第5章 考点练31 复数-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

BA,B武=O,因为F为线段BE上的动 点，设B=B-子B+B元，k∈ [0,1],则A京=A方B京=A店+B驼 (号-)耐+B就，又因为G为AF 中点，则DG=DA+AG=-B武+ 萨=（信-）耐+（合 )成，可得症.心-[（号-）威 ]·[2(g-)厨+(2 )]=(仔-)+合 )=号(-号)广-品又周为长∈ [0,1],所以当k=1时，A下.DG取到最 小值一8 5 方法二以B为坐标原点建立平面直 角坐标系，如图所示，则A(一1,0)， B0.0.C0.D-1.E(←日小 可得BA=(-1,0),BC=(0,1), 酝=（令)，周为眩=威+ BC=(-入)，则 4=1, A十以=3由B0,0),E-31)可得 4 直线BE的方程为y=一3x,设F(a, 则c(2,-)可得=a+ 1,-a.成=-a- 则A市.D元=a十1) 十(-3a)· 2 (名a-)=6+号)°-品且 a∈[0]所以a=-时， 正.心取得薇小值一品 B 13.解：(1)因为a=(1,2),所以a= √+2=5. 因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+ 2b)·(2a-b)=0, 即2a2+3a·b-2b2=2X(5)+3a· b-2×22=2十3a·b=0,所以a· b=-号则owa,6)=日67 a·b 2 √5 √5×2 一15 (2)由题意得a|cos(a,b〉=一1，则 cos(a,6)=_ 51 以对闪·高考一轮复习金卷数学 设b=(x,y),则 a·b=x+2y=|a|川b|cos(a,b)=-2, 川b=√x2+y2=2, x= 6 解得 或二。2所以 y=- 8 y=0, b=(停-）或6=(-2.0. 14.解：(1)如图，建立平面直角坐标系 A B 方法一由题意可知OB=1,设 ∠COB=a,则a∈(0，π)，A(-1,0), B(1,0),C(cosa,sina),所以AC= (cos a+1,sina),BC=(cosa-1,sina), 所以AC,BC=cos2a-1十sin'a=1 1=0,故AC⊥BC,即AC⊥BC. 方法二由题意可知OB=1,A(一1,0)， B(1,0),设C(a,b),则OB=OC= √a+b=1,得a2+b2=1,得AC= (a十1，b),BC=(a-1,b),所以AC. BC=a2-1+b2=1-1=0,故AC」 BC,即AC⊥BC. (2)由题意得∠c0B=号，则C(} ）,如图，连接0Q.设∠Q0B=8.则 B∈(3，x）,Q(cosB,sin),由1)得 市=oi-心=(，. (-1-cosB,-sinB),所以QA: 1 1 sm(g-）由∈（侣），得 g-吾∈（倍）当9-晋-是即 日-经时，(@i.Ci)=子故Qi· 的最大值为号， 考点练31复数 。基础巩固练。 1.C 因为兰1= 之-1+1 -1 =1十 =1-i,所以=1+}=1-i 1 故选C. 2.D1十i在复平面内对应的点为(1， 1),关于实轴对称的点为(1，一1)，·x= 1-i.故选D. 3.A因为之= 2+2 -2i (2-i)i1 2 2 十i,所以之在复平面内对 应的点为（日1），在第一象限.故 选A. 204 4.A因为-8士=-(3+iD1-iD 1+i =一(1+i0(1-i) 4-2i 2 =-2+i,所以x十yi=-2十 i,即x=-2,y=1,所以x十y=-1. 故选A, 5.A 由=1+i1+i02-n今 4+b2 (2+b)十(2-b)i为纯虚数，得2+b= 4十b2 0,且2一b≠0.所以b=一2.故选A. 6.D依题意可得x1=1一i,2=i,所以 12=(1-i)i=1十i,故选D. 7.C由题知，点A(1,2),B(-2,1),C(0, 0),设点D的坐标为(x,y),则AD= (x-1y-2),BC=(2,-1).又因为四 边形ABCD为平行四边形，所以AD= B配，即一】=2，得口=3所以点 y-2=-1,付y=1, D对应的复数为3十i故选C. 8,A设之=a十bi(a,b∈R),则由之十 1=z-i;a+bi+1=a+bi- i,所以(a十1)”十b=a2+(b-1), 化简得a=一b,所以之=一b十bi(b∈ R),所以|x+i|=-b+(b十1)i= √6+(6+1)F=√2b+2b+1= 21 2 时取等号，所以之十i的最小值为 故选A 9.ACD若复数x=m2-1十(m十 1)i(∈R)为实数，则m十1=0，解得 m=一1，故A正确：若复数之=m2 1十(m+1)i(m∈R)为纯虚数，则 m2-1=0解得m=1,故B不正确： m十1≠0， 当m=1时，之=1-1十(1+1)i= 2i,.之=一2i,故C正确；当m=0时， x=02-1十(0+1)i=-1十i,.x2= (-1+i)2=1+-2i=-2i,∴x= (-2i)2=-4,.之2021=(x1)508= (-4)06=406=21012,故D正确.故选 ACD. 10.ABD对于A,i+十i3+i=i (一1)十（一i)+1=0,故A正确：对于 B,设x=a十bi,a,b∈R,则之=a bi,若x=x,则a十bi=a一bi,即2bi= 0,解得b=0,则x=a,之∈R,故B正 确：对于C,设之=bi,b∈R且b≠0， 则之2=b2,x2=(bi)2=b22=-b2, 故之2≠之2，故C错误；对于D,若 (1-i)x=1十i,则x= 1-i (1+i)22i (1-)(1+D=2 =i,故之=1， 故D正确.故选ABD. 11.AB设之=x十yi(x,y∈R),则 之+1(x+1十yi)(x-1-yi) z-1(x-1+yi)(x-1-yi) x2-1+y2-2yi x-1十y (x-1)十y2 (x-1)2十y 口一十y·因为号为能虚数 2yi 之-1 所以x2-1十y2=0且y≠0，即x2 y=1且y≠0.因此x= √x+y=1,故A正确：x·之= x2十y2=1,故B正确；因为之在复平 面内对应的，点为(x,y)(y≠0)，所以 在复平面内对应的点不在实轴上，故C 错误；因为|之-2-2i表示圆x2十 y2=1(y≠0)上的点到点(2,2)的距 离，则最大距离为 V√(0-2)2+(0-2)7+1=2√2+1， 即之-2-2imx=22十1，故D错 误.故选AB. 12.AD对于A,设复数之=a十bi(a,b∈ R),则1= a-bi 乏a+bi(a+biD(a-bi a+6a+bi,若三∈R,则b=0, 所以之=a∈R,故A为真命题；对于 B,若复数之=i,则x2=一1∈R,但 之R,故B为假命题；对于C,若复数 x1=i,之2=2i,满足之1之2=一2∈R, 但之1≠之2，故C为假命题：对于D,若复 数之=a十bi∈R,则b=0,z=之∈R, 故D为真命题.故选AD. 13.7-√5i 解析：(W5+i)·(5-2i)=5+√5i- 2w5i+2=7-√5i. 14.-2 解析：(1-2i)(a+i)=a+2十(1一 2a)i,由已知，得a十2=0,1-2a≠ 0,.a=-2 15.(-3,1) 斑折：由慈老得巴法”9<0 解得-3<m<1. 16.2 解析：|e-1=cosx-1十isinx= √/(cosx-1)2十sinx= √2-2c0sx≤V4=2,当且仅当cosx= 一1时等号成立，所以|e"一1的最大 值为2. ®能力提升练。 1.Ax=5十i,.2=5-i,.之十x= 10,则i(x十x)=10i.故选A. 2.B由题意知，(a+bi)(a-bi)=25,即 a2十b2=25.之在复平面内对应的点(a, b)关于原点的对称点为（一a,一b),所 以-a<0,-b>0,即a>0,b<0.由 选项可知，B正确，A,C,D错误.故选B. 3.C因为+ (1十i)2 1-i=(1-iD(1+D=i,又 =-1,8=-i,=1,所以之= =225=i506x1=()50sX i=i,所以义=i,所以x的虚部为1.故 选C. 4,A因为文=1十mi)(1+D (1-i)(1+i) (1一m)十(1十m)i,若之为纯虚数，则 2 1一m=0,即m=1,则之=i,之十m= 1十i在复平面内对应的，点为(1,1)，则复 数之十m在复平面内对应的，点在第一象 限.故选A. 5.C因为2十i是关于复数之的方程x2 mz十n=0(m,n∈R)的一根，所以2- i也是关于复数之的方程x一m之十n= 0(m,n∈R)的一根，所以 m=(2十D十(2-D=4·所以m十 n=(2十i)(2-i)=5, n=9.故选C. 6.D21=-1十3i,2=a十bi=a 8=-则6=-3： bi,又之1=2心-b=3,” (a=-1, b=(-3)1=-故选D 7.B设复数之=x十yi(x,y∈R),则 x-2+i=x-2+(y+1)i= √(x-2)+(y+1)2=1,化简得(x 2)2十(y+1)2=1,表示圆心为(2，一1)， 半径为1的圆；x-1-i=|x一1+ (y-1)i=√(x-1)2+(y-1)7=2, 化简得(x一1)2+(y-1)2=4,表示圆 心为(1,1)，半径为2的圆，两圆心的距 离为√(2-1)+(-1-1)=√5，而 1=2一1<√5<1十2=3，所以两圆相 交，有两个交，点，则A∩B中的元素个 数为2.故选B. 8.B=23)=[(） isin 门：=停+到 cos(-）+isim(-)](cos in)=[os(）o sn(号）sn s牙+sin(）os] cos(←)+isin()= 立，依题 意a=一2 十2kπ，k∈Z,当k=0时， 一2故B正确，A,C,D错误.故选B -50i -50i(3-4i) 9.BCD:=3+=8+3-布 -50i(3-4i) 一8一6i,所以复数之在 25 复平面内对应的点在第三象限，故A错 误；虚部为一6，故B正确；复数之的共軛 复数x=一8十6i,故C正确：复数x的 模x=√/(-8)2十(-6)2=10，故 D正确.故选BCD. 10.ABC对于A,若|1-2=0，则 之 一2=0,21=之2，所以之1=22，故 A为真命题；对于B,若之1=2，则x1 和之2互为共轭复数，所以之1=2，故B 为真命题；对于C,设1=a1十b1i, z2=a2十b2i,a1,b1,a2,b2∈R,若 1=|之2，则√/a1十b= /a+b,即a十b1=a号十b号，所以 x1·z1=a十b1=ai十b2=x2·z2, 所以1·1=2·之2，故C为真命题； 对于D,若之1=1，之2=i,则之1= 之2，而xi=1,x2=一1，则1≠之2， 故D为假命题.故选ABC. 11,BCD对于A,因为之1十之2=3一2i,所 以之1十？的虚部为一2，所以A错误： 对于B,因为之2一之3 一3i,所以之2一 之3为纯虚数，所以B正确；对于C,因为 0A=(1,-1),O元=(2,2)，所以OA· 205 O元=0，所以OA⊥OC,所以C正确： 对于D,由已知可得OA=1=E 0B=x2=5,OC=xa=2W2,且 OA2+OB2=7<8=OC2,所以 OA2十OB-OC2<0,所以D正确.故 选BCD. 12.BCD 因为5-=5-i01+i边 =(1-)(1+i) 5十5i-i-=3+2i,设×=x十 2 yi(xy∈R),则Z(x,y),又之 5-i 1-i =1,即x-(3十2i)=1,所以 √(x-3)十(y-2)=1,即(x 3)2十(y-2)2=1,所以Z在以C(3,2) 为圆心，1为半径的圆上，又复数一1一1 对应的点为Z。,所以Z。(一1，-1)，所 以Z。Z=(x+1,y+1),所以Z。Z= √(x+1)+(y+1),表示圆上的 点与点Z。(一1，一1)之间的距离，又 |Z。C|=√(-1-3)+(-1-2)2= 5,所以5-1≤Z立1≤5+1，即4≤ |ZoZ≤6.故选BCD. 13.√5 解析：因为(3一2i)x=4一7i,所以x 4-7i_(4-7(3+20=26-13i= 3-2i=(3-20(3+2D 13 2一i,所以之=√5 14.21 解析：由(2+i)(1十ai)=i(b+i)可得 2十2ai十i-a=-1十bi,则2-a -1,2a十1=b,解得a=3,b=7,所 以ab=21. 15.3 解析：因为=1，所以之对应的，点的 轨迹是圆心在原点，半径为1的圆， x+1+√3i=之一(-1一√3i),表示 x对应的点与点（一1，一√3）之间的距离，所 以距离的最大值为√(-1)2+（一√3）十 1=3. 16.4 解析：设x=a十bi(a,b∈R),由已知 可得a2十b2=1,w= x+1 x-1 (2+1)(2-1)=Q2+b2-2bi-1 (-1)(x-1) (a-1)2+b2 1-2bi-1 =2h1=b (a-1)2+1-a=2-2a=a- 设t=。,则=i, a-1/ =-t2, 1 所以 +4w2 是+≥4 当且仅当t2= a1 2 -且a2十 b2=1,即a=一 且6=±2时， 3 等号成立 阶段滚动卷二 1.B由题意可得A= =z上>2，则A=比x9 参考答案考点练31复数 JICHU GONGGULIAN 基础巩固练 。答案：204页 一、单项选择题 1.(2024·新课标I卷)若兰-1+i,则： A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 2.在复平面内，复数之对应的点与1+i对应的点关于实轴对称，则之= () A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i ③，已知复数之十)则之在复平面内对应的点位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4已心∈收i是虚数单位若十i=则z十y= () A.-1 B.1 C.2 D.3 5.设复数：1=1十i,之2=2十bi,若二为纯虚数，则实数b=(） 22 A.-2 B.2 C.-1 D.1 6.(2024·云南玉溪期末)已知复数之1，之2在复平面内对应的点分别为 (1,一1)，(0,1)，则之1之2= () A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 7.在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A,B,C对应的复数分 别是1十2i,一2十i,0,则点D对应的复数是 () A.3-i B.-1+3i C.3+i D.-3-i 8.已知i为虚数单位，复数之满足|之+1=之一i|,则|之+i|的最 小值为 () A号 B.2 1 C. D.0 二、多项选择题 9.已知复数之=m2一1+(m+1)i(m∈R),则下列结论正确的有 () A.若复数之为实数，则m=一1 B.若复数x为纯虚数，则m=士1 C.当m=1时，之=-2i D.当m=0时，z2024=21012 10.(2024·福建莆田期末)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是 A.i++i3+i=0 B.若之=之，则之∈R C.若复数之为纯虚数，则|之|2=之2 D.若(1-i)z=1+i,则|之|=1 第五章平面向量、复数063 1已知：是复数，且为纯虚数，则 () A.1x|=1 B.之·z=1 C.之在复平面内对应的点在实轴上 D.|之一2一2i|的最大值为√2 12.在复平面内，下列命题是真命题的是 ( A.若复数：满足}∈R,则：∈R B.若复数之满足x2∈R,则之∈R C.若复数之1，之2满足之1之2∈R,则之1=2 D.若复数之∈R,则之∈R 三、填空题 13.(2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数（√5+i)·(√5一2i)= 14.i是虚数单位，若复数(1一2i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值 为 15.已知复数之=(m2+m一6)+(m2-4m+3)i(其中i为虚数单位)， 当z对应的点在第三象限时，实数m的取值范围为 16.欧拉公式：ex=cosx+isin x(i是虚数单位，x∈R)是由瑞士著名 数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，可求 出|e一1|的最大值为 0642团闪·高考一轮复习金卷数学 能力提升练 ●答案：205页 一、单项选择题 1.(2024·全国甲卷理)若之=5+i,则i(x+x)= A.10i B.2i C.10 D.2 2.已知复数之=a+bi(a,b∈Z),之·之=25，且之在复平面内对应的 点关于原点的对称点位于第二象限，则a,b的可能取值为() A.a=3,b=4 B.a=4,b=-3 C.a=5,b=-5 D.a=-5,b=5 3.复数：=（±》 2025 的虚部为 () A.-1 B.-i C.1 D.i 4已知复数十其中为虚数单位，m∈R,若：为纯虚数，则 复数之十m在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.已知2+i是关于复数之的方程x2一mz十n=0(m,n∈R)的一根， 则m十n= () A.7 B.8 C.9 D.10 6.(2024·河南开封期末)已知复数之1=-1十3i,之2=a十bi3(a,b∈ R)且之1=之2，其中i为虚数单位，则b= () A.0 B.-3 C.-2 7.已知i是虚数单位，集合A={之∈C|川之-2+i|=1},B={之∈C| |之一1一i|=2},则A∩B中的元素有 () A.0个 B.2个 C.1个 D.无数个 8.欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为 “欧拉时代”.他提出公式：复数之=ei=cos0+isin0(i是虚数单 位，已知复数=1-3，二21十i》,设e"=1,则。的值 可能是 () c D.2 25π 二、多项选择题 9.已知复数之= 3十5则下列说法正确的是 () A.复数之在复平面内对应的点在第四象限 B.复数之的虚部为一6 C.复数之的共轭复数之=一8+6i D.复数之的模|之|=10 10.设之1，之2是复数，则下列命题中的真命题是 A.若|之1一之2|=0，则之1=之2 B.若之1=之2，则之1=之2 C.若|x1=之2，则之1·之1=之2·之2 D.若|之11=之21，则=z 11.已知复数之1=1一i,x2=2一i,之3=2十2i在复平面内对应的点分 别为A,B,C,且O为复平面内的坐标原点，则下列说法正确的是 () A.之1十之2的虚部为一2i B.之2一之3为纯虚数 C.OA⊥OC D.以OA,OB,OC的长度为三边长的三角形为钝角三角形 12在复平面内，满足- 1的复数之对应的点为Z,复数 一1一i对应的点为Z。,则|Z。Z|的值可能为 () A.3 B.4 C.5 D.6 三、填空题 13.(2024·广西北海期末)已知复数之满足(3一2i)z=4一7i(i为虚数 单位)，则「之= 14.已知a,b均为实数，(2+i)(1+ai)=i(b+i),则ab= 15.已知复数之满足条件|之=1，则|之+1+√3i|的最大值为 16设复数：满是：l,且。-期已+o 的最小值为