专题11 函数与方程（2课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦函数与方程专题，核心内容涵盖函数零点与方程解的关系、零点存在定理及二分法。通过限时课前测引入二分法应用，结合“思维提升”总结步骤，再以问题链展开探究，从基础概念到复合、分段函数零点问题，构建递进式学习支架。 资料特色在于分层设计与方法提炼，“探究过程”通过问题引导抽象数学模型，培养数学眼光，“思维提升”总结零点判断、同构法等技巧发展数学思维，结合高考题训练提升用数学语言解决复杂问题的能力，助力学生逻辑推理与创新意识养成。

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 专题11函数与方程 【培优目标】 1.理解函数的零点与方程的解、两函数交点横坐标之间的联系，并学会选择最优解法； 2.理解并掌握函数零点存在定理，并能简单应用； 3.了解并会用二分法求方程的近似解， 【考向分析】 新高考对函数与方程常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解 问题，以多种类型等形式出现在武卷中的不同位置，考查较为灵活、思维深刻，值得关注。 【知识结构】 函数与方程 函数的零点与方程的解关系（图①） 求函数零点近似值方法：二分法（图 ②) 图①： 函数零点的摄念 对于函数=f(代)，我们把使f(x)=0的实数叫做函数y=f(x)的零点. 方程的根与函数零点的关系) 方程fx)=0有实数根一函数y=fx)的图像与x轴有公共点一函数y=fx)有零点. 如果函数y=f)在区间[a,b】上的图像是连续不断的一条曲线， 零点存在性定理 并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f心)在区间(a,b)内有零点， 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,c也就是方程f)=0的根. 图② 对于区间a,b1上连续不断且f（a)小f(b)<0的函数f(x). 二分法的慨念 通过不斯地把承数/x)的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步通近零点，进面得到零点的近似值的方法叫做二分法 确定区间a,b],验证f(af(b)<0,给定精度e. 求区间(a,b)的中点x 用二分法求函数f)零点近似值的步骤 计算fx).若fx)=0,则x,就是函数f)的零点： 若f(a)fx)<0,则令b=x,（此时零点x,∈(ax). 若f(b)fx)<0,则令a=x（此时零点x∈(c,b) 判断是否达到精确度，即若a-b1<,则函数零点的近似值为a(或b)； 否则重复第(2)~(4)步 【课前测】（限时6分钟） 用=分法研究函致八=+8-1的零点时，第一次计算得了0<0。了05列>0 则其中一个零点 所在区间和第二次应计算的函数值分别为( 独家授权侵权必究 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 A.(0,0.5)f0.125列 B.(0,0.5),f0.375) c.(0.5,1,f0.75D.(0,0.5).f0.25) xx+3),x<0, 2.已知函数/()= xx-3),x之0，则函数f(x的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2025天津高考题)函数)=0.3-√的零点所在区间是（) 4. (0,0.3) B (0.3,0.5) C.(05,0 D.02) 【思维提升】求函数的零点或判断零点区间的相关技巧： ①若连续不断的函数「x)在定义域上是单调函数，则fx)至多有一个零点。 ②连续不断的函数「x),其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数「x)通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数fx)在闭区间Q,b上有零点，不一定能推出f(a)fb)<0. 【探究过程】 问题1.函数的零点与方程的解的个数问题 【探究1】求或讨论函数零点及零点所在区间 ()定义在(0，+w)上的单调函数fy满足：∈0，+o,f[f(x-1og,]=3,则方程=2 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 的解所在区间是( ) C.(1,2 D.(2,3) (2)已知函数f(到=2+r-2,8()=1ogx+x-2.川刘=2+x-2。 的零点分别为a,b,c,则 a+b+c= 【针对训练1】已知函数f到=cos3x-3cos2-3cosx+1,x0,2网，则函数f(的零点是一 【思维提示】求函教fX)零点的方法：单纯解方程，运用三角变换因式分解，其中余弦三倍角 公式需要记忆，①代数法，即求方程「x=0的实根，适合能因式分解（或可求根）的多项式： 独家授权侵权必究 画学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 6ZXXk.Gom● 您身边的互联网+教辅专家 ②几何法，即利用函数y=fx 的图像和性质找出零点，适合宜作图的基本初等函数 【拓展探究1】运用“同构法”解函数零点 f(x)=a 已知函数 e可+x-lm(ar)-2(a>0 ,若函数f()在区间(0，+0)内存在零点，求实数a取值范围 【思维提示】本题采用了导函数常用的两种转化方法，解法一是利用导数研究含参函数的单调性，由 不等式恒成立而数形结合、分类讨论；二是利用导数找到函数极值，利用极值巧妙化解。 【针对训练2】不求零点，运用“同构法”求式子值 已知是函数f儿国=e+hx的零点，则：n或， 【思维提示】运用“同构思想”，常见r=e'(x>0),r=lhe等 【拓展探究2】利用函数的零点确定参数的取值范围 若函数八=2+3x-1在区间-1山内恰有一个零点，则实数a的取值范围为（ A.a-1<a<2 B.ala=- 9 8或-1<a<2}: 4 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 6ZXXk.Gom● 您身边的互联网+教辅专家 C.{a-1≤a≤2} D.aa= 8或-1≤a≤2}： 【针对训练3】函数八刊=1g,+?+m在区间山，2)存在零点.则实数m的取值范围是《 A.（-0,-5) B.（-5,- C.(15) D.(5,+o 【针对训练4】若方程水-4+k=0在区间0上有解，其中4+45≤a<4,则实数k的取值范 围为 (结果用a表示) ·独家授权侵权必究 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 6ZXXk.Gom● 您身边的互联网+教辅专家 问题2.方程根的个数与函数零点的存在性问题 【探究2】设函数f刊是定义在R上的奇函数，对任意x∈R,都有1+=八1-，且当 x0,时，=2-1，若函数=d-1og,x(其中a>1)恰有3个不同零点，求实数a取值 范围。 【针对训练1】已知函数f是偶函数，对任意x∈R,均有=fx+2,当r0,时， =1-x,求函数8=f(-log,+的零点个数 ·独家授权侵权必究 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 6ZXXk.Gom● 您身边的互联网+教辅专家 【针对训练2】已知关于的方程=a(a>0且a≠D有两个不等实根，则实数“的取值范围是 B. c.(1 i. 问题3.复合函数（嵌套函数)或组合函数的零点问题 ①涉及儿个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围。 ②二次函数作为外层函数可以通过参变分离减少运算，但前提是函数的基本功一定要扎实. 03x-2,x≤2 【探究3】设函数f四= x-1>2，若方程 7 有6个不同的实数解，则实数a 2(x)-af(x)-a+3=0 的取值范围为( A引 B.2到 c33 D.(3,4) (x+12m(x-1)2 【针对训练1】若关于x的方程x+产+1=6恰有三个不同的实数解，：，5，且 <0:其中nR,则 (,+)的值为( 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 6ZXXk.Gom● 您身边的互联网+教辅专家 A.-6 B.-4 C.-3 D.-2 【拓展探究】(2024新课标Ⅱ卷高考愿）设函数f()=(x+1)-l,g()=cosx+2ax,当 x∈(-1,1) 时，曲线y=f与=8 恰有一个交点，则a=() 1 A.-1 B.2 C.1D.2 【针对词练2】已知两数-：+么>0 x,x<0,若y=f(x的图象上存在两个点A,B关于原点对称， 则实数的取值范围是() A.1,+0) B.L+w)C.【-L+wD.-l+o 问题4.分段函数的零点问题 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 x-C,x≥0， 【探究4】设ceR,函数f)= 2-2c,x<0.若f)恰有一个零点，则c的取值范围是() A.(0,1)B.{0U[1,+oo) C.(0.)D.) 【针对训练1】函数)=3-1儿x≤C nx,x>0.若函数gx=fx-a有三个零点，则，取值范围是( A.0,) B.(0,2 C.(2,+) D.(l,+o) 【针对训练2】已知两数f)=2+ar<2 a-x,x≥2. (1)若a=-5,则/x 的零点是 (2)若川无零点，则实数“的取值范围是一 9 ·独家授权侵权必究 画学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.Gom○ 您身边的互联网+教辅专家 问题5.等高线问题 x2+4x+2,x≤1， 【探究5】函数fx)= log(x-1x>1,若关于x的方程fx=t有四个不同的实数解x,x2,x,x4’ 且七<x2<x3<x4,则 5+5-+2西*的级小为() B.8 9 C.2 p.3 log2x-1,1<x<3 【针对训练1】已知函数f()= x2-8x+16,x≥3，若f刘=a有四个不同的解x,2,x,x4且 <<<4,则+++4的取值范围是 10 ·独家授权侵权必究 专题11 函数与方程 【培优目标】 1.理解函数的零点与方程的解、两函数交点横坐标之间的联系，并学会选择最优解法； 2.理解并掌握函数零点存在定理，并能简单应用； 3.了解并会用二分法求方程的近似解． 【考向分析】 高考对函数与方程常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以三种类型等形式出现在试卷中的不同位置，考查较为灵活、深刻，值得关注． 【知识结构】 函数与方程 函数的零点与方程的解关系（图①） 求函数零点近似值方法：二分法（图②） 图①： 图② 【课前测】（限时5分钟） 1.用二分法研究函数的零点时，第一次计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答】D 【解】因为，由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即，故选：D. 【思维提升】用二分法求函数零点近似值的步骤： ①确定区间，验证，给定精度； ②求区间的中点；③计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）；④判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步. 注意：用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 2.已知函数则函数的零点个数为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答】C 【解】当时，由，得或0（舍去）； 当时，由解得或.共有3个零点.故选：C. 3.（2025·天津·高考题）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减，显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于.故选：B 【思维提升】求函数的零点或判断零点区间的相关技巧： ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点； ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号； ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号； ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 【探究过程】 问题1.函数的零点与方程的解的个数问题 【答】（1）函数零点的概念：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. （2）方程的根与函数零点的关系：三个等价条件 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. （3）零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 【探究1】求或讨论函数零点及零点所在区间 （1）定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】由题设为定值，且， 所以，则，易知，故， 由，则，显然在第一象限有一个交点， 又在上分别单调递增，单调递减， 由，，，故方程解在上.故选：C （2）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 【答】3 【解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称， 与垂直，所以. 又，所以. 所以. 【针对训练1】已知函数，，则函数的零点是 ． 【答】和和 【解】余弦三倍角公式 故 ， 令，则或或（舍去）， 又因为，所以或或，故函数的零点是和和， 故答案为：和和 【思维提升】 求函数零点的方法：单纯解方程，运用三角变换因式分解，其中余弦三倍角公式需要记忆． ①代数法，即求方程的实根，适合能因式分解（或可求根）的多项式； ②几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合宜作图的基本初等函数. 【拓展探究1】运用“同构法”解函数零点 已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数取值范围 【解法一】由可得， 设，，，则，令， 在单调递减，在单调递增，故（1）． ①当时，令， 当时，单调递减，当时，单调递增， （1），此时在区间内无零点； ②当时，（1），此时在区间内有零点； ③当时，令，解得或1或，且， 此时在单减，，单增，单减，，单增， 当或时，，此时在区间内有两个零点； 综合①②③知在区间内有零点∴． 【解法二】由题意可得，即， 因为当时等号成立，所以，即， ，令，， 知在单减，在上单增，所以， 又趋近于0和正无穷时，趋近于正无穷，所以． 【思维提升】本题采用了导函数常用的两种转化方法，解法一是利用导数研究含参函数的单调性，由不等式恒成立而数形结合、分类讨论；二是利用导数找到函数极值，利用极值巧妙化解。 【针对训练2】不求零点，运用“同构法”求式子值 已知是函数的零点，则 . 【答】 【解】由题可知，，所以， 令,则单调递增，且, 所以，所以，所以. 故答案为： 【思维提升】运用“同构思想”，常见 【拓展探究2】利用函数的零点确定参数的取值范围 若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为（     ） A． B．或. C． D．或. 【答】D 【解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 【思维提升】细致观察、分析图象，本题是二次函数零点分布问题，利用二次函数的图象特征，数形结合，建立参数的等量或不等量关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而解决. 【针对训练3】函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答】B 【解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B. 【针对训练4】若方程在区间上有解，其中，则实数的取值范围为 ．（结果用表示） 【答】 【解】因为方程，即在区间上有解， 设函数，则函数的图象与直线在区间上有交点． 因为，所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 当时，在区间上，，，如下图 则，解得． 当时，因为，，． 令，解得，又，所以， 则，解得， 综上，实数的取值范围为． 问题2.方程根的个数与函数零点的存在性问题 【探究2】设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（其中）恰有3个不同零点，求实数a取值范围. 【解】∵，则函数关于直线对称， 又∵函数是定义在R上的奇函数，则， 即，则， 故函数是以4为周期的周期函数， 又∵，即， 故函数关于点对称， 令，则， 原题等价于与有3个交点，且的定义域为， 如图所示，则可得，解得， 故答案为： 【思维提升】 方程的根或函数零点存在性问题，可以依据零点存在性定理，连续函数由区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断. 【针对训练1】已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，求函数的零点个数. 【解】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示： 如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点. 【针对训练2】已知关于的方程且有两个不等实根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答】A 【解】关于的方程且有两个不等实根， 即关于的方程且有两个不等实根， 即函数与且函数的图象有两个交点， 由指数函数与对数函数的图象可知， 当时，函数与且函数的图象有且只有1个交点（如上图）， ，联立，得. 令，则，且在上单调递增，， 即，即，令， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 则，又当时，，且， 若要，则需要，画出大致图象如图所示， 由图知，，解得. 故选：A. 问题3.复合函数（嵌套函数）或组合函数的零点问题 ①涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围． ②二次函数作为外层函数可以通过参变分离减少运算，但前提是函数的基本功一定要扎实. 【探究3】设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答】B 【解】画出的图象如右图所示，由图可知要使有个解，则需， 依题意，方程有6个不同的实数解， 令，则有两个不相等的实数根， 且，令， 则，解得， 所以实数a的取值范围为.故选：B 【针对训练1】若关于的方程恰有三个不同的实数解，且，其中，则的值为（      ） A．-6 B．-4 C．-3 D．-2 【答】A 【解】依题意可知， 由整理得-----------------①， 即关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且， 令，则或，则①转化为， 即， 根据对勾函数的性质可知是方程的一个根， 所以， 所以，解得或， 所以是方程的根，即的根，所以， 所以. 故选：A 【思维提升】 函数零点问题常应用等价转化和数形结合数学思想转移到可以解决的数学模型，从而化解未知问题。 【拓展探究】（2024·新课标Ⅱ卷·高考题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（     ） A． B． C．1 D．2 【答】D 【分析】应用函数的对称性问题处理 解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可； 解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【解法一】（解交点法）令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 【解法二】（同一函数法）令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为，则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 【针对训练2】已知函数，若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】由函数解析式可得函数图象如下图示，要使的图象上存在两个点关于原点对称，只需，即即可. 故选：D 问题4.分段函数的零点问题 【探究4】设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答】D 【解】画出函数图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 故选：D 【针对训练1】函数若函数有三个零点，则取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答】A 【解】要使函数有三个零点，则有三个不等实根，即与的图象有三个不同交点，如下图 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，； 由与的图象有三个交点，结合函数图象可得， 故选：A. 【针对训练2】已知函数 （1）若，则的零点是 . （2）若无零点，则实数的取值范围是 . 【答】 ； 【解】（1）若，则 ，令可得 ，即的零点是 （2）若无零点,则如图所示 当此时，应有 ， 当 如图所示，  此时应有 ， 综上可得 . 问题5.等高线问题 【探究5】函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【答】D 【解】函数图象如图所示， ，，，， 由， ∴， 当且仅当时，等号成立，此时； ， 当且仅当时等号成立，此时. 所以的最小值为. 故选：D 【针对训练1】已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ． 【答】 【解】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示， 易知，所以， 则， 而由二次函数对称性可知，， 所以， 根据对勾函数的性质可知，， 所以. 故答案为：. 【针对训练2】已知函数 ，若关于 的方程有3个实数解，且求的最小值。 【解】由函数，作出函数的大致图象，如图所示， 由图可知，则， 因为， 所以， 设函数，则， 当时，；当时，， 所以，即的最小值是. 《专题11 函数与方程》巩固训练 （限时90分钟） 1.若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（     ） A． B．或. C． D．或. 【答】D 【解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 【思维提升】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而解决. 2.已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解. 【证明】由得：，令 则，， ， 在内至少有一个零点，在内至少有一个零点 在内至少有两个零点，即方程在内至少有两个实数解 3.设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点. 【证明】     又             与中至少有一个为正 又    或 ∴函数在内至少有一个零点 4.已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】由于关于点的坐标之间的关系得函数关于对称的函数为，进而将问题转化为函数与函数图象在区间有交点，即方程在区间上有解，故，进而得.设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为， 所以，所以函数关于对称的函数为. 由于与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称， 故函数与函数图象在区间有交点， 所以方程在区间上有解， 所以，即，所以.故选：C. 5.定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】因为为奇函数，所以， 即， 故的对称中心为，即， 由于函数与的图象关于直线对称， 且关于的对称点为，故的对称中心为. 故选：D 6.已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程的根是直线与函数图象交点的横坐标， 方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，AD正确； 显然，而，则，即，， ，B正确； 因为，，C错误. 故选：C 7.有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围"，某同学给出了如下解答：由，解得.所以，实数a的取值范围是.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答. 【答】上述解答不正确，没有考虑到函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论和两种情况；而时，在区间内的零点可能不是“变号零点” 【正解】 （1）当时，，令得：，解得： ∴当时，在内恰有一个零点. （2）当时， ①若，即，则函数的图象与轴交于点 是内的唯一零点 ②若，即则 i. ，解得： ii. 当，即时，，解得：， 是内的唯一零点 iii. 当时，即时，，解得：， 是内的唯一零点 综上可得，的取值范围是 【思维提升】关于含参函数零点问题的一般解法： 一是将函数化为的形式，与一个含参，一个不含参；其次，画出两个函数的图象；三是确定满足题意时含参函数图象的临界位置的参数值也即移动范围，从而求出参数的取值范围． 8.已知，若关于x的方程在上有解，求a的取值范围。 【解】由已知可得，. 当时，设，， 函数在上单调递减，在上单调递减. 但是函数的递减的速度要慢于函数的递减速度， 且.作出函数以及的图象 如图，要使与在上有交点，应满足，即.又， 所以； ①当时，由已知可得，整理可得， 解得，或（舍去），此时方程有解，满足； ②当时，设， 函数以及均为上的增函数，所以，在上单调递增. 要使在上有解，根据零点存在定理可知， 应有，即，解得. 综上所述，.即a的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $