第3章 考点练19 导数与函数零点-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

<In + 2e -1 +1 C √2c /2c 2c-2 0 1 且当x≥c 由 =≥1n2-1可知p'(x) "2W- In x+1+ 1 >n2 十1十 2√e-x 1 1 2Vc-x2Vc-x -（m2-1）≥0 所以p'(x)在(0，c)上存在零点x。,再 结合P'(x)单调递增，即知0<x<xo 时P'(x)<0,x。<x<c时g'(x)>0, 故(x)在(0，xo]上递减，在[xo,c]上 递增. ①当x。x≤c时，有p(x)≤p(c) 0. ②当0<x<x。时，由于6in} -2f0)<-2f()=是<1.放可 以取g∈（1n1,), 从而当0<x<1-q ,c时，由√一正> qE,可得 p(x)=zIn x -cln c-vc-z< -cIn c-vc-x <-cIn c-gv Ein上-g)<o. 再根据(x)在(0，x。]上单调递减，即 知对0<x<x。都有(x)<0. 综合①②可知对任意0<x≤c,都有 p(x)≤0，即p(x)=xlnx-clnc Wc-x≤0. 根据（∈(o,门和0<g≤：的任意 性，取c=x2x=x1,就得到x1lnx1 x2lhx2-√x2-xi≤0， 所以f(x1)-f(x2)=f(x1)- f(x2）=x1lnx1-x2lnx2 √x2一x1,结论成立 情况三：当0<x≤合≤x:<1时，根 据情况一和情况二的讨论，可得 f(z)- -x1≤ () √/x2-x1, 而根据f(x)的单调性知，f(x,) f(x2) fx-f(t) 或 Ifu)-f≤f日)-fu 以励闪·高考一轮复习金卷数学 故一定有|f(x1)-f(x2)≤ √x2一x1成立. 综上，Hx1,x2∈(0,1)，都有f(x1)- f(x)≤|x1-x2 考点练19 导数与函数 零点 。基础巩固练 1.解：(1)f(x)是R上的偶函数，g(x) 是R上的奇函数， e2e 即{fx）-g(x)=cos2x+e-e, f(z)+g(x)=cos 2x +e-e*, 解得f(x)=cos2x,g(x)=e-e (2)证明：由(1)得h(x)=cos2x十e- e,..h'(z =-2sin 2x +e'+e* ,e十e≥2（当且仅当e=ex,即 x=0时取等号)，一1≤sin2x≤1， .h(x)≥0在R上恒成立，.h(x)在 R上单调递增. h(）=cos(-)+e-e -1+e-e<0,h(0)=c0s0+1 1=1>0, 3x。∈（受，0），使得hxo)=0, 又h(x)在R上单调递增，.函数h(x) 有且只有1个零点. 2.解：(1)当a=1时，f(x)=e一x一2， 则f'(x)=e一1.当x<0时，f'(x)< 0,f(x)单调递减；当x>0时，f(x)> 0,f(x)单调递增.故f(x)在（一○，0） 上单调递减，在(0，十∞)上单调递增. (2)方法一f(x）=e一a.当a≤0时， f'(x)>0,所以f(x)在（一∞，+o∞）上单 调递增，故∫(x)至多存在一个零点，不 符合题意，舍去.当a>0时，由f'(x)= 0,解得x=lna,所以当x∈(-∞， lna)时，f'(x)<0;当x∈(lna,+o∞) 时，f'(x)>0,所以f(x)在(-o∞，lna) 上单调递减，在(lna,十o∞)上单调递 增，故f(x)mim=f(lna)=-a(1+ lna）. （1)若0<a≤。，则fna)≥0： f(x)在（一∞，十∞）上至多存在一个零 点，不符合题意，舍去 (i)若a>工，则flna)<0.因为 e f(-2)=e2>0,所以f(x)在(-o∞， lna)上存在唯一零点.由(1)知，当x> 2时，e一x-2>0,所以当x>4,且： x>2n(2a)时，f(x)=e,e a(x+2)>ew.(货+2）-ax 2)=2a>0,所以f(x)在(lna,+o∞)： 上存在唯一零点，从而∫(x)在 (一∞，十∞)有两个零点. 综上，实数a的取值范国是（日，十一） 方法二（分离参数） 若f(x)有两个零点，即e一a(x十2)= 0有两个解.显然，a≠0，因此 +2有两个解，即直线y=日 e 与曲线 174 h(x)=工+2有两个交点.'(x) -(x+D,令'(x)=0,得x=-1, e 当x<-1时，h'(x)>0,当x>-1时， h'(x)<0,故h(x)在(-∞，-1)上单 调递增，在(-1，十∞)上单调递减，故 h(x)mx=h(-1)=e.又h(-2)=0, 当x>-2时，(x)=x+2>0,当 x+0时，h(x)=+2→0，画出 h(x)的图象，如图所示， h(x) e y-d -2-10 结合图象可知， 当上>e时，直线y=上与曲线 a h()=十2没有交点： 当}=c或<0时，直线y= 工与曲 线A(工)=工十2有唯一一个交点： e" 当0<】<e时，直线y=上与曲线 a h(x)=工+2有两个交点. e 综上所述0<上<c,即a>,故实 数a的取值范围是（仁，+∞）· 3.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十∞)， f(x)=十√m)x-√m) x 当0<x<√m时，f'(x)<0,函数 f(x)单调递减； 当x>√m时，f'(x)>0,函数f(x)单 调递增. 综上，函数f(x)的单调递增区间是 (√m,十∞)，单调递减区间是(0，√m). (2)令F(x)=fx)-gx)=-7x (m+1)x-mln x,x>0, 题中问题等价于求函数F(x)的零点 个数. F'(x）=-x-1)(x-m) 若m=1,则F'(x)≤0，所以函数F(x) 在(0，十∞)上单调递减， 因为F1)=三>0，F(4)=-n4< 0,所以F(x)有唯一零点. 若m>1,则当0<x<1或x>m时， F'(x)<0; 当1<x<m时，F'(x)>0, 所以函数F(x)在(0,1)和(m,+o∞)上 单调递减，在(1，m)上单调递增。 因为F(1)=m十2 1 >0,F(2m+ 2)=-mln(2m+2)<0,所以F(x)有 唯一零点. 综上，函数F(x)有唯一零点，即函数 f(x)与g(x)的图象总有一个交点. 4.解：(1)f(x)的定义域是(0，+∞)， .f(x)=In x- zax(a∈R), ∴f'(x)=1 -az =1-az, x 当a=1时，令f'(x)=1-z -=0,得 x=±1. x>0, .当x∈(0,1)时，f'(x)>0,函数 f(x)单调递增， 当x∈(1，十oo)时，f'(x)<0,函数 f(x)单调递减， .当x=1时，函数f(x)取极大值，也 为最大值，最大值为f(1)=一 (2)由f(x)=0,得a=21nx, 22 令g(x)=2lnx 2, 则g'(x)=2-4n王 由g'(x)>0,得1<x<√e 由g'(x)<0,得E<x<e, 所以g(x)在区间[1，√]上单调递增 在区间[√e,e]上单调递减， 又g)=0g0)=ge)=合 4 作出函数g(x)的图象如下： 4 e O 1e e2 综上，当0≤a<冬或a=时，fx) 4 e 在[1，e]上有1个零点： 当≤a<时f)在[1，e]上有 e 2个零点； 当a<0或a>1时，f(x)在[1，c]上 e 没有零点. 一能力提升练 1.证明：(1)f(x)的定义域为(-1，+∞)， f'(x)=cos x- x+1' x+1∈（-1， 1 令g(x)=cosx- 经）gx)=-imz十a+1 1 x∈（1,2)， 易知g(x)在(1，）上单调递减。 又g'(0)=-sin0+1=1>0, g(受）=-sim2+x+2 4 x+2-1<03x∈(0,2），使 4 得g'(xo)=0. .当x∈(-1，xo)时，g'(x)>0: 当x∈(xo,)时，g(x)<0gx) 在(-1，xo)上单调递增，在(x。,2）上 单调递减. 故x=x。为g(x)在区间(1,2)上 唯一的极大值点，即f'(x)在区间 （1,受）上存在唯一的极大值点x… (2)由(1)知f'(x)=cosx一x+' x∈(-1，十o∞). ①当x∈(-1,0]时，由(1)可知f'(x) 在(-1,0]上单调递增，.f(x)≤ f'(0)=0,.f(x)在(-1,0]上单调递 减，又f(0)=0,.x=0为f(x)在 (一1,0]上的唯一零点. ②当x∈(0，]时，f(x)在0，x) 2 上单润道增，在（受]上单润递减， 又f'(0)=0,∴.f'(x。)>0,∴.f(x)在 (0,x。)上单调递增，此时f(x)> f(0)=0,不存在零点， 又f(受)=o-年2 2 子2<03x∈（]使得 2 f'(x1)=0,.f(x)在(x。,x1)上单调 递增，在(1，]上单调递减， 又f)>f0)=0.(）=sn牙 2e n(1+）=h2>lh1=o. f)>0在(…] 上恒成立，不存 在零点。 ⑧当x∈（受时，易知fx)在 (上单调递减， 又f(）>0,f(x)=sin元-ln(x+ 1)=-ln(π十1)<0，.f(x)在 (受]上存在雕一零点： ④当x∈（π，十o∞）时，ln(x+1)> ln(π十1)>l,.f(x)=sinx-ln(1+ x)<0,.f(x)在（π，十∞）上不存在 零点. 综上所述，f(x)有且仅有2个零点. 2.解：(1)因为f(x)=e-4sinx十λ 2,f'(x)=λer-4cosx, 所以∫'(0)=入一4，所以切线斜率为A一 4,即a=λ一4， 所以切线方程为y=(入一4)x一入十1. 又f(0)=入一1，所以切点坐标为(0，入一 1),代入得入一1=-入十1，解得入=1. (2)由(1)得f(x)=e-4sinx-1, f'(x)e*-4cos x, 令g(x)=f'(x)=e-4cosx,则 g'(x)=e+4sin x, 当0<x<π时，g'(x)=e十4sinx> 0恒成立，所以'(x)单调递增. 又f'(0)=-3<0,f'(π)=e"十4>0， 所以f'(x)在(0，π)上存在唯一的零 点x0, 当x∈(0，x)时，f'(x)<0,f(x)单 调递减； 当x∈(x。,π)时，f'(x)>0,f(x)单 调递增， 175 又f(0)=0,f(xo)<f(0)=0, f(π)=e"-1>0, 因此f(x)在(0，π)上仅有1个零点. 当x≥π时，f'(x)=e-4cosx>0恒 成立，所以f(x)在[π，十∞)上单调 递增， 所以f(x)≥f(π)=e"-1>0, 因此f(x)在[π，十∞)上无零点. 综上，f(x)在(0，十∞)上仅有1个 零点， 3.解：(1)由f(x)=e十ax-a,得 f'(x)=e+a. .:函数f(x)在x=0处取得极值， f(0)=e°+a=0,.a=-1, .f(x)=e-x+1,f'(x)=e-1, .当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0, f(x)单调递减； 当x∈(0，十∞)时，f'(x)>0,f(x) 单调递增. 易知f(x)在[一2,0)上单调递减，在 (0,1]上单调递增， 且f-2)=专+3f1)=ef-2)> f(1),∴.f(x)在[-2,1]上的最大值是 (2)f'(x)=e+a. ①当a>0时，f'(x)>0,f(x)在R上 单调递增，且当x>1时，f(x)=e十 a(x-1)>0, 当x<0时，取x=-1 a 则)<1a(-) -a<0, ·.函数f(x)存在零点，不满足题意. ②当a<0时，令f'(x)=e十a=0, 则x=ln(-a). 当x∈(-o∞，ln(-a))时，f'(x)<0, f(x)单调递减； 当x∈(ln(-a),十oo)时，f'(x)>0, f(x)单调递增. .当x=ln(一a)时，f(x)取得极小 值，也是最小值 函数f(x)不存在零点，等价于fn(-a) e-+aln(-a)-a=-2a-aln(-a)> 0,解得-e2<a<0. 综上所述，所求实数a的取值范围是 (-e,0). 4,解：(1)因为f(x)=中2 1 所以曲线y=f(x)在x=一1处的切 1 线斜率为f(-1)=1十2=1， 又f(-1)=1n(-1十2)=0，所以切线 方程为y=x十1. (2)证明：记g(x)=e一x一1，则 g(x)=e一1， 当x<0时，g'(x)<0,函数g(x)在 (一∞，0)上单调递减； 当x>0时，g'(x)>0,函数g(x)在 (0,十∞)上单调递增. 所以当x=0时，g(x)取得最小值 g(0)=e°-1=0， 所以g(x)=e-x-1≥0，即e≥x十1. (3)h(x)=f(x)-a(x+2)=ln(x+ 2)-a(x十2)，x>-2, 由题意知，ln(x十2)-a(x十2)=0有且 参考答案 只有两个不相等的实数根， 即ln(x+2) x+2 =a有且只有两个不相等 的实数根， 令m(x)= ln(x十2) x+2,x>-2,则 m'(x)= 1-ln(x+2) (x十2)2 当-2<x<e-2时，m'(x)>0,m(x) 在（一2，e一2）上单调递增； 当x>e-2时，m'(x)<0,m(x)在 (e一2，+∞)上单调递减. 当x趋近于一2时，m(x)趋近于一oo, 当x趋近于十∞时，m(x)趋近于0， 又m(e一2)=工，所以可得m(x)的图 象如图： e y=a y=mc) 1oe-2 由图可知，当0<a<。时，函数m) 的图象与直线y=a有两个交点， 所以a的取值范围为(o,) 5.解：(1)当a=0时，f(x)= 1nx(x>0),所以f'(x)= 1-x x2. 若x∈(0,1)，f'(x)>0,f(x)单调递增 若x∈(1，十∞)，f'(x)<0,f(x)单 调递减， 所以f(x)在(0，十∞)上取得极大值， 也是最大值，最大值f(x) f(1)=-1. .1 (2)由f(x)=ax一 -(a+1)· 1 lnx(x>0),得f'(x)=a十 x a+1=ax-1Dx-D(x>0). 当a=0时，由(1)可知，f(x)不存 在零点， a(e-）x-n 当a<0时，f'(x)= 若x∈(0,1)，'(x)>0,f(x)单调 递增； 若x∈(1，十∞)，f'(x)<0,f(x)单 调递减， 所以f(x)mx=f(1)=a-1<0,所以 f(x)不存在零点， a(z-I)(-D 当a>0时，f'(x)= 若a=1,f'(x)≥0， f(x)在(0，十∞)上单调递增，因为 f(1)=a-1=0,所以函数f(x)恰有 一个零点，所以a=1满足条件： 若a>1,f(x)在(0，a】 1 ,(1,+∞)上 单调递增，在（分，）上单调递减，因为 2对勾·高考一轮复习金卷数学 f1)=a-1>0,所以f(日）> f(1)>0,当x→0+时，f(x)→-o∞，由 函数零点存在定理可知)在(Q,日） 上必有一个零点，所以a>1满足条件： 若0<a<1f)在o.(日+） 上单调递增，在(，）上单润通减，因 为f)=a-1<0,所以f(日）< f(1)<0,当x→+∞时，f(x)→十∞，： 由函数零点存在定理可知f(x)在 (日，十∞）上必有一个零点，所以0< a<1满足条件. 综上，若f(x)恰有一个零点，则a的取 值范围为(0，十∞) 考点练20导数与恒成立、 有解问题 一。基础巩固练鲁 1.解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞)， f'(x)=a- 1=ax-1 x 当a≤0时，f'x)=ax-1<0,故 f(x)在(0，十∞)上单调递减； 当a>0时x∈（日+）时， '(x)>0,f(x)单调递增， x∈(0，）时，f'(x)<0,fx)单调 递减. 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，十o∞) 上单调递减； 当a>0时，f(x)在（日，+∞）上单调 递增，在(0，工）上单调递减。 (2)证明：当a≤2，且x>1时，e1 f(x)=e-a(z-1)+In z-1 e-1-2x+1+lnx, 令g(x)=e-1-2x+1+lnx(x>1), g'(x)=e1-2十 1,再令h(x)= g'(x),则h'(x)=e1- 显然h'(x)在(1，十∞)上单调递增，则 h'(x)>h'(1)=e°-1=0， 即g'(x)=h(x)在(1，十o∞)上单调递 增， 故g'(x)>g'(1)=e°-2+1=0，即 g(x)在(1，十∞)上单调递增， 故g(x)>g(1)=e°-2+1十ln1=0. 即当x>1时，f(x)<e 2.解：(1)由f(x)=er-2x得f'(x)= 2e-2,又f'(0)=0,f(0)=1, 所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线 方程为y=1. (2)令f'(x)=2e2x-2>0,则x>0, 故f(x)在(0，+∞)上单调递增， 令f'(x)=2e2x-2<0,则x<0,故 f(x)在（一∞，0）上单调递减， 所以当x=0时，f(x)取极小值f(0)= 1,无极大值. 176 (3)由f(x)>2(e-1)x+m得e2m 2x>2(e-1)x+m, 故e2x-2ex>m, 构造函数g(x)=e2r-2ex,则g'(x)= 2e2r-2e,令g'(x)=2e2r-2e>0,则 x>2 故当x>令时，g'(x)>0,g(x)单调 递增，当x<2时，g'(x)<0,g(x)单 调递减， 故当x三2时，g(x)取极小值也是最 小值，g（2】 =e-e=0, 所以m<g(x)mim,即m<0. 故实数m的取值范围为（一o,0). 3.解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞). +1=xa f(x)=一+ 2 当a≤0时，又x>0,.x-a≥ 0,f'(x)>0,f(x)在定义域 (0,十∞)上单调递增； 当a>0时，若x>a,则f'(x)> 0,.f(x)单调递增； 若0<x<a,则f'(x)<0,.f(x)单 调递减. 综上可知，当a0时，f(x)在 (0,十∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减， 在(a,十∞)上单调递增. (2)f(x)≥1台4+1nx≥1台a≥ -lnx十1台a≥-xlnx十x对任意 x∈(0,1]恒成立. 令g(x)=-xlnx十x,x∈(0,1]，则 g(x)--Inz-x.1+1=-nz2 0,x∈(0,1]，g(x)在(0,1]上单调 递增，.g(x)mx=g(1)=1,.a≥1， 故实数a的取值范围为[1，十∞). 4.解：(1)依题意，函数g(x)=2lnx一 工十二的定义域为(0，十∞)， 求得)-兰-1之=（ 1)≤0，当且仅当x=1时取等号， 即g(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以函数g(x)的单调递减区间为 (0,十∞)，无单调递增区间. (2)当x>0时，x2 一e mf(x)台m,x2-e≤m.xlnx台m(x 四x)≤=e恒成立y 令h(x)=x-lnx,x>0,求导得 h'(x)=1五 当0<x<1时，h'(x)<0,当x>1时， h'(x)>0, 即函数h(x)在(0,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增，则当x>0时， h(x)≥h(1)=1, 令t=x-lnx,依题意，t∈ [1,十o,mt≤e兮m≤￡恒成立， t考点练19导数与函数零点 CHU GONGGU LIAN 基础巩固练 ●答案：174页 1.若函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且满足 f(x)-g(x)=cos 2x +e *-e". (1)求f(x),g(x)的解析式； (2)令h(x)=f(x)十g(x),求证：函数h(x)有且只有1个零点. 2.已知函数f(x)=e-a(x+2). (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 3.设函数f(x)=x2-mln zg(x)=z2-(m+1).x,m>0. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数. 第三章一元函数的导数及其应用037 1 4.(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=lnx-2ax(a∈R). (1)当a=1时，求f(x)的最大值； (2)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数. 0382对勾·高考一轮复习金卷数学 能力提升练 ●答案：175页 1.已知函数f(x)=sinx一ln(1+x),f'(x)为f(x)的导函数.求证： (1)f'(x)在区间(1，)上存在唯一极大值点： (2)f(x)有且仅有2个零点. 2.(2024·河南开封三模)函数f(x)=er一4sinx+入一2的图象在 x=0处的切线方程为y=ax一a一3，a∈R. (1)求入的值； (2)求f(x)在(0，十)上零点的个数. 3.已知函数f(x)=e+a.x-a(a∈R且a≠0). (1)若函数f(x)在x=0处取得极值，求实数a的值，并求此时 f(x)在[-2,1]上的最大值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围. 4.(2024·天津河北区模拟)已知函数f(x)=ln(x+2). (1)求曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程； (2)求证：e≥x+1; (3)函数h(x)=f(x)一a(x十2)有且只有两个零点，求a的取值 范围. 5.已知函数f(c)=ax-1-(a十1)nx. (1)当a=0时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.