寒假作业02 直线方程的综合应用6类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业02 直线方程的综合应用 一、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 二、三种距离公式 1、两点间的距离 （1）平面上两点的距离公式为． （2）特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 三、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求直线方程 1．求符合下列条件的直线方程 (1)斜率是，且经过点． (2)经过，两点． (3)经过，且在轴上的截距是在轴上的截距的． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）利用点斜式求直线方程. （2）利用两点式求直线方程. （3）利用截距式求直线方程. 【详解】（1）由点斜式可得直线方程为：，整理得：. （2）由两点式可得直线方程为：，整理得：. （3）若直线过原点，则直线方程为：，即，满足题意； 若直线不过原点，设直线在轴上的截距为（），则直线在轴上的截距为， 则直线方程为， 因为直线过点，所以. 所以直线方程为：. 综上，所求直线方程为：或. 2．（25-26高二上·天津红桥·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点，； (4)在轴、轴上的截距分别是，1． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）根据点斜式即可求出直线方程. （2）根据斜截式即可求出直线方程. （3）根据两点式即可求出直线方程. （4）根据截距式即可求出直线方程. 【详解】（1）由题意知，，整理得. （2）由题意知，，整理得. （3）由题意知，，整理得. （4）由题意知，，整理得 3．（25-26高二·全国·假期作业）求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)或． 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正切公式、直线的点斜式方程及辨析、直线斜率的定义 【分析】（1）首先根据二倍角正弦公式求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）首先确定直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为． 因为， 所以． 又直线经过点， 因此所求直线方程为， 即． （2）由题意，可知所求直线的斜率为． 又过点, 由点斜式得． 所求直线的方程为或． 4．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）先求出直线的斜率，再由点斜式即可求解； （2）先由垂直关系求出所求直线斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】（1）由题可得直线的斜率为， 所以由点斜式得直线的方程为即； （2）由题可得边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 题型二 两条直线的位置关系 1．（25-26高二上·广东·期中）已知直线：与直线：交于点，则（   ） A．点为定点 B．直线可能同时经过第三、四象限 C．直线可能不经过第三象限 D．存在定点，使得为定值 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】由的取值不确定，则点的位置不确定，判断A；根据直线过定点的位置，判断BC；由两直线垂直得，可得存在定点，使得为定值，判断D. 【详解】联立，可得，显然点随的变化而变动，故A错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在轴的正半轴上，不可能同时经过第三、四象限，故B错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在第三象限，直线经过第三象限，故C错误； 当时，；当时，，则，所以， 则，取的中点，则为定值，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏常州·月考）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】联立两直线的方程，解得交点坐标，根据两直线垂直可得所求直线斜率，利用点斜式方程，可得答案. 【详解】由题意联立方程，解得，则直线与的交点为， 由可知其斜率为，则与直线垂直的直线斜率为， 所以过直线与的交点且垂直于的直线方程为，化简可得. 故选：B. 3．（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线：与：相交于点，则过点且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程 【分析】通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直两直线方程的特征进行求解即可. 【详解】由， 与垂直的直线方程可设为， 把代入，得， 故选：B 4．（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线方程变形为：，解，可得所过定点. 【详解】由，得. 由，. 所以直线：恒过定点. 故答案为： 5．（25-26高二上·天津静海·期中）过两条直线：，：的交点，且与直线垂直的直线的方程为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】求出直线与的交点坐标为，利用垂直关系求得斜率为，再由直线的点斜式方程可得结果. 【详解】联立两条直线方程，解得， 即交点坐标为； 易知直线的斜率为，可得所求直线的斜率为； 由直线的点斜式方程可得，即. 故答案为：. 6．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线，，直线与、分别交于B、C两点，若点在线段BC上，且，则的方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、直线的一般式方程及辨析 【分析】设点坐标，根据得到方程组，解出两点坐标即可得到直线方程. 【详解】由，且点在线段上，得．设，， 则， 即 解得 则． 因为，所以的方程为，即． 故答案为：. 题型三 三种距离公式的应用 1．（24-25高二上·安徽·期末）两平行直线与之间的距离是，则（　　） A．-2 B．-12 C．12 D．14 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先根据两直线平行的条件（），判断两直线平行求出，再由两平行直线间的距离公式求出，即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，即，得：， 将变形为：， 则直线与之间的距离是， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以. 故选C. 2．（25-26高二上·河南南阳·月考）点坐标为，直线为，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离 【分析】结合点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】根据点到直线的距离公式，将和直线（，，）代入，得. 故选：D. 3．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】求出直线所过定点，点到直线的距离的最大值为. 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点，， 点到直线的距离的最大值为. 故选：C 4．（25-26高三上·山东·月考）若，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值 【分析】令，利用点到直线的距离公式可求的最小值. 【详解】令，由，可得， 原点到直线的距离为， 所以， 联立，可得， 所以当，时，取最小值，最小值为. 故选：D. 5．（2025·上海普陀·一模）设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离 【分析】设出点的坐标，并求出点的坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】由直线经过点，设， 由向量，得， 所以点到直线的距离. 故答案为： 6．（25-26高二上·山东枣庄·期中）直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】求出过直线方程，由直线平行求出，再由平行线间距离公式得解. 【详解】因为直线过点，， 所以直线的方程为：，即， 因为与直线平行， 所以，所以两平行线间的距离， 故答案为： 题型四 直线与坐标轴围成的三角形面积问题 1．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 2．（25-26高二上·河南新乡·月考）已知的三个顶点分别为，则的面积是（    ） A．5 B．10 C． D．20 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、求平面两点间的距离 【分析】由的坐标易证，分别求出，再代入的面积公式即可. 【详解】因为， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，所以是直角三角形. 因为， 所以的面积. 故选：B. 3．（25-26高二上·山东聊城·期中）以和轴上一点为顶点的三角形的面积为5，则的纵坐标为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、已知点到直线距离求参数、直线两点式方程及辨析 【分析】求出，根据的面积为5，算出点P到的距离d．求出的方程，设点，利用点到直线的距离公式解出m的值，即可得到答案． 【详解】∵点，∴， 设点P到的距离为d， ∵的面积为5，∴，得， ∵直线的方程为，即， 设P的坐标为， ∴，解得或， ∴的纵坐标为或． 故答案为：或． 4．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、已知两点求斜率、求直线交点坐标 【分析】设，由AB的中点坐标在直线上，进而求出a的值，根据角平分线的性质知点A关于角平分线对称的点在直线BC上，进而求得，求出直线BC方程，进而求出点C坐标，结合两点距离公式和点线距公式计算即可求解. 【详解】由题意知，设， ∵AB的中点在直线上， ∴，解得，∴. 由角平分线的性质，点A关于平分线的对称点在直线BC上， 得，解得，所以， 由和B得BE的方程. 由，解得，即， 得， 点A到直线BE的距离为， 所以. 故答案为： 5．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）已知点都在直线上，且点的横坐标之差为2，点，则的面积为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据坐标的关系，求出，由点到直线的距离得出三角形的高，进而可得. 【详解】由题知，不妨设， 则， 根据点到直线的距离，到的距离是， 则的面积为 故答案为： 题型五 对称问题 1．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【详解】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 2．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】求出点关于轴、直线的对称点、的坐标，可知，，则，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，即可求解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：D. 4．（25-26高二上·山西晋中·期中）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（　　） A．2 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴对称点，则就是所求的路程长. 【详解】易知直线的方程为， 设点关于直线的对称点， 则且，解得，即， 又点关于轴的对称点， 由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线， 所以光线所经过的路程长为 . 故选：A. 5．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、直线两点式方程及辨析 【分析】利用点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，由两点式写出反射光线所在的直线方程. 【详解】由点，得出其关于轴的对称点为， 又点在反射光线所在的直线上，且经轴反射后经过点， 所以反射光线所在的直线为，化简得. 故选：A 6．（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】折线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则， 解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：.    7．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 8．（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求点关于直线的对称点 【分析】先设点B的对称点，应用对称性得出对称点，再应用点斜式得出直线方程. 【详解】设关于直线的对称点， 所以，所以， 所以， 由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为． 故答案为：． 题型六 直线方程的综合应用 1．（25-26高二上·重庆涪陵·月考）求满足题意的直线方程： (1)求过点且与直线垂直的直线方程． (2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）利用两条直线垂直，在两条直线都有斜率的情况下，利用求出所求直线的斜率，利用直线的点斜式求出所求直线方程； （2）当所求直线过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距，利用已知两点的斜率公式求出所求直线的斜率为，利用直线的点斜式求出所求直线方程；当所求直线不过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距，设所求直线方程为截距式，代入点，计算出，将代入截距式整理得解. 【详解】（1）设所求直线的斜率为，已知直线的斜率为， 所求直线和已知直线垂直，，，， 又所求直线过点，由直线的点斜式得到所求直线方程为， 整理得即为所求； （2）当所求直线过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距， 所求直线又过点， 则所求直线的斜率为，由直线的点斜式得到所求直线方程为， 即； 当所求直线不过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距， 设所求直线方程为截距式，又所求直线过点， 将点代入，得到，解得， 将代入得到，整理得即为所求； 综上可知，所求直线方程为或. 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）分别求满足下列条件的直线方程. (1)过原点，且经过直线与直线的交点； (2)斜率为，且到点的距离为. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知点到直线距离求参数、求直线交点坐标 【分析】（1）求出直线交点的坐标，设所求直线方程为，将交点坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设所求直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】（1）联立得，故直线与直线的交点为， 根据题意，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入直线方程得，故所求直线方程为. （2）设所求直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 故所求直线的方程为，即或. 3．已知直线：()． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)4 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线过定点问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）将直线化成点斜式，可得直线经过的定点. （2）考虑直线的斜率及在轴上的截距建立不等式求解. （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）因为直线的方程可化为：， 所以直线过定点. （2）因为直线过定点，在轴上的截距为：. 要使直线不经过第四象限，则. 即的取值范围是. （3）直线与轴的交点为，与轴的交点为. 由题意，. 又， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为4. 4．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为4，直线方程为. 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、直线过定点问题、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出方程，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【详解】（1）∵， ∴直线过定点. （2）∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. （3）由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 1．（25-26高三上·山东青岛·期中）设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】距离新定义 【分析】令，根据题意可化为二次函数，即可求出结果. 【详解】根据题意，直角距离， 令，则，， 线段长度， 由，得，代入得： ， 当时，取最小值为，此时，即，满足条件. 故选：A 2．（25-26高二上·广东东莞·月考）已知平面坐标系中，定点，点B在x轴上运动，点C是坐标平面内一点，满足为正三角形，则线段长度的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——直线 【分析】解法一：若要OC最小，不妨设点，，根据两角和与差的正切公式可得直线BC，AC的方程，进而得到点C的轨迹为直线，进而结合点到直线的距离公式求解即可； 解法二：将绕点A顺时针旋转60°，得到，过点作轴，根据几何关系分析求解即可. 【详解】解法一：若要OC最小，不妨设点，， 设直线AB的倾斜角为，则， 于是，， 于是直线BC：，直线AC：， 由，解得，即， 则点C的轨迹为直线， 而点直线的距离， 则线段长度的最小值为3. 解法二：如图，将绕点A顺时针旋转60°，得到， 则，，则为正三角形， 则，，， 如图，过点作轴，则，则， 当且仅当取等号， 即线段长度的最小值为3. 故选：B 3．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选题）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】由已知求出的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立求得外心坐标，从而得到圆的方程，设，根据三角形的重心在欧拉线上，再与圆的方程联立即可求出的坐标，从而选出选项. 【详解】因为点､，的垂直平分线方程为， 又因为外心在欧拉线上， 联立，解得三角形的外心为， 又因为， 所以的外接圆方程为. 设，则三角形的重心在欧拉线上， 即，整理得：， 又因为在外接圆上，得， 联立，解得：或， 所以顶点的坐标可以是或， 故选：AD. 4．（25-26高二上·山东枣庄·月考）（多选题）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”.又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（   ） A．，，则 B．O为坐标原点，动点R满足，则R的轨迹为直线 C．对任意三点A、B、C，都有 D．已知点和直线：，则 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】距离新定义 【分析】对于A：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于B：设，分析可得，且等号至少有一个成立，即可得结果；对于C：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于D：设点可得，讨论可得距离，再由函数的性质，求得最小值即可. 【详解】对于选项A：若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于选项B：设，若，则，且等号至少有一个成立，故轨迹不是直线，B错误； 对于选项C：设， 则 ， 同理可得， 所以，故C正确； 对于选项D：设为直线上一点， 则， 当，即时，则， 可知当时，取得最小值； 当，即或，则，无最小值， 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 1．（25-26高二上·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、已知点到直线距离求参数 【分析】分析得到直线的斜率存在，且，满足要求，要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且，此时，，从而①正确；同理，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且，不妨取，此时，故，故④正确. 【详解】对于①，当直线的斜率不存在时，设为， 若时，到直线的距离之和为4，不满足要求； 若或时，到直线的距离之和大于4，不满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，，由可得， 若，则，即，解得， 此时，即， 若，则，即， 解得，此时，即， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且， 此时，， 故当点坐标为，此时和时，满足要求， 故存在点，有且仅有三条“直线”，①正确； 对于②，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且， 不妨取，此时，故， 所以此时和，满足， 故存在点，有且仅有四条“直线”，②正确. 故选：A 2．（25-26高二上·北京·月考）曼哈顿距离（）是由十九世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点，它们之间的曼哈顿距离．已知点，点是直线上的动点，点是直线上的动点，其中．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】距离新定义 【分析】根据直线所过定点的求法和直线垂直关系判定可知，大致锁定两直线位置，并验证出可过点；根据曼哈顿距离的几何意义，结合直线位置关系可确定当过，即重合时，所求曼哈顿距离和取最小值，由此可得结果. 【详解】记直线，则， 由得：，恒过定点； 记直线，则， 由得：，恒过定点； ，； 若过点，则，解得：，与矛盾，不过点； 若过点，则，解得：，符合题意，可过点； 设曼哈顿距离，其中，则点到定点的曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形，该正方形以为中心，其中一条对角线在轴上，另一条对角线平行于轴，且对角线长的一半为定值，如下图所示， ，，， ，可知轨迹为该正方形； 当正方形与相交于一点时，；当正方形与相交于一点时，， （当过，即重合时取等号）， 当过时，，此时，则， 的最小值为. 故选：A. 3．（25-26高二上·北京·期中）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是    ① ②点在上 ③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 ④当点在上时， 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、求平面轨迹方程、由方程研究曲线的性质 【分析】根据题意得曲线的方程，再由原点及在曲线上可判断①②，结合不等式的放缩可判断③④. 【详解】设曲线C上任意一点，由题意得. 对于①：因曲线过原点，所以，且，所以，故①正确； 对于②：将代入方程得，所以②正确； 对于③：设是曲线在第一象限的点, 则有, 所以, 令, 则, 因为,且,所以函数在附近单调递减, 即必定存在一小区间使得单调递减, 所以在区间上均有, 所以的纵坐标的最大值一定大于,，故③不正确； 对于④：由，所以，即， 当时，；当时，因，即，所以成立； 所以当在上时，成立，故④正确. 故答案为：①②④. 4．（25-26高二上·山西吕梁·月考）如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成.若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求平行线间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】根据题意利用点代入法得到，设直线与函数相切，得到，再根据平行线间距离公式求解即可. 【详解】因为函数经过点，得，所以， 根据题意可知，的最大值为图象上的点到直线的最大距离的两倍， 设直线与函数相切， 联立，消去，得， 则由，解得， 则直线与直线间的距离为， 故的最大值为. 故答案为：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业02 直线方程的综合应用 一、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 二、三种距离公式 1、两点间的距离 （1）平面上两点的距离公式为． （2）特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 三、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求直线方程 1．求符合下列条件的直线方程 (1)斜率是，且经过点． (2)经过，两点． (3)经过，且在轴上的截距是在轴上的截距的． 2．（25-26高二上·天津红桥·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点，； (4)在轴、轴上的截距分别是，1． 3．（25-26高二·全国·假期作业）求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 4．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 题型二 两条直线的位置关系 1．（25-26高二上·广东·期中）已知直线：与直线：交于点，则（   ） A．点为定点 B．直线可能同时经过第三、四象限 C．直线可能不经过第三象限 D．存在定点，使得为定值 2．（25-26高二上·江苏常州·月考）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线：与：相交于点，则过点且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点 ． 5．（25-26高二上·天津静海·期中）过两条直线：，：的交点，且与直线垂直的直线的方程为 6．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线，，直线与、分别交于B、C两点，若点在线段BC上，且，则的方程为 ． 题型三 三种距离公式的应用 1．（24-25高二上·安徽·期末）两平行直线与之间的距离是，则（　　） A．-2 B．-12 C．12 D．14 2．（25-26高二上·河南南阳·月考）点坐标为，直线为，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东·月考）若，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 5．（2025·上海普陀·一模）设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为 ． 6．（25-26高二上·山东枣庄·期中）直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 题型四 直线与坐标轴围成的三角形面积问题 1．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南新乡·月考）已知的三个顶点分别为，则的面积是（    ） A．5 B．10 C． D．20 3．（25-26高二上·山东聊城·期中）以和轴上一点为顶点的三角形的面积为5，则的纵坐标为 . 4．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为 5．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）已知点都在直线上，且点的横坐标之差为2，点，则的面积为 . 题型五 对称问题 1．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 2．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西晋中·期中）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（　　） A．2 B．6 C．3 D．2 5．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为 . 7．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为 . 8．（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 ． 题型六 直线方程的综合应用 1．（25-26高二上·重庆涪陵·月考）求满足题意的直线方程： (1)求过点且与直线垂直的直线方程． (2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的直线方程． 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）分别求满足下列条件的直线方程. (1)过原点，且经过直线与直线的交点； (2)斜率为，且到点的距离为. 3．已知直线：()． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 4．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 1．（25-26高三上·山东青岛·期中）设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高二上·广东东莞·月考）已知平面坐标系中，定点，点B在x轴上运动，点C是坐标平面内一点，满足为正三角形，则线段长度的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 3．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选题）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东枣庄·月考）（多选题）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”.又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（   ） A．，，则 B．O为坐标原点，动点R满足，则R的轨迹为直线 C．对任意三点A、B、C，都有 D．已知点和直线：，则 1．（25-26高二上·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 2．（25-26高二上·北京·月考）曼哈顿距离（）是由十九世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点，它们之间的曼哈顿距离．已知点，点是直线上的动点，点是直线上的动点，其中．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·期中）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是    ① ②点在上 ③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 ④当点在上时， 4．（25-26高二上·山西吕梁·月考）如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成.若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为 . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $