3.2.1函数的单调性与最大（小）值课件、教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦人教新课标A版必修一“3.2函数的基本性质”中的单调性，通过“VR过山车”情境导入，结合一次函数、反比例函数、正弦函数图像与“蒸蒸日上”等趋势描述，搭建从直观图像观察到抽象定义的学习支架，衔接函数图像与单调性概念的逻辑脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，用生活趋势描述关联函数变化，培养抽象能力。通过问题链引导探究（如x₁,x₂取值范围），结合定义法四步步骤和速记口诀，发展推理意识与数学表达能力。学生能循序渐进理解概念，教师可直接利用情境、例题与分层练习提升教学效果。

《函数的单调性与最大（小）值》（第一课时） PowerPoint课件操作说明文档 一、课件整体设计理念 本课件紧扣“数形结合、问题驱动、循序渐进”的教学主线，通过动态演示、分层呈现、交互设计等方式，辅助学生完成从直观感受到理性认知的过渡，突破单调性定义与证明的教学难点。课件强调视觉引导、思维推进、情感融入，服务于学生数学核心素养的落地。 二、课件结构与页面说明 封面页 内容：课题名称、课时信息、教师姓名/学校 操作提示：可直接进入教学情境，也可简要说明本节课学习目标。 情境导入页 内容：过山车视频截图 + 三个函数图象（上升、下降、波动） 操作提示：点击播放视频，引导学生观察“上升/下降”与函数图象的关联。可让学生用成语描述图象趋势。 探究活动页：二次函数图象分析 内容：\( f(x) = x^2 \) 图象，附带可拖动的动态点（几何画板嵌入或动画模拟） 操作提示： 1. 引导学生观察从左到右的变化； 2. 拖动点展示坐标变化，提问：“如何用数学语言描述这种变化？” 3. 逐步呈现问题串，引出“任意…都…”的表达。 定义建构页（增函数） 内容：增函数的文字描述与符号语言（分步呈现） 操作提示： 先展示文字描述，再逐步呈现符号表达； 可让学生先尝试复述，再展示完整定义。 类比得出减函数定义页 内容：留白框架，提示学生类比增函数自主表述 操作提示：让学生大声朗读或分组讨论后展示，再呈现标准定义。 单调区间辨析页 内容：两个函数减区间对比（带端点讨论） 操作提示：引导学生思考“区间开闭是否影响单调性”，再呈现结论。 图象判断练习页 内容：分段函数图象与选项（选择题形式） 操作提示：可让学生举手回答，并说明理由，强调“单调区间是局部性质”。 例题1：一次函数单调性证明 内容：\( f(x) = kx + b \) 的证明步骤（分步动画） 操作提示：逐步展示“取值—作差—变形—定号—判断”五步，引导学生书写规范。 跟踪训练与例题2 内容：两个证明题（基础与提升） 操作提示：可让学生板书或口述思路，教师再用动画呈现完整过程。 拓展提升：分段函数单调性 内容：分段函数图象与“衔接处”提示语 操作提示：引导学生讨论各段单调性与衔接点处理，再呈现注意事项。 课堂小结页（电影式谢幕） 内容：图文滚动呈现本节课重点知识 操作提示：配合舒缓音乐，增强课堂仪式感，强化记忆。 作业布置页 内容：必做题与选做题分层呈现 操作提示：简要说明选题建议，鼓励学生课后探究。 三、课件操作与互动功能说明 1. 动画与过渡 多数内容采用“单击逐步呈现”，控制课堂节奏； 定义与证明步骤使用“平滑出现”动画，避免信息过载。 2. 几何画板动态演示（如嵌入） 在二次函数页面，可拖动点展示坐标变化； 若无法嵌入，可用PPT动画模拟点的运动轨迹。 3. 课堂互动设计 快问快答环节：页面设计为“问题—暂停—答案”顺序； 小组讨论提示：相关页面底部设有“讨论时间”图标。 4. 多媒体调用 视频文件链接在第二页，建议提前测试播放； 若有音频（小结页），设置音量适中，避免突兀。 四、教学使用建议 适用环节对照表 | 课件页面 | 对应教学环节 | 使用建议 | | 1-2页 | 创设情境，引入新课 | 动态引入，激发兴趣 | | 3-4页 | 由形入数，探究定义 | 引导学生自主表达，逐步严谨化 | | 5-7页 | 定义建构与辨析 | 强化语言规范与细节理解 | | 8-10页 | 例题讲解与训练 | 逐步示范，引导学生模仿 | | 11页 | 拓展提升 | 分层教学，弹性处理 | | 12页 | 课堂小结 | 情感升华，强化记忆 | 五、注意事项 1. 课件中所有公式均为可编辑状态，教师可根据学生反应适当调整内容顺序； 2. 建议提前5分钟测试多媒体设备与动画效果； 3. 若使用希沃白板5，可利用其互动功能（如拖拽、书写）增强学生参与； 4. 电影式谢幕页可根据课堂时间灵活取舍。 学科网（北京）股份有限公司 $ VR过山车 y o x y o x y o x 函数的单调性与最大（小）值 （第一课时） 人教新课标A版 必修一 3.2函数的基本性质 匡春静 1、画出函数 f（x）= x2 的图像，从左到右观察图像，研究它的单调性情况。 符号语言 2、观察点的坐标变化，并用 初中学过的知识描述出来。 图像语言 自然语言 当x 0时，y随x的增大而减小， 当x 0时，y随x的增大而增大。 1、在 y 轴左侧从左到右是____的， 在 y 轴右侧从左到右是____的。 下降 上升 1、x1，x2的取值范围有什么要求吗？ 2、x1，x2是一对具有代表性的符号， 它们代表了多少对数值？ 当 都有 设函数 f（x）的定义域为I,区间D I： 如果 x1，x2 D,当x1<x2 时，都有f(x1)<f(x2)， 那么就称函数f（x）在区间D上单调递增。 D叫函数y=f（x）的增区间。 单调递增： 设函数 f（x）的定义域为I,区间D I： 如果 x1，x2 D, 当x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)， 那么就称函数f（x）在区间D上单调递增。 D叫函数y=f（x）的增区间。 设函数 f（x）的定义域为I,区间D I： 如果 x1，x2 D, 当x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)， 那么就称函数f（x）在区间D上单调递减。 D叫函数y=f（x）的减区间。 特别地，当函数f（x）在 它的定义域上单调递增时， 我们就称它是增函数。 特别地，当函数f（x）在 它的定义域上单调递减时， 我们就称它是减函数。 思考1：下面这两个函数的减区间能不能交换？ 函数 y = x2 的减区间为 , 函数 y = 的减区间为 . 一般地，函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开。 2、函数 y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数 y=f(x)的单调递减区间为 ？ A. [-4,-2] D. [-4,-2]，[1,4] B. [1,4] C. [-4,-2]∪[1,4] 例1、根据定义，研究函数 f（x）=kx+b（k 0）的单调性。 即f(x1)>f(x2) B.作差、变形 A .取值 C.定号 所以当k>0时，f（x）=kx+b在R上单调递减。 D.判断 解： x1，x2 R，且x1<x2，则 f(x1)-f(x2)=（kx1+b）-（kx2+b）=k（x1-x2） 由x1<x2，得x1-x2<0，所以 当k>0时，k（x1-x2）<0，所以f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2) 所以当k>0时，f（x）=kx+b在R上单调递增， 当k<0时，k（x1-x2）>0，所以f(x1)-f(x2)>0 x1，x2 D,且x1<x2 作差 并变形， 一般化为几个因式积的形式 判断 若 >0,则 在给定区间上 单调递增，若 <0,则 在 在给定区间上单调递减。 确定 的符号 定号 作差 变形 取值 解： 且 x1<x2,则 因为 所以 x1x2>0, 又 x1<x2，所以 x2-x1>0，即 所以 y1-y2>0， 即y1> y2 练一练： 解： 且x1< x2，有 例3： 即y1<y2 因为 得 x1>1,x2>1, 所以 x1x2>1, 又x1<x2，得x1-x2<0，于是 分段函数在定义域上的单调： 要保证各段上单调； 要保证衔接处不反超。 作业拔高 函数单调性 增函数的定义 减函数的定义 单调区间端点问题 多个单调区间的写法 定义法证明单调性步骤 函数单调性 增函数的定义 减函数的定义 单调区间端点问题 多个单调区间的写法 定义法证明单调性步骤 函数单调性 增函数的定义 减函数的定义 单调区间端点问题 多个单调区间的写法 定义法证明单调性步骤 谢谢观看！ 谢谢观看！ Loem ipsum dolor sameman tanam casectetur adipiscing elit tamam dalam qoue sampe. Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 每当我走过老师窗前 中央人民广播电台少年广播合唱团 梦幻童年，甜美童歌 50首童年儿歌经典一, track 41, disc 1 123119.305 XXX - 163 key(Don't modify):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 School days CROSS†CHANNEL ~In memory of all people~ SPECIAL SOUNDTRACK 141223.92 $ 《函数的单调性与最大（小）值（第一课时）》教学反思 一、课堂实施情况回顾 本节课以“从形到数、从直观到抽象”为主线，引导学生理解函数单调性的概念及其数学表达。通过创设情境（过山车视频）、函数图像观察、问题串引导、定义建构、例题演练等环节，逐步推进学生对单调性的认知深化。从课堂反馈来看，学生在“图象法”判断单调性环节表现积极，但在“用定义证明单调性”环节仍表现出一定的思维跨度与符号表达困难，尤其是“任意性”的理解与作差变形后的符号判断部分，需在后续课程中持续巩固。 二、教学亮点与不足 亮点： 1. 情境创设贴近生活，视频与图像结合，有效激发学生兴趣，降低概念入门门槛。 2. 问题链设计层层递进，尤其在“由形入数”环节，通过具体函数引出“任意性”表达，自然突破难点。 3. 技术辅助恰到好处：几何画板动态演示帮助学生直观感受变化趋势，增强空间想象能力。 4. 注重数学思想渗透：数形结合、从特殊到一般、类比推理等思想贯穿始终，有利于学生形成结构化思维。 不足： 1. 部分学生符号表达仍显生硬，尤其在自主书写定义环节，语言转换能力有待加强。 2. 课堂互动虽多，但个别学生参与度不均衡，小组讨论中部分学生仍处于被动听讲状态。 3. “拓展提升”环节时间稍显紧张，分段函数单调性问题未能充分展开，部分学生理解不够深入。 三、AI赋能教学的经验提炼 在本节课中，虽未直接使用人工智能技术，但几何画板、希沃白板等数字化工具的运用已体现出“技术赋能教学”的初步形态。在此基础上，可进一步提炼以下经验： 1. 动态可视化增强理解：利用几何画板实现函数图像的动态追踪，帮助学生直观感知“增减”变化，为抽象定义奠定感知基础。 2. 交互反馈促进参与：通过希沃白板的实时标注、拖拽功能，增强师生、生生互动，使课堂更加生动。 3. 资源整合提升效率：多媒体资源（视频、图像、动画）的有机整合，使教学环节衔接更自然，信息传递更高效。 四、前瞻性建议：AI在函数教学中的深度融合路径 结合本节课内容与数学学科特点，未来可在以下方面进一步融入AI技术，实现教学优化： 1. 智能诊断与个性化推送 AI学情分析系统：通过课前预习检测，自动识别学生在“函数图像阅读”“不等式变形”等方面的薄弱点，推送针对性微课或练习题。 自适应练习平台：根据学生课堂答题情况，动态调整例题难度与类型，实现“一生一策”的训练路径。 2. 增强现实（AR）辅助概念建构 开发AR应用，让学生通过手机/平板“观察”函数图像在坐标系中的立体动态变化，甚至可手动调整参数，实时观察单调区间变化，增强空间感知与探究乐趣。 3. 智能批改与符号识别 利用AI作业批改系统，自动识别学生用定义证明单调性的书写过程，标注逻辑漏洞（如未说明“任意性”、变形错误等），并提供修改建议。 4. 虚拟助教与对话式学习 引入AI虚拟助教，在课后为学生提供答疑服务，尤其是针对“为什么必须用任意？”“作差后如何判断符号？”等常见困惑，实现7×24小时响应。 5. 数据驱动的教学反思 通过AI采集课堂互动数据（如提问响应时间、练习正确率分布），为教师提供教学效果可视化报告，助力精准调整教学节奏与策略。 五、结语 本节课在设计上注重“形数结合、层层递进”，在实施中体现出“技术辅助、互动生成”的特点。未来，若能进一步融入AI技术，不仅可提升教学效率，更能在个性化学习、深度互动、智能评价等方面实现突破，让数学课堂更加“智慧”，也让每一个学生在理解单调性的道路上，走得更稳、更远。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教材分析 《单调性与最大(小)值》是高中数学新教材第一册第三章第2节的内容。这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的思想将贯穿于我们整个高中数学教学。最后，研究函数的单调性在高中阶段通过两次来进行，第一次是利用函数单调性的定义，第二次利用导数来研究。 二、学生学情分析 1.有利因素：学生已经在初中学过一些简单函数，并在高中阶段学习了函数的概念及表示，具备画简单函数图像的能力，也了解到有些函数值会随着自变量的增大而增大（或减小）的现象。 2.不利因素：用准确的数学符号语言去刻画函数单调性,由直观感性的认识上升到理性的高度,从直观到抽象的转变对我们这样层次学校的高一学生来说比较困难。 三、教学目标设置： 1. 知识与技能：   （1）理解函数单调性的定义。   （2）初步掌握函数单调性的判断与证明。   （3）学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 2. 过程与方法： （1）经历“特殊→一般”的认知过程，通过自主探索、合作交流，历经观察、分析、类比、归纳等过程，进一步领悟数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。通过实例让学生从直观感受、定性描述到定量刻画函数单调性的自然跨越，最终实现对单调性概念的提炼和定性，体验数学的严谨性。 （2）经历自主学习和合作探究，体验自主学习和合作探究的意义，增强数学信心，激发学习数学的兴趣 ,体会数学的严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值。 3. 情感态度价值观： （1）通过利用几何画板演示动态辅助教学，让学生感受图像对函数的有力作用，培养学生对数学的兴趣； （2）通过自主学习、小组合作探究，增强学生之间的合作意识，拉近学生之间、师生之间的情感距离，形成良好的学习模式与氛围； （3）通过问题讨论，语言概括与提炼，感受表达准确与理解准确的统一。 4. 学科素养： （1）利用函数图像表示函数的单调性，培养学生直观想象的学科素养； （2）利用数学符号语言刻画函数单调性，培养学生数学抽象的学科素养； （3）利用单调性定义证明函数单调性，培养学生逻辑推理的学科素养。 四、教学重难点： 教学重点：函数单调性定义理解； 教学难点：用函数单调性定义证明函数的单调性。 五、教法学法： 教法：问题驱动、引导发现相结合的教学方法展开教学； 学法：阅读课本、反思小结和概括等。 六、教学工具: 多媒体，希沃白板5，几何画板。 教学过程 （一）创设情境激发兴趣，引入新课 通过观看过山车的小视频，引导学生意识到上升、下降的变化规律进而引出函数图象的变化规律。 再举几个具有上升、下降趋势的函数的图像，让学生去对应词语：蒸蒸日上、每况愈下、波澜起伏。同时获得判断单调性的直观方法——图象法。 （二）激发冲突，由形入数 以熟悉的二次函数f(x)=x2 作为例子，作出该函数的图象，描述函数图象的变化趋势。 探究任务：1、画出的图像，从左到右观察图像的变化趋势？2、老师从左到右拖到点，让学生观察点的坐标变化，并用初中学过的知识描述出来。教师再结合学生的回答引导归纳出来。 问题1：如何利用函数f(x)= x2的解析式描述该函数“在区间(0, +∞)上, f(x)随着x增大而增大”？ 这个教学材料贴近学生实际出发，能有效构造知识矛盾冲突，激发思维运转，推动了知识发展。学生强烈感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够实用和精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究。必须由“形”转“数”，由“感性”转“理性”，从函数解析式和不等关系寻找出路判断单调性，从而引出函数单调性的定义。 思考2中教师自写结论“当x1＜x2＜x3时，有 f(x1)＜f(x2) ＜f(x3)”，让全班对比前面 “当x1＜x2时，有 f(x1)＜f(x2)”的结论并点评哪个好，并问理由，通过“问题串” 引出“任意…都…”句式： 【设计意图】突破本课难点之一：用“任意”的必要性。让学生初步理解单调性定义里的不等关系，突破了立足于大小比较的符号语言的生成这个难点之后，接着从表内联想到表外，认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．突破了“任意…都…”这个句式的理解难点把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,对增函数作初步理解．通过设计快问快答的预备“小问题串”，贴切学生思维，拉升思维速度，满足学生的成功感，树立了学生的自信，激发了探索欲望。 (三)规范语言建构定义 问题3：如何用符号语言刻画函数y=f(x)在定义域I内某个区间D上是增函数（或减函数）？ 活动：师生共同整理完善单调递增的定义、学生阅读教材对比、再盖上课本用自己的话复述。 【设计意图】把二次函数推广到一般函数，并把讨论区间一般化，由特殊到一般，具体到抽象，生成规范准确的符号语言，完成对概念的第三次认识．引导学生阅读教材，书读百遍其义自见，用自己的语言对比，提高语言表达能力，加深印象，巩固学习效果。 问题4：能类比单调递增的定义得到单调递减的定义吗？ 活动：全班类比得出减函数的定义,这次教师指出要求全部大声朗读减函数的定义。 【设计意图】类比增函数的定义得到减函数的定义，渗透类比、分类整合等数学思想. 形成由特殊到一般，由局部到整体等研究问题的一般方法。 思考3 利用函数解析式判断单调性时，f(x1)与 f(x2)的大小关系怎样比较？ 【设计意图】通过思考，认识函数单调性定义与不等式的关系，为证明函数单调性作铺垫。 (四)理性认识螺旋上升 1、我们已经知道函数 f（x）= x2 的减区间为（－∞，0] ,f（x）= 的减区间为 （－∞，0） ，这两个减区间能不能交换？ 【设计意图】交代清楚单调区间的表达方式，加强函数单调区间端点问题。 并总结：一般地，函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开。 2、下面这个定义在[-5,5]上的函数的单调递增区间是 （ ） A. [-2,1] B. [3,5] C.[-2,1] ，[3,5] D. [-2,1]∪[3,5] 【设计意图】交代清楚单调区间的表达方式，以及不同书写的性质上有何区别。加强函数单调性是个局部性质的意识和巩固图象观察法。 (五)掌握证法适当延展 例1 根据定义，研究函数f（x）=kx+b（k ≠0）的单调性。 【设计意图】以熟悉的一次函数引导学生懂得从一次函数的性质（k>0,或k<0）直接判断函数的单调性，处理证明题时懂得回到单调性的定义，用定义法严格证明函数的单调性。教师引导分析题意，师生一起完成证明过程，并引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、判断。 跟踪训练：用定义证明函数 y = 在（0，+∞）上单调递减。 【设计意图】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，是本课教学内容重点之一，是学生第一次接触用解析式和不等式关系的结合体-----作差法证明函数单调性的环节，例1有示范性作用，进一步借助练习加深对函数单调性定义和发展函数单调性符号语言的理解。 例2 根据定义证明函数y =x+ 在区间（1，+∞）上单调递增。 【设计意图】在前面的基础上再次巩固落实，起到再次强化训练作用。 拓展提升 温馨提示：分段函数在定义域上的单调：1、要保证各段上单调；2、要保证衔接处不反超。 【设计意图】在前面的基础上既巩固定义细节又了解分段函数单调性问题。 (六)归纳小结，提高认识 1、活动：通过本节课的探究学习，咱们最大的收获是什么？你对自己的表现感想如何？现在请大家围绕着这两个问题思考1分钟，待会儿我们将会请小组代表来分享你们小组的成果。 2、用电影式谢幕来总结本节课知识点。 【设计意图】滚动式谢幕，图片和文字同时呈现知识点，舒缓师生情绪的同时回顾本节重要知识点和环节。 (七) 作业 1、必做题：A.课本79页：2、3、4题 B.《学与测》300页：1-9题 2、选做题： 【活动】课后继续完成探究。 【设计意图】分层作业设置，弹性要求，让基础厚的学生勇于挑战，基础稍弱的学生也得到充分的思维锻炼。 学科网（北京）股份有限公司 $我们来放松一下，感受一下VR过山车。好，过山车忽上忽下的运动轨迹可以用我们函数图像的上升和下降的描述。在生活中我们也常常会遇到一些描述图像上升和下降的日常用语，比如蒸蒸日上、每况愈下、波澜起伏等等。接下来请同学们利用函数的上升和下降角度，将下面的这三个成语和上面的三幅图像一一对应起来。第一幅图对应的是头像，是呈上升趋势的。第二幅图对应的是函数图，图像从左到右它是成正向。第三幅图这样就可以了，因为函数图像是有升有降，图像的上升和下降就描述了函数的基本性质，这也是我们本节课所要学习的函数的单调性。接下来请同学们看到探究。一拿出纸和笔画出这个函数的图像，你从左到右观察图像，研究它的单调性，并回答以下两个问题。画好图像的同学可以相互交流两分钟。好，接下来请同学们看到我上面。此时点P在Y轴的左侧，接下来老师将点P从左往右移动，请大家认真观察P点的横纵坐标是如何和变化的。好，那接下来点P在Y轴右侧，依然从左往右拖动它，继续观察它的横纵坐标又是如何变化的。通过结换，我们分析了它的横纵坐标的变化情况。每个小组派代表来回答一下上面两个问题。Y轴从左到右的话，它是下降的。下降。那下面。是上升。好上车。好，那用我们初中的知识如何。描述说当A小于零的时候从左到右都是下降，当X大于等于0的时候它就上升。非常好，掌声鼓励一下这个小孩儿。图像也就是当X小于等于零时，图像是下降的，也就是Y随X的增大而减小。我们家这些字叫单调递减，在Y轴右侧，也就是刚开始大于等于零时，图像是上升的，也就是Y随X的增大而怎么办？将这是一个叫单吊椅子。这里分别对应的是图像语言和自然语言，那用符号语言又如何刻画这性质呢？好，我们带着问题来看到图像。此时请同学们观察Y轴右侧部分图像，接下来老师在右图像上点取点A和点B同学们看它们的横坐标的大小关系如何。S1，并且MN的一是也小于。由此我说函数还在是在零到正无穷大上单调递增，这样子表达够眼睛吗？好，我们带着问题来思考一下。SS2的取值范围有没有要求？有有是怎样的？而SHN要属于零到正无穷，因为此刻我们研究的是Y轴右侧部分图像，所以SS2要属于什么零到这么丑。第二个问题，SS是一个具有代表性的符号，它代表了多少数字？无数。好，带着问题来看到图像。此时我取这个数字，S1满足小于S2，X一也满足小于FX2，能缩函数X在零到中穷大上单调递增吗？好，一对数字不行，那我再去做一个。此时X1小于X2也小于S3，并且X1小于FX2小于X3也满足条件。能说函数X在零到正无穷大上单调递增吗？不能，三个也不行。其实像这样的数，我在后面是不是能能取无数个？那SS2要怎么样多种式子才能说抬头说函数X在零到正无穷大上单调。我们刚说无数，发现怎么样？无数可以吗？不行，那要怎么样的速度才可以？要有爸爸，男生的林玉君，是不是所有的是不是要所有的当所有的这边的孩子都满足当时。变量越大，对应的函数值也越大，才能说函数在什么区间上单调递增。那什么词能代替所有的定义？全能愿意的。是不是要任意的SS2属于零到正无穷。当S越大对应的函数值也越大，才能说它在零到正无穷大上单调递增呢？这就是我们单调递增的定义。由特殊到一般，我们来说说单调递增的定义。首先分析区间D区间D是定义域的一个什么子集，D是地狱的子集。然后怎么样在区间D上任意的是S1S2？好，任意的S1S2属于区间低。S一怎么样小于X。FS1小于，我们才能说函数FX在区间地上还要人。好，这里任意的SS2属于区间低，是不是意味着区间D上所有的资金变量都要满足？当自变量越大，对应的函数值也越大，才能说它在区间上单调递增，该区间称为函数的增区间。好，类比单调递增的定义，同学们来说说单调递减的定义怎么样？A你的X1。大于才能怎么样？调一点，该区间称为函数的直接去接。好，我们要注意单调递减的定义里，这变量越大对应的函数值反而越小越小。好，我们看到整个单调性定义里边，单词变量越大，对应的函数值也越大，就可以单调底层基本上越大，对应的函数值反而越小，就对应了要理解。在整个定义中我们特别需要注意的词有哪些？是不是任意的？还有吗？都有。而且我们说单调区间必须是地域的一个自己特别的单函数X在定义域上单调递增或单调递减时，我们就称它为增函数或减函数。接下来请同学们看到我思考题，这两个函数的单调减区间能不能交换可哪个同学来回答一下？你能不能交换呢？不可以不可以，这两个都不能互换吗？都不能互换。好，请坐好，我们一起来看一下。首先上面这个减区间能不能换给下面这个函数？不可以，为什么呢？这个反比例函数它的地域是负无穷到0。这包括了什么？右端点离，而你这个区间有我们说单调区间必须是什么？抑郁的。好，那么下面这个区间又能不能换点上面这个函数呢？还是可以的。因为我们说单调性也就是整个区间上的性质，单独一点不存在单调问题。如果区间的端点在地域内则该点处可开可闭，如果区间端点不在地域内则该点处只能开好吧？好，接下来我们看到这个问题，ABCD选哪一个？应该选哪一个的？选C有同学说也有同学说选二选一，还有不同的意见的吗？没有了是吧？好，我们看到图像，从图像上看函数在-4到负以及1到4这两个必须真相是单调递减的。A和B这两个只有一段的肯定不行。我们说问单调区间就要把所有的区间都说上。相信很多同学都在C和D里面选一个是吧？那C和D有什么区别呢？我们看到C选项，这是两个区间的并集，也就是两个区间合起来。说合起来说选项之后。合起来说，现在是在这一整个区域上。然后在这一整个区域上函数值是一直在减少的吗？不是，我们说单要减区间就意味着函数值在这个区间上要一直在减小。而在这个整个区域上它并不是一直在减少了。比如当X等于负时，当S和S等于一，错误X等于负二的函数值就要比X等于一时的函数值小。所以当一个函数的单调区间有多个时，我们不能用什么？不能用B级，而应该要像D选项那样用隔开或者是中间选择也可以。种子单调区间不能用密集，而应该用逗号来OK。好，接下来我们看到这个问题，同学们先思考半分钟。好，检查了。好，很遗憾吴同学把它写下去，谢谢。那正确的应该怎么选？你们怎么选呢？选第几个第几？定义域可以用B减区间只能用最后一个或者是何来隔开？此时是对的？再看到这个问题，这是一个什么函数？也那我们以前的知识是怎么判断它的单调性呢？可以比可以还可以可以大于零的时候。立的非常紧实。还有接下来我们要用定义去严格的证明它的单调性。怎么做呢？看到这里我说根据定义，自变量越大对应的函数值也越大，则递增。这个量越大对应的函数值反而越小则点所以第一步要干嘛？Yes你的去s yes 2属于什么？在这道题里面属于好，并且X1小于X那接下来要干嘛？比较这两个函数值的大小关系，那怎么比较数的大小的，然后跟零掉。接下来我们将两个函数值做差，并将相应的函数解析式代进来，然后整理变形，变形到这里是最简的形式了吗？此时能判断S1减S2的大小有没有？对，你看因为S一是小于S2的，所以S1减2。此时是不是要确定K了，是不是要确定K了？看一下确定吗？不能，所以要我们当可以大于零时，K是正数，X1减2是负，一正一负相乘小于0。所以FX1减去FX2小于0，也就是X1小于好，同理可得当K小的饮食。好，这里是变量越大，对应的函数值也越大，我们就可以说它是单单变那当天小于零时K是4，负数一减是二也是负数负负的。所以FX1减去FX2，也就是FX一大于FX2A自变量越大，对应的函数值反而特别小，所以它是比较明显的。好，我们一起来归纳一下用定义法证明函数单调性的步骤。首先第一步取值在对应的区间上任取XS2并且X1。第二步干嘛做做它，将对应的解析式带进来，然后整理变形一画到最简的形式为止，一般是因式乘积的形式，整理练习需要用到的手段相当有因式分解、通分配方和有理化。第三步要干嘛，判断这个式子的大小，也就看它是大于零还是什么小于0。如果是小于0，那么对应就什么函数值这边F1也小于X再怎么样结合我们的啥定义，基本量越大，对应的函数值也越大，就可以判断。好，接下来请同学们结合我们刚刚说的用定义法证明函数单调性的四步骤，来试着写一写这道题。好，老师请一位同学上来给我们展示一下他的写题过程，解释一下。就这个函数值它是反比例函数。然后我们取它的值，它的符号是这样子，它是正的正的0，它是是大于零的，所以说它在一三象限这里，然后我们随便。取一个S. 一跟Y一的值，然后取个SY2的值与取个S2的值与Y2的值，然后我们就把S1S2做餐。然后S一因为S一跟S2都是大于零的数，所以说它S1乘以S2它是大于零的。然后我们又知道X1小于X2，我们就可以知道它的值也是大于零的。所以说他们一个正数除以一个正数，它的值可一定是大于零的，所以说它的函数是Y一就大于Y2，然后他们的单调性递减。好，讲的非常好，也非常好。这个男同学的你他先画了个图，从图像上先去分析下什么单调性。我们判断一个函数单调性还可以是吧？从图像上去判断。接下来根据我们的题目，他用定义法去证明单调性。我们看一下，第一步认识CS2属于零的正无穷有问题吗？没问题。第二步做差，将对应的解析式带进来，然后就整体的这个是最简单形式的，没有，是然后再利用。因为S一是小于S2的，所以S1减S2怎么样？S2减S一就大于0。因为两个S都是啊，我们的S是大于零的，所以相乘也为什么大？两个正数相除最后也在，也就是Y一大于Y2，这个大于大对应的函数值越小，所以单调一点好非常好，但是如果再多一点，因为所以可能会更完美一点。比如说这里，因为是吧所以好吧，再看到我们这边这位女同学她板书的，首先一按选CSL属于零到，这个是啊正无穷写漏了，应该是吗？应该是零到怎么样？正无穷，并且S1小于S2有问题吗？没问题。第二步做差变形，变形到这个时候，这个最简的形式可以吗？可以，但是这里到这里我们应该怎么样？要等渔号先，是不是接下来判断，因为S1小于22，所以S2减S一是大于零的，相乘也是大于零的。所以最后这个式子我们判他判断的是大于零的，没问题。问题最后我就下结论是单调递减的，我们应该还要加一个什么？所以的Y一什么大于Y2，所以就自变量越大对应的函数值越小才有什么好单调笔尖。好的，抬下来。我们要看到这个问题，这是我们课本的。接下来老师先用点画板来画一画他的头像。同学们观察这个图像它是什么样的两个弯钩形式，所以这个函数我们叫对勾函数。接下来老师把它放大，你会发现从零从一这里开始，函数图像是上升的，也就是单调一层。从图像上我们已经判断说它在一到正无穷大上是单调递增的那用定义法又如何证明它的这个强调性呢？同学们先试着写一写。好了，我看到好多同学导学案里边已经完成了，那我们来看一下怎么做。第一步任意的去S1S2属于一到正复仇，并且S1小于S2左差，Y1减Y2相对应的解析式带进来整体的这个这时候是最简单没有，我发现很多同学写到这里了，接下来要怎么样化简，怎么化简？先通分好，这里通分得S一减S然后这边是什么？这边都分得S1乘以S2分之S2减S1。此时你观察发现公因式没有S1减2，这边是一个符号，是不是也有S1减X所以提一个负号出来，再怎么提取工艺是。提取公因之后，此时得到这个这时候是依次乘积的形式，是最简单吗？是不是最近你说可以判断了没有可以判断吗？其实可以，我们看因为S一小于S2，所以S1减S2是小于0，小于0。又因为SS2是大于一的数，两个大于一的数相乘会怎么？这个也大于一。对，好，大于一，分母大于一，是不是？大于一的时候倒过来又怎么样？那你小鱼一减去一个0到1之间的数是正还是负的正的是正的，最后这边的括号也是是大于零的那一正一负相乘，最后是小于零的。好，我们判断的这个式子是小于零的，也就是Y1小于YY2。这个量越大对应的函数值，所以我们说单调，它是在一到中层拉上单调一层。本节课到这里就要告一段落了。所谓一分耕耘一分收获，请同学们通过本节课的探究，请同学们谈谈你对本节课最大的收获是什么？你对自己的表现又感想如何？哪位同学来说一说？好，你最大的收获是什么？我学会了韩式的单调性，然后明白了他的定义，能通过他的定义判断是单调递增单调性。好，非常好。那你对自己的表现又感想如何？我觉得。还不够大胆，我觉得你很勇敢。好，请坐，其他同学又来分享一下。请这位男生来说一说。感想是吧？你觉得本节课你最大的收获是什么？还有你。对这些表现就感太过于沉默感动。好，那我们下次再接再厉。好，请坐。本节课同学们回去后完成两道题，一个是必做题，一个是选做题。接下来老师以电影式谢幕的方式来总结一下本节课的知识点。好，下课。