5.2.1 基本初等函数的导数（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦基本初等函数的导数这一核心知识点，前承导数定义，通过问题引导学生用定义推导常见函数导数并总结规律，后接导数的几何意义（切线问题）与实际应用，以公式梳理、例题解析构建学习支架。 以高铁瞬时速度情境导入培养数学眼光，自主推导公式发展数学思维，切线问题与房价、电流等实例强化数学语言表达。课中分层例题助力教学，课后练习与小结便于学生回顾查漏，提升应用能力。

5.2.1　基本初等函数的导数 课标要求 情境导入 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数（数学运算）. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数（数学运算）. 　　高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sin x，y＝ln x很难运用定义求导数.是否有更简便的求导数的方法呢？ 　　 知识点一｜基本初等函数的求导公式 问题　（1）导（函）数的定义式是什么？ 提示：f'（x）＝. （2）利用导数的定义分别求解f（x）＝c，x，x2，x3，，的导数，你发现了什么规律吗？ 提示：利用f'（x）＝分别代入： ①f（x）＝c⇒f'（x）＝＝0； ②f（x）＝x⇒f'（x）＝＝1； ③f（x）＝x2⇒f'（x）＝＝（2x＋Δx）＝2x； ④f（x）＝x3⇒f'（x）＝＝ [3x2＋3x·Δx＋（Δx）2]＝3x2； ⑤f（x）＝⇒f'（x）＝＝＝－； ⑥f（x）＝⇒f'（x）＝＝＝. 规律：幂函数y＝xα的导数为y'＝αxα－1. 【知识梳理】 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝　0　 f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝　αxα－1　 f（x）＝sin x f'（x）＝　cos x　 f（x）＝cos x f'（x）＝　－sin x　 f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　axln a　 f（x）＝ex f'（x）＝　ex　 f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　 f（x）＝ln x f'（x）＝　　 　　提醒：对于根式f（x）＝，要先转化为f（x）＝，所以f'（x）＝. 【例1】　（链接教材P75例1）求下列函数的导数： （1）y＝sin；（2）y＝x0（x≠0）；（3）y＝； （4）y＝；（5）y＝log3x；（6）y＝2cos2－1. 解：（1）y'＝0. （2）y＝x0＝1，即y'＝0. （3）y'＝ln ＝－ln 3. （4）y'＝'＝－＝－. （5）y'＝（log3x）'＝. （6）∵y＝2cos2－1＝cos x， ∴y'＝（cos x）'＝－sin x. 【规律方法】 求简单函数的导数的方法 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导； （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. 　　提醒：注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数的区别. 训练1　（1）〔多选〕下列结论正确的为（　CD　） A.y＝ln 2，则y'＝ B.y＝（）x，则y'＝－ln 2 C.y＝，则y'｜x＝3＝－ D.y＝log2x，则y'＝ 解析：由导数的运算公式可知，对于A，由y＝ln 2，则y'＝0，所以A错误；对于B，由y＝（）x，则y'＝－（）xln 2，所以B错误；其他选项均正确. （2）已知函数f（x）＝若f'（a）＝12，则实数a＝或－2. 解析：f'（x）＝若f'（a）＝12，则或解得a＝或a＝－2. 知识点二｜利用导数研究曲线的切线问题 【例2】　求曲线y＝ln x在点P（e，1）处的切线方程. 解：∵y'＝，∴切线的斜率k＝y'｜x＝e＝， ∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0. 变式　（1）已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝　　； 解析：设切点坐标为（x0，y0），由题意得y'＝＝k，又y0＝kx0，且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝. （2）求曲线y＝ln x过点O（0，0）的切线方程. 解：∵O（0，0）不在曲线y＝ln x上， ∴设切点为Q（x0，y0），则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝， ∴＝，即x0＝e，∴Q（e，1），∴k＝， ∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0. 【规律方法】 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 训练2　（1）若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，则切点P的坐标为　（0，1）　，b＝　1　； 解析：设P（x0，y0），由题意可知y'＝.所以＝1，即x0＝0，所以点P（0，1）.由点P（0，1）在直线y＝x＋b上可知b＝1. （2）设P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为　　. 解析：如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.设直线l与曲线y＝ex相切于点P（x0，y0）.因为y'＝ex，所以＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P（0，1）.所以点P到直线y＝x的最小距离为＝. 知识点三｜导数公式的实际应用 【例3】　（链接教材P75例2）某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p（单位：万元）与时间t（单位：年）有如下函数关系：p（t）＝p0（1＋10%）t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少（精确到0.01万元/年）？（参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095） 解：由题意得p'（t）＝1.1tln 1.1，所以p'（5）＝1.15ln 1.1＝1.611×0.095≈0.15（万元/年），所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年. 【规律方法】 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数. 训练3　从时刻t＝0开始的t（单位：秒）内，通过某导体的电量（单位：库仑）可以由公式q＝cos t表示，求第5秒和第7秒时的电流强度（单位：安）. 解：由q＝cos t得，q'＝－sin t，所以q'（5）＝－sin 5，q'（7）＝－sin 7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安. 1.若f（x）＝sin x，则f'＝（　　） A.－　　B.－　　C.　　D. 解析：D　f'（x）＝cos x，f'＝cos＝. 2.在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本.设生产x个单位产品的总成本函数是C（x）＝，则生产4个单位产品时，边际成本是（　　） A.3 B.4 C.8 D.16 解析：A　C'（x）＝，C'（4）＝＝3.故选A. 3.〔多选〕下列结论正确的是（　　） A.若f（x）＝3，则f'（x）＝0 B.若f（x）＝，则f'（x）＝－ C.若f（x）＝ln x，则f'（e）＝ D.若f（x）＝x，则f'（x）＝1 解析：ACD　只有B是错误的.因为f'（x）＝（）'＝'＝－＝－. 4.曲线y＝在点M（3，3）处的切线方程是x＋y－6＝0. 解析：因为y'＝－，所以y'｜x＝3＝－1，所以在点（3，3）处的斜率为－1，切线方程为y－3＝－（x－3），即x＋y－6＝0. 课堂小结 1.理清单 （1）基本初等函数的求导公式； （2）利用导数研究曲线的切线问题； （3）导数公式的实际应用. 2.应体会 利用导数研究曲线的切线方程时，应用了待定系数法和方程思想. 3.避易错 求导前未先化简或变形成基本初等函数. 1.下列求导运算正确的是（　　） A.（cos）'＝sin B.（）'＝－ C.（lg x）'＝ D.（）'＝ 解析：C　（cos）'＝0，故A不正确；（）'＝（x－3）'＝－3x－4，故B不正确；（lg x）'＝，故C正确；（）'＝（）'＝，故D不正确.故选C. 2.函数y＝x4在点（1，1）处的切线方程为（　　） A.y＝4x－3 B.y＝4x＋3 C.y＝－4x－3 D.y＝－4x＋3 解析：A　因为y'＝4x3，当x＝1时，y'＝4，故切线的斜率为4，切线方程为y＝4x－3. 3.若f（x）＝，g（x）＝ln x，则使f'（1）＋g'（x）＝1的x的值为（　　） A.　 　　B.　　 　C.　 　　D.2 解析：C　∵f'（x）＝'＝（）'＝－，∴f'（1）＝－，又g'（x）＝，由f'（1）＋g'（x）＝1，得－＋＝1，∴x＝. 4.函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 解析：B　∵f'（x）＝3x2，设切点为（x0，y0），则3＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线.∴有2条斜率等于1的切线. 5.曲线y＝在点处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 解析：C　由题意可得y'＝，即y'｜x＝1＝，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为，与x＝2的交点坐标为，所以围成三角形的面积为××＝.故选C. 6.〔多选〕若曲线f（x）＝－上某点处的切线的倾斜角为，则该点的坐标为（　　） A.（1，1） B.（－1，－1） C.（－1，1） D.（1，－1） 解析：CD　切线的斜率k＝tan ＝1，f'（x）＝，设切点为（x0，y0），则f'（x0）＝1，所以＝1，所以x0＝1或x0＝－1，所以切点坐标为（1，－1）或（－1，1）. 7.〔多选〕直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线的有（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝x4 C.f（x）＝sin x D.f（x）＝ex 解析：BCD　函数f（x）＝，可得f'（x）＝－＝不成立，所以A不正确；f（x）＝x4，f'（x）＝4x3＝可以成立，所以B正确；f（x）＝sin x，f'（x）＝cos x＝可以成立，所以C正确；f（x）＝ex，f'（x）＝ex＝可以成立，所以D正确.故选B、C、D. 8.一物体沿一光滑斜面下滑，测得物体下滑速度满足v（t）＝log2t，则该物体下滑的加速度a＝　　. 解析：a＝v'（t）＝（log2t）'＝. 9.设b为实数，若直线y＝－x＋b为函数y＝图象的切线，则b＝2或－2. 解析：设切点坐标为（x0，y0），函数y＝的导函数为y'＝－，由直线y＝－x＋b得到斜率为－1，所以－＝－1，解得x0＝±1，把x0＝－1代入y＝中解得y0＝－1，把x0＝1代入y＝中解得y0＝1，所以切点坐标是（－1，－1）或（1，1）.当切点坐标是（－1，－1）时，代入直线方程y＝－x＋b，得b＝－2；当切点坐标是（1，1）时，代入直线方程y＝－x＋b，得b＝2.综上所述，b＝2或－2. 10.求下列函数的导数： （1）y＝；（2）y＝； （3）y＝－2sin（1－2cos2）. 解：（1）y'＝（）'＝（）'＝＝＝. （2）y'＝（）'＝（x－4）'＝－4x－4－1＝－4x－5＝－. （3）∵y＝－2sin（1－2cos2）＝2sin（2cos2－1）＝2sincos＝sin x，∴y'＝（sin x）'＝cos x. 11.设f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，fn＋1（x）＝f'n（x），n∈N，则f2 026（x）＝（　　） A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 解析：B　f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x）＝（sin x）'＝cos x，f2（x）＝f'1（x）＝（cos x）'＝－sin x，f3（x）＝f'2（x）＝（－sin x）'＝－cos x，f4（x）＝f'3（x）＝（－cos x）'＝sin x，所以4为最小正周期，故f2 026（x）＝f2（x）＝－sin x. 12.已知函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝　21　. 解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线方程为y－＝2ak（x－ak）.又该切线与x轴的交点为（ak＋1，0），∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项a1＝16，公比q＝的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 13.已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），则当△ABC的面积最大时，m的值为　　. 解析：如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线AC与曲线相切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大.∵y'｜x＝m＝，点A坐标为（1，1），点C坐标为（4，2），∴kAC＝＝，∴＝，∴m＝. 14.已知点P在曲线f（x）＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线. （1）求a的值； （2）求过点P且与直线l垂直的直线方程. 解：（1）因为点P在曲线f（x）＝cos x上， 所以a＝cos ＝. （2）因为f'（x）＝－sin x， 所以kl＝f'＝－sin ＝－. 又因为所求直线与直线l垂直， 所以所求直线的斜率为－＝， 所以所求直线方程为y－＝， 即y＝x－＋. 15.已知两条曲线y＝f（x）＝sin x，y＝g（x）＝cos x，这两条曲线是否存在一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解：假设存在这样的公共点，并设这两条曲线的一个公共点为P（x0，y0）， ∴两条曲线在点P（x0，y0）处的切线斜率分别为 k1＝f'（x0）＝cos x0，k2＝g'（x0）＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，则有cos x0·（－sin x0）＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直. 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $