2.5 不等式的应用（教学设计）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

北师大版《数学基础模块上册》 第二章 不等式 2.5 不等式的应用 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节“不等式的应用”是第二章不等式的核心实践环节，聚焦“从实际场景抽象不等式，再进行求解”的完整逻辑。教材通过生活案例，引导学生拆分多重约束条件、联立不等式组、结合现实取舍解集，既承接了不等式性质、区间、一元二次不等式等前置知识，又深化了“数学建模”“分类讨论”的思想，帮助学生建立“用不等式解决生活决策问题”的思维。 五、学情分析 学生已掌握不等式的基本性质、各类不等式的求解方法，但在应用环节存在短板：多数学生能解单一不等式，却难以识别实际场景中的隐藏约束；对“多约束条件联立为不等式组”的逻辑理解模糊，易遗漏条件；同时，将生活描述转化为数学不等式的“建模能力” 不足，常混淆“利润、成本、销量”等数量关系。此外，中职学生对抽象解题兴趣较低，但对贴近生活的实际案例接受度较高，需通过具象场景激发其应用意识。 六、教学目标 1.能根据问题中蕴含的数量关系或变化规律，列出相应的一元二次不等式或含绝对值的不等式; 2.理解运用不等式解决实际问题的思路; 3.能化简、求解不等式，用区间写出解集，并结合问题情境解释解集的实际意义． 七、教学重点 不等式的的解题步骤。 八、教学难点 一元二次不等式的实际应用。 九、教学方法 讲授法：对于不等式在生活中的应用进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 类比法：引导学生探究不等式的应用的解题思路，培养学生的类比推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 【案例】用篱笆在墙边围一块矩形小花坛，其中一边靠墙(如图所示)，篱笆总长为8m。若小花坛的面积不小于，则小花坛垂直于墙的一边的长度范围是多少？ 【解析】设小花坛垂直于墙的一边的长度为，则与墙平行的一边的长度。考虑到实际情况，有，并且，所以满足。 设小花坛的面积为，则 整理得 。 由题意得 ，即。 画出二次函数的简图(如图所示)。 由图像得不等式的解为。 结合，得 所以小花坛垂直于墙的一边的长度在1m至3m之间（含1m和3m）。 通过生活举例分析和讲解引出不等式在生活中的应用。 导入新知 如案例所示，在不等式的应用中，我们可以利用不等式去解决一些生活和生产实践中的实际问题，比如面积问题、价格问题、分配问题...... 在我们学习一元二次不等式与绝对值不等式的定义与解题思路后，需要结合不同的问题类型去应用不等式。 特别提示 在解决与一元二次不等式有关的实际问题时，不仅要解一元二次不等式，而且要考虑实际背景对未知数的限制. 例如，在教学引入的案例中，，实际背景对未知数的限制是0<x<4. 总结通过运用不等式去解决实际问题。 案例分析 1.不等式的简单应用 【例题】某网店销售一种电动玩具，成本为10元/个. 平时按单价20元销售，日平均销售量为100个. 为进一步提升业绩，该网店决定在“双11”期间举办降价促销活动. 根据以往的统计，如果该电动玩具的单价每降低1元，日平均销售量就会大约增加20个. 为了使促销活动期间日平均利润不低于平时，应如何确定降价的范围？ 【解析】假设降价元. 考虑到实际情况，价格的降幅应小于10元，即保证销售价高于成本价，所以要求并且，即. 平时的日平均利润为（元）. 降价元后，销售单价为元，单个玩具的利润为元，日平均销售量为个. 因此，降价元后的日平均利润为元. 由题意得. 化简得，即. 所以不等式的解集为. 由于，所以的范围是，即. 所以降价的范围应在0至5元之间（含5元，不含0元），即单价定在15元至20元之间（含15元，不含20元），便能满足要求. 通过案例来帮助学生更好地理解不等式的简单应用。 学以致用 【练习】某机械加工厂生产一种零件，已知生产一个零件的成本为 50 元，售价为 80 元. (1)若该厂计划在本月获得 15000 元利润，设本月生产该零件个，求的值； (2)若该厂计划在本月获得至少 20000 元的利润，设本月生产该零件个，求的取值范围. 【解析】（1）由利润=总售价-总成本，可列出方程， 即，解得. （2）因为本月获得至少 20000 元的利润， 则列出不等式为，即， 解得， 因为为零件个数，应为整数，所以的取值范围是. 通过及时练习进一步加强学生对不等式的简单应用的理解。 案例分析 2.不等式与复杂实际问题 【例题】身体质量指数（Body Mass Index，BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个常用标准，计算公式为（BMI单位：）。一项研究指出，中职学生身体质量指数与身体素质之间存在一定的关系。研究中使用身体素质指标来衡量学生的身体素质，该指标是指学生参加50m跑，立定跳远，力量(男生引体向上、女生1分钟仰卧起坐)，耐力跑(男生1000m跑、女生800m跑)，坐位体前屈等项目的成绩总和。身体素质指标为正数说明身体素质较好。上述研究发现，身体素质指标()与BMI()之间的关系如表所示。 问：身体素质较好的男生和女生，其BMI的范围分别是多少？ 表1 男生 ， 女生 ， 【解析】先考虑男生的情况. 由题意得，，即 . 化简得 . 考查二次函数，，，所以二次函数的图像开口向上，与轴有两个交点. 所以不等式的解集为，这也是不等式的解集. 再考虑女生的情况. 由题意得，，即 . 化简得 . 考查二次函数，，，所以二次函数的图像开口向上，与轴有两个交点. 所以不等式的解集为，这也是不等式的解集. 因此，身体素质较好的男生BMI的范围是，身体素质较好的女生BMI的范围是. 通过案例分析来帮助学生理解不等式在复杂实际问题中的应用。. 学以致用 【练习】某工厂生产的某种产品能全部卖出，该产品每件单价是100元，直接生产成本是85元，工厂每月其他开支是61000元，如果该工厂计划每月至少获得260000元的利润，则每月至少要生产多少件该产品? 【解析】设每月生产x件产品，则总收入为元，直接成产成本为元， 每月的利润为（元）. 由题意知，x应满足不等式， 解得， 因此，该工厂每月至少要生产件产品. 通过及时练习来加深学生对不等式在复杂实际问题中的应用的记忆。 课堂练习 【练习1】某商务公司租赁办公场地，每月租金（元）与场地面积（平方米）的关系为.若公司希望每月租金不超过元，则场地面积的取值范围是（ ） A． B． C． D．. 【解析】由得， 因式分解为，其解为. 故选：B. 【练习2】电子元件的使用寿命（小时）与温度（摄氏度）的关系为.若要使该电子元件的使用寿命不少于小时，则温度的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【解析】由题意令，即， 解得， 故选：A. 【练习3】某机械零件合格标准的偏差值为，则合格尺寸偏差值的范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】解不等式， 因式分解得， 解得， 故合格尺寸偏差值的范围是. 故选：A. 【练习4】某种产品的总成本（单位：万元）与产量（单位：台）之间满足函数关系式 ，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（ ） A．200台 B．150台 C．100台 D．50台 【解析】由题意，要使生产者不亏本，则满足， 整理得，即， 解得或（舍去）， 即生产者不亏本时最低产量是150台． 故选：B. 【练习5】某购物网站在2023年11月开展“全部6折”促销活动，在11月11日当天购物还可以再享受“每张订单全额（6折后）满300元时可减免60元”．小丽在11月11日当天欲购入原价为48元（单价）的商品共45件，为使花钱总数最少，她最少需要下单的订单张数为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【解析】商品单价为48元，共45件，那么商品原价总价为元. 全部6折，那么打折后的总价为元. 每张订单全额（6折后）满300元时可减免60元，所以 ∴她最少需要下单的订单张数为4． 故选：D. “找约束·列不等”快速挑战 请同学们根据描述的生活场景抢答“包含哪些约束条件”，并列出对应的不等式组： 场景：“某网店售卖卫衣，每件成本40元，售价x元，每天销量(100-2x)件，要求每天利润≥800元，且销量≥20件” 答案：约束条件①利润≥800元，②销量≥20件； 不等式组 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 不等式的应用 1.不等式的简单应用 2.不等式与复杂实际问题 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在 “不等式的应用”教学中，通过生活案例引入和课堂练习的讲解，多数学生能完成基础的不等式组列写与求解，对“实际约束验证解集”的意识有所提升。但教学中仍存在不足：少数基础薄弱的学生在联立不等式组时，对“条件之间的逻辑关系”混淆不清。后续教学中，需增加“约束条件逻辑”的对比训练，提升知识的实用性，兼顾不同层次学生的学习需求。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $