5.1.2 第1课时 导数的概念（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦导数的概念这一核心知识点，以平均变化率为学习支架，通过瞬时变化率的实际需求引入，从平均变化率的定义及几何意义（割线斜率）过渡到其极限（切线斜率），系统构建导数概念，衔接前后知识逻辑。 该资料特色鲜明，情境导入结合摩托车速度、铁水温度等实例，培养数学抽象素养。通过问题链引导学生理解平均变化率到导数的极限思想，发展逻辑推理能力。例题与训练题融入利润、位移等实际问题，强化数学建模，课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第一课时　导数的概念 课标要求 情境导入 1.了解导数概念的实际背景 （数学抽象）. 2.理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与意义（数学抽象）. 3.进一步体会极限思想（数学抽象）. 　　在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如： （1）摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛； （2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准； （3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本. 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个函数量的瞬时变化率，它在数学上称为什么？ 　　 知识点一｜函数的平均变化率 问题1　对比上节课中平均速度的概念，一般情况下，函数y＝f（x）的平均变化率如何理解？ 提示：如图所示，函数f（x）在区间上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），事实上kAB＝＝.另外，从图形上看，它代表割线AB的斜率. 【知识梳理】 　对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.我们把比值，即＝　　叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率. 　　提醒：平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f（x）图象上的两点（x0，f（x0））与（x0＋Δx，f（x0＋Δx））所在直线的斜率. 【例1】　已知函数y＝h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10. （1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01； （2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解：（1）∵Δy＝h（1＋Δx）－h（1）＝－4.9（Δx）2－3.3Δx， ∴＝－4.9Δx－3.3. ①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1. ②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2. ③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79. ④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349. （2）当Δx越来越小时，函数h（x）在区间上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 【规律方法】 求函数平均变化率的三个步骤 （1）求自变量的变化量Δx＝x2－x1； （2）求函数值的变化量Δy＝f（x2）－f（x1）； （3）求平均变化率＝. 训练1　〔多选〕已知函数f（x）的图象如图，则函数f（x）在区间上的平均变化率的情况是（　　） A.在区间上的平均变化率最小 B.在区间上的平均变化率大于0 C.在区间上的平均变化率比上的大 D.在区间上的平均变化率最大 解析：BC　函数f（x）在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，＜0，即函数f（x）在区间上的平均变化率小于0，即选项D错误；在区间，，上时，＞0且Δx相同，由图象可知函数在区间上的最大，故选项A错误，B、C正确. 知识点二｜导数的概念 问题2　（1）平均速度和瞬时速度有什么关系？ 提示：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值. （2）类比平均速度与瞬时速度的关系，你认为瞬时变化率的定义是什么？ 提示：瞬时变化率为 ＝ . 【知识梳理】 1.定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有　极限　，则称y＝f（x）在x＝x0处　可导　，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率）. 2.写法：记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝. 　　提醒：对导数概念的再理解：①函数应在x＝x0的附近有定义，否则导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f（x）在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值. 【例2】　（1）已知f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）＝k，则＝　　； 解析： ＝＝f'（x0）＝. （2）求函数y＝x－在x＝1处的导数. 解：因为Δy＝（1＋Δx）－－（1－）＝Δx＋，所以＝＝1＋， 所以＝（1＋）＝2， 所以y'＝2，即函数y＝x－在x＝1处的导数为2. 变式　若本例（1）条件不变，则＝　2k　. 解析：∵＝f'（x0）＝k，∴ ＝2＝2k. 【规律方法】 求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求函数值的变化量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）； （2）求平均变化率＝； （3）取极限，得导数f'（x0）＝. 训练2　（1）设f（x）是可导函数，且＝2，则f'（x0）＝（　A　） A.2 B.－1 C.1 D.－2 解析： f'（x0）＝ ＝＝2. （2）函数y＝在x＝1处的导数为　　. 解析：∵Δy＝－1，＝＝，＝，∴y'＝. 知识点三｜导数在实际问题中的意义 【例3】　（链接教材P65例2、P66例3）某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：万元）与产量x（单位：千台）之间的关系式为c（x）＝－2x2＋7x＋6.求c'（1）与c'（2），并说明它们的实际意义. 解：根据导数的定义，＝＝＝－2Δx＋3， 所以c'（1）＝＝（－2Δx＋3）＝3， 同理可得c'（2）＝－1. c'（1）的实际意义：当产量在1千台附近时，多生产1千台旋切机可多获利3万元； c'（2）的实际意义：当产量在2千台附近时，多生产1千台旋切机少获利1万元. 【规律方法】 认识瞬时变化率的关键点 （1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限； （2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）反映了函数在x＝x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况. 训练3　一只昆虫爬行的位移s（单位：米）关于时间t（单位：分）的关系为s（t）＝求s'（1）与s'（4），并解释它们的实际意义. 解：当0≤t＜3时，s（t）＝3t2，＝＝＝6＋3Δt， ∴s'（1）＝＝（6＋3Δt）＝6. 当t≥3时，s（t）＝15＋3（t－1）2， ＝ ＝ ＝18＋3Δt， ∴s'（4）＝＝（18＋3Δt）＝18. s'（1）＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分， s'（4）＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分. 1.如图，函数y＝f（x）在上的平均变化率为（　　） A.1 B.－1 C.2 D.－2 解析：B　＝＝＝－1. 2.已知函数f（x）可导，且满足＝2，则函数y＝f（x）在x＝3处的导数为（　　） A.－1 B.－2 C.1 D.2 解析：B　由题意，知f'（3）＝＝－2，故选B. 3.（2025·三明月考）设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝（　　） A.3 B.－3 C.2 D.－2 解析：A　∵f'（1）＝ ＝＝a，又f'（1）＝3，∴a＝3. 4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，则烟花在t＝1 s时的瞬时速度为　4.9　m/s. 解析：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值. 因为＝＝4.9－4.9Δt，所以h'（1）＝＝（4.9－4.9Δt）＝4.9. 课堂小结 1.理清单 （1）函数的平均变化率； （2）导数的概念； （3）导数在实际问题中的意义. 2.应体会 利用导数的概念求导数值时，利用了极限思想. 3.避易错 用定义求导时，对Δy与Δx的对应关系理解不到位. 1.函数f（x）＝x2－1在区间（m＞1）上的平均变化率为3，则实数m＝（　　） A.3 B.2 C.1 D.4 解析：B　由已知得＝3，所以m＋1＝3，所以m＝2. 2.设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：C　f'（1）＝＝＝2. 3.若一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（　　） A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.直线 解析：D　因为这个函数的瞬时变化率处处为0，所以当这个函数的自变量x变化时，函数值y没有变化，即这个函数为常函数，所以这个函数的图象是x轴或平行于x轴的一条直线. 4.若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为f'（x0），则＝（　　） A.－f'（x0） B.3f'（x0） C.－3f'（x0） D.－4f'（x0） 解析：D　 ＝－4＝－4f'（x0）. 5.若可导函数f（x）的图象过原点，且满足＝－1，则f'（0）＝（　　） A.－2 B.2 C.－1 D.1 解析：C　∵f（x）的图象过原点，∴f（0）＝0，∴f'（0）＝＝＝－1，故选C. 6.〔多选〕已知函数y＝f（x），下列说法正确的是（　　） A.Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的变化量 B.＝叫做函数从x0到x0＋Δx的平均变化率 C.y＝f（x）在x＝x0处的导数记为y' D.y＝f（x）在x＝x0处的导数记为f'（x0） 解析：ABD　A中，Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的变化量，A正确；B中，＝叫做函数f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率，B正确；由导数的定义知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数记为f'（x0）或y'，故C错误，D正确.故选A、B、D. 7.〔多选〕已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A.f（x）在[a，b]上的平均变化率等于g（x）在[a，b]上的平均变化率 B.f（x）在[a，b]上的平均变化率小于g（x）在[a，b]上的平均变化率 C.对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率 D.存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率 解析：AD　对于A、B，∵f（x）在[a，b]上的平均变化率是，g（x）在[a，b]上的平均变化率是，由题图可知，f（b）＝g（b），f（a）＝g（a），∴＝，∴选项A正确，B错误；对于C、D，函数f（x）（g（x））在x＝x0处的瞬时变化率即为函数f（x）（g（x））在x＝x0处的导数，即函数f（x）（g（x））在该点处的切线的斜率，由题图知，选项C错误，D正确.故选A、D. 8.已知y＝f（x）＝，且f'（m）＝－，则m＝　±2　. 解析：因为＝＝＝，所以f'（m）＝＝－，所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2. 9.已知函数y＝f（x）＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f（x0）＝　9　. 解析：由题知－8＝＝＝4x0，得x0＝－2，所以f（x0）＝2×（－2）2＋1＝9. 10.（1）求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数； （2）求函数f（x）＝在x＝x0（x0＞－1）处的导数. 解：（1）Δy＝2（3＋Δx）2＋4（3＋Δx）－（2×32＋4×3）＝12Δx＋2（Δx）2＋4Δx＝2（Δx）2＋16Δx，∴＝＝2Δx＋16. ∴y'｜x＝3＝＝（2Δx＋16）＝16. （2）f（x）＝， 则f'（x0）＝ ＝ ＝ ＝＝. 11.〔多选〕对于函数f（x），若f'（x0）＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（　　） A. B. C. D. 解析：ABD　因为＝f'（x0）＝2，故A正确；因为＝f'（x0）＝2，故B正确；因为＝2f'（x0）＝4，故C错误；因为＝f'（x0）＝2，故D正确.故选A、B、D. 12.如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝　2　；＝　－2　.（用数字作答） 解析：由于f（0）＝4，f（4）＝2，所以f（f（0））＝2.易求得直线AB的方程为y＝－2x＋4，所以＝＝－2. 13.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f'（x），f'（0）＞0，且对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为　2　. 解析：由导数的定义，得f'（0）＝＝＝[a·（Δx）＋b]＝b＞0.又∴ac≥，∴c＞0.∴＝≥≥＝2，当且仅当a＝c＝时等号成立. 14.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度（单位：℃）为y＝f（x）＝80x2＋20，0≤x≤1，求f'（0.25），并说明它的实际意义. 解：因为y＝f（x）＝80x2＋20，0≤x≤1， 所以＝ ＝ ＝＝40＋80Δx. 所以f'（0.25）＝（40＋80Δx）＝40. 它表示在第0.25 h附近，沥青的温度大约以40 ℃/h的速率上升. 15.设f（x）在R上可导，求f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝－a处的导数之间的关系. 解：设f（－x）＝g（x），则f（－x）在x＝a处的导数为g'（a），于是g'（a）＝＝. 而f'（－a）＝， 令x＝－t，则当x→－a时，t→a， 所以f'（－a）＝＝－＝－g'（a）. 这说明f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝－a处的导数互为相反数. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $