组合体工作生活了90天。 10．（24-25五年级上·河南三门峡·期末）当橙子有了“碳标签”，意味着更加绿色健康。今年在四川蒲江，核算“碳足迹”的“爱媛橙”成了紧俏货。该地某合作社2024年“爱媛橙”销售量为64.5吨，比去年同期“爱媛橙”销量的2倍少8.5吨。该合作社去年“爱媛橙”的销量是多少吨？ 【答案】36.5吨 【思路引导】设去年同期“爱媛橙”销量为吨。根据等量关系式：去年同期“爱媛橙”销量×2－8.5＝2024年“爱媛橙”销售量，代入数值列方程求解即可。 【规范解答】解：设去年同期“爱媛橙”销量为吨。 答：该合作社去年“爱媛橙”的销量是36.5吨。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·广东广州·期末）如图，像这样摆下去，摆4个正六边形需要21根小棒，摆n个正六边形需要（    ）根小棒。 A．6n B．6n＋1 C．5n D．5n＋1 【答案】D 【思路引导】根据图示发现： 摆1个六边形需要小棒：6根； 摆2个六边形需要小棒根； 摆3个六边形需要小棒根； 摆n个六边形需要小棒的根数是，化简即可。 【规范解答】 摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。 故答案为：D 【考点剖析】解决这类图形拼摆规律题的核心是：找出第一个图形的数量，以及后续每个图形与前一个的共用部分，然后总结出通用公式。 2．（24-25五年级上·福建厦门·期末）商店运来苹果50千克，_________，运来梨子多少千克？若设运来梨子千克，可以用方程解答。横线上需要补充的信息是（    ）。 A．梨子的质量比苹果的1.5倍还少2千克 B．苹果的质量比梨子的1.5倍还少2千克 C．梨子的质量比苹果的1.5倍还多2千克 D．苹果的质量比梨子的1.5倍还多2千克 【答案】D 【思路引导】假设把各选项的信息填在横线上，分析各选项的等量关系，列出方程，找出符合题意的选项。 A．等量关系：苹果的质量×1.5－2＝梨的质量。 B．等量关系：梨的质量×1.5－2＝苹果的质量。 C．等量关系：苹果的质量×1.5＋2＝梨的质量。 D．等量关系：梨的质量×1.5＋2＝苹果的质量。 【规范解答】A．根据等量关系列出方程：50×1.5－2＝x。该选项不符合题意。 B．根据等量关系列出方程：1.5x－2＝50。该选项不符合题意。 C．根据等量关系列出方程：50×1.5＋2＝x。该选项不符合题意。 D．根据等量关系列出方程：1.5x＋2＝50。该选项符合题意。 故答案为：D 3．（24-25五年级上·广东广州·期末）下面说法错误的是（    ）。 A．5n×0.2＝n B．如果a＝b，那么a＋2b＝3b C．x＋y＝7是方程 D．x＝0是方程的解 【答案】D 【思路引导】可以先算出5×0.2的结果，再与n相乘，字母和数字相乘，数字在前，字母在后，据此化简即可。 将a＝b代入a＋2b中，看是否等于3b。 含有未知数的等式叫方程。 根据等式的性质1在方程x－6＝6的两边分别加上6，求出方程的解，再判断。 据此分析判断四个选项，找出错误的即可。 【规范解答】A．5n×0.2＝5×0.2×n＝1×n＝n，原题化简正确。 B．如果a＝b，那么a＋2b＝b＋2b＝3b。原题化简正确。 C．x＋y＝7含有未知数x和y，且是等式，所以它是方程。 D． 解：x－6＋6＝6＋6 x＝12 所以，x＝0不是方程的解。原题计算错误。 故答案为：D 4．（24-25五年级上·广东广州·期末）加工一批零件，李师傅每天加工a个，张师傅每天加工9个，两人合作一起加工了10天完成任务。这批零件一共有( )个。当a＝10时，这批零件一共有( )个，李师傅加工零件的总数比张师傅多加工( )个。 【答案】 10a＋90 190 10 【思路引导】用李师傅每天加工的个数加张师傅每天加工的个数即为两人每天加工的总个数，然后再乘加工的天数即可计算出这批零件一共有多少个。然后将a＝10代入算式计算即可计算出零件的总个数，用李师傅每天加工的个数减去张师傅每天加工的个数后再乘加工的天数即为李师傅加工零件的总数比张师傅多加工多少个。 【规范解答】（a＋9）×10 ＝10a＋9×10 ＝（10a＋90）个 当a＝10时： 10×10＋90 ＝100＋90 ＝190（个） （10－9）×10 ＝1×10 ＝10（个） 加工一批零件，李师傅每天加工a个，张师傅每天加工9个，两人合作一起加工了10天完成任务。这批零件一共有（10a＋90）个。当a＝10时，这批零件一共有190个，李师傅加工零件的总数比张师傅多加工10个。 5．（24-25五年级上·重庆长寿·期末）昆虫爱好者发现：在一定温度范围内，某地蟋蟀每分钟叫的次数与气温之间有如下近似关系：h＝t÷7＋3，h表示当时的气温（℃），t表示蟋蟀每分钟叫的次数。如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是( )℃；当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫( )次。 【答案】 19 189 【思路引导】根据关系式：h＝t÷7＋3，把t＝112代入式子中，计算出h的值，即是当时的气温；由关系式：h＝t÷7＋3可得，t＝（h－3）×7，把h＝30代入式子中，计算出t的值，即是蟋蟀每分钟大约叫的次数。 【规范解答】当t＝112时 h＝t÷7＋3 ＝112÷7＋3 ＝16＋3 ＝19（℃） 当h＝30时 t＝（h－3）×7 ＝（30－3）×7 ＝27×7 ＝189（次） 所以如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是19℃；当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫189次。 6．（24-25五年级上·湖南郴州·期末）方程和方程的解相等。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】，先利用等式的性质1，方程两边同时加上15，再利用等式的性质2，方程两边同时除以5；，先利用等式的性质1，方程两边同时减去1，再利用等式的性质2，方程两边同时除以2，由此求出两个方程的解，最后判断它们的解是否相等，据此解答。 【规范解答】 解： 解： 由上可知，方程和方程的解都是，所以它们的解相等，题目说法正确。 故答案为：√ 7．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）解方程。 12x－2×1.05＝46.5                  x＋1.2x＝12.76 15（x＋5）＝225                       （x－7）÷5＝35.4 【答案】x＝4.05；x＝5.8； x＝10；x＝184 【思路引导】（1）先计算方程左边的乘法2×1.05＝2.1，再根据等式的性质1，给方程的两边同时加2.1，根据等式的性质2，给方程的两边同时除以12，解出x的值； （2）先计算方程的左边，相当于1个x和1.2个x的和，即（1＋1.2）x＝2.2x，再根据等式的性质2，给方程的两边同时除以2.2，解出x的值； （3）把（x＋5）当成一个整体，先根据等式的性质2，给方程的两边同时除以15，根据等式的性质1，再给方程的两边同时减5，解出x的值； （4）把（x－7）当成一个整体，先根据等式的性质2，给方程的两边同时乘5，再根据等式的性质1，再给方程的两边同时加7，解出x的值。 【规范解答】（1）12x－2×1.05＝46.5 解：12x－2.1＝46.5 12x－2.1＋2.1＝46.5＋2.1 12x＝48.6 12x÷12＝48.6÷12 x＝4.05 （2）x＋1.2x＝12.76 解：（1＋1.2）x＝12.76 2.2x＝12.76 2.2x÷2.2＝12.76÷2.2 x＝5.8 （3）15（x＋5）＝225 解：15（x＋5）÷15＝225÷15 x＋5＝15 x＋5－5＝15－5 x＝10 （4）（x－7）÷5＝35.4 解：（x－7）÷5×5＝35.4×5 x－7＝177 x－7＋7＝177＋7 x＝184 8．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）果园里有桃树180棵，比梨树的4倍多8棵，梨树有多少棵？（用方程解答） 【答案】43棵 【思路引导】把果园里梨树的棵数设为未知数，桃树比梨树的4倍多8棵，等量关系式：梨树的棵数×4＋8棵＝桃树的棵数，据此列方程解答。 【规范解答】解：设梨树有棵。 答：梨树有43棵。 9．（24-25五年级上·江西赣州·期末）老师准备了一些纸箱用来装赣南脐橙，如果每箱装20千克，正好装完：如果每箱装30千克，只要用10个箱子。老师准备了多少个纸箱？（用方程解答） 【答案】 15个 【思路引导】脐橙的总重量是固定的，两种装箱方式的总重量相等。设老师准备了x个纸箱，每箱装20千克，总重量为20x千克；如果每箱装30千克，需装10个箱子，总重量是30×10＝300千克。根据总重量相等可列方程为20x＝30×10，计算得20x＝300，然后根据等式的性质，方程两边同时除以20求解出x，即为老师准备的纸箱个数。据此解答。 【规范解答】解：设老师准备了x个纸箱。 20x＝30×10 20x＝300 20x÷20＝300÷20 x＝15 答：老师准备了15个纸箱。 10．（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）哈尔滨到鄂伦春自治旗的公路里程是744千米，李叔叔驾车从哈尔滨到鄂伦春自治旗，每小时行驶90千米，行驶了5小时后因有紧急任务，必须要在3小时内到达鄂伦春，李叔叔驾车至少每小时行驶多少千米才能准时到达？（用方程解答） 【答案】98千米 【思路引导】速度×时间＝路程，设李叔叔驾车至少每小时行驶x千米才能准时到达，根据开始速度×已行驶时间＋后来速度×需要时间＝总路程，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设李叔叔驾车至少每小时行驶x千米才能准时到达。 90×5＋3x＝744 450＋3x＝744 450＋3x－450＝744－450 3x＝294 3x÷3＝294÷3 x＝98 答：李叔叔驾车至少每小时行驶98千米才能准时到达。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）如图，将一个正方形的边长增加1.3厘米，得到一个新的正方形。用含有字母a的式子表示“增加的面积”，其中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】 如图。 方法一：增加的面积就是（长方形①＋长方形②＋正方形③）的面积，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，分别计算出①、②、③，相加即可； 方法二：增加的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积； 方法三：可以将3部分拼成一个大长方形，大长方形的长＝原小正方形的边长×2＋增加的边长，大长方形的宽＝增加的边长，根据长方形面积公式，即可计算增加的面积。 【规范解答】A．，表示①的面积＋②的面积＋③的面积，求出的是增加的面积，正确； B．，是大正方形的边长，大正方形的边长×增加的边长＝（①＋③）的面积，再乘2表示（①＋②＋③＋③）的面积，多算了1个小正方形③的面积，错误； C．，表示大正方形的面积－小正方形的面积，求出的是增加的面积，正确； D．，如图，将①、②和③拼成一个大长方形，是大长方形的长，1.3是大长方形的宽，根据长方形面积＝长×宽，求出增加的面积，正确。 错误的是。 故答案为：B 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用长方形和正方形面积公式。 2．（23-24五年级下·福建厦门·期末）杠称是我国古代计量物体重量的工具，战国时期的《墨经》最早记录了杠称的原理。在称杆上安装吊绳作为支点，一端挂上重物，另一端挂上砝码或秤锤（称为“权”），支点到权一端的距离称为“标”，支点到重物端的距离称“本”，杠称的两端平衡就可以知道物体的重量（如图1）；移动支点的位置，“权”的位置和数量也随之变化（如图2）。 根据以上信息，图3中“权”的位置应该在（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【思路引导】观察图1，1个重物＝4个权，观察图2，2个权×4＝1个重物×2，由此可知，权×标＝重物×本，观察图3，2个重物×2＝4个权×2×2＝2个权×8，因此权的位置应该距支点8个标段处，据此分析。 【规范解答】因为1个重物＝4个权，所以2个重物＝4个权×2＝8个权 8个权×2÷2＝8（段） 图3中“权”的位置应该在①。 故答案为：A 【考点剖析】关键是根据图1和图2，确定权和重物之间的关系，将重物代换成权，即可确定标距。 3．（23-24五年级上·四川绵阳·期末）帅帅前几次数学考试的平均成绩是87.5，这一次的校考如果考105分，平均成绩正好是91分，这是帅帅的第（    ）次数学考试。 A．3 B．4 C．5 【答案】C 【思路引导】假设帅帅前面已经考了x次，这一次是第（x＋1）次考试，前面x次的总分是x×87.5分，再加上这一次校考的分数105分，求出总的分数，再除以考试的总次数，等于平均成绩91分，据此列出方程，解方程求出帅帅已经参加的次数，最后加1即可得解。 【规范解答】解：设帅帅前面已经考了x次。 （87.5×x＋105）÷（x＋1）＝91 87.5x＋105＝91×（x＋1） 87.5x＋105＝91＋91x 91x－87.5x＝105－91 3.5x＝14 x＝14÷3.5 x＝4 4＋1＝5（次） 即这是帅帅的第5次数学考试。 故答案为：C 【考点剖析】此题的解题关键是弄清题意，把帅帅前面考试的次数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 4．（23-24五年级上·四川乐山·期末）⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2，⊙＋★＋★＝1.6，⊙＝( )，★＝( )。 【答案】 0.8 0.4 【思路引导】观察可知，算式⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2包含3个⊙和2个★，算式⊙＋★＋★＝1.6包含1个⊙和2个★，将两个算式的结果相减，剩下2个⊙的结果，除以2是⊙；再将⊙的值代入⊙＋★＋★＝1.6，1.6减去⊙的值，除以2是★的值。 【规范解答】（3.2－1.6）÷2 ＝1.6÷2 ＝0.8 （1.6－0.8）÷2 ＝0.8÷2 ＝0.4 ⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2，⊙＋★＋★＝1.6，⊙＝0.8，★＝0.4。 【考点剖析】关键是利用等量代换的思想，将2个★抵消，先求出⊙的值。 5．（23-24五年级上·河南驻马店·期末）王老师带领99名学生种100棵树，他先种了一棵示范后，安排男生一人种两棵，女生每两人种一棵。植树的男生有( )人，女生有( )人。 【答案】 33 66 【思路引导】设男生有x人，则女生有（99－x）人，女生每两人种一棵，即女生植树棵数是人数的一半，根据男生人数×2＋女生人数×0.5＝总棵数－1，列出方程求出x的值是男生人数，学生总人数－男生人数＝女生人数。 【规范解答】解：设男生有x人。 2x＋（99－x）×0.5＝100－1 2x＋49.5－0.5x＝99 1.5x＋49.5＝99 1.5x＋49.5－49.5＝99－49.5 1.5x＝49.5 1.5x÷1.5＝49.5÷1.5 x＝33 99－33＝66（人） 植树的男生有33人，女生有66人。 【考点剖析】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 6．（22-23五年级上·江苏盐城·期末）用小棒照下面的样子摆出三组图形。 (1)摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用( )根小棒，摆3个正方形要用( )根小棒。接着往下摆，摆到第4组时，要用( )根小棒。摆6个正方形用( )根小棒。 (2)摆n个正方形需要( )根小棒；当n＝100时，一共需要( )根小棒。 【答案】(1) 7 10 16 19 (2) 3n＋1 301 【思路引导】（1）观察图形可知，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，摆4个正方形要用13根小棒……发现：每增加一个正方形，小棒的数量增加3根，据此找到规律，按此规律解答。 （2）摆1个正方形要用4根小棒，4＝3×1＋1； 摆2个正方形要用7根小棒，7＝3×2＋1； 摆3个正方形要用10根小棒，10＝3×3＋1； 摆4个正方形要用13根小棒，13＝3×4＋1； …… 规律：摆n个正方形要用（3n＋1）根小棒；按此规律解答。 【规范解答】（1）摆1个正方形要用4根小棒； 摆2个正方形要用小棒：4＋3＝7（根） 摆3个正方形要用小棒：7＋3＝10（根） 摆4个正方形要用小棒：10＋3＝13（根） 摆到第4组时，即摆5个正方形要用小棒：13＋3＝16（根） 摆6个正方形要用小棒：16＋3＝19（根） 摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒。接着往下摆，摆到第4组时，要用16根小棒。摆6个正方形用19根小棒。 （2）摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒； 当n＝100时 3n＋1 ＝3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 一共需要301根小棒。 【考点剖析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并用含字母的式子表示规律，然后按规律解题。 7．（24-25五年级上·重庆渝中·期末）新新农场准备栽种一批树苗，原计划每天栽种400棵。受环境影响，实际每天比计划少栽种了100棵，结果延迟了5天才完成栽种任务。原计划多少天完成栽种任务？ 【答案】 15天 【思路引导】原计划每天栽种400棵，实际每天比计划少栽种了100棵，实际每天栽种数为400－100＝300棵；结果延迟了5天才完成栽种任务，设原计划x天完成栽种任务，则实际需要（x＋5）天完成。 树苗的总数量是固定的，根据“原计划每天栽种数×原计划天数＝实际每天栽种数×实际天数”列出方程为400x＝300（x＋5），计算得400x＝300x＋1500，根据等式的性质，方程两边同时减去300x，再同时除以100求解出x的值，即为原计划完成天数。据此解答。 【规范解答】400－100＝300（棵） 解：设原计划x天完成栽种任务。 400x＝300（x＋5） 400x＝300x＋300×5 400x＝300x＋1500 400x－300x＝300x＋1500－300x 100x＝1500 100x÷100＝1500÷100 x＝15 答：原计划15天完成栽种任务。 【考点剖析】本题关键点是抓住“树苗总数量不变”，设原计划天数为x，通过“原计划每天栽种数×原计划天数＝实际每天栽种数×实际天数”列方程求解。 8．（24-25五年级上·重庆渝中·期末）小威于早晨6点出发爬山，晚上6点到达山顶。第二天，他于早晨6点开始从山顶由原路下山，最后回到了原出发地。小威说：在上山和下山的途中经过P地时，他的手表显示出同样的时刻。你同意小威的说法吗？请说明理由。 【答案】同意；理由见详解 【思路引导】将小威上山过程看作从起点（山脚）向终点（山顶）行走，下山过程看作从终点（山顶）向起点（山脚）行走，且两个过程均从早晨6点同时出发，可以将其看作两人同时从两端出发相向而行。由于两个过程沿同一条路径相向而行，根据相向运动的规律，必然会在途中相遇。相遇时，两人处于同一位置（即P地），且此时手表显示的时刻相同。因此，小威在上山和下山途中经过P地时，手表显示出同样的时刻。 【规范解答】同意小威的说法。理由：把上山和下山过程看作两人同时从两端出发相向而行，必然会在途中相遇，相遇时手表显示时刻相同。 【考点剖析】将“分两天的上山、下山行程”等效转换为“同一天内两人从山脚、山顶同时相向出发”的场景，利用“相向而行必然相遇”的逻辑，推导出途中存在同一地点P，经过时手表显示相同时刻。 9．（23-24五年级上·湖北孝感·期末）一个书架，上层放的书是下层的2.5倍。如果从上层取30本方到下层，那两层书架上书的本数正好同样多。原来两层各放了多少本书？（用方程解） 【答案】上层100本；下层40本 【思路引导】设下层放了x本书，则上层放了2.5x本书，从上层取30本方到下层，那两层书架上书的本数正好同样多，根据和差问题的解题方法，可知上层比下层多了30×2本数，根据上层放的本数－下层放的本数＝两层本数差，列出方程求出x的值是下层放的本数，下层放的本数×2.5＝上层放的本数。 【规范解答】解：设下层放了x本书。 2.5x－x＝30×2 1.5x＝60 1.5x÷1.5＝60÷1.5 x＝40 40×2.5＝100（本） 答：原来上层放了100本书，下层放了40本书。 【考点剖析】本题关键是确定上下两层放的数量差，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 10．（21-22五年级下·广东佛山·期末）两辆运送防疫物资的车分别从两地同时相向而行，甲车的速度60千米/时，乙车的速度是40千米/时，行驶一段时间，甲车距全程中点15千米，乙车距全程中点35千米，两车从出发到相遇需要多少小时？ 【答案】1.5小时或2.7小时 【思路引导】根据题意“驶一段时间，甲车距全程中点15千米，乙车距全程中点35千米”可知，行驶一段时间后，可以分两种情况：（1）两车都没有超过，甲车离中点还有15千米，乙车离中点还有35千米，此时可列等量关系式：甲车的速度×行驶的时间＋15＝乙车的速度×行驶的时间＋35； （2）因为甲车的速度大于乙车的速度，所以还有一种情况是：甲车此时超过了中点15千米，乙车离中点还有35千米，此时可列等量关系式：甲车的速度×行驶的时间－15＝乙车的速度×行驶的时间＋35，据此设经过x小时后，甲车距全程中点15千米，乙车距全程中点35千米，据此根据两种情况先求出行驶的这段时间，进而求出两车从出发到相遇需要的小时。 【规范解答】解：设经过x小时后，甲车距全程中点15千米，乙车距全程中点35千米，则 （1）60x＋15＝40x＋35 60x－40x＝35－15 20x＝20 x＝20÷20 x＝1 （60×1＋15）×2÷（60＋40） ＝（60＋15）×2÷100 ＝75×2÷100 ＝1.5（小时） 答：两车从出发到相遇需要1.5小时。 （2）解：设经过x小时后，甲车超过中点距全程中点还是15千米，乙车距全程中点35千米，则 60x－15＝40x＋35 60x－40x＝35＋15 20x＝50 x＝50÷20 x＝2.5 （60×2.5－15）×2÷（60＋40） ＝（150－15）×2÷（60＋40） ＝135×2÷100 ＝2.7（小时） 答：两车从出发到相遇需要2.7小时。 【考点剖析】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 简易方程（期末复习讲义） 【原卷版】 核心考点 复习目标 考情规律 用字母表示数： 理解用字母表示数的意义和作用，能用字母表示运算定律、计算公式和常见数量关系，会根据字母取值求式子的值。 透彻理解用字母表示数的含义，准确运用字母表达各类关系，正确计算含字母式子的值。 多以填空、选择形式出现，考查对基础概念的理解和简单运用。 方程的意义： 明确方程的定义，能判断一个式子是否为方程，理解方程与等式的关系。 精准掌握方程定义，清晰区分方程和等式，准确判断方程。 常以判断、选择形式考察，重点考查对方程概念的理解。 等式的性质与解方程： 解等式的基本性质，运用性质解一步、两步简易方程，掌握解方程的书写规范。 熟练运用等式性质准确解方程，严格遵循书写规范，确保解题正确。 以计算题型为主，直接考查解方程的能力。 列方程解决实际问题： 分析实际问题中的数量关系，设未知数，列方程并求解，涵盖和差倍分、行程、价格等问题。 学会分析问题找数量关系，正确设未知数列方程，提高解决实际问题的能力。 是重点考察内容，以解答题形式出现，考查综合运用知识的能力。 知识点01：用字母表示数量关系 1. 像a，x，n，m……这样的字母或□、△……这样的符号都可以用来表示数。 2. 用字母a，x，n，m……表示数时，应注意字母的取值范围。 3. 将字母用其所取的值代替，可以求含有字母式子的值。 知识点02：用字母表示运算定律和计算公式 运算定律： 加法交换律 α+b=b+α 加法结合律 α+b+c=α+(b+c) 乘法交换律 αb=bα 乘法结合律 (αb)c=α(bc) 乘法分配律 (α+b)c=αc+bc 计算公式： S=αb S=α2 C=2(α+b) C=4α 知识点03：解决形如a±bx的实际问题 实际问题中的数量关系，如速度×时间=路程，单价×数量=总价等，用字母表示时，认真理解题意，明确字母表示的量，正确地列出式子。 将已知数据代入计算公式求值，应注意还原省去的运算符号。 知识点04：解决形如ax±bx的实际问题 ac+bc=(a+b)c 在利用乘法分配律对含字母的式子进行化简时，要先判断字母是否相同，若相同，再将字母前面的数进行加减。 知识点05：方程的意义 含有未知数的等式叫做方程，如x+8=92，6y=400。 方程都是等式，但等式不一定都是方程。 知识点06：等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 知识点07：方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 形如x±ɑ=b 的方程的解法: 知识点08：解简单的方程 形如ɑx=b的方程的解法: 解：ɑx÷ɑ=b÷ɑ x=b÷ɑ 形如ɑ−x=b的方程的解法: 解：ɑ−x+x=b+x b+x =ɑ x =ɑ−b 知识点09：解稍复杂的方程 形如ɑx±b=c的方程的解法： 如解形如b（x±ɑ）=c的方程，可以把（x±ɑ）看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少；或利用乘法分配律将其化为bx±ɑb=c的形式，再解方程。 解稍复杂的方程时，要灵活运用等式的基本性质求解。 知识点10：列方程解决实际问题 列方程解决实际问题的步骤: （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程； （3）解方程并检验作答。 解形如ɑx±b=c的方程，可以把ɑx看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少。 知识点11：x±bx=c的应用 1. 用方程解含有两个未知数的实际问题，可设其中的1倍数（标准量）为x，另一个未知数则用含有x的式子表示出来。 2. 形如ɑx±bx=c的方程的解法： 知识点12：ɑx±bx=c的应用 通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系，结合常用的数量关系式能帮助我们快速列出方程。 行程问题：根据速度、时间和路程三者之间的数量关系列方程解答。 题型一 用字母表示数、数量关系 【例1】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）如果按下图的方式摆五边形，图1需要5根小棒；图2需要9根小棒；图3需要13根小棒；图4需要17根小棒；图5需要( )根小棒；照这样摆，图m需要( )根小棒。 【变式】（24-25五年级上·广东揭阳·期末）按照如图的形式来摆桌子和椅子，摆5张桌子，有( )个座位；要有30个座位，需摆 ( )张桌子。 题型二 用字母表示运算定律及计算公式 【例2】（22-23五年级上·河北邯郸·期末）……第8个图形中，有 个涂色小三角形，第20个图形中，有 个涂色小三角形。 【变式】（23-24五年级上·湖南张家界·期末）小军把27×（m－0.3）错算成27×m－0.3，他计算的结果与正确结果相差( )。 题型三 用字母表示稍复杂的数量关系 【例3】（24-25五年级上·西藏林芝·期末）厦门山海健康步道云海线总长约23千米，起于邮轮码头，止于观音山梦幻沙滩，央宗从邮轮码头出发，扎西从观音山梦幻沙滩出发，同时相向而行，4小时后相遇，________，扎西平均每小时行几千米？若算式是23÷4－a，横线上应补充的信息是（    ）。 A．央宗步行的平均速度是a千米/时 B．央宗走了a小时 C．扎西步行的平均速度是a千米/时 D．扎西走了a小时 【变式】（23-24五年级上·山东菏泽·期末）要修一段公路，平均每天修c米，修了6天，还剩b米。 （1）用含有字母的式子表示这段公路有多少米。 （2）根据这个式子，求c＝50，b＝200时，公路长多少米？ 题型四 含有字母式子的化简与求值 【例4】（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）小明今年a岁，爷爷比小明年龄的6倍还多8岁，则爷爷的年龄是( )岁。如果a为9岁时，爷爷的年龄是( )岁。 【变式】（24-25五年级上·新疆哈密·期末）吴老师拿一张50元人民币去买钢笔，一支钢笔的单价是8.6元，老师买了b支钢笔应付( )元，应找回( )元，若b＝4时，应找回( )元。 题型五 等式的认识及列等量关系式 【例5】（24-25五年级上·河南新乡·期末）宏宏今年身高154厘米，他比去年长高了8厘米，宏宏去年身高多少厘米？设宏宏去年身高x厘米，在解决这个问题时，明明列出的方程是“x＋8＝154”，明明用的等量关系式是( )；亮亮列出的方程是“154－x＝8”，亮亮用的等量关系式是( )。 【变式】（24-25五年级上·山西长治·期末）在“绿色环保我行动”活动中，哥哥收集了a个易拉罐，妹妹收集了b个易拉罐。如果哥哥给妹妹8个，两人的易拉罐个数就同样多。a与b之间的相等关系可以表示为：( )＝( )。 题型六 方程的认识 【例6】（24-25五年级上·河北保定·期末）下列说法中，错误的是（    ）。 ①既是一个等式，也是一个方程。 ②两个小数相除，商一定大于1。 ③a÷0.9＞a（a≠0） ④三角形的底越长，它的面积就越大。 ⑤因为2×2=4，22=4，所以2a＝a2。 A．①②④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．①②⑤ 【变式】（24-25五年级上·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（    ）。 ①0.77777是循环小数。 ②方程一定是等式。 ③a÷0.5＝b×0.8＝c×1（a、b、c均不等于0），则a＜c＜b。 ④在计算5.22÷8.7时，如果去掉被除数和除数的小数点，那么商扩大到原来的10倍。 A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②③④ 题型七 列简易方程 【例7】（23-24五年级上·山西阳泉·期末）下列选项中，不能用方程来表示的是（    ）。 A．买3千克苹果，每千克x元，付出20元，找回2元 B．绕一个包装盒一圈需x厘米，用一根20厘米长的细绳绕包装盒3圈，还多出2厘米 C．3个小球总重量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为20克 【变式】（23-24五年级上·山西阳泉·期末）在第19届中国北京科技产业博览会上，一项“中国原创”的重大发明成为世界焦点，这项发明被称为“立体快巴”，也被称为“空中奔跑的巴士”“陆地空客”。普通公交车最大载客a人，“立体快巴”载客量是普通公交车最大载客量的15倍，“立体快巴”最大载客( )人。“立体快巴”的载客量比普通公交车的最大载客量还多1120人，根据上面所述数量关系列出方程是( )。 题型八 应用等式的性质1和2解方程 【例8】（24-25五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）解方程。                      【变式】（24-25五年级上·河北邢台·期末）解方程。 4.8x－3.56＝4.6       （5.2x＋13.58）×3＝85.2 题型九 解含括号的方程 【例9】（24-25五年级上·新疆哈密·期末）解方程。 （1）6x－0.8＝4.6        （2）2.7＋x＝10.4        （3）6×（0.5＋x）＝9 【变式】（24-25五年级上·重庆渝中·期末）解方程。 ①   ②      ③   ④ 题型十 解等号两边都有未知数的方程 【例10】（22-23五年级上·辽宁鞍山·期末）下面各题的叙述正确的是（    ）。 A．x2＝x＋x B．x＝0.5是方程3÷x＝1.5的解。 C．6－4x＝2x D．13x＋65＝13×（x＋5） 【变式】（21-22五年级上·山西阳泉·期末）根据如图，等量关系不成立的是（    ）。 A．29＋2x－x＝48 B．29＋x＋2x＝48 C．48－2x＝29－x D．48＋x＝29＋2x 【例11】（24-25五年级上·湖南长沙·期末）解下列方程。（带☆号的要检验） 4.2x－16.8＝25.2       6.7x＋4.3x＝38.5       ☆（10.5－x）÷1.2＝1.5 【变式】（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）解下列方程，带*的要检验。             * 题型十二 列方程解含一个未知数的问题 【例12】（24-25五年级上·新疆哈密·期末）低碳生活是指人们在生活中尽量减少碳排放量，从而减少碳（特别是二氧化碳）排放量的一种生活方式，小华的爸爸也加入了低碳生活的行列，他每天采用“步行＋公交＋步行”的方式上班。他每天9：00从家出发，先步行5分钟到达公交站，再乘坐20分钟的公交车，再步行15分钟到达单位。已知小华家到爸爸上班单位的路程是13000米，小华爸爸的步行速度是90米/分钟，问公交车的速度是多少米/分钟？ 【变式】（24-25五年级上·云南昭通·期末）那拉高速公路是世界上海拔最高的高速公路，全长295千米。甲车每小时行92千米，乙车每小时行88千米，甲、乙两车分别从这条公路的两端相向开出，甲车出发0.8小时后，乙车才开出。乙车开出几小时后与甲车相遇？（列方程解决） 题型十三 列方程解含两个未知数的问题 【例13】（24-25五年级上·湖南株洲·期末）就地热再生技术能一次性实现旧沥青混凝土路面全部原价值就地循环再生利用，有效减少了施工带来的有害气体排放。甲、乙两支修路队同时利用就地热再生技术合修一条440米长的公路。两队各从一端相向施工，5天修完，甲队的施工速度比乙队的1.5倍多3米。甲、乙两队每天分别修多少米？ （1）根据题意列出数量关系。 （2）列方程解答。 【变式】（24-25五年级上·重庆长寿·期末）长寿柚是具有悠久历史和独特风味的水果。汁多味浓、醇甜化渣，素有“天然罐头”的美誉。妈妈买A、B两种长寿柚共用460元，已知两种长寿柚共买了50个。 ？ （1）在横线上提出一个两步及以上解决的数学问题。 规格（质量） 单价 A．1kg以上 10元/个 B．0.8kg～1kg 8元/个 （2）解答提出的问题。 题型十四 列方程解决稍复杂的实际问题 【例14】．（22-23五年级上·河南郑州·期末）郑州市动物园位于郑州市金水区花园路北段，是河南省唯一一座专业性动物园。周末苗苗到动物园参观，发现一片园区里养有单峰骆驼和双峰骆驼，她数了数共有36个头，48个驼峰，那么这个园区内共有（    ）头双峰骆驼。 A．24 B．12 C．18 D．6 【变式】（22-23五年级上·江西赣州·期末）有几位同学分一筐脐橙，小明说：“如果每个同学分5个脐橙，则多出7个脐橙。”小聪又说：“如果每个同学分8个脐橙，则少11个脐橙。”这筐脐橙共有多少个？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·广东广州·期末）新年快到了，妈妈和小华一起包饺子。妈妈包了56个饺子，如果妈妈再包4个，就是小华包的饺子数的3倍。设小华包了x个饺子，根据题意，所列方程正确的是（    ）。 A．3x＋4＝56 B．3x＝56＋4 C． D． 2．（24-25五年级上·江西赣州·期末）2024年赣州马拉松全马人数为x人，半马人数比全马人数的2倍少3000，那么半马人数为（    ）。 A．2x－3000 B．x÷2－3000 C．2（x－3000） 3．（24-25五年级上·河北唐山·期末）x＝（    ）是方程的解。 A．0.5 B．5 C．5.5 D．55 4．（24-25五年级上·江西赣州·期末）赣州高架路总里程127千米，已经修建好n千米，还剩( )千米要修，当n＝98时，还剩( )千米要修。 5．（24-25五年级上·江西赣州·期末）小华今年x岁，王老师的年龄是小华年龄的3倍少4岁，王老师今年( )岁。 6．（24-25五年级上·天津蓟州·期末）若，则。( )（判断对错） 7．（24-25五年级上·四川凉山·期末）等式的两边同时乘或除以相同的数，等式仍然成立。( )（判断对错） 8．（24-25五年级上·江西赣州·期末）解方程。 x＋6.7＝13.5        3（x＋4）＝33        2x－18＝6.6 9．（24-25五年级上·广东广州·期末）“古有嫦娥奔月，今有神舟飞天。”2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，本次航天员乘组在空间站组合体共工作生活192天。神舟十八号航天员乘组在空间站组合体工作生活的时间比神舟十二号的2倍还多12天。神舟十二号航天员乘组在空间站组合体工作生活了多少天？ 10．（24-25五年级上·河南三门峡·期末）当橙子有了“碳标签”，意味着更加绿色健康。今年在四川蒲江，核算“碳足迹”的“爱媛橙”成了紧俏货。该地某合作社2024年“爱媛橙”销售量为64.5吨，比去年同期“爱媛橙”销量的2倍少8.5吨。该合作社去年“爱媛橙”的销量是多少吨？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·广东广州·期末）如图，像这样摆下去，摆4个正六边形需要21根小棒，摆n个正六边形需要（    ）根小棒。 A．6n B．6n＋1 C．5n D．5n＋1 2．（24-25五年级上·福建厦门·期末）商店运来苹果50千克，_________，运来梨子多少千克？若设运来梨子千克，可以用方程解答。横线上需要补充的信息是（    ）。 A．梨子的质量比苹果的1.5倍还少2千克 B．苹果的质量比梨子的1.5倍还少2千克 C．梨子的质量比苹果的1.5倍还多2千克 D．苹果的质量比梨子的1.5倍还多2千克 3．（24-25五年级上·广东广州·期末）下面说法错误的是（    ）。 A．5n×0.2＝n B．如果a＝b，那么a＋2b＝3b C．x＋y＝7是方程 D．x＝0是方程的解 4．（24-25五年级上·广东广州·期末）加工一批零件，李师傅每天加工a个，张师傅每天加工9个，两人合作一起加工了10天完成任务。这批零件一共有( )个。当a＝10时，这批零件一共有( )个，李师傅加工零件的总数比张师傅多加工( )个。 5．（24-25五年级上·重庆长寿·期末）昆虫爱好者发现：在一定温度范围内，某地蟋蟀每分钟叫的次数与气温之间有如下近似关系：h＝t÷7＋3，h表示当时的气温（℃），t表示蟋蟀每分钟叫的次数。如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是( )℃；当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫( )次。 6．（24-25五年级上·湖南郴州·期末）方程和方程的解相等。( )（判断对错） 7．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）解方程。 12x－2×1.05＝46.5                  x＋1.2x＝12.76 15（x＋5）＝225            （x－7）÷5＝35.4 8．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）果园里有桃树180棵，比梨树的4倍多8棵，梨树有多少棵？（用方程解答） 9．（24-25五年级上·江西赣州·期末）老师准备了一些纸箱用来装赣南脐橙，如果每箱装20千克，正好装完：如果每箱装30千克，只要用10个箱子。老师准备了多少个纸箱？（用方程解答） 10．（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）哈尔滨到鄂伦春自治旗的公路里程是744千米，李叔叔驾车从哈尔滨到鄂伦春自治旗，每小时行驶90千米，行驶了5小时后因有紧急任务，必须要在3小时内到达鄂伦春，李叔叔驾车至少每小时行驶多少千米才能准时到达？（用方程解答） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）如图，将一个正方形的边长增加1.3厘米，得到一个新的正方形。用含有字母a的式子表示“增加的面积”，其中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（23-24五年级下·福建厦门·期末）杠称是我国古代计量物体重量的工具，战国时期的《墨经》最早记录了杠称的原理。在称杆上安装吊绳作为支点，一端挂上重物，另一端挂上砝码或秤锤（称为“权”），支点到权一端的距离称为“标”，支点到重物端的距离称“本”，杠称的两端平衡就可以知道物体的重量（如图1）；移动支点的位置，“权”的位置和数量也随之变化（如图2）。 根据以上信息，图3中“权”的位置应该在（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 3．（23-24五年级上·四川绵阳·期末）帅帅前几次数学考试的平均成绩是87.5，这一次的校考如果考105分，平均成绩正好是91分，这是帅帅的第（    ）次数学考试。 A．3 B．4 C．5 4．（23-24五年级上·四川乐山·期末）⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2，⊙＋★＋★＝1.6，⊙＝( )，★＝( )。 5．（23-24五年级上·河南驻马店·期末）王老师带领99名学生种100棵树，他先种了一棵示范后，安排男生一人种两棵，女生每两人种一棵。植树的男生有( )人，女生有( )人。 6．（22-23五年级上·江苏盐城·期末）用小棒照下面的样子摆出三组图形。 (1)摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用( )根小棒，摆3个正方形要用( )根小棒。接着往下摆，摆到第4组时，要用( )根小棒。摆6个正方形用( )根小棒。 (2)摆n个正方形需要( )根小棒；当n＝100时，一共需要( )根小棒。 7．（24-25五年级上·重庆渝中·期末）新新农场准备栽种一批树苗，原计划每天栽种400棵。受环境影响，实际每天比计划少栽种了100棵，结果延迟了5天才完成栽种任务。原计划多少天完成栽种任务？ 8．（24-25五年级上·重庆渝中·期末）小威于早晨6点出发爬山，晚上6点到达山顶。第二天，他于早晨6点开始从山顶由原路下山，最后回到了原出发地。小威说：在上山和下山的途中经过P地时，他的手表显示出同样的时刻。你同意小威的说法吗？请说明理由。 9．（23-24五年级上·湖北孝感·期末）一个书架，上层放的书是下层的2.5倍。如果从上层取30本方到下层，那两层书架上书的本数正好同样多。原来两层各放了多少本书？（用方程解） 10．（21-22五年级下·广东佛山·期末）两辆运送防疫物资的车分别从两地同时相向而行，甲车的速度60千米/时，乙车的速度是40千米/时，行驶一段时间，甲车距全程中点15千米，乙车距全程中点35千米，两车从出发到相遇需要多少小时？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $