4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第一课时　等差数列的前n项和公式 1.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝2，S5＝15，则a1＝（　　） A.－1　　　 B.－2　　　 C.－3　　　 D.－4 2.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ，则λ＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 3.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n＝（　　） A.10 B.15 C.20 D.30 4.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn且公差d≠0，若S7＝3a4，则（　　） A.S3＝S4 B.S3＝S5 C.S4＝S5 D.S4＝S6 6.〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是（　　） 7.〔多选〕已知{an}是等差数列，其公差为d，前n项和为Sn，a10＝10，S10＝70，则下列结论正确的是（　　） A.a1＝4 B.d＝ C.数列{an}是递减数列 D.数列{Sn}是等差数列 8.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a12＝30，则S13＝　　　　. 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＋S6＝27，则a2＋a4＝　　　　. 10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn＝（n∈N*）.求证：数列{bn}是等差数列. 11.〔多选〕若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜0，则（　　） A.a204＞0 B.d＜0 C.S405＜0 D.S406＞0 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k＝　　　　. 13.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝　　　　. 14.已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn. （1）设Sk＝2 550，求a和k的值； （2）设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值. 15.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝9. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝a2n－1＋a2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第一课时　等差数列的前n项 和公式 1.A　2.A　3.C　4.B　 5.A　由题意可知，S7＝＝7a4＝3a4，所以a4＝0，所以S3＝S3＋0＝S3＋a4＝S4.故选A. 6.ABC　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn（a，b为常数，n∈N*），则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A、B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意. 7.AB　由题意知，解得故A、B正确；因为d＞0，所以数列{an}是递增数列，故C错误；Sn－＝an＝4＋（n－1）×＝n＋（n≥2），不是常数，故数列{Sn}不是等差数列，故D错误.故选A、B. 8.130　解析：法一　设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a7＋a12＝（a1＋d）＋（a1＋6d）＋（a1＋11d）＝3a1＋18d＝30，∴a1＋6d＝10，∴S13＝13a1＋d＝13（a1＋6d）＝13×10＝130. 法二　∵a2＋a7＋a12＝30，∴3a7＝30，即a7＝10，∴S13＝＝＝13a7＝130. 9.6　解析：设等差数列{an}的公差为d.因为S3＋S6＝3a1＋3d＋6a1＋15d＝9a1＋18d＝27，所以a1＋2d＝3，所以a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2a1＋4d＝2（a1＋2d）＝2×3＝6. 10.证明：法一　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n（n－1）d， 所以bn＝＝a1＋（n－1）d，所以bn＋1－bn＝a1＋nd－a1－（n－1）·d＝（常数）， 所以数列{bn}是等差数列. 法二　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n（n－1）d， 所以bn＝＝a1＋（n－1）d，所以bn＋1＝a1＋nd，bn＋2＝a1＋（n＋1）d， 所以bn＋2＋bn＝a1＋（n＋1）d＋a1＋（n－1）d＝2a1＋nd＝2bn＋1， 所以数列{bn}是等差数列. 11.ACD　由a203＋a204＞0⇒a1＋a406＞0⇒S406＞0，又由a1＜0，且a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0. 12.7　解析：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋（a1－）n可看作是关于n的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝＝.又∵S6＝Sk，∴＝，解得k＝7. 13.n2　解析：依题意知，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2，进行累加求和得an＝1＋2（n－1）＝2n－1，故数列{an}的前n项和Sn＝2（1＋2＋3＋…＋n）－n＝2×－n＝n2. 14.解：（1）由已知得，2×4＝a－1＋2a，解得a＝3， 所以a1＝2，公差d＝a2－a1＝2， 因为Sk＝2 550，所以2k＋×2＝2 550， 即k2＋k－2 550＝0， 解得k＝50或k＝－51（舍去）， 所以a＝3，k＝50. （2）由（1）知，Sn＝2n＋×2＝n2＋n，bn＝＝＝n＋1， 又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项， 所以b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n. 15.解：（1）因为{an}为等差数列，设其公差为d，则解得所以an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×2＝2n－1. （2）由（1）知an＝2n－1，所以a2n－1＝2（2n－1）－1＝4n－3，a2n＝2×2n－1＝4n－1， 所以bn＝a2n－1＋a2n＝8n－4. 当n＝1时，b1＝4； 当n≥2时，bn－bn－1＝8n－4－8（n－1）＋4＝8， 所以{bn}是首项为4，公差为8的等差数列， 所以Tn＝＝4n2， 所以{bn}的前n项和Tn＝4n2. 学科网（北京）股份有限公司 $