11.1 平面内点的坐标 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系，涵盖有序数对、点的坐标、象限特征及方位角与距离定位等核心知识点。通过电影院座位、教室座位图等生活情景导入，从有序数对过渡到坐标系建立，再延伸至方位角描述，搭建连贯的认知支架。 其特色在于以生活情境为载体，如用教室座位表引出有序数对，培养数学眼光中的抽象能力与空间观念。例题通过描点连线判断图形并计算面积，发展数学思维的推理意识与运算能力。用坐标和方位角精确描述位置，强化数学语言表达，助力学生建立数形联系，教师教学更具情境性与操作性。

11.1 平面内点的坐标 第11章 平面直角坐标系 11.1 第1课时 平面直角坐标系 随堂演练 课堂小结 获取新知 例题精讲 知识回顾 情景导入 知识回顾 1.什么是数轴？ 2.数轴上的点与 一一对应，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标. 实数 3.写出数轴上A、B各点所对应的数. 规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫作数轴. 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 • • A B 点A表示的数为-3，点B表示的数为2. 情景导入 小明父子俩周末去电影院看电影，买了两张票去观看，座位号分别是3排6号和6排3号.怎样才能既快又准地找到座位？ 情景1：如图是某教室学生座位的平面图，你能描述小明和小红同学座位的位置吗？（先列后行） 1 2 3 4 5 6 7 8 6 5 4 3 2 1 小明 小红 行 列 讲 台 获取新知 小明同学座位： 第2列第5行 记作（2,5） 小红同学座位： 第5列第3行 记作（5,3） Administrator (A) - 让学生感悟到位置的确定需要两个数据,并且这两个数据的表示是有顺序的,即用有序实数对表示. 1 2 3 4 5 6 7 8 6 5 4 3 2 1 小明 小红 行 列 讲 台 思考：1.（2,4）和（4,2）是同一个位置吗？ (2,4) (4,2) 2.找到第7列第6行的位置. (7,6) 以上都是通过这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫作有序数对.记作（a, b）. 有序数对的概念 注意:若a≠b,（a,b）与（ b,a）表示两个不同的位置. 第2列第5行 记作（2,5） 第5列第3行 记作（5,3） 第7列第6行 记作（7,6） 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 情景2：周末小明和小丽约好一起去图书馆学习.小明告诉小丽，图书馆在中山北路西边50米，人民西路北边30米的位置. 思考：小丽能根据小明的提示从图中找出图书馆的位置吗？ 图书馆 . 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 4.如果小明只说在“中山北路西边50米”，或只说在“人民西路北边30米”，你能找到吗？ 3.如果小明说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”，你能找到吗？ 1.小明是怎样描述图书馆的位置的？ 2.小明可以省去“西边”和“北边”这几个字吗？ 想 一 想： 若将中山路与人民路看着两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系. x y o 30 20 10 20 10 -10 -20 -30 -40 -20 -50 -10 -70 -60 -50 -40 -30 -80 （-50, 北 西 30） 人民路 中山路 在平面内画两条互相垂直（通常一条水平，一条竖直）并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. y轴 x轴 原点 水平的数轴称为x轴或横轴 取向右为正方向 竖直的数轴称为y轴或纵轴 取向上为正方向 两轴交点O为原点. 能不能将有序数对与数轴结合在一起呢？ 利用平面直角坐标系确定平面内的点的位置. 思考：平面直角坐标系内的点如何用一个有序数对来表示呢？ 如图，对于任一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，交于点x0和y0, 我们说x0是点P的横坐标，y0是点P的纵坐标，有序数对（x0，y0）叫点P的坐标 P x0 横坐标 y0 纵坐标 注意：横坐标在前，纵坐标在后，中间加逗号，两边加括号. （x0，y0） 全品文教初中 B（____，____） （3, 4） －4 写出下列各点的坐标: A的横坐标是3， 纵坐标是4. 有序数对（3，4）叫作点A的坐标 记作：A（3，4） －3 C（____，____） －1 2 D（____，____） 2 －3 过点Ａ作x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数是3，就是点Ａ的横坐标． 过点Ａ作y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数是4，就是点Ａ的纵坐标． 备注：坐标是有序数对，先写横坐标，再写纵坐标 lenovo (l) - 类比数轴上的点与实数的对应关系得到平面直角坐标系内的点与实数对的一一对应关系,实现知识的正向迁移. 坐标平面内的点与有序数对(坐标)是什么关系? 类似数轴上的点与实数是一一对应的.我们可以得出： ①对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数(x,y) (即点M的坐标）和它对应； ②反过来，对于任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x,y)的点）和它对应. 也就是说：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 例1 （教材补充例题）在图中，所画的平面直角坐标系正确的是(　　) D 例题精讲 · B 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 y · C · A · E · D ( 2，4 ) ( 4，2 ) (－3，2 ) (－2，－3 ) ( 3，－2 ) 例2 （教材补充例题）写出图中A、B、C、D、E各点的坐标． x 例3 在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次 连接起来得到一个封闭图形，说说你得到的是什么图形，并计算它们的面积． （1）A（5,1），B（2，-3）； （2）A（-1,2），B（-2，-1），C（2，-1），D（3,2）. 解 （1）如图（1）， 得到的是一个直角三角形。 它的面积是 （2）如图（2）， 得到的是一个平行四边形。 它的面积是 ②描出(-2,2), (0,2), (2,2), (4,2), 依次连接各点, 发现了什么? ①描出(2,3), (2,2), (2,0), (2,-2), 依次连接各点, 发现了什么? 0 x y 横坐标相同点的连线，平行于y轴 纵坐标相同点的连线，平行于x轴 思考: 18 1. 在图中，点M的坐标书写正确的是(　　) A．(1，－2)　 B．(1，2)　 C．(－2，1)　 D．(2，1) C 随堂演练 2. 如图,规定列号写在前面,行号写在后面,如用数对的方法,棋盘中“帅”和“卒”的位置可分别表示为(e,4)和(g,3),则“炮”的位置可表示为　　　. (h,4) 3．在如图所示的平面直角坐标系中，有A，B，C，D，E，F六个点，试写出这六个点的坐标． A(3，1) B(－4，3) C(－2，－2) D(2，－3) E(4，0) F(0，2) 课堂小结 平面直角坐标系 定义 点的坐标 有序实数对(横坐标，纵坐标) 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 第11章 平面直角坐标系 11.1 第2课时 平面直角坐标系描述点和图形的位置 课堂小结 随堂演练 获取新知 知识回顾 例题精讲 说出下列各点的坐标： A（4，3）， B（-2，3）， C（-4，-1）， D（2，-2）. 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y · B · A · D · C 知识回顾 (4, 0) (－3, 0) (0,2 ) (0 ,－3) 思考：如图，在平面直角坐标系中，你能分别写出点A，B，C，D的坐标吗？ x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？ 原点的坐标是什么？ x轴上的点的纵坐标为0，一般记为（x，0）； y轴上的点的横坐标为0，一般记为（0，y）； 原点O的坐标是（0，0）. 获取新知 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，我们把这四个区域分别称为第一，二，三，四象限. 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限. 观察坐标系,填写各象限内的点的坐标的特征： 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + - - - + - A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C D E 交流:不看平面直角坐标系,你能迅速说出A(4,5) , B(-2,3), C(-4,-1), D(2.5,-2), E(0,-4)所在的象限吗？你的方法又是什么？ 1、点P（x，y）在第一象限 x＞0，y＞0 2、点P（x，y）在第二象限 3、点P（x，y）在第三象限 4、点P（x，y）在第四象限 坐标平面内的点的坐标有如下特征： x＜0，y＞0 x＜0，y＜0 x＞0，y＜0 归纳总结 例题精讲 例1 如图,请建立合适的平面直角坐标系，使点C,D的坐标分别为(3,2),(0,4), 写出在此平面直角坐标系中其余各点的坐标，指出它们分别在哪个象限或 在哪条坐标轴上？ 解：因为点C,D的坐标分别为(3,2),(0,4),所以可以选点A作为原点O.如图，画出平面直角坐标系. 则在此平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,0),既在x轴上又在y轴上； 点B的坐标为(2,0),在x轴上； 点E的坐标为(-2,3),在第二象限； 点F的坐标为(-4,0),在x轴上； 点G的坐标为(-3,-1),在第三象限； 点H的坐标为(0,-3),在y轴上； 点I的坐标为(3,-4),在第四象限. 例2 如图，正方形ABCD的边长为4，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点A，B，C，D在这个平面直角坐标系的坐标. A B C D （O） -2 2 4 6 x 6 4 2 -2 y 解：如图，以顶点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系. A（0,0），B（4,0）， C（4,4），D（0,4）. 思考 : 你能另建一个平面直角坐标系，并写出此时顶点A，B，C，D的坐标吗？ A B C D O -4 -2 2 4 x 4 2 -2 -4 y A（-2,-2），B（2,-2）， C（2,2）， D（-2,2）. 解：以正方形的中心为原点，对边中点连线所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系。 Administrator (A) - 鼓励学生多角度建立平面直角坐标系，从对比中找出最佳方法. （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； （2）根据具体问题确定单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 注意：建立的直角坐标系在符合题意的基础上，应尽量使较多的点落在坐标轴上． 追问：由上得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？ 