专题07 平面向量的概念、线性运算、坐标表示与内积（A卷·基础巩固）--2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为平面向量的概念、线性运算、坐标表示与内积。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题07 平面向量的概念、线性运算、坐标表示与内积 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题 1.下列说法不正确的是（   ） A．向量既有大小又有方向 B．零向量的方向是任意的 C．向量的模可以比较大小 D．两个向量的模相等就是两个向量相等 2. 下列结论正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 3. 与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 4. 在平行四边形中，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5. 在平行四边形中，为一条对角线，，，则（    ） A． B． C． D． 6. 已知向量，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7. 已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 8. 设，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 9. 已知向量，，若，则（      ） A． B． C． D． 10. 已知向量，当时，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11.如图， ． 12. 已知|，则 ． 13. 已知向量，向量，若向量与平行，则 . 14. 已知点，，向量，则向量 ． 15. 如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③与共线；④． 16. 已知，若，则的取值为 . 17. 若向量与的夹角为30°，且，则 ． 18. 已知向量，满足，，则 三、解答题 19. 如图所示，在中，是边的中点．求： (1)； (2)； (3)． 20. 设向量. (1)求； (2)若，，求的值. 21. 已知向量，，求： (1) (2)求、； (3)若，且，求m的值． 22. 已知向量，，，且，. (1)求和的值； (2)计算． 23. 如图，已知平行四边形的三个顶点． (1)求顶点的坐标； (2)求线段的中点坐标，并用坐标表示． 24. 已知是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求的坐标． (2)若，且与垂直，求与的夹角θ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为平面向量的概念、线性运算、坐标表示与内积。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题07 平面向量的概念、线性运算、坐标表示与内积 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题 1.下列说法不正确的是（   ） A．向量既有大小又有方向 B．零向量的方向是任意的 C．向量的模可以比较大小 D．两个向量的模相等就是两个向量相等 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据向量、零向量、向量的模和相等向量的概念即可求解. 【详解】对A，向量是既有大小又有方向的量，故A正确； 对B，零向量的方向是任意的，故B正确； 对C，向量的模长是非负实数，所以可以比较大小，故C正确； 对D，两个向量相等当且仅当它们的模长相等，方向相同，故D错误. 故选：D. 2. 下列结论正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的概念判断选项是否正确即可. 【详解】A选项：若，则可知两个向量的大小相等，方向不确定，故不一定成立，故A选项错误； B选项：若，则，故B选项错误； C选项，，故C选项错误； D选项，若，则，故D选项正确. 故选：D. 3. 与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】零向量与单位向量、向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】由题意所求向量为，计算即可. 【详解】∵，∴， ∴与向量反向的单位向量为. 故选：. 4. 在平行四边形中，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的加法法则和减法法则逐项分析即可. 【详解】在平行四边形中， ，A正确， ，B正确， ，C错误， ，，，D正确. 故选：C. 5. 在平行四边形中，为一条对角线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】在平行四边形中，为一条对角线，，， 则, 故选：C. 6. 已知向量，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】向量线性运算的坐标表示、内积的坐标表示 【分析】根据题意结合平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】向量，， 则， 故选：. 7. 已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】向量，，则， ∵，∴，解得， 故选：D． 8. 设，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据题意结合夹角公式即可得解. 【详解】，与的夹角为， 则， 因为，所以， 故选：. 9. 已知向量，，若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出，再利用向量垂直的坐标表示可求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又因为， 所以，解得. 故选：B 10. 已知向量，当时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】首先由向量垂直的坐标表示求出的值，再由向量的线性运算的坐标表示和模的坐标表示求值即可. 【详解】已知向量， 由得，解得， 则， ， 所以， 故选：A. 二、填空题 11.如图， ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】原式. 故答案为：. 12. 已知|，则 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的内积、已知内积求模 【分析】根据题意，结合向量内积的定义，及向量模的计算，即可求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知向量，向量，若向量与平行，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】据向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，向量，且向量与平行， 则，解得. 故答案为：. 14. 已知点，，向量，则向量 ． 【答案】 【知识点】向量的坐标表示、向量线性运算的坐标表示 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示，及线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为点，， 所以, 又向量， 所以． 故答案为：. 15. 如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③与共线；④． 【答案】①②③ 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用正方形的几何性质结合相等向量、共线向量的定义判断可得出结论. 【详解】对于①，与方向相同，长度相等，则，则①正确； 对于②，因为、、三点共线，则，则②正确； 对于③，因为，则与共线，则③正确； 对于④，、方向不相同，故，则④错误. 故答案为：①②③. 16. 已知，若，则的取值为 . 【答案】 【知识点】向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得. 【详解】因为，所以，， 由，则有，解得. 故答案为：. 17. 若向量与的夹角为30°，且，则 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的内积、已知内积求模 【分析】利用完全平方公式展开并结合向量数量积公式进行计算. 【详解】因为向量与的夹角为，且， 所以， 因为， 所以. 故答案为： 18. 已知向量，满足，，则 【答案】 【知识点】已知内积求模、已知模求参数 【分析】根据题意结合向量数量积的运算律运算求解即可. 【详解】因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则， 所以. 故答案为：. 三、解答题 19. 如图所示，在中，是边的中点．求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量加法的法则 【分析】（1）（2）（3）根据向量加法的三角形法则求值即可. 【详解】（1）由图可知，. （2）由图可知，. （3）由图可知，. 20. 设向量. (1)求； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、利用坐标求向量的模 【分析】（1）先由向量的坐标运算求得，然后求出.   （2）根据列方程组，化简求得，进而求得. 【详解】（1），； （2）， 所以，解得，所以. 21. 已知向量，，求： (1) (2)求、； (3)若，且，求m的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. （2）根据向量模的定义，即可求解. （3）根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为向量，， 所以 （2）， ， （3）因为，，， 所以，得到. 22. 已知向量，，，且，. (1)求和的值； (2)计算． 【答案】(1)， (2) 【知识点】向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、已知向量垂直求参数 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示列方程求解即可. （2）根据向量线性运算的坐标表示求值即可. 【详解】（1）已知向量， ，， 由可得， 解得． 由可得， 又因为，解得. （2）∵，， ∴ 23. 如图，已知平行四边形的三个顶点． (1)求顶点的坐标； (2)求线段的中点坐标，并用坐标表示． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）设出点坐标，结合平行四边形性质，列出式子解得坐标； （2）由点和的坐标，求得线段的中点的坐标，进而求得. 【详解】（1）已知平行四边形的三个顶点， 设，由平行四边形的性质可得， ，，可得 ，解得， 故点的坐标为. （2）已知，因此线段的中点的坐标为， 用坐标表示. 24. 已知是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求的坐标． (2)若，且与垂直，求与的夹角θ 【答案】(1)或 (2) 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、内积的运算律、向量夹角的计算、已知模求参数 【分析】（1）根据向量平行的定义设的坐标为，再由向量模的坐标表示列方程求解即可. （2）根据向量垂直可得，再由内积的定义和运算律求解即可. 【详解】（1）已知，由，设， 则的坐标为，又， 则，解得， 所以的坐标为或. （2）由，可得， 且，由与垂直， 可得， 即， 得， 即，解得， 因为，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $