专题01 容斥原理及集合应用（2课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦“容斥原理及集合应用”，引导学生掌握集合的含义、关系、运算及容斥原理，通过课前自测（含高考题、教材改编题）衔接已有知识，探究过程分问题搭建支架，从集合关系到容斥原理计数，再到与不等式、函数等融合，形成递进式知识脉络。 资料以高考为导向，融入真题与教材题，通过问题驱动探究（含思维提示、拓展训练）和跨知识整合，培养学生用数学眼光抽象集合本质、用数学思维推理运算规律、用数学语言表达问题的能力，分层训练设计助力学生自主学习，便于教师评估教学效果。

专题01 容斥原理及集合应用（2课时） 【培优目标】 1、了解集合（包括全集、空集）的含义，理解元素与集合、集合间的关系； 2、会求两个集合的交、并、补运算，尤其与一元二次、一元一次、分式不等式解法、指对数不等式解法结合.同时关注与逻辑用语、充要条件相结合的解题方法； 3、学会选择并能用三种数学语言包括自然语言、图形语言、集合语言描述不同的数学问题及等价关系，理解并学会应用容斥原理解多个集合问题。 【核心考点】 核心考点是考查集合间交、并、补基本运算，常与一元一次、二次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法的结合作背景，应注重特殊符号，根号，对数，分式不等式的有意义隐含条件；同时涉及集合与充要条件相结合的解题方法，题型与方法变化不大，相对稳定，属于容易题。 【知识结构】 【课前自测】（10分钟） 1.（2025·北京·高考题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3.已知集合，则下列表示正确的是（      ）. A． B． C． D． 4.（2025·全国Ⅰ卷·高考题）设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．3 C．5 D．8 5．（教材题改编）学校举办运动会,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛有多少人? 【探究过程】 问题1.集合与元素、集合与集合间关系问题 【答】把握集合中元素的三个基本特征：确定性、互异性、无序性；集合间有包含、包含于和相等关系，常用类比、韦恩图及数形结合、等价转换等方法,理解并学会用下列运算律： （1），，，，． （2），，，，． （3），，． （4）. （5）,（摩根律）． 【探究1】已知集合，试自主、合作与探究一下A中元素个数最多是多少？ 【思维提示】 1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 2、研究两个或者多个集合的关系时，思维方式是将两集合的关系转化为元素间的关系。 【拓展探究1】已知集合若，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【拓展探究2】已知集合，则集合的元素个数为（     ） A．3 B．2 C．4 D．5 【针对训练】已知集合，非空集合，且中所有元素之和为奇数，则满足条件的集合共有（     ） A．12个 B．14个 C．16个 D．18个 问题2.集合与排列、组合的关系问题？ 【探究2】已知的三个顶点的横纵坐标均在集合内，则这样的三角形共有（     ） A．64个 B．125个 C．432个 D．516个 【拓展探究】已知，则由集合构成的集合的个数为（     ） A． B． C． D． 【拓展训练】设集合，则从A集合到B集合所有不同映射的个数是（    ） A．81 B．64 C．12 D．以上都不正确 问题3.容斥原理解决多个集合运算的计数问题 容斥原理是解决多个集合运算的计数问题，容斥本身存在包容与排斥，先不考虑重叠的情况，把包含于某集合中所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理. 注意扣除掉重复部分，同时也要保证没有遗漏，这就是容斥原理的基本思想方法。 【探究3】某班有名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人 . 【思维提示】设有三个非空集合,则 【变式探究】一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为（    ） A．108名 B．120名 C．125名 D．前三个答案都不对 【拓展训练】已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 问题4.集合新定义及运算 【探究4】如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，求集合I的所有划分的个数。 【拓展探究】若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【针对训练】定义集合运算：，集合，求集合所有元素之和． 问题5.集合在函数、方程及不等式、数列等方面有哪些应用？ 【答】集合的基本属性是表示一类对象的全体，在表示函数定义域、值域，方程、不等式解集等都有特定含义，在解方程、解不等式时应用集合观点转换也有独到之处 【探究5】（2023年全国乙卷（理）第10题）探究集合在数列中应用，背景三角函数 已知等差数列的公差为，集合，若，则（     ） A．－1 B． C．0 D． 【拓展探究1】函数定义域问题（集合或区间应用） （1）若函数的定义域为[-1，1]，求函数的定义域； （2）已知已知的定义域为[－1，1]，求的定义域； （3）已知的定义域为[0，1]，求的定义域。 【针对训练1】 （1）已知，求函数的解析式 . （2）已知函数，求函数的最大值 （3）已知，求的最大值和最小值． 【拓展探究2】集合表示法考察 （2024·北京·高考题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【针对训练2】已知二元方程求代数式的最大值． 【问题5思维挑战】（限时20分钟） 1.求函数 的反函数． 2.求函数的单调递增区间. 3.求的单调区间． 4.指出函数的单调增区间． 5.判断的奇偶性． 《专题01 容斥原理及集合应用》 巩固训练（限时90分钟） 1.已知集合，，若，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 2.已知集合，集合.若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.已知，则满足的有序数组共有（     ）个 A． B． C． D． 4.（2020•浙江高考题）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则．下列命题正确的是　　 A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素 C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素 5.（教材题改编）在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 6.已知均为集合中的元素，则对应的所有可能的直线有 条． 7.（2022•天津高考题）设，对任意实数，记，．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 ． 8.已知集合，若且互不相等，求使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上是严格增函数的有序数对的个数。 9.求方程的非负整数解的个数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 容斥原理及集合应用（2课时） 【培优目标】 1、了解集合（包括全集、空集）的含义，理解元素与集合、集合间的关系； 2、会求两个集合的交、并、补运算，尤其与一元二次、一元一次、分式不等式解法、指对数不等式解法结合.同时关注与逻辑用语、充要条件相结合的解题方法； 3、学会选择并能用三种数学语言包括自然语言、图形语言、集合语言描述不同的数学问题及等价关系，理解并学会应用容斥原理解多个集合问题。 【核心考点】 核心考点是考查集合间交、并、补基本运算，常与一元一次、二次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法的结合作背景，应注重特殊符号，根号，对数，分式不等式的有意义隐含条件；同时涉及集合与充要条件相结合的解题方法，题型与方法变化不大，相对稳定，属于容易题。 【知识结构】 【课前自测】（5分钟） 1.（2025·北京·高考题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答】D 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【解】因为，所以，故选：D. 【思维提升】 当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数 ． 2.已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答】D 【解】，故其子集的个数为8，故选：D. 3.已知集合，则下列表示正确的是（      ）. A． B． C． D． 【答】A 【解】当时，，所以，故A正确； 当故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 4.（2025·全国Ⅰ卷·高考题）设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答】C 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义即可求出． 【解】因为，所以， 中的元素个数为，故选：C． 5．（教材题改编）学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 【解】如图.设同时参加田径和球类比赛的有x人,则,, 即同时参加田径和球类比赛的有3人, 而只参加游泳一项比赛的有(人). 【探究过程】 问题1.集合与元素、集合间关系问题？ 【答】把握集合中元素的三个基本特征：确定性、互异性、无序性；集合间有包含、包含于和相等关系，常用类比、韦恩图及数形结合、等价转换等方法,理解并学会用下列运算律： （1），，，，． （2），，，，． （3），，． （4）. （5）,（摩根律）． 【探究1】已知集合，试自主、合作与探究一下A中元素个数最多是多少？ 【答】2 【解】当时，，此时元素个数为1； 当时，， 所以一定与或中的一个一致，此时元素个数为2. 所以由构成的集合中，元素个数最多是2个. 故答案为:2. 【思维提升】 1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 2、研究两个或者多个集合的关系时，思维方式是将两集合的关系转化为元素间的关系。 【拓展探究1】已知集合若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答】B 【拓展探究2】已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答】A 【解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故，共三个元素. 故选：A. 【针对训练】已知集合，非空集合，且中所有元素之和为奇数，则满足条件的集合共有（    ） A．12个 B．14个 C．16个 D．18个 【答】C 【解】，由于中所有元素之和为奇数，且非空集合， 当中只有一个元素时，则或或， 当中有2个元素时，则中的元素必为一偶一奇，故有个满足条件的， 当中有3个元素时，则中的元素必为2偶一奇或者三个元素均为奇数，故有4个满足条件的， 当中有4个元素时，则中的元素必为一偶3奇，故有2个满足条件的， 当中有5个元素时，则满足条件， 故共有，选：C 问题2.集合与排列、组合的关系问题？ 【探究2】已知的三个顶点的横纵坐标均在集合内，则这样的三角形共有（     ） A．64个 B．125个 C．432个 D．516个 【答】D 【解】由题意，横纵坐标均在集合内的点共有个， 从这16个点中任意选出三个点，共有个， 其中三个点共线的情况有个， 所以满足题目要求的三角形共有.故选：D 【拓展探究】已知，则由集合构成的集合的个数为（     ） A． B． C． D． 【答】A 【解】由于的子集个数为， 因此集合{A，B}是从的个子集中挑选2个子集组成的集合， 于是集合{A，B}的个数为故选：A． 【拓展训练】设集合，则从A集合到B集合所有不同映射的个数是（    ） A．81 B．64 C．12 D．以上都不正确 【答】A 【解】集合中的每一个元素，在集合中都有唯一对应的元素与之对应， 中有4个元素，每个元素可以有3种对应方式，完成“从A集合到B集合所有不同映射”需要分四步，根据计数原理，故共有种不同的对应方式， 即从集合到集合的不同映射的个数是81 . 故选：A 问题3.容斥原理解决多个集合运算的计数问题 容斥原理是解决多个集合运算的计数问题，容斥本身存在包容与排斥，先不考虑重叠的情况，把包含于某集合中所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理. 注意扣除掉重复部分，同时也要保证没有遗漏，这就是容斥原理的基本思想方法。 【探究3】某班有名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人 . 【答】 【解】以集合、、表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有人，由图可得，解得. 故答案为：. 【思维提升】设有三个非空集合,则 【变式探究】一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为（    ） A．108名 B．120名 C．125名 D．前三个答案都不对 【答】A 【解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，；参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，； 同时参加了三门学科考试的学生数为，如图． 根据题意，有， 前面三个等式相加，可得． 由第四个等式可得，， 因此，解得．因此学生总数为．故选：A 【思维提升】观察方程组有7个未知数，5个方程，虽属于正整数范围，解出每一个值不大可能，因此，整体观察，发现前3个方程变元顺次轮换对称，相加可得整体之间关系，从而不难获解。 【拓展训练】已知集合,是否存在实数a,使得?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 【解】， 或，，∴存在实数，使得. 问题4.集合新定义及运算 【探究4】如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，求集合I的所有划分的个数。 【解】不妨设，则： 的2划分有，，，，，，； 的3划分有，，，，，； 的4划分只有. 综上，的划分共有个. 【拓展探究】若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答】 【解】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是. 【针对训练】定义集合运算：，集合，求集合所有元素之和． 【解】依题意，当或时，；当时，； 当时，，因此集合， 所以集合所有元素的和为 问题5.集合在函数、方程及不等式、数列等方面有哪些应用？ 【答】集合的基本属性是表示一类对象的全体，在表示函数定义域、值域，方程、不等式解集等都有特定含义，在解方程、解不等式时应用集合观点转换也有独到之处 【探究5】（2023年全国乙卷（理）第10题）探究集合在数列中应用，背景三角函数 已知等差数列的公差为，集合，若，则（     ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【解】依题意，等差数列中，， 函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或， 于是有，即有，解得， 所以，. 故选：B 【思维提升】本题考察了等差数列通项公式，三角函数的周期性和积化和差运算，大背景是考察集合元素的基本特征--互异性。 【拓展探究1】函数定义域问题（集合或区间应用） （1）若函数的定义域为[-1，1]，求函数的定义域； （2）已知已知的定义域为[－1，1]，求的定义域； （3）已知的定义域为[0，1]，求的定义域。 【解】（1）要使函数有意义，必须： ∴函数的定义域为：; （2）－1≤ ≤1 0≤ ≤1－1≤x≤1; （3）因为2x－1是R上单调递增函数，因此由2x－1， x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域. 【针对训练1】 （1）已知，求函数的解析式 . （2）已知函数，求函数的最大值 （3）已知，求的最大值和最小值． 【解】（1）易错点：在换元变形中忽视等价过程； 令，则，，， 剖析：原函数隐含着定义域是，所以由得，的定义域为， 即函数的解析式应为（）这样才能保证转化的等价性. 正解：由，令得，代入原解析式得（），即（）． （2） 易错点：复合函数的定义域发生改变而未察觉 ==在上是增函数，故函数在时取得最大值为33． 正解：由已知所求函数的定义域是得， ==在是增函数，故函数在时取得最大值为13． （3） 易错点：反函数的复合函数定义域也同样会发生改变 由得．∴． ∴ ． ∵，∴．∴，． 剖析：∵中，则中，即， ∴本题的定义域应为．∴． 正解：（定义域求同上），由得．∴，． 【思维提升】 函数定义域是一个非空数集，求函数定义域解得是一个交集，即满足整体函数有意义；抽象函数定义域要注意形式变化时，定义域应随之等价转化，多个抽象函数取交集。 【拓展探究2】集合表示法考察 （2024·北京·高考题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答】C 【难度】0.4 【知识点】描述法表示集合、三角形面积公式及其应用、求平面两点间的距离 【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可. 【解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 【思维提升】数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 【针对训练2】已知二元方程求代数式的最大值． 错解：由已知有 ①，代入得 ，∴当时，的最大值为． 易错点剖析：上述解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件中的限制条件． 正解：由得， ，，因函数图象的对称轴为， ∴当是函数是增函数，故当当时，的最大值为． 【问题5思维挑战】（限时20分钟） 1.求函数 的反函数． 错解：函数的值域为, 又，即 ，所求的反函数为． 剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式． 正解：由的值域为, 因， 又，所求的反函数为． 2.求函数的单调递增区间. 错解：令，则，它是增函数. 在上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上为增函数，即原函数的单调增区间是. 剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间． 正解：由，得的定义域为.在上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数的单调增区间是. 3.求的单调区间． 错解：令，，时，为减函数， 时，为增函数，又为减函数，故以复合函数单调性知原函数增区间为，减区间为． 剖析：在定义域内取，值不存在，显然上面所求不对，根本原因正是疏忽了定义域，单调区间必须在函数定义域内．由，得或，故增区间为，减区间为． 4.指出函数的单调增区间． 错解：∵，∴，∴当时，或， ∴函数的单调增区间为． 剖析：此题错在没有考虑函数的定义域，故本题的答案为． 5.判断的奇偶性． 错解：∵， ∴为偶函数． 剖析：事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件，即首先定义域必须是关于原点的对称区间．而此函数的定义域为，不满足上述条件，即应为非奇非偶函数． 《专题01 容斥原理及集合应用》巩固训练（限时90分钟） 1.已知集合，，若，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】由，知，因为，， 若，则方程无解，所以满足题意； 若，则， 因为，所以，则满足题意；故实数取值的集合为.故选：D. 2.已知集合，集合.若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答】A 【解】当时，，满足； 当时，若，只需，解得 综上，的取值范围是 3.已知，则满足的有序数组共有（     ）个 A． B． C． D． 【答】A 【解】所有有序数组 中,满足的 有序数组 中包含个0，另外两个数在或中选择，每个位置有2种选择，由乘法计数原理得不同的种数为 故选：A. 4.（2020•浙江高考题）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则．下列命题正确的是　　 A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素 C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素 【解】取：，2，，则，4，，，2，4，，4个元素，排除； ，4，，则，16，，，4，8，16，，5个元素，排除； ，4，8，则，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7个元素，排除； 故选：． 5.在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 【解】集合表示直线与直线交点的集合， 即. 则. 6.已知均为集合中的元素，则对应的所有可能的直线有 条． 【答】13 【解】第一类：当取值相同时，，表示1条直线； 第二类：当取值不同时，分两步：第一步，排分母，有4种情况， 第二步，排分子，有3种情况，共计12种情况，且值都不相等， 所以所有可能的直线有条． 故答案为： 7.（2022•天津高考题）设，对任意实数，记，．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 ． 【答】，． 【解】设，，由可得． 要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点， 则，解得． ①当时，，作出函数、的图象如图所示： 此时，根据函数的定义只有两个零点x1=-2和x2=2，不满足题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有3个零点，则， 所以解得； ③当时，，作出函数、的图象如图所示： 由图可知，函数的零点个数为3，满足题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有3个零点，则， 可得解得，此时． 综上所述，实数的取值范围是，．故答案为：，． 【思维提升】本题考查了应用集合符号表述函数新定义及函数的零点，同时考查了数学转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题． 8.已知集合，若且互不相等，求使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上是严格增函数的有序数对的个数。 【解】由题意可知，满足指数函数且， 对数函数且的取值只有4个，分别为； 而使它们在上严格增函数的取值都只有两个，分别是； 而满足幂函数的的取值有6个（全部）， 使得幂函数在上是严格增函数的取值有4个，即； 由于且互不相等，有三种情况： 第一种：指数函数，对数函数在上是严格增函数， 而幂函数不满足，共有种； 第二种：指数函数，幂函数在上是严格增函数， 而对数函数不满足，共有种； 第三种：对数函数，幂函数在上是严格增函数， 而指数函数不满足，共有种； 第四种：三个函数在上都是严格增函数，共有种； 利用分类加法计数原理可得共有种；故答案为：24 9.求方程的非负整数解的个数. 【解】设，，，由此，又，，可得：，，则判断可能的解有：（2，0，5），（1，6，0），（4，3，0），（7，0，0）； ①当，可求得：，而，看成2个相同白球，用隔板法隔成3区域（可有空区），有个解； ②当，可求得：，，而，有个解， 因此该情况共有个解； ③当，可求得，，而，有种情况， 因此该情况共有个解； ④当，可求得：，而，有个解． 综上，方程非负整数解个数为：81． 1 学科网（北京）股份有限公司 $