精品解析：甘肃省天水市秦州区2024-2025学年上学期八年级数学期末试卷

2024-2025学年秦州区第一学期期末质量监测卷 （八年级·数学） 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致． 2.答题时，这择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答，直接在试题上作答无效． 3.考试结束，考生只上交答题卡． 一、细心选一选．（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 的立方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先化简，然后再计算立方根即可． 【详解】解： 8的立方根是2 故选：A． 2. 下列说法正确的个数是（ ） ①最小的负整数是； ②实数与数轴上的点一一对应； ③当时，成立； ④两个无理数的和仍为无理数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴以及实数的相关概念，实数的运算，绝对值的性质，熟知相关概念和性质是解本题的关键． 【详解】解：①最大的负整数是，故原说法错误； ②实数与数轴上的点一一对应，故原说法正确； ③当时，成立，故原说法错误； ④两个无理数的和可能为有理数，例如，故原说法错误； 故正确的结论有：②，共1个， 故选：A． 3. 下列计算结果正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，积的乘方，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，准确计算．根据合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：A． a与不是同类项，不能合并，故A错误； B． ，故B错误； C． ，故C错误； D． ，故D正确． 故选：D． 4. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查分解因式的概念：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），逐一判定即可． 【详解】解：A. 是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B. ，等式的右边不是整式，故该选项不正确，不符合题意； C. ，等式的右边不是乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意； D. 是因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 若是一个完全平方式，则常数a值为（ ） A. 8 B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 6. 下列哪个选项不能判断是直角三角形 （ ） A. B. 三个内角的度数之比是 C. D. 三角形的三条边之比是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理解题即可． 【详解】解：A.由可得，即，则是直角三角形； B.设三个内角读数为，，，则，解得，最大角为，则不是直角三角形； C.设，，，则，解得，最大角为，则是直角三角形； D.设三条边是，则，则是直角三角形； 故选：B． 7. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形的性质结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵两个全等三角形， ∴， 故选：D． 8. △ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BA、BC于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则图中与BC相等的线段有（　　） A. BD B. CD C. BD和AD D. CD和AD 【答案】C 【解析】 【分析】由基本作图得到BP平分∠ABC，所以∠ABP=∠CBP=36°，则利用等腰三角形的性质得∠C=∠ABC=72°，再利用三角形内角和定理计算出∠A=36°，于是得到AD=BD，然后计算出∠BDC=72°，从而得到∠BDC=∠C，所以BD=BC. 【详解】解：由画法得BP平分∠ABC，则∠ABP＝∠CBP＝ ， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠A＝180°﹣2×72°＝36°， ∴∠A＝∠ABD， ∴AD＝BD， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴BD＝BC， 即BC＝BD＝AD． 故选C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的判定与性质. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 有理数和数轴上的点一一对应 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理，有理数，实数与数轴，对顶角，平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相关定义．根据平行线的判定定理可判断选项A；根据“相等的角不一定是对顶角”可判断选项B；根据“实数与数轴是一一对应关系”可判断选项C；根据“平行线的判定定理”可判断选项D． 【详解】解：A、只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，此选项为假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，此选项为假命题，不符合题意； C、数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数，故只有实数与数轴上的点一一对应，此选项为假命题，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，此选项是真命题，符合题意． 故选：D． 10. 如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，垂线段最短等知识，首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，过点作交于点，由轴对称图形的性质及“垂线段最短”的性质可得的最小值为的长，即可获得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴，， ∴点关于对称， 过点作交于点，连接，如图， ∴， 根据是上的动点，是边上的动点，要使取最小值，只需满足三点共线，由轴对称图形的性质及在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，可得的最小值即为的长， ∵的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：． 二、认真填一填．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知数据：，，，，0．其中无理数出现的频率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了频率与频数以及无理数．直接利用无理数的定义得出无理数的个数，进而利用频率求法得出答案． 【详解】解：， ∴数据，，，，0中，无理数有：，共2个， 故无理数出现的频率为：． 故答案为：． 12. 分解因式：___________________________________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用完全平方式展开，然后合并同类项，再利用完全平方公式进行分解即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：． 13. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 14. 若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：①是等腰三角形的底角， ②当是等腰三角形的顶角时， 它的底角的度数为：，符合要求； 故答案为：或． 15. 如图，点，，，在同一直线上，，，要使，则只需添加一个适当的条件是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，选择适当的条件即可，显然答案不唯一． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，按此操作进行下去，那么第个三角形的内角_____（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，先根据等腰三角形的性质求出， 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 ，及的度数，找出规律即可得出. 的度数，根据题意得出，及的度数，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，是的外角， ∴， 同理可得，，，， ∴ 故答案为： ． 三、用心答一答．（本大题共8个小题，共96分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用完全平方公式进行因式分解； （2）利用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 已知，代数式． （1）化简代数式A； （2）若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，整式的加减，是解题关键． （1）根据完全平方公式，平方差公式，去括号，合并即得； （2）根据完全平方式特征，知，得，代入A即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：是一个完全平方式， ， ， ． 19. 如图，已知． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定： （1）根据，，即可求得答案； （2）根据，可得，进而可求得． 【小问1详解】 ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴，． ∴． ∴． 20. 如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等腰，可得，由题意知，，则，根据，计算求解即可； （2）如图，作于，则，证明，则，进而可得． 【小问1详解】 解：∵以为底边向上作等腰， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 证明：如图，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在，，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）证明，结合，列式计算即可． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，平分，， ∴ ∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴． 22. 如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当，时，列方程解得t，可得；情况二：当，时，列方程解得t，可得． 【详解】解：∵点M、N运动的速度之比为， ∴可设，则，， ∵， ∴使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或． 23. 疫情期间我市为加强学生的安全防护意识．组织了全市学生参加防护知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如图的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题． 组别 成绩x/分 频数 甲组 10 乙组 a 丙组 14 丁组 8 （1）一共抽取了 个参赛学生的成绩；表中 ；组距是 ； （2）补全频数分布直方图； （3）计算扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数； （4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”，则所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？ 【答案】（1）40，8，10 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意． （1）用丙组的人数乘以所占的百分比求出总人数，然后减去其他组的人数即可求出乙组的人数，然后根据组距的概念求解即可； （2）根据频数分布表画出条形图即可解决问题； （3）利用圆心角百分比计算即可解决问题； （4）根据优秀人数以及总人数求出优秀率即可． 【小问1详解】 一共抽取的参赛学生有：（人）， ， 组距是； 【小问2详解】 由（1）知，， 补全的频数分布直方图如图所示； 【小问3详解】 扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数是：； 【小问4详解】 所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是． 24 如图1，已知，，直线与交于点P．连接． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，的延长线交的延长线于点Q，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）是等腰三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）由全等三角形的性质证明故可得结论； （2）证明,得，即可得绪论； （3）证明,即可得出绪论 ． 【小问1详解】 证明：∵ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； 小问3详解】 解：是等腰三角形． ∵， ∴， 又 ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年秦州区第一学期期末质量监测卷 （八年级·数学） 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致． 2.答题时，这择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答，直接在试题上作答无效． 3.考试结束，考生只上交答题卡． 一、细心选一选．（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 的立方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 2. 下列说法正确的个数是（ ） ①最小的负整数是； ②实数与数轴上的点一一对应； ③当时，成立； ④两个无理数和仍为无理数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列计算结果正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 下列各式由左边到右边变形中，是分解因式的为（ ） A. B. C D. 5. 若是一个完全平方式，则常数a的值为（ ） A. 8 B. C. D. 无法确定 6. 下列哪个选项不能判断是直角三角形 （ ） A. B. 三个内角的度数之比是 C. D. 三角形的三条边之比是 7. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. △ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BA、BC于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则图中与BC相等的线段有（　　） A BD B. CD C. BD和AD D. CD和AD 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 有理数和数轴上的点一一对应 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 10. 如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、认真填一填．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知数据：，，，，0．其中无理数出现的频率为________． 12. 分解因式：___________________________________． 13. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______尺．（1丈＝10尺） 14. 若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为_____． 15. 如图，点，，，在同一直线上，，，要使，则只需添加一个适当的条件是___________． 16. 如图，在中，，，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，按此操作进行下去，那么第个三角形的内角_____（用含的式子表示）． 三、用心答一答．（本大题共8个小题，共96分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 已知，代数式． （1）化简代数式A； （2）若是一个完全平方式，求A的值． 19. 如图，已知． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 20. 如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 21. 如图，在，，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 23. 疫情期间我市为加强学生的安全防护意识．组织了全市学生参加防护知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如图的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题． 组别 成绩x/分 频数 甲组 10 乙组 a 丙组 14 丁组 8 （1）一共抽取了 个参赛学生的成绩；表中 ；组距是 ； （2）补全频数分布直方图； （3）计算扇形统计图中“甲”对应的圆心角度数； （4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”，则所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？ 24 如图1，已知，，直线与交于点P．连接． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，的延长线交的延长线于点Q，请判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $