4.3.1等比数列的概念（8大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

4．3．1 等比数列的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：判断一个数列是否为等比数列 2 题型二：基本量法 3 题型三：利用定义法证明等比数列 4 题型四：等比中项的应用 5 题型五：实际应用 6 题型六：单调性及最值问题 7 题型七：等比数列的性质 8 题型八：对称设元法的应用 9 02 重难点拓展 11 题型一：判断一个数列是否为等比数列 1．（2025·高二·新疆喀什·期中）下列数列是等比数列的是（   ） A．3，9，15，21，27 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464 C．13，16，19，112，115 D．4，，16，，64 【答案】D 【解析】对于A，因为，故A选项不符题意； 对于B，因为，故B选项不符题意； 对于C，因为，故C选项不符题意； 对于D，因为，故D选项符合题意. 故选：D. 2．（2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】数列中，， 数列为等比数列，令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列； 反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C 3．（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但对任意的，，故数列不是等比数列； 对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但当时，，故数列不是等比数列； 设等比数列、的公比分别为，其中， 对任意的，， 对于，，即数列为等比数列； 对于，，故为等比数列， 故，一定是等比数列. 故选：B. 题型二：基本量法 4．（2025·高二·江苏苏州·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 则，可得， 所以. 故选：C 5．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】是等比数列，设公比为， ， 是方程的两根， ，同号，且， ，解得， 又 ，故C正确． 故选：C． 6．（2025·河南·一模）等比数列，，，则公比（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由题设，又，解得. 故选：B 题型三：利用定义法证明等比数列 7．（2025·高二·浙江·期中）数列的首项，且，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的最大项. 【解析】（1）因为，所以， 又，所以，则， 所以，又，所以，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得， 所以， 令， 则，解得， 又，所以当且时，当且时， 所以， 所以的最大项为. 8．（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 【解析】（1）数列的前n项和为，由得，解得， ，解得， 所以，. （2）当时，，则当时，， 两式相减得，整理得，而， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式. 9．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 【解析】（1），. （2）由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即. 题型四：等比中项的应用 10．（2025·高二·江西新余·月考）已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则 ． 【答案】 【解析】因为，是方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得， 因为是的等差中项，所以，所以. 故答案为：. 11．（2025·高二·安徽阜阳·月考）已知数列的通项公式为，若是与的等比中项，则 . 【答案】 【解析】由得，，，， ∵是与的等比中项， ∴，即，解得或（舍）. 故答案为：. 题型五：实际应用 12．（2025·高二·吉林长春·月考）某种细胞进行分裂时，第一次一个分成两个，第二次两个分成四个，……，以此类推，则一个细胞经过五次分裂后共有细胞（    ） A．16个 B．31个 C．32个 D．63个 【答案】C 【解析】细胞分裂后细胞个数是一个以2为首项，2为公比的等比数列， 则一个细胞经过五次分裂后共有细胞个数为. 故选：C 13．（2025·高三·四川·期中）剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意数列是等比数列，公比是2，且，∴， 故选：C． 14．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁衰分得、、、个单位，递减的比例为.若某项比赛设有一等奖、二等奖、三等奖、四等奖各一名，奖金共有（）万元，按一等奖、二等奖、三等奖、四等奖的顺序进行“衰分”，已知三等奖奖金万元，二等奖、四等奖衰分所得的奖金和为万元，则“衰分比”与的值分别是（    ） A．     B．     C．     D．     【答案】B 【解析】设“衰分比”为，甲衰分得万元， 则，，， 解得、、. 故选:B 题型六：单调性及最值问题 15．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【答案】D 【解析】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 16．（2025·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，有， 由函数单调递增，且，可得. 有，由数列单调递减， 所以取得最大值时的值为9， 故选：B. 17．（2025·高二·河南周口·月考）在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，则，解得， 故，所以，且是递增数列. 由可得，可得，解得， 所以当时，，当时，， 所以当取得最小值时，. 故选：A. 题型七：等比数列的性质 18．（2025·高二·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】因为是方程的两个根， 所以， 所以，设等比数列的公比为， 由， 所以， 故选：C 19．（2025·高二·宁夏·月考）在等比数列中，，是方程的两根，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】根据等比数列， 因为、是方程的两根，则， 由等比数列的性质可得. 故选：A 20．（2025·高二·江苏苏州·月考）在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】是方程的两根，， ，，或. 故选：C. 题型八：对称设元法的应用 21．有四个正数，前三个数成等差数列，其和为36，后三数成等比数列，其积为108.求这四个数. 【解析】设四个正数分别为a，b，c，d，根据等差数列和等比数列的性质可得， 解得， 所以这四个数分别为，12，，. 22．四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数． 【解析】设四个数依次为、、、． 则，解得或． 故所求的四个位数依次为2，4，8，12或，，，． 23．有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为函数的最大值，求这四个数. 【解析】由已知得函数的最大值为25， 所以可设这四个数为， 则， 解之得：或 所以这四个数为52、16、-20、25或12、16、20、25 1．（2025·高二·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以. 故选：B 2．（2025·高三·湖南·期中）已知等比数列的公比大于1，且，则的最小值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．38 【答案】C 【解析】设的公比为，且， 因为， 所以，即， ，， ，又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 3．（2025·高二·重庆·月考）在等比数列 中，成等差数列，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列 的公比为，则， 故， 由成等差数列，得， 即由于等比数列 中，， 故可得，解得：或， 由于，故即得， 故． 故选：D. 4．（2025·高二·湖南长沙·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列是等比数列，数列是等差数列，且 ， 则 ， 所以， 则 . 故选：A. 5．（2025·高二·江苏淮安·期中）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为，所以， 由成等比数列，所以，所以， 即，解得或（舍去）， 所以， 所以， 故选：A. 6．（2025·高二·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解析】等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：． 7．已知函数，且等比数列满足，则（    ） A．2026 B．1013 C．2 D． 【答案】A 【解析】， 则， 因为为等比数列，所以， 所以. 故选：A. 8．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知等比数列中，，则公比（    ） A．2 B．4 C．16 D． 【答案】C 【解析】当时，则， 而，，故舍去； 当时，， ， 可得，. 故选：C. 9．（2025·高三·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】D 【解析】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. 10．（2025·高二·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 【答案】C 【解析】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 11．已知为数列的前n项和，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可知，，， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 故， 所以. 故选：A. 12．（多选题）（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题意知， A：由正项数列，且得，由得， 所以，又，所以，故A错误； B：由，， 即，故B正确； C： ，故C正确； D：因为是各项为正数的等比数列，， 有 所以， 所以，故D错误． 故选：BC． 13．（多选题）数列满足且，则下列结论正确的有（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】ABC 【解析】由数列{an}满足an＋1＝，可得， 所以，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故， 对于A，因是等差数列，则是的等差中项，故A正确； 对于B，由，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确； 对于C，由，可得，其中，故C正确； 对于D，由，可得， 则，， 即，故D错误. 故选：ABC. 14．（多选题）（2025·高二·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】设等比数列，是两个公比分别为，且 对于A，因为， ， 因,则，故不是等比数列，即A错误； 对于B，因为， ， 与A同理，，故不是等比数列，即B错误； 对于C，因为， ，是一个常数，所以是等比数列，故C正确. 对于D，因为，，是一个常数， 所以是等比数列，故D正确. 故选：CD. 15．（2025·高二·北京·月考）在等比数列中，，，则 . 【答案】6 【解析】等比数列中，，则， 又因为，则， 设等比数列中公比为，则，所以， 则. 故答案为：6. 16．在等比数列中，，则的值为 ． 【答案】5 【解析】因为为等比数列，所以． 由可得，故． 又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以，所以． 故答案为：5. 17．（2025·高二·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则 ． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为， 则， 又，所以， 则. 故答案为：. 18．（2025·高二·浙江·月考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【解析】（1）设的公差为d，的公比为， 由题意得，则，即， 代入可得，所以. 所以，， 又，解得， 所以. （2）由（1）可知， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．3．1 等比数列的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：判断一个数列是否为等比数列 2 题型二：基本量法 2 题型三：利用定义法证明等比数列 2 题型四：等比中项的应用 3 题型五：实际应用 3 题型六：单调性及最值问题 4 题型七：等比数列的性质 4 题型八：对称设元法的应用 4 02 重难点拓展 6 题型一：判断一个数列是否为等比数列 1．（2025·高二·新疆喀什·期中）下列数列是等比数列的是（   ） A．3，9，15，21，27 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464 C．13，16，19，112，115 D．4，，16，，64 2．（2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：基本量法 4．（2025·高二·江苏苏州·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 5．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 6．（2025·河南·一模）等比数列，，，则公比（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型三：利用定义法证明等比数列 7．（2025·高二·浙江·期中）数列的首项，且，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的最大项. 8．（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 9．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 题型四：等比中项的应用 10．（2025·高二·江西新余·月考）已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则 ． 11．（2025·高二·安徽阜阳·月考）已知数列的通项公式为，若是与的等比中项，则 . 题型五：实际应用 12．（2025·高二·吉林长春·月考）某种细胞进行分裂时，第一次一个分成两个，第二次两个分成四个，……，以此类推，则一个细胞经过五次分裂后共有细胞（    ） A．16个 B．31个 C．32个 D．63个 13．（2025·高三·四川·期中）剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（    ） A． B． C． D． 14．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁衰分得、、、个单位，递减的比例为.若某项比赛设有一等奖、二等奖、三等奖、四等奖各一名，奖金共有（）万元，按一等奖、二等奖、三等奖、四等奖的顺序进行“衰分”，已知三等奖奖金万元，二等奖、四等奖衰分所得的奖金和为万元，则“衰分比”与的值分别是（    ） A．     B．     C．     D．     题型六：单调性及最值问题 15．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 16．（2025·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 17．（2025·高二·河南周口·月考）在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 题型七：等比数列的性质 18．（2025·高二·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 19．（2025·高二·宁夏·月考）在等比数列中，，是方程的两根，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 20．（2025·高二·江苏苏州·月考）在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A． B． C．或 D． 题型八：对称设元法的应用 21．有四个正数，前三个数成等差数列，其和为36，后三数成等比数列，其积为108.求这四个数. 22．四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数． 23．有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为函数的最大值，求这四个数. 1．（2025·高二·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高三·湖南·期中）已知等比数列的公比大于1，且，则的最小值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．38 3．（2025·高二·重庆·月考）在等比数列 中，成等差数列，则 （   ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·湖南长沙·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若 则 的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·江苏淮安·期中）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为（   ） A． B． C． D．8 6．（2025·高二·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 7．已知函数，且等比数列满足，则（    ） A．2026 B．1013 C．2 D． 8．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知等比数列中，，则公比（    ） A．2 B．4 C．16 D． 9．（2025·高三·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 10．（2025·高二·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 11．已知为数列的前n项和，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）数列满足且，则下列结论正确的有（    ） A． B．是等比数列 C． D． 14．（多选题）（2025·高二·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·高二·北京·月考）在等比数列中，，，则 . 16．在等比数列中，，则的值为 ． 17．（2025·高二·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则 ． 18．（2025·高二·浙江·月考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $