专题02 简易逻辑及拓展（2课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦简易逻辑及拓展，核心内容涵盖充分必要条件判定、全称与存在量词命题及否定、集合观点描述命题关系。通过课前自测结合高考题与教材改编题，帮助学生回顾基础，搭建前后知识联系的学习支架。 资料特色在于以集合观点深化条件理解，通过问题探究培养逻辑推理能力，用符号与图表规范数学表达。整合高考真题与教材拓展题，注重数学思维与表达能力提升，助力学生形成理性精神与应用意识。

专题02 简易逻辑及拓展 【培优目标】 1、理解充分条件、必要条件及充要条件的意义并学会判断一些简单命题的充要性； 2、学会识记全称量词与存在量词的意义，并学会对全称量词命题与存在量词命题进行否定； 3、学会用集合观点描述命题的充分性及必要性，学会解全称性命题或存在性命题的含参范围问题． 【核心考点】 从近几年高考命题来看，主要考查命题的判定及以函数或不等式为背景应用原命题与命题的否定；充分与必要条件一般是作为工具与函数、三角函数、数列等知识结合考核. 【知识结构】 【知识拓展】 1.全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．泛指普遍的、所有的对象（含有全称量词）的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，都有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． 2.存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 3.常见的词语及其否定词： 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定 词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 4.全称量词命题和存在量词命题及其否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) ①要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可． ②要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 注意：含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”； 5.充分条件与必要条件判断方法 ①集合法判断：如果但,则A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)，注意与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)，两者是不同；（见人教A版第23页《综合运用》第4题）；如果,则A是B的充要条件。 ②转移法：（命题与其逆否命题等价）p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件； ③韦恩图法：根据图形的包含关系依据①来判定充分性和必要性。 【课前自测】（10分钟） 1.判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2），； （3）对任意一个无理数x，也是无理数. （4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件. 【分析】判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明成立；若在集合M中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题，方法即“举反例”. 2.写出下列命题的否定：（1），；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形；（4）有些三角形是直角三角形； 3.（人教A版第32页《拓广探索》第6题） 在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如: ①若,则;(假命题) ②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题) 这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题. （1）有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定. （2）请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假. 4.（2025·北京·高考题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（2024·全国Ⅱ卷·高考题）已知命题p：，；命题q：，，则（     ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【探究过程】 问题1.从集合角度如何定位四种条件？ 【答】从集合与集合之间的关系上看，设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且⇏；简记：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 【探究1】（人教A版第23页《综合运用》第5题）设证明:的充要条件是. 【拓广探究】（人教A版第23页《拓广探索》第6题）设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明. 【链接高考】 1.（2020•上海题）命题：存在且，对于任意，使得； 命题单调递减且恒成立；命题单调递增，存在使得， 则下列说法正确的是　　 A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．，都是的充分条件 D．，都不是的充分条件 2.（2023·北京·高考题）若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【针对训练1】已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（     ） A． B． C． D． 【思维提升】 1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立； 2、充分必要条件的集合描述，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合． 【针对训练2】设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【针对训练3】已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 问题2.全称性命题与存在性命题真假的判断方法 【探究2】（根据人教A版第31页《复习巩固》第1、2题改编）判断下列命题的真假: (1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; (2)对任意负数的平方是正数; (3)有些菱形是正方形; (4)至少有一个整数是4的倍数. 【变式探究】下列命题中的假命题是（     ） A．， B．， C．， D．， 【思维提升】全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，辨别是全称性命题还是存在性命题，又要依据数学结论进行逻辑判定． 【拓展探究】若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【针对训练】（根据人教A版第31页《复习巩固》第1、2题改编）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 问题3.全称性命题与存在性命题的否定方法 【答】 含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论. 【探究3】命题“，，”的否定形式是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【拓展探究】（根据人教A版第32页《综合应用》第5题）将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定: （1）平行四边形的对角线互相平分; （2）三个连续整数的乘积是6的倍数; （3）三角形不都是中心对称图形; （4）一元二次方程不总有实数根. 【针对训练】（2024年全国Ⅱ卷题）已知命题p：，；命题q：，，则（     ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 问题4.四种条件及含量词命题的应用 【探究4】若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为(　　) A. B.－ C. D.－ 【针对训练】已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________. 《专题02 简易逻辑就及拓展》巩固训练（限时90分钟） 1.已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 2.已知命题，若是的充要条件，则 ． 3.（2022年天津题）“为整数”是“为整数”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 4．（2022年浙江题）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，若“∃x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________. 6.若“存在实数x，使不等式组成立”为真命题，则实数a的取值范围是________. 7.设a>0，b>0，则使得命题“若ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b>0”为假命题的一组a，b的值是________. 8.（2023·全国Ⅰ卷·高考题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（     ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简易逻辑及拓展 【培优目标】 1、理解充分条件、必要条件及充要条件的意义并学会判断一些简单命题的充要性； 2、学会识记全称量词与存在量词的意义，并学会对全称量词命题与存在量词命题的否定； 3、会用集合观点描述命题的充分性及必要性，会解全称性命题或存在性命题的含参范围问题． 【核心考点】 从近几年高考命题来看，主要考查命题的判定及以函数或不等式为背景应用原命题与命题的否定；充分与必要条件一般是作为工具与函数、三角函数、数列等知识结合考核. 【知识结构】 【知识拓展】 1.全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．泛指普遍的、所有的对象（含有全称量词）的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，都有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． 2.存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 3.常见的词语及其否定词 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定 词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 4.全称量词命题和存在量词命题及其否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) ①要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可． ②要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 注意：含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”； 5.充分条件与必要条件判断方法 ①集合法判断：如果但,则A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)，注意与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)，两者是不同；（见人教A版第23页《综合运用》第4题）；如果,则A是B的充要条件。 ②转移法：（命题与其逆否命题等价）p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件； ③韦恩图法：根据图形的包含关系依据①来判定充分性和必要性。 【课前自测】（10分钟） 1.判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2），； （3）对任意一个无理数x，也是无理数. （4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件. 【分析】判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明成立；若在集合M中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题，方法即“举反例”. 例如，如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数. 【解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题； （2），总有，因而.所以，全称量词命题“，”是真命题； （3）是无理数，但是有理数.所以，原命题是假命题. （4）q是一个“或命题”正推正确，反之，则不成立。 2.写出下列命题的否定：（1），；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形；（4）有些三角形是直角三角形； 【答】（1），；（2）存在一个奇数的平方不是奇数；（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形；（4）任意三角形都不是直角三角形； 3.（人教A版第32页《拓广探索》第6题） 在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如: ①若,则;(假命题) ②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题) 这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题. （1）有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定. （2）请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假. 【分析】（1）因为省略了量词的全称量词命题,故补全全称量词再判定即可；（2）根据初中小学学过的数与形的知识点举例即可. 【解】 （1）不对.①的否定:存在;②的否定:存在一个四边形为等腰梯形,它的对角线不相等；（2）命题1:矩形的对角线相等,是真命题;它的否定是:存在一个矩形,它的对角线不相等,是假命题. 命题2:实数的平方是正数,是假命题;它的否定:存在一个实数,它的平方不是正数,是真命题. 【思维收敛】本题主要考查了“若p,则q”形式的全称量词命题及其否定的辨析,属于基础题型. 4.（2025·北京·高考题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 5.（2024·全国Ⅱ卷·高考题）已知命题p：，；命题q：，，则（     ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 【探究过程】 问题1.从集合角度如何定位四种条件？ 【答】从集合与集合之间的关系上看，设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且⇏；简记：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 【探究1】（人教A版第23页《综合运用》第5题）设证明:的充要条件是. 【分析】分别证明充分性与必要性即可. 【解】证明:(1)充分性:如果,那么, . (2)必要性:如果,那么, ,. 由(1)(2)知,的充要条件是. 【思维收敛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型. 【拓广探究】（人教A版第23页《拓广探索》第6题）设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明. 【答】为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是. 【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.再分别证明充分与必要性即可. 【解】（1）设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是. 【证明】（必要性）在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1). 显然 ,即. （充分性）在中,,不是直角. 假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D. 则 .即,与“”矛盾. 故为锐角,即为锐角三角形. (2)设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是. 【证明】（必要性）在中,为钝角,如图(2), .即. （充分性）在中,,不是直角,假设为锐角,如图(1), 则 .即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形. 【思维提升】本题考查了锐角与钝角三角形的充分必要条件证明,注意用反证法. 【链接高考】 1.（2020•上海题）命题：存在且，对于任意，使得； 命题单调递减且恒成立；命题单调递增，存在使得， 则下列说法正确的是　　 A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．，都是的充分条件 D．，都不是的充分条件 【解】对于命题：当单调递减且恒成立时， 当时，此时，又因为单调递减，所以 又因为恒成立时，所以（a），所以（a）， 所以命题命题， 对于命题：当单调递增，存在使得， 当时，此时，（a）， 又因为单调递增，所以，所以（a）， 所以命题命题， 所以，都是的充分条件，故选：． 2.（2023·北京·高考题）若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【解法一】因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 【解法二】充分性：因为，且，所以， 所以，所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以.所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 【解法三】充分性：因为，且， 所以，所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以，所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 【针对训练1】已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】取，，满足，但是推不出，故排除A； 取，，满足，但是推不出，故排除B； 取，，满足，但是推不出，故排除D； 由，，可推出，即，即，故充分性成立. 故选：C. 【思维提升】 1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立； 2、充分必要条件的集合描述，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合． 【针对训练2】设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答】C 【解】当时，或，则，即充分性成立； 当时，，则，即必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件. 故选：C. 【针对训练3】已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答】 【解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， ①时，，符合题意； ②当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； ③当时，由，解得，此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为，则. 故答案为： 问题2.全称性命题与存在性命题真假的判断方法 【探究2】（根据人教A版第31页《复习巩固》第1、2题改编）判断下列命题的真假: （1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; （2）对任意负数的平方是正数; （3）有些菱形是正方形; （4）至少有一个整数是4的倍数. 【答】（1）真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题. 【解】(1)由垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题. (2)对任意负数,不等式两边同时乘以负数有.故为真命题 (3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题. (4)假设有一个整数是4的倍数,则因为能被4整除,故为偶数,故为奇数,故为奇数.设,则,故除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数使得是4的倍数.故为假命题. 【变式探究】下列命题中的假命题是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答】C 【解】对于A，因为指数函数的值域为，所以，，A对； 对于B，当时，，B对； 对于C，当时，，C错； 对于D，当时，，D对. 故选：C. 【思维提升】全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，辨别是全称性命题还是存在性命题，又要依据数学结论进行逻辑判定． 【拓展探究】若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答】 【解】因为“，使”是假命题，所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【针对训练】（根据人教A版第31页《复习巩固》第1、2题改编）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 【答】 【解】命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调， 由函数在上单调递减，在上单调递增，则，而， 得，故答案为： 问题3.全称性命题与存在性命题的否定方法 【答】 含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论. 【探究3】命题“，，”的否定形式是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答】C 【解】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“，，”的否定形式是“，，”.故选：C 【拓展探究】（根据人教A版第32页《综合应用》第5题）将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定: （1）平行四边形的对角线互相平分; （2）三个连续整数的乘积是6的倍数; （3）三角形不都是中心对称图形; （4）一元二次方程不总有实数根. 【分析】 (1)原命题为全称命题,否定为特称命题. (2)原命题为全称命题,否定为特称命题. (3)原命题为特称命题,否定为全称命题. (4)原命题为特称命题,否定为全称命题. 【解】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分; 它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分; (2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数; 它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数; (3)存在一个三角形不是中心对称图形; 它的否定:所有的三角形都是中心对称图形; (4)存在一个一元二次方程没有实数根; 它的否定:任意一元二次方程都有实数根. 【思维收敛】本题主要考查了含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题及其否定,属于基础题型. 【针对训练】（2024年全国Ⅱ卷题）已知命题p：，；命题q：，，则（     ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答】B 【解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题. 故选：B. 问题4.四种条件及含量词命题的应用 【探究4】若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为(　　) A. B.－ C. D.－ 【答】　D 【解】因为“∃x∈，sin x<m”是假命题，所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题， 即m≤sin x对于∀x∈恒成立，所以m≤(sin x)min， 因为y＝sin x在上单调递增，所以x＝－时，y＝sin x最小，其最小值为 y＝sin＝－sin ＝－，所以m≤－，所以实数m的最大值为－. 【思维提升】1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论； 2.判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可； 3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与p的关系，转化成p的真假求参数的范围. 【针对训练】已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________. 【答】　(0，2] 【解】∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3，即p：－1≤x≤3. ∵x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，∴x≤1－a或x≥1＋a，∴q：1－a＜x＜1＋a. ∵p是q的必要不充分条件， ∴解得0＜a≤2，∴实数a的取值范围是(0，2]. 《专题02 简易逻辑就及拓展》巩固训练（限时90分钟） 1.已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答】 【解】由题意可得，， 若“”是“”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 2.已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答】-1 【解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 3.（2022年天津题）“为整数”是“为整数”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答】A 【解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件， 由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件， 综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件， 故选：A. 4．（2022年浙江题）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答】A 【解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 5.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，若“∃x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________. 【答】　0 【解】“∃x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是∀x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)＝0， 依题意得，命题∀x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)＝0为真命题，故函数y＝f(x)，x∈[a，b]为奇函数， 所以a＋b＝0，所以f(a＋b)＝f(0)＝0. 6.若“存在实数x，使不等式组成立”为真命题，则实数a的取值范围是________. 【答】 【解】　－≥－，解得x∈.又2x<a，解得x∈. 由题意知∩≠∅，所以>，即a>. 7.设a>0，b>0，则使得命题“若ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b>0”为假命题的一组a，b的值是________. 【答】　a＝1，b＝1(答案不唯一) 【解】　根据题意，满足题意的a，b需满足ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b≤0， 即ln(a＋b)>ln 1，ln(ab)≤ln 1，解得a＋b>1，ab≤1， 不妨取a＝1，b＝1(答案不唯一)，满足题意. 8.（2023·全国Ⅰ卷·高考题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（     ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 【答】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【解法一】甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 【解法二】甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件. 故选：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $