专题12 函数模型及应用（2课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦函数模型及应用，涵盖指数、对数、一次函数等模型选择，抽象函数表示及解模步骤。通过课前测衔接基本初等函数知识，以“三遍审题法”为支架，引导学生从模型识别过渡到实际应用。 资料紧密对接新高考考向，分层探究不同函数模型问题，结合抽象与具体培养数学抽象能力。针对训练融入高考真题，强调赋值法等思维方法，助力学生用数学眼光观察、用数学思维分析现实问题，提升核心素养。

专题12 函数模型及应用 【培优目标】 1.学会因增长速度的差异正确选择指数函数、对数函数与一次函数等模型； 2.理解并会应用“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义； 3.会比较和选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律并了解函数模型在实际中的应用． 【考向分析】 新高考对函数模型的考查相对稳定，比如：指数函数、对数函数与一次函数模型、对勾函数、以及三角函数的周期模型和以函数为背景的概率模型（如分数函数模型）以上四种类型等高频出现在试卷中的位置不同，考查形式较为灵活，尤其近几年抽象函数模型的出现，值得关注． 【知识结构】 【知识拓展】常见函数模型及抽象函数表示： 注：指、对函数和幂函数的抽象函数模型是对而言的； 正弦函数的抽象函数对应于正弦平方差公式：； 余弦函数抽象函数对应于余弦积化和差公式：； 正切函数抽象函数对应于正切函数和差角公式：. 2.解函数模型的一般步骤： ①审题：三遍审题法：全审、精审和深度审，弄清题意，挖掘本质规律，选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，建立数学模型； ③解模：解数学模型，得出数学解； ④还原：将数学问题还原为实际问题． 函数模型 函数（型）解析式（均为常数）及抽象函数模型 正比例函数 一次函数 二次函数 反比例函数 模型 指数函数 或 对数函数 或 或 幂函数 或 对勾函数 三角函数 【课前测】（限时10分钟） 1.（2025·北京·高考题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（    ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答】B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可获解. 【解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 2.（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，且，则（     ） A． B． C．0 D．1 【答】A 【解法一】赋值法 因为， 令可得，，所以， 令可得，，即，所以函数为偶函数， 令得，，即有， 从而可知，，故，即， 所以函数的一个周期为．因为，，，，， 所以一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【解法二】构造法（最优解） 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【思维提升】 法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 【探究过程】 问题1.一次或二次函数、对勾函数模型 【探究1】一次函数模型 已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 【答】C 【解】（赋值法）对于A，令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 对于C，令，则有， 则，故函数是奇函数，故C错误； 对于D，有，即， 则函数是减函数，故D正确； 对于B，由，令，有，故B正确. 故选：C 【思维提升】 求抽象函数模型的方法： ①赋值法，即围绕函数性质，选取适合方程的特值，解方程，判断选项取舍； ②模型法，即利用给出函数模型，寻找适合的基本初等函数，以此特殊函数为准，验证选项. 【针对训练】已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答】D 【解】由于在上单调，且值域为，则必存在，使得， 令得，，即， 于是，，则， 从而，有.故选：D 【拓展探究1】二次函数模型 （1）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（     ） A．120 B．200 C．240 D．400 【答】D 【解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值240， 当 时，， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200， 综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元， 故选：D （2）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 【答】C 【解】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，A不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递增，D也不确定， 由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确， 故选：C 【针对训练1】 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （     ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答】B 【解】由题意可知：，设投资这两座城市收益为， 则有， 令，则有， 该二次函数的对称轴为，且开口向下， 所以， 故选：B 【针对训练2】已知函数满足：，，成立，且，则（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】令，则，所以， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 则当时，，运用叠加法 则 ， 当时，上式也成立， 所以，所以. 故选：C. 问题2.幂函数、指数函数及对函数模型 1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的函数模型； 2、在解决指数函数型、对数函数型、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，解题过程中，指对常常相互转换获解，特殊情况下也借助函数图象获得最值问题． 【探究2】已知定义在上的函数满足，则（     ） A．是奇函数且在上单调递减 B．是奇函数且在上单调递增 C．是偶函数且在上单调递减 D．是偶函数且在上单调递增 【答】A 【解】令，则，所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数， 由反比例函数的单调性可得函数在上单调递减. 故选：A. 【反思】属于幂函数型，应用了赋值法 【针对训练1】已知函数的定义域为，且，则（     ） A． B． C．是偶函数 D．没有极值点 【答】D 【解】令，则， 所以，且为定义域内任意值，故为常函数. 令，则，为奇函数且没有极值点，C错，D对； 所以不恒成立，不一定成立，A、B错. 故选：D 【拓展探究1】 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（     ） （参考数据：） A． B． C．8min D． 【答】B 【解】由题意可知，当时，，则，解得，所以， 当时，，即， 则， 所以茶水泡制时间大的为7 min. 故选：B. 【针对训练2】某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．（参考数据：，） 【答】 【解】设至少需要过滤次，可得，即， 两边取对数，可得，所以， 又因为，所以，所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为次． 故答案为：. 声源 与声源的 距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力 汽车 10 电动汽车 10 40 【针对训练3】（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（     ）． A． B． C． D． 【答】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【解】由题意可知：， 对选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 【拓展探究2】（多选题）已知函数的定义域为，满足，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B．为非奇非偶函数 C．若，则 D．对任意恒成立 【答】ACD 【解】由已知得：. 对于A，由上式可得，而，故，所以，即，故A正确； 对于B，由于满足条件且是偶函数，所以有可能是偶函数，故B错误； 对于C，由恒等式可得，故. 若，则，故C正确； 对于D，由恒等式可得. 而，故和同号（同为正数，或同为负数，或同为0）， 从而由可知，即，故D正确. 故选：ACD. 【针对训练4】如果且，则（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】，， ，，， ，，， ， 故选：C． 问题3.给定函数模型的实际应用问题 ①给定函数表示式（除解析式形式，或数表、图象），求其它数学问题； ②给出部分函数模型，比如分段函数的部分表达式形式，或组合函数的部分. 【探究3】（2022·北京·高考题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（     ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答】D 【分析】根据与的关系图可得正确的选项. 【解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 【拓展探究1】经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的数据如下表： 40 60 90 100 120 5.2 6 8.325 10 15.6 为描述与的关系，现有以下三种模型供选择：，，.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是，，（单位：）.为使百公里耗油量（单位：）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（    ） A．在外侧车道以行驶 B．在中间车道以行驶 C．在中间车道以行驶 D．在内侧车道以行驶 【答】A 【解】由题意，符合的函数模型需要满足在，都可取，且由表可知，随的增大而增大，则该函数模型应为增函数，不符合， 若选择，则，，，与实际数据相差较大，所以不符合， 若选择，则，，，，，最符合实际， ， 当时，取得最小值为. 故选：A 【针对训练1】德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（     ） A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 【答】B 【解】设火星的公转周期为，长半轴长为，火星的公转周期为，长半轴长为， 则，，且 得： ，所以，，即：. 故选：B． 【思维提升】 已知函数模型解决实际问题的步骤： ①审清所给函数模型，理清哪些量为待定系数；②根据已知利用待定系数法，求出模型中的待定系数；③应用该函数模型，求解实际问题，并进行检验． 【拓展探究2】（2024·北京·高考题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（     ） A． B． C． D． 【答】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 【针对训练2】研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长（月）与肿瘤细胞含量的关系，其函数解析式为，其中为参数．经过测算，发现（为自然对数的底数）．记表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答】D 【解】依题意，，而，则，即， 又，解得，所以. 故选：D 【拓展探究3】（2023年高考Ⅰ卷）（多选题）函数定义域为，，则 A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答】ABC 【解法一】因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 【解法二】因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 【针对训练3】已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（     ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答】C 【解】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误. 故选：C 问题4.构造函数模型的实际问题 高考命题特点：为了减缓难度通常两种形式出现，一是给出几种模型要求根据条件作出最佳选择；二是几种情况（通常两种或三种，或递进或并列，或给出数表），要求分别列出函数表达式，然后或复合或组合构成本案模型。 【探究4】有一组实验数据如下表所示： x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 则最能体现这组数据关系的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】将各点分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是．故选：D． 【针对训练1】（2019年全国Ⅱ卷（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： . 设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（ ） A． B． C． D． 【答】D 【解】由，得因为， 所以，即， 解得，所以所以答案为D. 【针对训练2】从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的下列数据： 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式； （2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 【解】（1）画出散点图如图 由图知应选择函数 将代入函数解析式得： ，解得： （2）从甲地到乙地共需小时，设总耗油量为，则 当时，y取最小值 从甲地到乙地，这辆车应以的速度行驶才能使总耗油量最少 【易错点分析】数学建模的思路是将问题转化为常见的函数模型，然后根据已知条件解决问题. 常见步骤：审题-建模-解模-还原作答 【拓展探究】（多选题）函数的定义域为，，若，则下列选项正确的有（       ） A． B． C．函数是增函数 D．函数是奇函数 【答】ABD 【解】令，，得， 因为，所以；令，得， 因为，所以，即选项A正确； 由选项A知的图象过点、，令，则得，， 所以，因为，所以选项B正确； 因为是减函数，所以选项C错误； 因为，所以为奇函数，即选项D正确； 故选：ABD． 《专题12 函数模型及应用》巩固训练 （限时90分钟） 1.已知函数满足：，且，，则的最小值是（     ） A．135 B．395 C．855 D．990 【答】C 【解】由，得，令，得， 令，得， 故，又， 所以， 所以，因为，当时，的最小值为855． 故选：C． 2.已知函数对一切实数满足，且，若，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】∵函数对一切实数满足，且 ∴ ∴数列是等比数列，首项为2，公比为2∴ 所以，所以数列的前项和为． 故选：C． 3.已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（     ）个． ①； ②若当时，，则函数在单调递增； ③对，；     ④若，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答】C 【解】令有，令有. 所以①正确. ，因为，所以， 所以，又因为，且当时，， 所以. 所以②正确. 当时由①可得③成立； 当时，由②得，所以， 所以……， 累加得，即 ，所以，所以③正确． 令，，由①得，又因为，所以， 由③得，所以， 所以 ，所以④错误． 故选：C 4.（教材题改编）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0℃，那么t后物体的温度θ（单位：）可由公式（k为正常数）求得.若，将55的物体放在15的空气中冷却，求物体冷却到35所需要的时间. 【解】将，，， 代入得，所以，， 所以，即. 答：物体冷却到35所需要的2min时间 5.某地区上年度电价为0．8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0．55元至0．75元之间，而用户期望电价为0．4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0．3元． （1）下调后的实际电价为（单位：元），写出新增用电量关于的函数解析式； （2）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元）的函数解析式；（注：收益=实际电量（实际电价－成本价）） （3）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长? 【解】（1）因为下调电价后新增用电量和实际电价元，与用户的期望电价0．4元的差成反比，且比例系数为， 所以，依题意知用电量关于的函数表达式为， （2）依题意知用电量增至， 所以，电力部门的收益为； （3）依题意有， 整理得， 解此不等式组得． 答：当电价最低定为0．6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长． 6.已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ． 【答】（答案不唯一，符合条件即可） 【解】因为对，，； 所以在上可能为对数函数， 故满足条件①，又，所以， 故符合上述条件的函数可能为：， 故答案为：（答案不唯一）. 7.已知函数的定义域为，且，，求的值． 【解】令，则，因为，所以， 令，则，得， 令，则，即， 所以， 所以 所以，所以，即， 是以6为周期的周期函数， ∴ 故答案为：. 8.（多选题）已知定义在上的函数满足：对，都有，则对于，，下式成立的有（     ） A． B． C． D． 【答】BCD 【解】,,B选项正确; ,C选项正确; ,,D选项正确; 定义在上的函数满足：对，都有， 设, ,A选项错误. 故选:BCD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 函数模型及应用 【培优目标】 1.学会因增长速度的差异正确选择指数函数、对数函数与一次函数等模型； 2.理解并会应用“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义； 3.会比较和选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律并了解函数模型在实际中的应用． 【考向分析】 新高考对函数模型的考查相对稳定，比如：指数函数、对数函数与一次函数模型、对勾函数、以及三角函数的周期模型和以函数为背景的概率模型（如分数函数模型）以上四种类型等高频出现在试卷中的位置不同，考查形式较为灵活，尤其近几年抽象函数模型的出现，值得关注． 【知识结构】 【知识拓展】 1.常见函数模型及抽象函数表示： 注：指、对函数和幂函数的抽象函数模型是对、和而言的； 正弦函数的抽象函数对应于正弦平方差公式：； 余弦函数抽象函数对应于余弦积化和差公式：； 正切函数抽象函数对应于正切函数和差角公式：. 2.解函数模型的一般步骤： ①审题：三遍审题法：全审、精审和深度审，弄清题意，挖掘本质规律，选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，建立数学模型； ③解模：解数学模型，得出数学解； ④还原：将数学问题还原为实际问题． 函数模型 函数（型）解析式（均为常数）及抽象函数模型 正比例函数 一次函数 二次函数 反比例函数 模型 指数函数 或 对数函数 或 或 幂函数 或 对勾函数 三角函数 【课前测】（限时10分钟） 1.（2025·北京·高考题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（    ） A．2h B．4h C．20h D．40h 2.（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，且，则（     ） A． B． C．0 D．1 【探究过程】 问题1.一次或二次函数、对勾函数模型 【探究1】一次函数模型 已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 【思维提示】 求抽象函数模型的方法： ①赋值法，即围绕函数性质，选取适合方程的特值，解方程，判断选项取舍； ②模型法，即利用给出函数模型，寻找适合的基本初等函数，以此特殊函数为准，验证选项. 【针对训练】已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【拓展探究1】二次函数模型 （1）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（     ） A．120 B．200 C．240 D．400 （2）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 【针对训练1】 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （     ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【针对训练2】已知函数满足：，，成立，且，则（     ） A． B． C． D． 问题2.幂函数、指数函数及对函数模型 1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的函数模型； 2、在解决指数函数型、对数函数型、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，解题过程中，指对常常相互转换获解，特殊情况下也借助函数图象获得最值问题． 【探究2】已知定义在上的函数满足，则（     ） A．是奇函数且在上单调递减 B．是奇函数且在上单调递增 C．是偶函数且在上单调递减 D．是偶函数且在上单调递增 【针对训练1】已知函数的定义域为，且，则（     ） A． B． C．是偶函数 D．没有极值点 【拓展探究1】 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（     ） （参考数据：） A． B． C．8min D． 【针对训练2】某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．（参考数据：，） 【针对训练3】（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（     ）． 声源 与声源的 距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力 汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 【拓展探究2】（多选题）已知函数的定义域为，满足，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B．为非奇非偶函数 C．若，则 D．对任意恒成立 【针对训练4】如果且，则（     ） A． B． C． D． 问题3.给定函数模型的实际应用问题 ①给定函数表示式（除解析式形式，或数表、图象），求其它数学问题； ②给出部分函数模型，比如分段函数的部分表达式形式，或组合函数的部分. 【探究3】（2022·北京·高考题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（     ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【拓展探究1】经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的数据如下表： 40 60 90 100 120 5.2 6 8.325 10 15.6 为描述与的关系，现有以下三种模型供选择：，，.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是，，（单位：）.为使百公里耗油量（单位：）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（    ） A．在外侧车道以行驶 B．在中间车道以行驶 C．在中间车道以行驶 D．在内侧车道以行驶 【针对训练1】德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（     ） A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 【拓展探究2】（2024·北京·高考题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（     ） A． B． C． D． 【针对训练2】研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长（月）与肿瘤细胞含量的关系，其函数解析式为，其中为参数．经过测算，发现（为自然对数的底数）．记表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【拓展探究3】（2023年高考Ⅰ卷）（多选题）函数定义域为，，则 A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【针对训练3】已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（     ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 问题4.构造函数模型的实际问题 高考命题特点：为了减缓难度通常两种形式出现，一是给出几种模型要求根据条件作出最佳选择；二是几种情况（通常两种或三种，或递进或并列，或给出数表），要求分别列出函数表达式，然后或复合或组合构成本案模型。 【探究4】有一组实验数据如下表所示： x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 则最能体现这组数据关系的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【针对训练1】（2019年全国Ⅱ卷（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： . 设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（ ） A． B． C． D． 【针对训练2】从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的下列数据： 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式； （2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 【拓展探究】（多选题）函数的定义域为，，若，则下列选项正确的有（       ） A． B． C．函数是增函数 D．函数是奇函数 《专题12 函数模型及应用》巩固训练 （限时90分钟） 1.已知函数满足：，且，，则的最小值是（     ） A．135 B．395 C．855 D．990 2.已知函数对一切实数满足，且，若，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 3.已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（     ）个． ①； ②若当时，，则函数在单调递增； ③对，；     ④若，则. A．1 B．2 C．3 D．4 4.（教材题改编）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0℃，那么t后物体的温度θ（单位：）可由公式（k为正常数）求得.若，将55的物体放在15的空气中冷却，求物体冷却到35所需要的时间. 5.某地区上年度电价为0．8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0．55元至0．75元之间，而用户期望电价为0．4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0．3元． （1）下调后的实际电价为（单位：元），写出新增用电量关于的函数解析式； （2）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元）的函数解析式；（注：收益=实际电量（实际电价－成本价）） （3）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长? 6.已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ． 7.已知函数的定义域为，且，，求的值． 8.（多选题）已知定义在上的函数满足：对，都有，则对于，，下式成立的有（     ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $