5.3.2 第3课时 利用导数解决与函数有关的问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第三课时　利用导数解决与函数有关的问题 1.函数f（x）＝x3－12x－16的零点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 2.若函数f（x）＝ln x＋－a在区间（1，e）上只有一个零点，则实数a的取值范围为（　　） A.a≤1 B.a＞e C.1＜a＜＋1 D.＜a＜1 3.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 4.函数f（x）＝ex＋ax（a＜0）的图象可以是（　　） 5.设函数f（x）＝若函数y＝f（x）－b有两个零点，则实数b的取值范围是（　　） A.（0，1） B.[0，1） C.[0，1] D.[0，1]∪{－e－2} 6.〔多选〕已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（　　） A.函数f（x）存在两个不同的零点 B.函数f（x）既存在极大值又存在极小值 C.当－e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根 D.若x∈[t，＋∞）时，f（x）max＝，则t的最小值为2 7.已知函数f（x）＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－，则方程f（x）＝0的解的个数是　　　　. 8.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站　　　　 km处. 9.已知曲线f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围为　　　　. 10.现有一张长为40 cm，宽为30 cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x cm，高为y cm，体积为V（cm3）. （1）求出x与y的关系式； （2）求该铁皮盒体积V的最大值. 11.方程x2＝ex的实根个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 12.〔多选〕函数f（x）＝ln（ax）－x的图象可能是（　　） 13.已知方程｜ln x｜＝ax有三个实数解，则实数a的取值范围为　　　　. 14.已知函数f（x）＝ln x＋，m∈R，讨论函数g（x）＝f'（x）－零点的个数. 15.给定函数f（x）＝ex－x. （1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的值域； （2）画出函数f（x）的大致图象； （3）求出方程f（x）＝m（m∈R）在区间[－1，2]上的根的个数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三课时　利用导数解决与函数 有关的问题 1.C　2.C　3.B　4.B　 5.D　当x＞0时，函数f（x）＝ln x单调递增；当x≤0时，f（x）＝ex（x＋1），则f'（x）＝ex（x＋2）＝0时，x＝－2，所以当x＜－2时，f'（x）＜0，当－2＜x≤0时，f'（x）＞0，故当x≤0时，f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，0）上单调递增，所以f（x）在x＝－2处取极小值，极小值为f（－2）＝－e－2，又当x＝0时，f（x）＝1，当x→－∞，f（x）→0，作出函数f（x）的图象如图， 函数y＝f（x）－b有两个零点，即函数y＝f（x）与y＝b有两个交点，由图知当b∈[0，1]∪{－e－2}时函数y＝f（x）与y＝b有两个交点，所以实数b的取值范围为[0，1]∪{－e－2}.故选D. 6.ABC　A项，由f（x）＝0，得x2＋x－1＝0，解得x＝，所以A正确；B项，f'（x）＝－＝－，当f'（x）＞0时，－1＜x＜2；当f'（x）＜0时，x＜－1或x＞2，所以函数的单调递减区间为（－∞，－1），（2，＋∞），函数的单调递增区间为（－1，2），所以f（－1）是函数的极小值，f（2）是函数的极大值，所以B正确； C项，当x→＋∞时，f（x）→0，根据B项可知，函数的最小值是f（－1）＝－e，当x＝2时，f（2）＝，画出函数f（x）的图象，如图所示，易知，当－e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根，所以C正确；D项，由f（2）＝，根据图象可知，t的最大值是2，所以D不正确. 7.1　解析：因为f（x）＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－（x＞0），所以f'（x）＝－x＋2＝＝.令f'（x）＝0，得x＝3或x＝－1（舍去），当x∈（0，3）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（3，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（3）＝3ln 3－＋6－3ln 3－＝0.所以方程f（x）＝0只有一个解. 8.5　解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离.由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.因此两项费用之和为y＝＋.y'＝－＋.令y'＝－＋＝0，得x＝5（x＝－5舍去），且当x＞5时，y'＞0；当0＜x＜5时，y'＜0，故当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小. 9.{a｜a＜－27或a＞5}　解析：f'（x）＝－3x2＋6x＋9.令f'（x）＝0，解得x＝－1或x＝3.当f'（x）＞0时，－1＜x＜3；当f'（x）＜0时，x＜－1或x＞3，所以当x＝－1时，f（x）取得极小值f（－1）＝a－5；当x＝3时，f（x）取得极大值f（3）＝a＋27.画出大致图象，要使f（x）的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0（如图1）或极小值大于0（如图2）， 所以a＋27＜0或a－5＞0，解得a＜－27或a＞5，故实数a的取值范围为{a｜a＜－27或a＞5}. 10.解：（1）因为材料利用率为100%， 所以x2＋4xy＝40×30， 即y＝. 因为长方形铁皮ABCD的长为40 cm，宽为30 cm，故0＜x≤30， 综上，y＝，0＜x≤30. （2）铁皮盒体积V（x）＝x2y＝x2·＝（1 200x－x3）， V'（x）＝（1 200－3x2），令V'（x）＝0，得x＝20，当x变化时，V'（x），V（x）的变化情况如下： x （0，20） 20 （20，30] V'（x） ＋ 0 － V（x） 单调递增 4 000 单调递减 所以V（x）在（0，20）上单调递增，在（20，30]上单调递减， 当x＝20时，V（x）取最大值，最大值为4 000 cm3. 11.B　设f（x）＝ex－x2，则f'（x）＝ex－2x，令g（x）＝f'（x）＝ex－2x，则g'（x）＝ex－2，令g'（x）＝0，得x＝ln 2，当x＜ln 2时，g'（x）＜0；当x＞ln 2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增，所以当x＝ln 2时，g（x）取得极小值，也是最小值，即f'（x）min＝f'（ln 2）＝eln 2－2ln 2＝2（1－ln 2）＞0，即f'（x）＞0在（－∞，＋∞）上恒成立，所以f（x）＝ex－x2在（－∞，＋∞）上是增函数，又f（0）＝1＞0，f（－1）＝－1＜0，所以函数f（x）＝ex－x2存在唯一的零点，即方程x2＝ex只有1个实根. 12.ABC　①当a＞0时，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－1＝，令f'（x）＝0，解得x＝1，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝ln a－1.当0＜a＜e时，f（1）＜0，选项B符合；当a＞e时，f（1）＞0，选项C符合；当a＝e时，f（1）＝0，没有满足要求的图象.②当a＜0时，f（x）的定义域为（－∞，0），此时f（x）在（－∞，0）上单调递减，当x→－∞时，f（x）→＋∞，当x→0时，f（x）→－∞，选项A符合.故选A、B、C. 13.（0，） 解析：因为方程｜ln x｜＝ax有三个实数解，所以函数y＝｜ln x｜与y＝ax的图象有三个交点，作出y＝｜ln x｜的图象如图，当a≤0时，函数y＝｜ln x｜与y＝ax的图象至多有1个交点，不符合题意；当a＞0时，设y＝ln x与y＝ax相切于点P（x0，y0），则y0＝ln x0＝ax0，又因为对y＝ln x，y'＝，所以a＝，所以x0＝e，ae＝1，所以a＝，所以函数y＝｜ln x｜与y＝ax的图象有三个交点时0＜a＜. 14.解：由题意知g（x）＝f'（x）－＝－－（x＞0）， 令g（x）＝0，得m＝－x3＋x（x＞0）. 设φ（x）＝－x3＋x（x＞0）， 则φ'（x）＝－x2＋1＝－（x－1）（x＋1）， 当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（0，1）上单调递增； 当x∈（1，＋∞）时，φ'（x）＜0，φ（x）在（1，＋∞）上单调递减. 所以x＝1是φ（x）的唯一极值点且是极大值点， 因此x＝1也是φ（x）的最大值点， 所以φ（x）的最大值为φ（1）＝. 又φ（0）＝0，且x→＋∞时，φ（x）→－∞，结合y＝φ（x）的图象（如图）， 可知①当m＞时，函数g（x）无零点； ②当m＝时，函数g（x）有且只有一个零点； ③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点； ④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点. 综上所述，当m＞时，函数g（x）无零点； 当m＝或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点； 当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点. 15.解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－1， 令f'（x）＝0，解得x＝0. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示： x （－∞，0） 0 （0，＋∞） f'（x） － 0 ＋ f（x） 单调递减 1 单调递增 所以f（x）在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单调递增. 当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝1，也是最小值，故函数f（x）的值域为[1，＋∞）. （2）由（1）可知，函数的最小值为1. 函数的图象经过特殊点f（－1）＝＋1，f（2）＝e2－2，f（0）＝1， 当x→＋∞时，f（x）→＋∞，f'（x）→＋∞； 当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f（x）图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据上述信息，画出函数f（x）的大致图象如图所示. （3）截取函数f（x）在区间[－1，2]上的图象如图所示. 由图象知，当f（0）＜m≤f（－1），即当m∈（1，＋1］时，f（x）与y＝m恰有两个不同的交点，即当m∈（1，＋1］时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上恰有两个不同的实根； 同理，当m＝1或＋1＜m≤e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上有唯一的实根； 当m＜1或m＞e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上无实根. 学科网（北京）股份有限公司 $