3 1 2 -2 -1 -3 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 当点P落在一、三象限的两条坐标轴夹角平分线上时，点P（a，b）具有什么特征？ x y （a，a） · P · P a=b 拓展: 第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标相等。 33 3 1 2 -2 -1 -3 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 当点P落在二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上时，点P（a，b）具有什么特征？ x y · P · P （a，-a） 拓展: a+b=0 第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。 34 已知点A（a,-2）,B(-3,b)，若A、B两点在二、四象限的角平分线上，则a= ，b= . 变式训练 2 3 随堂演练 1．在平面直角坐标系中，点A(2，－3)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 2. 如图,在平面直角坐标系中,坐标是(0,-3)的点是(　　) A.点A 　　　 B.点B C.点C 　　　 D.点D D 3.已在平面直角坐标系中，点P(3，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________． m＞2 4．在平面直角坐标系中，已知点M(－5，2＋a)在x轴上，点N(3－b，7)在y轴上，则a＝______，b＝______． -2 3 5. 一个四边形的形状和尺寸如图4-10所示.请建立适当的直角坐标系，在坐标系中作出这个四边形，并标出各顶点的坐标． 解：建立直角坐标系如图,选择比例为1:10.取点E为直角坐标系的原点，使四边形的边AB在x轴上，则可得A,B,C,D各点的坐标分别为(-1,0),(2,0),(2.5,1.5),(0,3.5). 根据上述坐标在直角坐标系中作点A,B,C,D,并用线段依次连结各点，如图中的四边形就是所求作的图形. 课堂小结 平面直角坐标系描述点和图形的位置 x轴上的纵坐标为0 坐标轴上点的特征 建立合适的坐标系描述图形上点的坐标 各象限的符号特征 第一象限（+，+） 第三象限（-，-） y轴上的横坐标为0 第二象限（-，+） 第四象限（+，-） 原点的坐标为（0，0） 第11章 平面直角坐标系 11.1 第3课时 方位角和距离描述点的位置 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 情景导入 知识回顾 知识回顾 复习： 1.在平面直角坐标系中，确定一个点的位置需要几个数据？ 2个. 2.坐标平面内的点与有序实数对有什么关系？ 坐标平面内的点与有序实数对是一 一对应的. 情景导入 如图,A处有一艘遇险船，距离遇险船50 n mile的B处有一艘救生船.遇险船向海事部门发出求救信号后，海事部门向救生船发出救援指示：南偏西60°方向50 n mile处有遇险船，请前往救援. 全品初中 方位角： 南偏西60°方向50n mile是一种表示地理位置的方法，其中“南偏西60°表示一个物体相对于另一个物体的方向的角，叫作方位角. 距离： “50n mile”表示两个物体之间的距离. 如图，以点O为参照点， OA的方向为 南偏西30° OB的方向为 北偏东70° 获取新知 Administrator (A) - 在讲方位角时，要跟学生说明南北在前，东西在后，比如说南偏西，不说西偏南. 1.说说上面确定两物体之间相对位置的方法包含了哪些要素？ 思考 方位角和距离 2.用上面的方法描述救生船相对于遇险船的位置？ 北偏东60°方向50n mile处 例1 图是小明家和学校所在地的平面位置示意图，其中点O表示小明家，点A,B,C,P分别表示学校、商场、公园和停车场.已知OA=2 km,OB=3.5 km,OP=4km,C为OP的中点.回答下列问题： (1)学校、商场、公园、停车场中哪些到小明家的距离相同? (2)由图可知，公园在小明家南偏东60°方向2km处，请描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置.. 解：(1)因为C为OP的中点，所以OC=OP=2 km.所以OA=OC.又因为OB,OA,OP各不相等，所以学校和公园到小明家的距离相同. (2)由图可知，学校在小明家东北方向2 km处， 商场在小明家北偏西30°方向3.5 km处，停车场在 小明家南偏东60°方向4 km处. 例题讲解 归纳 采用“方位角和距离”来表示物体位置的方法,要明确参照点,选择不同的参照点表示同一物体的位置,结果是不同的. 确定平面上物体的位置的要素 方位角 距 离 参照点 (1) 北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置,还需要什么数据 ? 有敌方舰艇B和小岛 40˚ O 1cm 1cm 还需要敌方舰艇B与我方 潜艇O的距离. 只有方位角不能确定物体的位置 变式训练 如图，是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图 （图中1cm表示20 海里），对我方潜艇O来说： (2) 距离我方潜艇20 海里的敌舰有哪几艘? 有敌舰A和敌舰C. 40˚ O 1cm 1cm 只有距离不能确定物体的位置 (3) 怎样区分敌舰A和C? 敌舰A在我方潜艇的正南方向20海里. 敌舰C在我方潜艇的正东方向20海里. 1.海事救灾船前去救援某海域失火轮船，需要确定（　 ） A.方位角　　　　　　B.距离 C.失火轮船的国籍　　 D.方位角和距离 D 随堂演练 2.如图所示，在某个时刻，一艘货轮在导航灯北偏东60°的方向上，且距离导航灯10km. (1)如何用方位角和距离描述导航灯相对于货轮的位置？ (2)在同一时刻，一艘货轮在导航灯北偏西30°的方向上，且距离导航灯5km处.请你在图中标出这艘货轮的位置. 解：(1)南偏西60°方向上,且距离货轮10 km. (2)客轮位置如图所示. 课堂小结 方位角和距离描述点的位置 距离 方位角 北偏东××度 南偏东××度 北偏西××度 南偏西××度 $