寒假作业01 三角形及其重要线段（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 三角形及其重要线段 知识点1：三角形的三边关系 1.三角形的三边关系： 文字语言：三角形任意两边之和大于第三边． 重要推论：三角形任意两边之差小于第三边 符号语言： 图形 2.三角形三边关系的作用总结： （1）判断三条已知线段能否组成三角形； （2）当已知两边时，可确定第三边的范围； （3）解决线段的最小值或最大值问题． 知识点2：三角形的边角关系： 知识点3：三角形中的重要三条线段：中线、高线、角平分线 1.三角形的中线 图形语言 文字语言 连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线. 几何语言 性质 为的中线 判定 为的中线. 特性 三角形的中线平分三角形的面积: 2.三角形的角平分线 图形语言 文字语言 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线. 几何语言 性质 为的角平分线 判定 为的角平分线. 3.三角形的高线 图形语言 文字语言 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角 形的高线（简称三角形的高） 几何语言 性质 为的高 判定 （或） 为的高. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断三条线段能否构成三角形 1．下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查构成三角形的条件． 根据构成三角形的条件，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意； B．，不能组成三角形，不符合题意； C．，，能组成三角形，符合题意； D．，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 2．的三条边长分别为和，则a的值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，求出第三边的取值范围是解题的关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定a的取值范围． 【详解】解：∵的三条边长分别为和， ∴， 选项A、B、C均在范围内，D选项不在范围内， ∴a的值不可能是8． 故选：D． 3．有长度分别为，，，的四根木条，从中选出三根组成三角形，能组成（    ）个三角形． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系即可求解，解题的关键是正确理解三角形形成的条件，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：任取三根，共有，，；，，；，，；，，四种情况， ， ∴，，不能构成三角形， ∴能构成三角形的有，，或，，或，，，共三种， 故选：C． 题型二 求第三边长的范围 4．一个三角形的三边长分别为5，9，m，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查求三角形第三边的取值范围，根据三角形的三边关系即可得出结果． 【详解】解：由三角形的三边关系，得，即； 故答案为：． 5．若三角形的两边长分别为5和2，且周长为奇数，则第三边的长度可以为 （写出一个即可）． 【答案】4（或6） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形三边关系，第三边c满足两边之差小于第三边且第三边小于两边之和，即；又周长为奇数，结合已知两边和为7（奇数），故c需为偶数，据此即可解答． 【详解】解：设第三边长为c，由三角形三边关系，得，即． ∵周长为，其中7为奇数， ∴要使为奇数，则c需为偶数． ∵在范围内， ∴c为偶数时可取4或6． 故答案为4（或6）． 6．若在中，，，．则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求不等式组的解集、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为： 题型三 求等腰三角形的边长或周长 7．下列长度(单位：)的三段钢条能组成一个等腰三角形框架的是() A．1，3，4 B．3，3，5 C．2，2，4 D．5，6，7 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查构成等腰三角形的条件，需满足至少两边相等且符合三角形三边关系定理． 【详解】解：∵等腰三角形需至少两边相等，且任意两边之和大于第三边． 选项A：，，，无两边相等，且，不满足两边之和大于第三边，故不能组成三角形． 选项B：，，，有两边相等，且，，，满足条件，故能组成等腰三角形． 选项C：，，，有两边相等，但，不满足两边之和大于第三边，故不能组成三角形． 选项D：，，，无两边相等，虽满足三角形不等式，但不是等腰三角形，故不符合要求． 故选：B． 8．已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：①当腰长是3时，则底边长为9，不符合构成三角形的条件，②当底边为3时，则腰长为6，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的腰长． 【详解】解：等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3， 有以下两种情况： ①当腰长是3时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：3，3，9， ，不符合构成三角形的条件； ②当底边为3时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为：6，6，3， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：该等腰三角形的腰长为6， 故选：． 9．若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是 ． 【答案】10 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系；根据绝对值的非负性，由等式求出m和n的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定三角形的边长，最后计算周长. 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得：，， ∵是等腰三角形，且m，n是两条边的边长， ∴分两种情况讨论： ①当腰长为2时，三角形三边为2，2，4， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况不成立； ②当腰长为4时，三角形三边为2，4，4， 满足三角形三边关系，周长为． 故答案为：10. 题型四 化简含有绝对值的代数式 10．已知的三边长分别为，化简：． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可．本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【详解】的边长为，，， ，， ． 11．已知，，是的三边， (1)比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） (2)化简． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握绝对值的化简方法是解决本题的关键． （1）由三角形的三边关系即可求解； （2）根据（1）进行化简即可． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系得，，，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得， ． 12．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，满足，试判断的形状 ． (2)化简：； 【答案】(1)等边三角形 (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、绝对值非负性、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，三角形三边关系，等边三角形定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据绝对值和平方的非负性得到，进而推出，即可判断的形状； （2）根据三角形三边关系得到，再结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 整理得， ， 即为等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ， 则 ． 题型五 利用三角形中线的特性求面积 13．如图，是的中线，连接的面积是12，则的面积是（   ） A．7.5 B．5 C．3 D．2.5 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线性质，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积是12， ∴， ∵是的中线， ∴点D是的中点， ∴是的中线， ∴， 故选C． 14．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积、中线，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到阴影部分的面积与的面积的数量关系，从而求出的面积． 【详解】解：如图，点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，而高相等， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 15．如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为．则的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线平分三角形面积的性质，关键是熟练应用知识点解题； 由中线性质及的面积即可求得. 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 题型六 利用三角形中线的定义求线段长 16．如图，是的中线，是的中线．若，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由是的中线可得是的中点，得；由是的中线得． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∴， ∵, ∴； 又是的中线， ∴． 故答案为：2． 17．如图，是的中线，的周长比的周长大，，则 ． 【答案】5 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个顶点与对边中点的连线是三角形的中线． 根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故答案为：5． 18．如图，的周长为，是边上的中线，已知，，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的周长公式、三角形中线的定义等知识点，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键． 利用三角形中线定义和周长公式求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴，即， ∵的周长为， ∴， ∴． 故答案为:5． 题型七 利用三角形角平分线和高求角或证明角的关系 19．中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为 度． 【答案】或/15或65 【知识点】三角形角平分线的定义、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 20．如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的内错角相等是解题的关键．通过分析图形中的平行线和角平分线，利用平行线的内错角相等，以及角平分线将一个角分成两个相等的角的定义，逐步推导出结论． 【详解】证明：是的角平分线， ． ， ． ， ， ． 21．如图，平分，平分，，交于点，连接．若，，则 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线，熟练掌握三角形的三条角平分线交于一点是解题的关键．利用三角形的三条角平分线交于一点得出平分，再利用三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 22．如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 【答案】58 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 题型八 利用等积法求三角形的高 23．在中，，，，，那么点到的距离是（    ） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的面积，根据题意画出图形，然后作于点D，根据面积法，可以求得CD的长． 【详解】解：作于点D，如右图所示， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 24．如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高线的定义，根据三角形的面积求解是解题的关键；根据题意，利用等面积法即可求解． 【详解】解：线段，分别是的边，上的高，，，， 故答案为：． 25．如图，是等腰三角形，，，边上的高＝ ．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则 ． 【答案】 4 4 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的高，能够熟练掌握割补法求面积是解答本题的关键．先根据三角形面积求出边上的高，再根据图形可知三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积，根据面积公式变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴边上的高 连接，如图所示： 由图可得：， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：cm， 故答案为：4；4 题型九 求网格三角形面积问题 26．如图，在网格中，每一个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么三角形的面积是 ． 【答案】8 【知识点】利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了在网格中求三角形的面积，利用割补法求解即可． 【详解】解：三角形的面积是：， 故答案为：8 27．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 【答案】 【知识点】利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了求阴影部分面积，由，然后代入即可求解，掌握三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图， 由 ， 故答案为：． 28．如图，在正方形网格中，每个小正方形的面积为1，点A、B在格点上，在格点取一点C，使得△ABC的面积等于1的点个数有 个． 【答案】6 【知识点】利用网格求三角形面积、格点作图题 【分析】本题考查格点作图，三角形的面积，根据三角形的面积公式，作出点C即可求解． 【详解】解：如图，点、、、、、就是所求的点， ∵， ∴点C个数共有6个， 故答案为：6． 1．将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边．分别计算各选项的三边长度，验证是否满足此条件． 【详解】解：选项A：∵，∴不能围成三角形； 选项B：∵，等于第三边7，∴不能围成三角形； 选项C：∵，∴不能围成三角形； 选项D：∵，，，∴能围成三角形； 故选：D． 2．如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据，则，据此即可作答． 【详解】解：， ∴， A、B、C、D四个选项只有D选项符合上述范围， 故选：D． 3．已知三角形的三边长分别为2、5、x，若x为正整数，则x的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系定理，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式求解x的范围，再取正整数解． 【详解】解：∵三角形的三边长为2、5、x， ∴由三角形三边关系定理，得：， 即， ∵x为正整数， ∴x可取4、5、6，共3个值， 故选：B． 4．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 故选：B． 6．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故选：A． 7．如图，分别是边的中点，若阴影部分的面积为9，则的面积是（   ） A．21 B．27 C．24 D．18 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由题意可得，，结合阴影部分的面积为9得出，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵D，E，F分别是边，，上的中点， ∴，，，， ∴，， ∵阴影部分的面积为9， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 9．下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角形中的高线，根据三角形的高的定义，依次对选项中的图形进行判断即可得出答案． 【详解】解：选项A：线段是的高，选项不符合题意； 选项B：线段是的高，选项不符合题意； 选项C：线段是的高，选项不符合题意； 选项D：线段是的高，选项符合题意； 故选：D． 10．学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则CD的长是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，以及根据等面积法求三角形的高，根据勾股定理算出，利用割补法求出的面积，再利用的面积还等于，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， ， ，解得， 故选：A． 11．若中三边长是a，b，c，若，且三角形的周长是偶数，则c的值为 ． 【答案】4 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系．根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合周长为偶数的条件，求出c的值． 【详解】解：∵的三边长为a，b，c，， ∴根据三角形三边关系，有，即． ∵三角形的周长为偶数，且周长，6为偶数， ∴c为偶数． 在范围内，c为整数，且为偶数， ∴． 故答案为：4． 12．在中，已知，那么 （填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 14．如图中，已知在中，分别为边的中点，且，则 ． 【答案】40 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形面积与中点性质的应用，解题的关键是利用中点得出三角形面积的倍数关系． 利用E是中点，得的面积是阴影部分面积的2倍；再利用D是中点，得的面积是面积的2倍，逐步推导总面积即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴； 又∵D是的中点， ∴． 故答案为：． 15．在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 . 【答案】高线 【知识点】三角形角平分线的定义、画三角形的高 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解． 【详解】解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部， 而锐角三角形的三条高在三角形内部， 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部， 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部． 故答案为：高线． 【点睛】考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 16．如图，为的中线，为的中线，作的边上的高，若的面积为32，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，根据三角形中线平分三角形面积可推出的面积，再根据三角形面积计算公式即可求出答案． 【详解】解：∵为的中线，的面积为32， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 17．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【知识点】确定第三边的取值范围、整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，则，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即． （2）解：∵的三边长为， ， 原式 ． 18．已知四条线段的长度为a，b，c，p且a，b，c，p为四个连续的正整数． (1)若，求b的值； (2)在（1）条件下，已知a，b，x为三角形的三边长，且a是最短边长． ①求x的取值范围； ②若x为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1)4 (2)①；②13 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，三角形的三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设，则，，，再代入进行计算，即可作答． （2）①结合三角形的三边关系，得，故，因为a是最短边长．则； ②因为x为整数，且求三角形周长的最大值，所以的最大值为6，根据周长公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设， 则，，， ∵ ∴， 解得：， ； （2）解：①由（1）可知：，， ∵a，b，x为三角形的三边长， ， 即； ∵a是最短边长． ∴ ②∵要求出周长的最大值，且周长等于， ∴求出的最大值 由①得， x为整数， 的最大值为6， 三角形周长的最大值为： 19．如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【知识点】大（小）边对大（小）角定理、不等式的性质 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 20．如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)6 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义即可求解； （2）根据中线的定义得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵为的角平分线，， ∴； （2）解：∵为的中线，， ∴， 设点A到边的距离为， ∵， ∴， 解得， ∴点A到边的距离为6． 1．已知，，为三角形的三边，且每边长均大于1，则下列各组线段作为三边一定能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项A，当，，时，，，不满足两边之和大于第三边，故该选项错误； 选项B，∵ ． ∴ ，故该选项正确； 选项C，当，，时，，，不满足两边之和大于第三边，故该选项错误； 选项D，当，，时，，，不满足两边之和大于第三边，故该选项错误； 故选：B． 2．若条长度均为整数厘米的线段，，满足，且这条线段中的任意条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，由题意可知：若厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，进而可知一定有厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，据此即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：若厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，由任意3条线段都不能构成三角形，可知须满足（）。当时，可构造一个各项取值最小的数列：取最小整数，后续项取，得到数列。由于此数列的第9项恰好为，与题干条件相符，且任何其他满足条件的数列都会导致，故该数列是唯一解。因此， 故选：． 3．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ）． A．2 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的三边满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 故选：C． 4．冰裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，并被广泛应用于建筑装饰和瓷器．小明研究一个青花瓷表面时，发现一个有趣的冰裂图案，它是由五个图形组成的一个有规律的图案如图，点，，，分别是点，，，关于点，，，的对称点，设表示四边形的面积，表示四边形的面积，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题考查了点对称的性质与三角形的中线与面积，正确理解与运用三角形的面积公式是解题的关键．根据中线的性质，则得出，，，，再进一步即可求解． 【详解】解：连接，，， 点为中点， 又点为中点， ， ， ， 同理可得，， ， 同理可得，， ， 则． 故选：C． 5．如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中线的性质，设到的距离为，由是的中线，则，求出，然后由即可求解，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：设到的距离为， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 【答案】(1)兔子的路线长，乌龟的路线短，过程见解析 (2)路线②和③相比，路线③更短，见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点，延长交于点．分别在中，根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案． 【详解】（1）解：补全过程如下： 在中，， ∴， ∴， ∴兔子的路线长，乌龟的路线短． （2）解：如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，，① 在中，，② 在中，∵， ∴，③ ∴由①②③式得， ∴， ∴， ∴路线②和③相比，路线③更短． 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 三角形及其重要线段 知识点1：三角形的三边关系 1.三角形的三边关系： 文字语言：三角形任意两边之和大于第三边． 重要推论：三角形任意两边之差小于第三边 符号语言： 图形 2.三角形三边关系的作用总结： （1）判断三条已知线段能否组成三角形； （2）当已知两边时，可确定第三边的范围； （3）解决线段的最小值或最大值问题． 知识点2：三角形的边角关系： 知识点3：三角形中的重要三条线段：中线、高线、角平分线 1.三角形的中线 图形语言 文字语言 连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线. 几何语言 性质 为的中线 判定 为的中线. 特性 三角形的中线平分三角形的面积: 2.三角形的角平分线 图形语言 文字语言 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线. 几何语言 性质 为的角平分线 判定 为的角平分线. 3.三角形的高线 图形语言 文字语言 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角 形的高线（简称三角形的高） 几何语言 性质 为的高 判定 （或） 为的高. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断三条线段能否构成三角形 1．下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．的三条边长分别为和，则a的值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．有长度分别为，，，的四根木条，从中选出三根组成三角形，能组成（    ）个三角形． A． B． C． D． 题型二 求第三边长的范围 4．一个三角形的三边长分别为5，9，m，则m的取值范围是 ． 5．若三角形的两边长分别为5和2，且周长为奇数，则第三边的长度可以为 （写出一个即可）． 6．若在中，，，．则的取值范围是 ． 题型三 求等腰三角形的边长或周长 7．下列长度(单位：)的三段钢条能组成一个等腰三角形框架的是() A．1，3，4 B．3，3，5 C．2，2，4 D．5，6，7 8．已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 9．若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是 ． 题型四 化简含有绝对值的代数式 10．已知的三边长分别为，化简：． 11．已知，，是的三边， (1)比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） (2)化简． 12．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，满足，试判断的形状 ． (2)化简：； 题型五 利用三角形中线的特性求面积 13．如图，是的中线，连接的面积是12，则的面积是（   ） A．7.5 B．5 C．3 D．2.5 14．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 15．如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为．则的面积是 ． 题型六 利用三角形中线的定义求线段长 16．如图，是的中线，是的中线．若，则的长为 ． 17．如图，是的中线，的周长比的周长大，，则 ． 18．如图，的周长为，是边上的中线，已知，，则的长为 ． 题型七 利用三角形角平分线和高求角或证明角的关系 19．中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为 度． 20．如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 21．如图，平分，平分，，交于点，连接．若，，则 ． 22．如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 题型八 利用等积法求三角形的高 23．在中，，，，，那么点到的距离是（    ） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 24．如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是 ． 25．如图，是等腰三角形，，，边上的高＝ ．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则 ． 题型九 求网格三角形面积问题 26．如图，在网格中，每一个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么三角形的面积是 ． 27．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 28．如图，在正方形网格中，每个小正方形的面积为1，点A、B在格点上，在格点取一点C，使得△ABC的面积等于1的点个数有 个． 1．将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 2．如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知三角形的三边长分别为2、5、x，若x为正整数，则x的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 6．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线 7．如图，分别是边的中点，若阴影部分的面积为9，则的面积是（   ） A．21 B．27 C．24 D．18 8．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 10．学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则CD的长是（    ） A． B．4 C． D． 11．若中三边长是a，b，c，若，且三角形的周长是偶数，则c的值为 ． 12．在中，已知，那么 （填“＞”、“＜”或“=”）． 13．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 14．如图中，已知在中，分别为边的中点，且，则 ． 15．在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 . 16．如图，为的中线，为的中线，作的边上的高，若的面积为32，，则的长是 ． 17．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 18．已知四条线段的长度为a，b，c，p且a，b，c，p为四个连续的正整数． (1)若，求b的值； (2)在（1）条件下，已知a，b，x为三角形的三边长，且a是最短边长． ①求x的取值范围； ②若x为整数，求三角形周长的最大值． 19．如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 20．如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 1．已知，，为三角形的三边，且每边长均大于1，则下列各组线段作为三边一定能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若条长度均为整数厘米的线段，，满足，且这条线段中的任意条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 3．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ）． A．2 B．3或4 C．4或5 D．6 4．冰裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，并被广泛应用于建筑装饰和瓷器．小明研究一个青花瓷表面时，发现一个有趣的冰裂图案，它是由五个图形组成的一个有规律的图案如图，点，，，分别是点，，，关于点，，，的对称点，设表示四边形的面积，表示四边形的面积，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 6．龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $