专题09 函数性质及综合应用（第3、4课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦函数奇偶性、对称性、周期性的综合应用，通过课前自测（如证明奇偶性与图像对称的充要性）衔接函数定义与图像性质，再经探究过程总结结论，结合例题与针对训练构建从基础到综合的学习支架。 资料特色在于回归教材拓展（如教材题推广）培养数学眼光，通过充要性证明、抽象函数周期性推导发展数学思维，结合高考题与变式训练，以符号语言表达函数关系提升数学语言能力，助力学生系统掌握性质应用。

专题09 函数性质及综合应用（第3、4课时） -------重点关注函数奇偶性与对称性、周期性 【课前自测】（限时10分钟） 1.（人教A版第85页练习第3题） （1）从偶函数定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称; （2）从奇函数定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. 2.已知函数是奇函数，则 ； 【探究过程】 1.函数奇偶性的重要结论： （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； （2）奇偶函数的图象特征（充要性）： 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反； 奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和： 记，，则. （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 2.常见奇偶性函数典型模型 （1）奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． （2）偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． 3.函数的奇偶性与对称性具有以下典型性质（请试着证一下）： (1)若函数为偶函数，则函数关于对称，反之也成立； (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称，反之也成立； (3)若，则函数关于对称； (4)若，则函数关于点对称，反之也成立． 以上是函数自身的对称性与奇偶性拓展（简称：自称），下列性质是两个函数图象的互称： （5）函数与关于轴对称； 函数与关于原点对称． 问题1.函数的奇偶性与函数的对称性、曲线的对称性有什么区别和联系？有哪些性质？ 【探究1】回归教材（教材A版第87页《拓广探索》第13题） 函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是：函数为奇函数.（1）求函数图象的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【拓展探究】函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（     ） A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数 D．偶函数 【针对训练】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则正确的是（     ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【思维挑战】函数图象经过点，则函数的奇偶性为（     ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【巩固训练】函数，，那么（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 问题2.已知函数奇偶性或一般对称性，求解析式或求值 【探究2】已知奇函数则 ． 【拓展探究】 函数在区间内的最大值为，最小值为，其中，则 ． 【思维提升】已知奇函数，，则 （1） （2） 【针对训练2-1】若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为 ；的值是 . 【针对训练2-2】设函数的最大值为5，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 问题3.函数奇偶性与对称性的综合应用，求参数或参数范围 【探究3】（2023·上海·高考题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【链接高考】（2025·全国Ⅱ卷·高考题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【预备知识】导函数判断函数单调性（培优性质，建议提前介入导数基本知识） 【拓展探究1】已知定义在上的函数满足∀，若函数的最大值和最小值分别为，求值． 【拓展探究2】已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 . 【思维收敛】(1)若，则函数关于对称． (2)若，则函数关于点对称． 【拓展探究3】若函数图象与函数图象关于直线对称，则 ． 【针对训练1】函数，若最大值为，最小值为，，求的取值范围. 【针对训练2】（2021·全国甲卷·高考题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练3】（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练4】已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则（ ） A． B． C． D． 问题4.函数周期性有哪些二级结论？ 【答】周期函数：对于函数，如存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期. 当函数对定义域内任意的，都存在一个非零常数满足以下关系式,其最小正周期具有的特点如下： ①使得成立，则最小正周期为; ②使得成立，则最小正周期为; ③使得，则最小正周期为; ④使得，则最小正周期为; ⑤使得，则最小正周期为; ⑥使得，则最小正周期为; 特殊的，当函数为偶函数，且，则最小正周期为； ⑦使得，则最小正周期为; 特殊的，当函数为奇函数，且，则最小正周期为； ⑧使得，则最小正周期为; 特殊的，当函数为奇函数，且，则最小正周期为； ⑨对定义域内任意的，都存在一个非零常数，使得，则最小正周期为; 特殊的，当函数为偶函数，且，则最小正周期为； 【探究4】（2022·新高考全国Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，且，则（     ） A． B． C．0 D．1 【拓展探究1】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（     ） A． B． C． D． 【拓展探究2】（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若图像关于直线对称，，则（     ） A． B． C． D． 【针对训练1】（2021上海高考题）函数定义域为，下列无最大值的充分条件是（    ） A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称 C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称 【针对训练2】（2005·天津·高考题）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ． 【针对训练3】已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【针对训练4】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（     ） A． B． C． D． 【思维提升】 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 问题5.什么叫类周期函数与倍增函数？ 【答】若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 【探究5】设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，求实数的取值范围. 【拓展探究】设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，求m的取值范围. 《专题09 函数性质及综合应用》（第3、4课时） 巩固训练（限时90分钟） 1.已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，… ，，则横坐标之和（     ） A．0 B．m C． D． 2.（多选题）对于定义在上的函数，下述结论正确的是（     ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若是奇函数，则的图象关于点对称 C．函数与函数的图象关于直线对称 D．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 3.，，，则的值为（      ） A．2 B．1 C．0 D．－1 4.已知函数满足，，则等于 5.已知函数的定义域为R，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.已知定义域为的函数满足，且当时，，则 . 7.（多选题）若定义在上的函数满足，且值域为，则以下结论正确的是（     ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于中心对称 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 函数性质及综合应用（第3、4课时） -------重点关注函数奇偶性与对称性、周期性 【课前自测】（限时10分钟） 1.（人教A版第85页练习第3题） （1）从偶函数定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称; （2）从奇函数定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. 【解】证明:(1)充分性:若的图象关于y轴对称,设为图象上任意一点,则M关于y轴的对称点仍在该图象上,即，所以为偶函数, 必要性:若为偶函数,设为图象上任意一点,M关于y轴的对称点为,由于为偶函数,所以,所以在的图象上,所以的图象关于y轴对称. 综上可知，函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称 (2)充分性:若的图象关于原点对称,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点仍在该图象上,所以,所以为奇函数. 必要性:若为奇函数,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点为,由于为奇函数,所以,所以仍在的图象上,所以的图象头于原点对称. 综上可知，函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. 【思维提升】本题主要考查应用函数奇偶性定义（充要性）判定（证明）函数奇偶性，一般分两步证明（或一步，必须充要性能够完成）；重点考查学生通过数形结合理解函数关于数轴、原点对称性的符号表示，以及与函数奇偶性表达式的内在关系. 2.已知函数是奇函数，则 ； 【答】 【解】由，得， 则，所以函数的定义域为，所以，解得， 所以， 此时， 所以为奇函数， 【探究过程】 1.函数奇偶性的重要结论： （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； （2）奇偶函数的图象特征（充要性）： 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反； 奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和： 记，，则. （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 2.常见奇偶性函数典型模型 （1）奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． （2）偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． 3.函数的奇偶性与对称性具有以下典型性质（请试着证一下）： (1)若函数为偶函数，则函数关于对称，反之也成立； (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称，反之也成立； (3)若，则函数关于对称； (4)若，则函数关于点对称，反之也成立． 以上是函数自身的对称性与奇偶性拓展（简称：自称），下列性质是两个函数图象的互称： （5）函数与关于轴对称； 函数与关于原点对称． 问题1.函数的奇偶性与函数的对称性、曲线的对称性有什么区别和联系？有哪些性质？ 【答】函数的奇偶性是指对于函数定义域内任意一个，都有或，那么函数就叫做偶函数或奇函数，统称函数具有奇偶性；而函数的对称性泛指具有中心对称或轴对称的性质，函数奇偶性是函数对称性的一种特殊位置。前者满足后者，但具有对称性的函数不一定是奇函数或偶函数。曲线的对称性可以是方程的曲线的对称性，如曲线方程，当满足，则曲线关于轴对称，类推。 【探究1】回归教材（教材A版第87页《拓广探索》第13题） 函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是：函数为奇函数.（1）求函数图象的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【分析】（1）将函数解析式经过适当的变形，得出，构造函数，利用奇偶性的定义证明为奇函数，根据题设条件即可得出函数图象的对称中心； （2）将“函数的图象关于点成中心对称图形”，类比为“函数的图象关于直线成轴对称图形”，再将“函数为奇函数”，类比为“函数为偶函数”，即可写出结论. 【解】（1）. 设，则.为奇函数. 的图象关于点对称，即的图象的对称中心是点. （2）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 【思维收敛】本题主要考查了函数奇偶性的证明方法以及函数的对称性的数学描述. 【拓展探究】函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（     ） A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数 D．偶函数 【解】选项是C令，则,且， 既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误； 令，则,且， 是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C 【针对训练】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则正确的是（     ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误；故选：C. 【思维挑战】函数图象经过点，则函数的奇偶性为（     ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【解】，整理得，即， 则，． 当时，；当时，， 即对一切实数都成立，即函数的定义域为． ，即函数为奇函数．故选：A． 【巩固训练】函数，，那么（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【解】因为，所以为偶函数，又 即，所以为奇函数，所以为非奇非偶函数，A错误； ，所以为奇函数，B正确； ，所以是奇函数，C正确； 令，，为偶函数，D错误.【答】BC 问题2.已知函数奇偶性或一般对称性，求解析式或求值 【探究2】已知奇函数则 ． 【答】 【解】当时，，， 则．故答案为：. 【思维提升】抓住奇偶性定义讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性定义得出关于的方程，从而可得的解析式. 【拓展探究】 函数在区间内的最大值为，最小值为，其中，则 ． 【答】6 【解】由题意可知，， 设，的定义域为， 所以， 所以为奇函数，所以， 所以故答案为： 【思维提升】已知奇函数，，则 （1） （2） 【针对训练2-1】若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为 ；的值是 . 【答】 【解】由题意得：，即----①，----②，由②-①得：，解得：. 故答案为：， 【针对训练2-2】设函数的最大值为5，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答】B 【解】设，由定义得出是奇函数，其定义域为，下证之 又，即， 由于 ， 即，所以是奇函数，而， 由题可知，函数的最大值为5，则函数的最大值为：5-3=2， 由于是奇函数，得的最小值为-2，所以的最小值为：-2+3=1. 故选：B. 问题3.函数奇偶性与对称性的综合应用，求参数或参数范围 【探究3】（2023·上海·高考题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答】(1)不存在实数c；(2)且 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【解】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 故不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范团且. 【链接高考】（2025·全国Ⅱ卷·高考题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【预备知识】导函数判断函数单调性（培优性质，建议提前介入导数基本知识） 【答】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 【拓展探究1】已知定义在上的函数满足∀，若函数的最大值和最小值分别为，求值． 【解】令，得，令，则， 所以，令， 所以，为奇函数，． 令，由上述证明可知是奇函数（证明略）则， ． 而， 所以． 故原式为：4050 【拓展探究2】已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 . 【答】 【解】为奇函数，则有， 即，可得， ，所以函数的图象关于点对称. 直线，即， 由，解得，所以直线过定点， 即直线关于点对称. 直线与图象恰有5个公共点，，，，， 则有，，. 故答案为： 【思维收敛】(1)若，则函数关于对称． (2)若，则函数关于点对称． 【拓展探究3】若函数图象与函数图象关于直线对称，则 ． 【答】 【解】由于，解得，故它的反函数为. 再由函数的图像与的图像关于直线对称， 可得是函数的反函数，故，所以． 故答案为． 【针对训练1】函数，若最大值为，最小值为，，求的取值范围. 【答】 【解】， 令，定义域为关于原点对称， ∴， ∴为奇函数，∴， ∴， ，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增， ∴，，，∴， ∴，故答案为：. 【针对训练2】（2021·全国甲卷·高考题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【解】由题意可得：，而， 故.故选：C. 【思维提升】本题考查函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给条件转化是解决本题的关键. 【针对训练3】（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【解法一】因为是奇函数，所以-----------①； 因为是偶函数，所以--------------②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 从定义入手． 所以． 【解法二】 因为是奇函数，所以-------------①； 因为是偶函数，所以-------------②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 从周期性入手，由两个对称性可知，函数的周期．所以． 故选：D． 【思维提升】在解决函数性质类问题时，可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算． 【针对训练4】已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则（ ） A． B． C． D． 【答】D 【解】化简，所以的图象关于 对称， 由可得，可得 的图象也关于对称， 因此与的图象的个交点为，…，， 也关于对称，所以，，设，则，两式相加可， 同理可得 ， . 故选：D. 问题4.函数周期性有哪些二级结论？ 【答】周期函数：对于函数，如存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期. 当函数对定义域内任意的，都存在一个非零常数满足以下关系式,其最小正周期具有的特点如下： ①使得成立，则最小正周期为; ②使得成立，则最小正周期为; ③使得，则最小正周期为; ④使得，则最小正周期为; ⑤使得，则最小正周期为; ⑥使得，则最小正周期为; 特殊的，当函数为偶函数，且，则最小正周期为； ⑦使得，则最小正周期为; 特殊的，当函数为奇函数，且，则最小正周期为； ⑧使得，则最小正周期为; 特殊的，当函数为奇函数，且，则最小正周期为； ⑨对定义域内任意的，都存在一个非零常数，使得，则最小正周期为; 特殊的，当函数为偶函数，且，则最小正周期为； 【探究4】（2022·新高考全国Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，且，则（     ） A． B． C．0 D．1 【答】A 【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．思路二，考虑抽象函数结构特点，可考虑构造两角和差余弦函数 【解法一】赋值法 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为． 因为，，，，，所以一个周期内的． 由于22除以6余4，所以．故选：A． 【解法二】构造法 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【思维归纳】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 【拓展探究1】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（     ） A． B． C． D． 【答】B 【分析】由已知可推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即，故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知. 故选：B. 【拓展探究2】（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若图像关于直线对称，，则（     ） A． B． C． D． 【答】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以 因为，所以.所以. 故选：D 【思维提升】本题涉及两个抽象函数的含有对称轴或对称中心的问题，条件往往比较隐蔽，需要根据已知条件进行恰当的转化到目标函数，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 【针对训练4-1】（2021上海高考题）函数定义域为，下列无最大值的充分条件是（    ） A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称 C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称 【答】D 【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得，据此可判断D的正误. 【解】对于A，因为为偶函数，故， 而的图像关于直线对称，故，故， 故为周期函数且周期为2， 而在必有最大值，故必有最大值，故A错误. 对于B，而的图像关于点对称，故， 故，故，故 故为周期函数且周期为4， 而在必有最大值，故必有最大值，故B错误. 对于C，因为为奇函数，故， 而的图像关于直线对称，故，故， 所以故为周期函数且周期为4， 而在必有最大值，故必有最大值，故C错误. 对于D，因为为奇函数，故， 而的图像关于点对称，故， 故，设，则，故无最大值， 故选：D 【针对训练4-2】（2005·天津·高考题）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ． 【答】 【分析】根据奇函数的性质可得出的值，根据函数对称性可得出的值，推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，结合周期性可求得的值. 【解】因为函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称， 则对任意的，，，则， 所以，， 所以，函数是周期为的周期函数，且， 因此，. 故答案为：. 【针对训练4-3】已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答】C 【解】因为，所以，所以的周期为6. 又因为为奇函数，所以，即，即， 令，则，即所以，故选：C. 【针对训练4-4】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答】B 【解】为奇函数，有定义可得，所以关于对称， 所以-------------①，令得， 又为偶函数，，则关于对称，所以---------②， 由①②联立，可得，即，所以， 于是可得，所以的周期， 则，所以为偶函数 则，所以，所以 所以，解得，所以当时， 所以故选：B. 【思维提升】 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 问题5.什么叫类周期函数与倍增函数？ 【答】若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 【探究5】设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，求实数的取值范围. 【解】因为对称轴为，所以当时，的最小值为； 当时，， 由知，，所以此时，其最小值为； 同理，当时，，其最小值为； 当时，的最小值为； 作出如简图，因为，要使， 则有.解得或， 要使对任意，都有，则实数的取值范围是. 【拓展探究】设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，求m的取值范围. 【答】 【解】由，得，得分段求解析式， 结合图象可得m的取值范围．，， 时，， 时，； 时，； 时，； 当时，由，解得或， 若对任意，都有，则．故m的取值范围为． 《专题09 函数性质及综合应用》（第3、4课时） 巩固训练（限时90分钟） 1.已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，… ，，则横坐标之和（     ） A．0 B．m C． D． 【答】B 【解】由是偶函数，知函数的图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称，所以函数与函数图象的交点也关于直线对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为.故选：B. 2.（多选题）对于定义在上的函数，下述结论正确的是（     ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若是奇函数，则的图象关于点对称 C．函数与函数的图象关于直线对称 D．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 【答】BD 【解】对A，对，有，令替换，得， 可得函数的周期为2，则的图象对称性不确定，即A错误； 对B，是奇函数，图象关于原点成中心对称，则图象关于点对称，故B正确； 对C，函数是由的图象向左平移一个单位得到；函数的图象是由的图象向右平移一个单位得，而与的图象关于轴对称，所以函数与函数的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，若函数的图象关于直线对称，则将其向左平移1个单位得到，则对称轴也向左平移1单位，则关于轴对称，即为偶函数，故D正确. 故选：BD. 3.，，，则的值为（      ） A．2 B．1 C．0 D．－1 【答】B 【解】由题意知，，， 令，则 时，不成立，故， 故，则，即6为函数的周期， 则，故选：B 【思维提升】(1)解与函数周期性有关的问题，应根据周期定义及二级结论，求函数的周期． (2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题． 4.已知函数满足，，则等于 【答】3 【解】根据函数解析式，求得函数的周期，利用函数周期性即可求得函数值. ，则是以8为周期的周期函数. 所以. 故答案为：. 5.已知函数的定义域为R，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答】A 【解】由题意可知：函数的定义域为R， 因为-----------①， 用替换，得------------②， 由①，②可得，所以为偶函数， 由①用替换，可得---------------③， 又为偶函数，即-----------------④， 由①+④，整理得，即可得， 则，可得，所以6为的周期， 由， 令，可得，可得； 令，可得，可得； 所以．故选：A． 6.已知定义域为的函数满足，且当时，，则 . 【答】 【解】由已知得，所以，所以，即是函数的一个周期，所以.故答案为： 7.（多选题）若定义在上的函数满足，且值域为，则以下结论正确的是（     ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于中心对称 【答】ABC 【解】对选项A，令得：，解得或， 令，得，由值域为，则时，，不合， 所以，故A正确； 对于选项B，令得：，所以或， 令，得，即，由的值域为，所以， 令得：，所以或， 由的值域为，所以，故B正确； 对于选项C，令，得， 因为，所以，所以为偶函数，故C正确； 对于选项D，若图象关于中心对称，则，由于定义域为R，值域为， 若，则必有，与题设矛盾，故D错误. 故选：ABC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $