6.1 两点间的距离公式及中点坐标公式（教学设计）--北师大版《数学 基础模块下册》《上好课》

北师大版《数学基础模块下册》 第六章 直线与圆的方程 6.1 两点间的距离公式及中点坐标公式 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节“两点间的距离公式及中点坐标公式”是直线与圆的方程章节的基础核心内容，核心知识点包括平面直角坐标系中两点间距离公式的推导、中点坐标公式的应用。教材通过生活案例引出两点间的距离公式及中点坐标公式，并借助平面直角坐标系来进行公式推导，既承接了平面直角坐标系的前置知识，又为后续直线斜率、圆的方程等内容奠定了“坐标量化几何关系”的基础。 五、学情分析 多数学生已掌握平面直角坐标系的基本概念，但在“用坐标表示几何关系”的转化上存在短板：一方面，学生对“将生活中的位置抽象为坐标点”的建模意识不足，易混淆实际场景与坐标系的对应关系；另一方面，部分学生对公式的推导逻辑理解模糊，仅会机械套用，遇到“非原点参考的坐标点”“含单位的实际数据”时易出错。此外，中职学生对抽象运算兴趣较低，但对贴近生活的“定位、测量”类场景接受度较高，需通过具象案例强化公式的实用价值，同时弥补其“几何与代数结合” 的思维短板。 六、教学目标 1.理解并掌握两点间的距离公式及中点坐标公式; 2.能结合坐标系，运用公式解决简单的线段长度求解、中点定位问题; 3.通过推导公式、分析生活场景的过程，提升从几何图形中抽象坐标关系的能力，培养数形结合的数学思想。 七、教学重点 两点间的距离公式及中点坐标公式的推导。 八、教学难点 两点间的距离公式及中点坐标公式的的实际应用。 九、教学方法 讲授法：对于两点间的距离公式及中点坐标公式应用进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究两点间的距离公式及中点坐标公式，培养学生的类比推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 航空母舰有“海上霸主”的称号，是一种以舰载机为主要作战武器的大型水面舰艇，可以供舰载机起飞和降落。中国人民解放军海军辽宁舰是一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，也是我国第一艘服役的航空母舰。 如图所示，某航空母舰从A处航行至B处，设每个小方格的边长100n mile (.852km)，则由勾股定理可知：A与B两点之间的距离为 建立如图所示的平面直角坐标系，那么与点，的坐标有什么关系？ 如图所示，设点，，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，；过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，。交的延长线于点，则点的坐标为，由数轴上两点间的距离公式可知 ，。 由勾股定理知。 通过生活举例分析和讲解引出两点间的距离公式。 导入新知 平面直角坐标系内任意两点，之间的距离公式为 用两点间的距离公式可以计算平面直角坐标系内任意两个点之间的距离。 总结两点间的距离公式。 案例分析 【例题】已知点和，求。 【解析】根据两点间的距离公式，得 【例题】根据本节“观察思考”中的内容，如图所示。 （1）写出，两点的坐标； （2）求。 【解析】（1）点的坐标为，点的坐标为； （2）。 通过案例来帮助学生更好地理解两点间的距离公式。 学以致用 【练习】已知两点，，且，则（ ） A． B．6 C．或2 D．或6 【解析】因为，， 所以， 又因为， 所以，即， 解得：或， 故选：C. 【练习】已知点，，则（ ） A．2 B．8 C．0 D． 【解析】因为点，， 所以. 故选：D. 通过及时练习进一步加强学生对两点间的距离公式的理解。 教学引入 根据教学引入的内容，建立如图所示的平面直角坐标系.若该航空母舰需要停靠在D岛上(AB的中间位置)进行战备物资补给，那么该航空母舰航行轨迹的中点位置D该如何用坐标来表示呢？ 如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 。过点A，B分别作x轴、y轴的垂线AC，BC，交点为点C。则点C的坐标为 。过点D分别作BC，AC的平行线，与AC的交点为 ，与BC的交点为 ，则 ， 分别为AC，BC的中点。 从而点 的坐标为 ，即 ；点 的坐标为 ，即 。所以，点D的坐标为 ，即 。 通过生活举例分析和讲解引出两点间的中点坐标公式。 导入新知 一般地，设点，是平面直角坐标系内的任意两点，则线段的中点的坐标可用中点坐标公式求得 ， 线段的中点的横坐标是两个端点与的横坐标的和的一半，而中点的纵坐标是两个端点与的纵坐标的和的一半. 用中点坐标公式可以计算平面直角坐标系内任意两个点的中点坐标. 总结两点间的中点坐标公式。 案例分析 【例题】求已知点和，求线段的中点坐标. 【解析】设中点的坐标为，根据中点坐标公式，有 ， 故线段的中点坐标为. 【例题】已知三角形的三个顶点分别，，，求中边上的中线的长. 【解析】设边上的中点的坐标为，根据中点坐标公式，可得 ， 故边上的中点的坐标为. 由两点间的距离公式可得 即中边上的中线的长为. 通过案例分析来帮助学生理解中点坐标公式。. 学以致用 【练习】已知点，则线段AB的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 【解析】点，则线段AB的中点坐标为， 故选：. 【练习】已知线段的端点及中点，则点的坐标为（ ）） A． B． C． D． 【解析】已知线段的端点及中点， 设，则有， 解得，， 所以点的坐标为. 故选：B. 通过及时练习来加深学生对中点坐标公式的记忆。 课堂练习 【练习1】已知，，则线段BC的长度为（ ） A．5 B．8 C．9 D．25 【解析】因为，， 所以线段BC的长度为， 故选：A. 【练习2】已知点，，则线段的中点坐标是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以线段的中点坐标为，即， 故选：B. 【练习3】已知点，，并且，则的值是（ ） A．或7 B．3或 C．或5 D．或2 【解析】点，，， 则，解得或7， 故选：. 【练习4】道路施工测量，标记点，点在直线上，若，则点坐标为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为点在直线上，设点坐标为， 根据，， 得到， 可化为，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 【练习5】若轴上的点与点的距离等于，则点的坐标为（ ） A． B．或 C． D．或 【解析】设，因为点与点的距离等于， 所以，解得或， 所以点的坐标为或， 故选：. 某小区为方便居民出行，在平面地图上标注了两个出入口：东门A（设为坐标原点(0,0)），北门B（坐标(80,60)），单位：米。 问题：①计算东门A到北门B的直线距离；②若要在A、B之间建一个便民服务站，使其位于A、B中点，求服务站的坐标D. 答案： ①0米； ②中点坐标，即服务站坐标(40,30)； 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 设平面直角坐标系内任意两点坐标为，， ①两点间的距离公式为 ②中点坐标的公式为， 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 设平面直角坐标系内任意两点坐标为，， ①两点间的距离公式： ②中点坐标的公式：， 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在“两点间的距离公式及中点坐标公式”的教学中，通过生活场景引入到公式推导演示，再到课堂练习的设计，多数学生能掌握公式的基本运算，对“坐标建模”的意识有所提升。但教学仍存在不足：部分学生在建立坐标系时，未明确坐标轴的实际意义（如方向、单位），导致坐标点设定混乱。后续教学中，需补充“坐标系建立规范”的专项训练，明确“原点、坐标轴方向、单位”的设定逻辑，提升知识的实用性，兼顾不同层次学生的学习需求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $