专题07 平面向量的概念、线性运算、坐标表示与内积（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为平面向量的概念、线性运算、坐标表示与内积。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题07 平面向量的概念、线性运算、坐标表示与内积 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 平面向量的概念、线性运算、坐标表示与内积 1.了解向量的概念，掌握向量的加、减法运算和数乘向量的运算。 A A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难。 2.理解向量的内积与运算法则 C 3.掌握向量的直角坐标运算 C 4.掌握两个向量平行、垂直的充要条件 B 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 填空题 14 向量平行的坐标表示 4 （1）题型：集中在选择题与填空题。 （2）分值：向量的坐标表示每年都有涉及，三年平均分分值在6分。 （3）内容：向量的平行与垂直时坐标表示的充要条件、向量的加减运算及向量的模是考查重点。 2024 选择题 6 向量平行的坐标表示 3 填空题 14 向量的减法以及向量的模的运算 4 2023 选择题 7 向量垂直的坐标表示及向量的模 3 填空题 12 平面向量的坐标运算 4 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口招生考试一定有1-2道题目考查向量的坐标运算及平行和垂直时的等价条件关系，题型设置为单项选择题或填空题，分值为4或7分。 具体考点可能涉及如下内容： · 向量的模及向量的加减线性运算(高频考点) · 两个向量平行与垂直时的坐标关系（高频考点） · 向量的内积 四、知识梳理 （一）平面向量 1. 向量的有关概念 名称 含义 (1)向量 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量 长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　 (3)单位向量 长度等于1个单位的向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量 长度相等且方向相反的向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形法则 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向：当λ>0时，λa与a的方向相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 4.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，　. 5.向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 6. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)， 则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 7.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． 五、10分钟小测验 1.下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据零向量，相等向量，单位向量，共线向量的概念逐个分析即可. 【详解】零向量的方向是任意的，故A错误， 单位向量长度均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，故B错误， 相等向量的起点不一定相同，故C错误， 共线向量的方向相同或相反，故D正确， 故选：D. 2.已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算即可解得. 【详解】因为点，，所以，则． 故选：D. 3.如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法的法则 【分析】根据向量的减法法则即可解答. 【详解】由图可知，， 所以. 故选：C. 4.已知向量，则（   ） A．25 B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】坐标计算向量的模 【分析】由向量模的坐标表示计算即可. 【详解】因为向量，所以． 故选：C. 5.（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量的加法与减法运算法则即可得解. 【详解】. 故选：C. 6.已知向量 与 ，则 的值为（    ） A．0 B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】内积的坐标表示 【分析】根据向量内积的运算公式计算即可. 【详解】已知向量 与 ， 则， 故选：A. 7.已知，若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知， 由得， 故而，解得. 故选：D. 8.向量与垂直，则 的值为（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】已知向量垂直求参数 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量与垂直， 所以，解得. 故选：B． 六、经典例题解析 （一）平面向量 【考试题型1】平面向量的概念 【例1】（2025届·山东省泰安市理工中等专业学校春季高考高三下学期第一次模拟） 下列命题正确的是（     ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若//，则A，B，C三点共线 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、相反向量 【分析】根据零向量、单位向量、相反向量、共线向量的概念可知A、B、C错误，D正确. 【详解】零向量的方向是任意的，故A错误； 单位向量的模相等，它们是否相等与方向有关，故B错误； 方向相反且模相等的两个向量互为相反向量，故C错误； 若//，且A点公共，则A，B，C三点共线.故D正确. 故选：D 【考试题型2】平面向量的加法、减法运算 【例2】（2025届·安徽省对口升学（单招）南片五校中职高三上学期第三次联考）在平行四边形中，下列关系不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用及应用、向量减法法则的几何应用及应用 【分析】根据平面向量的加法和减法运算即可得解． 【详解】在平行四边形中，，， ，， 故ABD正确，C错误. 故选：C. 【例3】（2025届·山东省枣庄市中职学校高三下学期二模）如图所示，四边形都是正方形，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相等向量、向量加法的法则、向量减法的法则、平面向量的混合运算 【分析】根据相等向量的定义及向量的线性运算法则即可求解. 【详解】因为四边形都是正方形， 所以，. 在正方形中，. 因为， 所以. 故选：B 【考试题型3】平面向量坐标表示与线性运算 【例4】（2023年·山西省对口升学考试数学真题）已知，则 . 【答案】 【知识点】向量的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算解决问题即可. 【详解】已知， 可得. 故答案为：. 【例5】（2024年·山西省对口升学考试数学真题）设向量， 则 【答案】 【知识点】向量的坐标表示与模长 【分析】根据向量的坐标运算解决问题即可. 【详解】已知， 可得.，所以 故答案为：. 【考试题型4】平面向量平行（共线）与垂直的坐标表示的充要条件（高频考点） 【例6】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）已知平面向量，且，则 . 【答案】4 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量的平行的性质列式求解即可. 【详解】∵平面向量，且， ∴，解得. 故答案为：4. 【例7】（2024年·山西省对口升学考试）已知向量，，则向量有可能是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【知识点】坐标计算平行向量 【分析】根根据向量的平行的性质列式求解即可. 【详解】设由得，即，对照选项只有B: 故选：B. 【例8】（2023年·山西省对口升学考试数学真题）已知向量.若，则（    ） A．10 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】坐标计算向量的模、已知向量垂直求参数 【分析】根据得，从而求出，进而求解的值即可. 【详解】由得，即，解得， 所以， 所以 所以. 故选：B. 【例9】（2021届·山西省太原市太原文赢教育培训学校对口升学高三第一次模拟）已知向量与向量，求：为何值时，. 【答案】或 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量的线性直角坐标运算以及向量垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为， 所以由向量垂直的充要条件可知， ， 化简得，， 解得，或， 即当或时，. 【考试题型5】向量内积 【例10】（2019年·山西省对口升学高考试题），，，则 . 【答案】0 【知识点】用定义求向量的内积、已知模求内积 【分析】根据向量内积的定义计算. 【详解】因为且，， 故. 故答案为：0. 【例11】（2025届·山西省中等职业学校高三下学期第三次对口升学模拟联考）已知向量 ，满足，，且，则 【答案】 【知识点】用定义求向量的内积、内积的运算律、已知内积求模 【分析】根据向量的内积的运算律计算即可. 【详解】已知向量 ，满足，， 则， 所以 . 故答案为： 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 核心概念“四大基石” 概念 表示/公式 注意事项 向量的模 (长度) 非负实数， 零向量 (模为0，方向任意) 向量与任何向量平行 单位向量 (与非零向量同向) 相等向量 长度相等且方向相同 与起点无关，可自由平移 2. 线性运算“两大法则” 运算 几何法则 坐标运算 (设) 加法 三角形法则(首尾相接)平行四边形法则(共起点) 减法 共起点，指向被减向量 数乘 ：伸长/缩短/反向 运算律口诀：“交换结合分配律，向量世界也成立” 3. 核心公式“三大工具” 工具 公式 应用场景 数量积 , 求夹角、判断垂直、求投影 夹角公式 , 求两向量夹角 模长公式 求距离、判断形状 （二）、易错点总结 一、平面向量 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略零向量 漏考虑的情况 见到平行先想零向量 夹角概念错误 求∠AB的余弦值， 误用  向量需共起点 求角向量必须共起点 模的平方与平方混淆 计算误直接开方： 未用公式 先平方后开方 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $