第7章 考点练38 空间点、直线、平面之间的位置关系-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练38 空间点、直线、平面之间的位置关系 基础巩固练 答案：223页 一、单项选择题 1.下列命题中，正确的是 A.一条直线和一个点确定一个平面 B.两个平面相交，可以只有一个公共点 C.三角形是平面图形 D.四边形是平面图形 2.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面，则b与c A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 3.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n,“l,m,n共面”是“l,m, n两两相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若直线l不平行于平面a,且1在平面α外，则 ( A.α内的所有直线与l异面 B.a内不存在与l平行的直线 C.a内存在唯一的直线与l平行 D.a内的直线与l都相交 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段BC的中点，点M是 直线BD1上异于B,D,的点，则平面DEM可能经过下列点中的 () A.A B.C C.A D.C 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分别为AA1,AB, BB,B,C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于() A.459 B.60° C.90 D.120° 7.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面 ABCD,其中母线AB=2,E是BC的中点，F是AB的中点，则 ( A.AE=CF,AC与EF是共面直线 B.AE≠CF,AC与EF是共面直线 C.AE=CF,AC与EF是异面直线 D.AE≠CF,AC与EF是异面直线 8.(教材改编)如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则 直线AB,CD所成角为 A.0 、 B c 0.2 二、多项选择题 9.下列四个命题中是真命题的为 A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B.过空间中任意三点有且仅有一个平面 C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D.若直线1C平面&，直线m⊥平面a,则m⊥l 10.如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥ DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则() W D B A.PQ-TMN B.PQ∥MN C.M,N,P,Q四点共面 D.四边形MNPQ是梯形 11.已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱 柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱， 所得截面的形状可能是 () 第七章立体几何与空间向量081 A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.五边形 D.正六边形 12.以下四个命题正确的是 A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线aC平面a,直线bC平面B,则“a与b相交”与“a与β 相交”等价 C.若a∩B=l,直线aC平面a,直线bC平面3，且a∩b=P, 则P∈l D.若空间中三个平面两两相交，则它们的交线互相平行 三、填空题 13.如图，在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于 点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K,则 M,N,K三点的位置关系是 14.空间四边形ABCD中，AC与BD成30°角，AC=6,BD=4,E,F, G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，则四边形EFGH的面积为 15.如图，在正方体ABCD-A1B1C,D1中，对角线BD1与过A1,D,C1 的平面交于点M,则BM:MD1= D A B M D 16.(2024·河南鹤壁期中)如图，在正三棱柱ABC-A,B1C1中，AA1= 4,AB=2,则直线AB与直线B,C所成角的正切值为 A 0822团闪·高考一轮复习金卷数学 NENGUI TISHENGLIAN 能力提升练 。答案：225页 一、单项选择题 1.下列四个命题为真命题的是 ( A.若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面 B.若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c共面 C.相交于同一点的三条直线在同一平面内 D.若空间四点不共面，则任意三点不共线 2.（2024·福建三明期末)如图，平面α∩平面3=l, A,B∈a,C∈B,Cl,直线AB∩l=D(点D 不同于A,B,C),过A,B,C三点确定的平面为 Y,则平面Y,B的交线必过 () A.点A B.点B C.点C,但不过点D D.点C和点D 3.如图，在长方体ABCD-A1BC1D1中，下列结 D 论正确的是 )A A.点B1∈平面CC1DD B.直线B,D1C平面CC1D,D C.直线BC,与直线AA,是相交直线 D.直线B,D1与直线AB是异面直线 4.在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AB⊥BC,点D,E分别是AB,AC的 中点，则 () A.B,D与A1E相交，且B,D=A1E B.B,D与A1E相交，且B,D≠AE C.B1D与AE是异面直线，且BD=AE D.B,D与A1E是异面直线，且B,D≠AE 5.如图，三棱柱ABC-A,BC1中，E,F分别为A BB1,AC1的中点，过A,E,F作三棱柱的截面 交BC,于M,且BM=AMC,则入的值为 3 1 B c号 D.1 6.如图，三棱台ABC-A1B,C1中，两底面△ABC和 △A1B1C1分别是边长为2和1的等边三角形， CC1⊥平面ABC.若CC1=3,则异面直线AC与 BC1所成角的余弦值为 A.① B今 1 C.② 4 n得 7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,AA1=6,M,N分别是 AB,AD的中点，则平面MVC,截该四棱柱所得截面的周长为 () A.14√2 B.182 C.10+6√2 D.10+102 8.已知正方体ABCD-A,B,C1D1的棱长为3√2，E,F分别为BC,CD 的中点，P是线段AB上的动点，C1P与平面D,EF的交点Q的轨 迹长为 () A.3 B.√13 C.4 D.3√2 二、多项选择题 9.(2024·黑龙江哈尔滨月考)如图所示，在空间四 边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD的中 H 点，点F,G分别是边BC,CD上的三等分点，且 E D G CBG-号则下列说法正确的足 B A.BD∥平面EFGH B.AC与BD异面 C.AC∥平面EFGH D.直线FE,GH,CA交于一点 10.在正方体ABCD-AB,C,D1中，下列说法正确的是 () A.在空间中，过A1作与AD,C1D1所成角都为60°的直线可以作 4条 B.在空间中，过A1作与AD,C,D1所成角都为45°的直线可以作 4条 C.棱AA1,CC1的中点分别为E,F,在空间中，能且只能作一条直 线与直线A1D1,CD,EF都相交 D.在空间中，过A,与直线A,D1,CD,B1B所成角都相等的直线 有4条 11.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E,F,G,H分 B 别为BB1,CC1,A1B1,AC1的中点，则下列说 A E 法正确的是 A.E,F,G,H四点共面 B B.EF∥GH A C.EG,FH,AA1三线不共点 D.∠EGB1=∠FHC1 12.如图，正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为1， D C P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A B A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S, D.. 则下列命题正确的是 /P B A.直线AP与直线C,D1所成角的正切值为2 B当(Q=号时，S为等腰梯形 C当CQ-时，5与CD,交于点R.则CRi 1 D.当号<CQ<1时，S为四边形 三、填空题 13.在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,AD=2BC,E为PD中点，平面 ABE交PC于F,则 C= 14.如图所示，圆锥的底面直径AB=4,高OC=2√2，D为底面圆周上 的一点，且∠AOD=120°，则直线AD与BC所成角的大小 为 D 15.在正方体ABCD-A,BC1D1中，棱长为3，E为棱BB1上靠近B, 的三等分点，则平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面 积为 16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，F为A1C1的中点，E为棱BB 上的动点，AA1=2,AB=2,BC=3√2，AC=4.当E是棱BB1的 中点时，三棱锥E-ABC的体积为 ;当三棱锥A1-AEF的 外接球的半径最小时，直线EF与AA,所成角的余弦值 为 B1.ABD Ve=子Saac:当羊面 ADC⊥平面ABC时，三棱锥D-ABC 的高最大，此时体积最大值为VDA= 号×2×2x6×29-9故AE 1 3 91 确：设AC的中点为O,连接OA,OB,OC, OD(图略)，则由Rt△ABC,Rt△ADC 知，OA=OB=OC=OD,所以O为 三棱锥D-ABC外接球的球心，其半径 为子AC=多，所以外接球条积为 专x(侵）广=受，即三粮维DAC 的外接球体积不变，故B正确：若AB⊥ CD,由CD⊥AD,AD∩AB=A, ABC平面ABD,ADC平面ABD,可 得CD⊥平面ABD,因为BDC平面 ABD,所以CD⊥BD,因为CD>BC, 根据直角三角形斜边最长，知其不成 立，故C错误：因为AD是定值，则只需 D到平面ABC的距离最大时，AD与平 面ABC所成角最大，当平面ADC⊥平 面ABC时，D到平面ABC的距离为 25 ,设AD与平面ABC所成角为日，此 3 25 3 时sin0=2 5,因为9为锐角，所 以o0=-m可=号卑AD与 平面ABC所成角的余弦值的最小值为 号故D正疏，款选ABD 12.AD当平面AA,C1C水平放置时 (CC1始终保持水平)，则平面ABC∥ 平面A1B1C1,所以有水的部分是棱 柱，由图1可知，没有水的部分也是棱 柱，故A正确；如图1，当平面AA1C1C 水平放置时，假设D,E,F,G都为所在 棱的中点，设水面到底面的距离为h, AB=a,BC=b,所以水的体积为 111 CC1=4ab-ab=3ab,又实际水的体 积为V*=S△AC·2 2abX4= 2ab<3ab,所以D,E,F,G不为所在 . 棱的中点，故B错误； B B D G F C 图1 在翻滚、转动容器的过程中，当平面 A,BC水平放置时，三棱锥A,-ABC的 体积取到最大值，如图2，此时 1 1 abX8=3ab,而容器中水的体积 4 V=2ab>号ab,所以有水的部分不 可能是三棱锥，故C错误； B 图2 如图3，取AC,AC1的中点D,D1,连 接DD1,取DD1的中点O,连接OA,则 D为Rt△ABC的外接圆圆心，O为三 棱柱ABCA1B1C1外接球的球心，所 以OA为外接球的半径，且OA= √/4十4=4√2，所以直三棱柱外接球 体积V球= 52E元，而容器中水的体积为V= 3 2ab,又a2十b2=82=64,所以64= a2十b2≥2ab→ab≤32，当且仅当a= b=4√2时等号成立，所以V水= 2ab≤64，则水的体积与直三棱柱外接 球体积之比为2ab ≤64 512W2 512W2 3π 3 3 3巨，即容器中水的体积与直 8√2元16π 三棱柱外接球体积的比值至多为3E 16π 故D正确.故选AD A D 6 D B 图3 3./10 解析：将侧面ABB1A1与侧面ACC1A1 展开在同一平面内，如图，连接BV交 AA1于M,则MN+MB的最小值为此 时的BN,BN=√/BB+B1N= √1+3=√10，∴.MN+MB的最 小值为√/10. A N M 4. 解析：因为侧校A 与底面垂直，所以 AA,⊥平面ABC, 、B AB,ACC平面 A ABC,所以AA1⊥ G AB,AA1⊥AC, B 而AB=2, AA1=1,由勾股定理得A1B=√5，因 为三棱柱ABC-A1B1C1的底面为正三 角形，所以AB=AC=2,由勾股定理 得A1C=5,所以A1C=A1B,在 △A1BC中，如图，作A1G⊥BC,所以 G是BC的中点，所以BG=1,由勾股 223 定理得A1G=2,故S△1c=2X2X 2=2,设点A到平面A1BC的距离为 d,由等体积公式得VA1ABc=VAA1x, 1,解得d=5,所以点A到平面A,BC 2 的距离为 1 15.11:7 解析：由题意得EF∥AC,如图，取 耐=号市，由花=号市可得 3 GH∥AC,故HG∥EF,故得截面为 四边形EFHG,VA-EFHG=VAEG V=Ves十Vm= 1 2 VDADE3X 3X 3 VA-EFHG VnC,故体积较大部分 18 117 与体积较小部分的体积之比8：8 11:7. 16.14π 解析：由题意可知，在三棱锥的平面展 开图中，DC⊥AC,CD=CF=√13， AD=AE=√I4,BC=√5，在△BCF 中，BF2=CF2+BC2-2CF· BCcos.∠BCF=10,则BE=BF= √10，因为AB2+BE=AE,所以 AB⊥BE,则在三棱锥P-ABC中， PC⊥AC,PB⊥AB,记PA中点为O, OC=OB=OA=OP,即三棱锥 P-ABC外接球的球心为点O,半径R PA-AD-,所以外接球的表面 2 2 2 积为14π. 考点练38空间点、直线、 平面之间的位置关系 一。基础巩固练 1.C一条直线和直 y 线外一点确定一个 平面，故A错误；两 个平面相交，有一 条公共直线，有无 数个公共点，故BC☑ 错误；三角形的两 条边一定相交，根据“经过两条相交直 线，有且只有一个平面”，可得三角形的 参考答案 两条边确定一个平面，而第三边的两个 端点在该平面内，则根据“如果一条直线 上的两个点在一个平面内，那么这条直 线在这个平面内”确定第三边在该平面 内，故三角形是平面图形，故C正确；如 图，四边形ACSB不是平面图形，故D错 误.故选C. 2.C如图，在正方 D 体AC1中，AB∥ DC,AB和DD1是 A B 异面直线，DC∩ DD1=D,故直线 a,b,c满足a∥b, a,c异面，则b与c A B 可能相交，不一定 是异面直线，故A,D错误：AB∥DC, AB和B,C1是异面直线，DC和B1C1是 异面直线，故直线a,b,c满足a∥b,a,c 异面，则b与c可能是异面直线，故B错 误；直线a,b,c满足a∥b,a,c异面，则 由平行线的传递性得b与c不可能是平 行直线，故C正确.故选C 3.B直线l,m,n不过同一点，且l,m,n 共面有三种情况：①如图1，同一平面内 三线平行：②如图2，两平行线与另一线 相交；③如图3，三线两两相交 图1 图2 图3 因此，“1，m,n两两相交”是“l,m,n共 面”的一种情况，即“l,m,n共面”是“L,m, n两两相交”的必要不充分条件.故选B. 4.B若直线不平 行于平面a,且L在 平面a外，则l与a 相交，如图，设交点 为A.则1与g内过a ,点A的直线相交 故A错误；l与α内过点A的直线相交， 与不过点A的直线异面，所以《内不存 在与L平行的直线，故B正确，C错误，D 错误.故选B. 5.C如图，连接A1D ) A1E,因为AD1∥ BE,所以A1,D1,B,EA 四，点共面，设AE∩ BD1=M,显然平面 D DEM与平面A,DE 重合，从而平面DEM A 经过点A1故选C. 6.B如图，连接A1B,BC1,A1C1 D 由题意知EF∥A1B,GH∥BC1,所以 异面直线EF与GH所成的角是 ∠A1BC1或其补角，由正方体性质知 △A1BC1是等边三角形，∠A1BC1 60°，所以异面直线EF与GH所成的角 是60°.故选B. 7.D连接BE,CE,如 0 图，设底面半径为r, 由题知BC是圆O的 直径，BE⊥CE, E是BC的中点， BE=CE,.在等 腰直角三角形BEC B 中，BC=2r=2,则 红对闪·高考一轮复习金卷数学 BE -BC √2 =2,:AB是圆柱OO1 的母线，，AB⊥平面BCE,BE,BCC 平面BCE,AB⊥BE,AB⊥BC,在 Rt△ABE中，AE=√JAB+BE= √A+2=√6，在R△BFC中，由F是 AB的中点得BF三之AB=三1，.CF= √BF2+BCP= √+4=5， AE≠CF,ACC平面ABC,EF∩ 平面ABC=F,由异面直线的定义可知 , AC与EF是异面直线.故选D. 8.C还原后的正方体 及AB,CD的位置如图 E 所示，取正方体的一个 顶点E,连接CE,DE 则AB∥CE,所以 ∠ECD或其补角为直 线AB,CD所成的角，因为CD,DE,CE 均为面对角线，所以CD=DE=CE,即 △CDE为等边三角形，所以∠ECD 晋，所以直线A,D所成角为受故 选C. 9.AD如图，对 、B 于A,可设l1 与l2相交，这a@ A 两条直线确定的平面为α，若l3与l1相： 交，则交点A在平面a内，同理，l3与l2 的交点B也在平面a内，所以ABCa, 即l3Ca,故A为真命题；对于B,若三，点 共线，则过这三个点的平面有无数个，故 B为假命题；对于C,两条直线有可能平 行也有可能异面，故C为假命题：对于 D,若直线m⊥平面a,则m垂直于平面 a内所有直线，因为直线lC平面a,所 以m⊥l,故D为真命题.故选AD. 10.BCD 由题意知PQ=2DE,且 DE≠MN,所以PQ≠MN,故A 错误：又PQ∥DE,DE∥MN,所以 PQ∥MN,又PQ≠MN,所以M,N, P,Q四，点共面，且四边形MNPQ是梯 形，故B,C,D正确.故选BCD. 11.ABC如图1，由图可知，截面ABC为： 等腰三角形，故A可能；截面ABEF为： 等腰梯形，故B可能；如图2，截面 AMDEN为五边形，故C可能；因为侧 面是正方形，只有平行于底面的截面才 可能是正六边形，故过三个顶，点不可能 得到正六边形，故D不可能，故选ABC 图1 图2 12.AC对于A,三个平面两两平行时，可 以把空间分成4部分，如图1：三个平面 中恰有两个平面平行时，可把空间分成 6部分，如图2：三个平面两两相交于一 条直线时，可以把空间分成6部分，如 图3；三个平面两两相交于三条直线，且 三条直线互相平行时，可以把空间分成 7部分，如图4；三个平面两两相交于三 条直线，且三条直线交于一点时，可以 224 把空间分成8部分，如图5，所以空间中 的三个平面最多能把空间分成8部分， 故A正确； 图1 图2 图3 图4 图5 对于B,因为直线aC平面a,直线b二 平面B,由a与b相交一定可以得到α与 B相交，但是由α与B相交，不一定得到 a与b相交，a与b可以相交、平行或异 面，故B错误；对于C,因为a∩b=P, 直线aC平面a,直线bC平面B,所以 P∈a且P∈B,又a∩B=l,所以P∈ l,故C正确；对于D, 若空间中三个平面 两两相交，则它们的交线可以互相垂 直，如图，在正方体EFNM-GDHP中， 平面EFNM∩平面MNHP=MN,平 面EFNM∩平面MEGP=ME,平面 MEGP∩平面MNHP=MP,由正方 体的性质可知MN,ME,MP两两互相 垂直，故D错误.故选AC. 3.共线 解析：因为M∈PQ,直线PQC平面 PQR,M∈BC,直线BCC平面BCD, 所以M是平面PQR与平面BCD的一 个公共点，所以M在平面PQR与平面 BCD的交线上，同理可证，V,K也在平 面PQR与平面BCD的交线上.所以 M,V,K三点共线. 4.3 解析：如图，由题意易得四边形EFGH 为年行四边形，EF=号AC=3,BG 7BD=2,∠EFG=30°或∠EFG月 150°，则四边形EFGH的面积为EFX FGXin∠EFG=2X3X号=3. B 5.2:1 解析：如图，连接 B1D1交A1C于O,A 连接BD,DO,由 M∈BD1,BD1C 平面BDD1B1,则 M∈平面BDDB1,A 又M∈平面AC1D, 而平面BDD1B1∩平面A1C1D=DO, 故M∈DO,所以M是BD1与DO的交 点，又B,D:∥BD,所以BM=BD MD DO BD 40 =2.所以BM:MD1=2:1. 16. 7 解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，连 接BC1交B1C于点O,取A1C1的中点 F,连接OF,B1F(图略)，显然O是BC1 的中点，则OF∥A1B,∠B1OF是A1B 与B1C所成的角或其补角，在△OB1F 中，BF=E,0B,=BC= 合+2=6,0r=A,B= 1 名+2=6.∠B0F (W5)2+(w5)2-(√3)27 2×√5×√5 -10 tan∠B,OF= √1-cos∠B1OF cos∠B1OF 7 ,所以直线AB与直线B1C所成 角的正切值为 7 o 能力提升练 1.D对于A,若A,B,C三点共线，直线 DE与直线AC异面，此时A,B,C,D,E 不共面，A错误：对于B,直线a,b共面， 直线a,c共面，此时直线b,c可为异面直 线，B错误；对于C,三棱锥的三条侧棱所 在的直线交于同一点，但这三条直线不 共面，C错误；对于D,若空间四点不共 面，则任意三，点不共线，否则若其中三点 共线，则这四点共面，不合题意，D正确 故选D. 2.D对于A,B,假设A∈B,又A∈a,则 A∈a∩B,又a∩B=l,所以A∈l, 又A∈AB,所以A∈AB∩l,与AB∩ l=D矛盾，则A度，即平面y,B的交 线不过点A,故A错误；同理，B错误；对 于C,D,因为C∈B,C∈Y,D∈lCB, D∈ABCY,所以C∈B∩Y,D∈B∩ Y,即点C,D在B与Y的交线上，故C错 误，D正确.故选D. 3.D在长方体ABCD-A1B,C1D1中，直 线B1C1∩平面CCDD=C1,点B1∈ B1C1,且B1,C1不重合，即点B1平面 CCD1D,A不正确；点D1∈平面 CC1D1D,点B1庄平面CC1D1D,即直 线B1D1∩平面CC1D1D=D1,B不正 确；直线AA1∥平面BCC1B1,则AA1 与平面BCC1B1无公共点，直线BC1C 平面BCC1B1,所以直线BC1与直线 AA1没有公共，点，C不正确；直线AB∥ 平面A1BC1D1,即直线AB与平面 A1BC1D1无公共点，直线B1D1, A1B1C平面A1B1C1D1,则直线B1D1 与直线AB没有公共，点，又AB∥A1B1, 直线A1B:∩B1D1=B1,即直线B1D1 与直线AB不平行，因此直线B,D1与直 线AB是异面直线，D正确.故选D. 4.D如图所示，因为 A1E∩平面AA1B1B= A1,B1DC平面 A AA BB,A BD, 所以B1D与A1E是异 面直线，B1D= D √B+Ag AE=√AA+AC.因为AM BB1,AB≠AC,所以B1D≠A1E.故选D. 5.B如图，延长AF,CC 交于点P,连接PE交 B1C于M,连接FM,则 四边形AEMF为所求截 面.取CC1的中点Q,连 A 接EQ.:FC1= 1 M AC, B FC1∥AC, .FC1是△APC的中 A 位线，C为PC的中 点.又Q,E分别为CC1,BB1的中 点，MC∥EQ,则MC=PC 2 EQ PQ 3 即MC1= 台aGM为 B1C1上靠近B1的三等分点，故入= 2 故选B. 6.D如图，以AC, A AB为邻边作平行 四边形ABDC,则 AC∥BD且AC= BD=2,故∠DBC 即为异面直线AC 与BC1所成角或其 补角，因为CC1」 平面ABC,BC,CDC平面ABC,所以 CC⊥BC,CC⊥CD,则BC1= W4十9=√/13，DC1=V4十9= √13，在△BDC1中， cOS∠DBC,= BD*BC DC 2BD·BC 4十13-13=区，即并面直线AC 2×2×√13 13 与BC所成角的余孩值为V 13故选D. 7.A如图，直线MN分别与CB,CD的延 长线相交于点T,E,连接C1T,C1E,分 别与BB1,DD1交于点F,Q,连接FM, QN,故五边形C1QNMF即为平面 MVC1截该四棱柱所得截面，其中M,N 分别是AB,AD的中点，故AM=AN= T-M-2哥=2=故 BT 2 BF= 号CC=2,由勾股定理得MF √BM+BF=2V2,MN= √AM+AN=2√2，同理可得QN= MF=2√2，又D1Q=B1F=4,故 C1Q=C1F=√42+4F=4W2,故平面 MNC1截该四棱柱所得裁面的周长为 2√2×3十4√2×2=14√2.故选A. 225 D B Q E N 8.B如图所示，连接 D A1C1,B1D1交于点 M,连接B1E,BC A 交于点N,易知 EF∥B1D1,则E, D F,B1,D1四点共 面，由P是线段A1B A 上的动点，当P重合于A1或B时 C1A1,C1B与平面D1EF的交点分别为 M,V,即Q的轨迹为MN,由棱长为 32,得CM=2A,C1=3,则BC1= BE 6,又BC BN=方，则NC1二 -NC 2BC=4,由AB=BC1=AC, 得∠A1C1B=60°，则MN= √MC+VC-2MC,·NC,·cos∠A,C,B= √9+16-2×3×4×2 =√/13.故 选B. 9.ABD CF_CG=2知，GF∥BD, 由CB=CD=3 又GFC平面EFGH,BD士平面EFGH, 故BD∥平面EFGH,故A正确；由 BDC平面BCD,C∈平面BCD,而 C度BD,又AC∩平面BCD=C,所以 AC与BD异面，故B正确：因为E,H分 别是边AB,AD的中，点，F,G分别是边 BC,CD上的三等分，点，所以GH,CA不 平行，延长GH,CA必交于一点K,如 图，所以AC∩平面EFGH=K,故 AC∥平面EFGH不成立，故C错误：同 理FE,CA不平行，由上知，EH∥BD∥ GF且EH=ZBD<GF= BD,所 以FE延长线与CA,GH延长线都相交， 而FE平面ACD,GH,ACC平面 ACD,且GH∩AC=K,所以FE与平 面ACD交于一点，而直线与平面相交， 则交，点有且只有一个，综上，FE与CA, GH延长线的交点均为K,故D正确.故 选ABD. 个 EX DG. B F C 10.AD记过A1的直线与AD,C1D1所 成角都相等的角为日，则45°≤日≤90°， 所成角都为60°的直线有4条，故A正 参考答案 确；所成角都为45°的直线有2条，故B 错误；过A1与直线A1D1,CD,B1B所 成角都相等的直线有4条，故D正确： 如图所示，直线D1F,DE分别与 A1D1,CD,EF都相交，事实上，过直线 CD上任意一点，都可以作一条与 A1D1,EF都相交的直线，所以可以作 无数条，故C错误，故选AD. D 、D AL 11.AB对于A,B, 如图所示，连接 EF,GH,因为GH A 是△A1B1C1的中 位线，所以GH∥ B,C1,且GH :B G 2B,C1,又因为 A B1E∥C1F,且 B,E=C,F,所 以四边形B,EFC1是平行四边形，所以 .. EF∥B1C1,所以EF∥GH,且GH= 之EF,所以四边形EFHG为梯形，所 以E,F,G,H四点共面，故A,B正确： 对于C,如图所示，延长EG,FH相交于 . 点P,因为P∈EG,EGC平面 ABB1A1,所以P∈平面ABB1A1,因 为P∈FH,FHC平面ACC1A1,所以 P∈平面ACC1A1,因为平面ABB1A1∩ 平面ACC1A1=AA1,所以P∈AA1,所 以EG,FH,AA,三线共点，故C错深 对于D,EB,=FC1,当GB,≠HC 时，tan∠EGB1≠tan∠FHC1,又 0<∠BB,<,0<∠FiC<F, 所以∠EGB1≠∠FHC1,故D错误，故 选AB. 12.ABC正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 长为1，P为BC的中点，对于A,如图1， . AB∥CD∥CD1,直线AP与直线 C1D1所成角为∠BAP,则tan∠BAP= PB AB 2,A正确；对于B,如图1， CQ= 之，即Q为CC的中点，此时 PQ∥BC1∥AD1,AP=QD1= +() 2AD1,则裁面APQD1为等腰梯形，B 正确： B D /p A B 图1 对于C,CQ=,如图2，连接AP并延 长交DC延长线于M,直线MQ交C1D 于R,由CR,∥CM,得CR CM 以对勾·高考一轮复习金卷数学 CQ=,由P是BC的中点，CP刀 CQ AD,得CM=CD=1,因此C1R1= 3C正确； N D R C 、Q B C P A B 图2 对于D, 3 <CQ<1,如图2，连接AP 并延长交DC延长线于M,直线MQ交 CD1于R,,交DD1延长线于点N,连 接AN交A1D1于点T,连接PQ,TR 得裁面APQR T,过，点A,P,Q的平面 与正方体ABCD-A1B1C1D1的5个表 面相交，因此截面APQR,T是五边形， D错误.故选ABC 3.2 解析：如图，延长DC,AB交于点G,连 接PG,EG,则F为EG与PC的交 点.AD∥BC,且AD=2BC,.点 B,C分别是AG,DG的中点，又，点E 是PD的中点，.PC和GE是△PDG 的中线，·点F是△PDG的重心， =2. D 4.60° 解析：如图，延长DO交底面圆于点E, 连接BE,CE, E A=:----- B D 由AB,DE均为圆的直径知AD∥BE 且AD=BE,所以∠CBE即为异面直 线AD与BC所成的角（或其补角）.在 △AOD中，AD=2 OA sin60°=2√3 在Rt△BOC中，BC=√OB+OC= 2√3，所以CB=CE=BE=2W3,所以 △CBE为正三角形，所以∠CBE= 60°，即直线AD与BC所成的角为60 5.222 解析：延长AE,A1B1交于，点F,连接 D1F交B1C1于点G,如图， G 、Bi D 226 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面 ADD1A1∥平面BCC1B1,平面 AFD1∩平面ADD1A1=AD1,平面 AFD1∩平面BCCB1=EG,.AD1∥ GE,又：AD1=3√2，GE=√2，∴.四边 形AEGD1是梯形，且为平面AED1截正 方体ABCD-A1B1C1D1的截面，设其面积 为S.又DG=AE=√I3,在等腰梯 形AEGD1中，过G作GH⊥AD1, ∴GH=√DG-D1=√i, S=(BG+AD)GH=合× 2 (W2+3√2)X√T=2√/22. 7√2 6. 2 4 解析：因为AB=2,BC=3√2，AC= 4,所以在△ABC中，由余弦定理，得 cOs∠BAC= BA+CA-BC 2BA·CA 4+16-181 2×2×4 ,所以sin∠BAC 所以54m=子X2X4X3 3√7 8 3√7 所以=×3 1 ×1= 2 如因，作BH上AC,垂足为H,作 2 B,H1⊥AC1,垂足为H1, 易知棱BB1在平面ACC1A1上的射影 为HH,,则，点E在平面ACC1A1上的 射影E1在线段HH1上，因为 COS∠BAC= AH 1 AB 2 81 解得AH =,故BH= 3W7 ,则 EE =3 37,设AF的中点为Q1,外接 4 球的球心为Q,半径为R1,则QQ1⊥平 面ACC1A1,即QQ1∥EE1,在 Rt△FQQ1中，QF2=R=QQ+ E)0.又国为QE2=R=(3 QQ)+QE②， H C B 由0@.可得200= 沿+Q,E，所 以当QE1取最小值时，QQ1最小，即 R,最小，此时QE1⊥HH1,因为Q 是AF的中点，则E1是HH1的中点， 则E是棱BB1的中，点.因为AA1∥ BB1,所以直线EF与BB1所成角即为 直线EF与AA1所成角.因为 c0s∠B,A,C=日，再由余弦定理，得 BF= √JA1B+A1F-2A1B1·A,FOs∠B1A1F= 4+4-2×2×2×日=万，周为 EB1=1,所以EF=2√2，cOs∠FEB1= 4 考点练39 空间直线、 平面的平行 一。基础巩固练 1.D若直线m与直线n为相交直线，根据 平面与平面平行的判定定理可得α∥B; 若m∥n,如图，可能a∥3，也可能a与 B相交.故选D. m B B 2.D对于A,如图1，满足a∥a,bCa, 但a,b不平行，A错误； a b a 图1 对于B,如图2，满足a∥a,b∥B,a∥B, 但a,b不平行，B错误； a a b 图2 对于C,如图3，满足aCa,bCB,a∥b, 但α，3不平行，C错误； b 图3 对于D,若a吐a,bCa,a∥b,由直线与 平面平行的判定定理可得a∥a,D正 确.故选D. 3.B必要性：如图，a∥B,平面8与平面 a,B交于n',n,平面y与平面a,8交于 m,m',m∥m',n∥n',平面8，y是相交 平面，所以m与n',n与m'是相交直线， 所以与n是异面直线，且m中B,m'C B,所以∥B,同理，n∥a, /a m n' B m' 所以满足必要性； 充分性：当《，B相交时，也存在两条异面 直线m,n满足∥B,n∥a,如图所示， 所以不满足充分性.故选B. 4.B.在三棱柱ABC-A1B1C1中，M,N 分别为AC,B1C1的中点，E,F分别为 BC,B1B的中点，.EFC平面BCC1B1, MN∩平面BCC,B,=N,N在EF, ∴.由异面直线的定义得直线MN与直 线EF是异面直线；取A,C的中点P,连 接PM,PN,如图，则PN∥BA1, PM∥A1A,.AA1∩A1B1=A1,PM∩ PN=P,∴.平面PMN∥平面ABB1A1, :MNC平面PMW,∴.直线MN与平 面ABB1A1平行.故选B. D 5.B连接BD交AC于点O,连接OE,如 图所示， Cl-- B --0 4 :BF∥平面ACE,平面BEF∩平面 ACE=OE,BFC平面BEF,.BF∥ OE,又EF∥BO,∴.四边形BOEF为平 行四边形，则EF=BO= 区故选B. 6.D如图，连接 EG.EH,EF, FG.GH.FH. B ,EH∥FG且 EH FG. .四边形EFGH 为平行四边形， C ..E,F.G.H 四点共面.由EG∥AB',AB'C平面 AB'D',EG丈平面AB'D',可得EG∥ 平面AB'D':EH∥AD',AD'C平面 AB'D',EH丈平面AB'D',可得EH∥ 平面ABD',又EG∩EH=E,可得平 面EFGH∥平面AB'D'.故平面 EFGH内的每条直线都符合条件，从E, F,G,H中任取两点确定的直线中，与 平面ABD'平行的条数是6.故选D. 7.ABC把平面 展开图还原为 四棱锥如图所 示，对于A,因 为E,F分别是 D PA,PD的中 点，则EF∥ AD,且EF中 平面ABCD,ADC平面ABCD,所以 EF∥平面ABCD,同理可证EH∥平 面ABCD,且EF∩EH=E,EH, EFC平面EFGH,所以平面EFGH∥ 平面ABCD,故A正确；对于B,因为 BC∥AD,BCE平面PAD,ADC平 面PAD,所以BC∥平面PAD,故B正 确；对于C,因为AB∥CD,AB丈平面 227 PCD,CDC平面PCD,所以AB∥平 面PCD,故C正确；对于D,平面 PAD∩平面PAB=PA,故D错误.故 选ABC 8.AD根据棱柱的特征（有两个面互相平 行，其余各面都是四边形，并且每相邻两 个四边形的公共边都互相平行)，结合题 中图形知A正确；由题图可知水面 EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的 长却随倾斜程度而改变，故B错误；因为 A1C1∥AC,ACC平面ABCD,A1C1寸平 面ABCD,所以A,C1∥平面ABCD,当 平面EFGH不平行于平面ABCD时， A,C,不平行于水面所在平面，故C错误： 当容器倾斜如题图3所示时，因为水的体 积是不变的，所以棱柱AEH-BFG的体积 V为定值，又V=S△AEH·AB,高AB不 变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为 定值，故D正确.故选AD 9.平行 解析：如图，连接BD交AC于点O,连接 OE,在正方体中易得点O为BD的中点. 又因为E为DD1的中点，所以OE∥ BD1,又因为OEC平面ACE,BD1 平面ACE,所以BD1∥平面ACE. A B E e 0 B 10.3+2√3 解析：因为四边形ABCD为菱形，所以 CD∥AB.因为CD中平面SAB, ABC平面SAB,所以CD∥平 面SAB.因为CDC平面CDEF,平面 CDEF∩平面SAB=EF,所以EF∥ CD,则EF∥AB.因为E为SA的中 点，所以F为SB的中点，所以EF= 2AB=1.因为△SAD是边长为2的 等边三角形，所以DE⊥SA,且DE 2sin60°=√3，同理可得CF=√3，因此 四边形DEFC的周长为3+2√3， 11.Q为CC1的中点 解析：如图所示，设 D Q为CC1的中点， 因为P为DD1的A P 中点，所以QB∥ PA.连接DB,因 D 0 为P,O分别是 A DD1,DB的中点， 所以D1B∥PO,又D1B吨平面PAO, QB平面PAO,POC平面PAO,PAC 平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥ 平面PAO,又D1B∩QB=B,D1B, QBC平面D1BQ,所以平面D1BQ∥ 平面PAO.故Q为CC1的中，点时，有平 面D1BQ∥平面PAO. 12.√5 解析：过E作EF∥CD交PD于点F, 连接AF,由AB∥CD,则AB∥EF, 故B,E,F,A共面，因为BE∥平面 PAD,BEC平面BEFA,且平面 PAD∩平面BEFA=AF,所以BE∥ 参考答案