5.1.1 变化率问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦变化率问题，通过汽车测速、跳水运动员重心高度等实例引入平均速度，分析其局限性后，借助Δs、Δt和极限思想过渡到瞬时速度，进而建立割线斜率与切线斜率的联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 以珠峰登山陡峭程度为情境导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过问题链引导学生从平均速度不足思考瞬时速度，渗透数学思维，结合例题变式和规律总结提升运算与抽象能力，课中助力教师引导学生深入，课后练习帮助学生巩固查漏。

5.1.1　变化率问题 课标要求 情境导入 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程（数学抽象）. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系（数学抽象、数学运算）. 3.体会极限思想（数学抽象）. 　　2020年珠穆朗玛峰（简称珠峰）新测高度8 848.86米，是世界第一高峰，是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰，每年都会向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度不同时，登山队员攀登的难度也是不一样的.你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？ 知识点一｜物体运动的平均速度 问题1　（1）某公路上存在一段长为2 km的测速路段，假定测速超过100 km/h即为超速，某汽车用时1.5分钟，它超速了吗？你觉得这种测速的本质是什么？ 提示：记测速为v，则v＝＝＝80 km/h，因此它没有超速.这种测速的本质是平均速度. （2）在一次跳水中，某运动员在运动过程中的重心，相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2＋2.8t＋11，你能求出该运动员在0≤t≤0.2，1≤t≤1.5，0≤t≤内的平均速度吗？由运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 提示：当0≤t≤0.2时，＝＝1.82（m/s）；当1≤t≤1.5时，＝＝－9.45（m/s）；当0≤t≤时，＝＝0（m/s）；虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 【知识梳理】 1.平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s（t），则物体在时间段上的平均速度＝　　. 2.物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的　快慢　. 　　提醒：把速度v看成关于时间t的函数v＝v（t），则物体在时间段上的平均加速度＝. 【例1】　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）＝sin t，t∈. （1）分别求s（t）在区间和上的平均速度； 解：物体在区间上的平均速度为＝＝＝. 物体在区间上的平均速度为＝＝＝. （2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解：由（1）可知－＝＞0，所以＜.作出函数s（t）＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s（t）＝sin t在上随着t的增大，函数值s（t）变化的越来越慢. 【规律方法】 求物体运动的平均速度的步骤 （1）先计算位移的改变量s（t2）－s（t1）； （2）再计算时间的改变量t2－t1； （3）得平均速度＝. 训练1　一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋bt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数b＝（　　） A.2 B.1 C.－1 D.6 解析：B　由已知，得＝26，所以（5×32＋3b）－（5×22＋2b）＝26，解得b＝1. 知识点二｜物体运动的瞬时速度 问题2　（1）如果我们用Δs＝s（t2）－s（t1），Δt＝t2－t1，分别代表位移、时间的增量，你能用Δs，Δt表示平均速度吗？区间内的平均速度呢？ 提示：＝＝； ＝. （2）区间表示时刻t0到时刻t0＋Δt内的时间，随着Δt的改变，区间变大或变小，如果Δt变成无限接近0的正数，那么我们该如何认识 ＝呢？ 提示：用极限思想可以理解为t0时刻的瞬时速度. 【知识梳理】 1.瞬时速度：物体在　某一时刻　的速度称为瞬时速度. 2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔｜Δt｜无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度. 3.设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s（t），则物体在t0时刻的瞬时速度为 v＝　　. 　　提醒：Δt可正，可负，但不能为0. 【例2】　（链接教材P61练习1题）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 解：∵＝＝ ＝3＋Δt， ∴＝（3＋Δt）＝3. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 变式　（1）若本例中的条件不变，试求物体的初速度； 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度， ∵＝ ＝＝1＋Δt， ∴（1＋Δt）＝1. 即物体的初速度为1 m/s. （2）若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s？ 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝ ＝（2t0＋1）＋Δt， ∴＝（2t0＋1＋Δt）＝2t0＋1. 则2t0＋1＝9， ∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 【规律方法】 求物体运动的瞬时速度的步骤 （1）求位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）； （2）求平均速度＝； （3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v，即为瞬时速度，即v＝. 训练2　一质点M按运动方程s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝　2　. 解析：质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.∵质点M在t＝2附近的平均速度为＝＝＝4a＋aΔt，∴＝4a＝8，即a＝2. 提能点｜求曲线在某点处的切线斜率（方程） 问题3　设P0（x0，f（x0）），P（x，f（x））是抛物线y＝f（x）上任意的两点，记Δx＝x－x0，则割线P0P的斜率k＝，如图所示.观察割线P0P有什么变化趋势？ 提示：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置. 【知识梳理】 1.切线的斜率：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f（x）在点P0（x0，f（x0））处的切线.则切线P0T的斜率k0＝. 2.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔｜Δx｜无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T.这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 　　提醒：（1）极限的几何意义：曲线y＝f（x）在x＝x0处的切线斜率；（2）对曲线在某点处的切线理解的三个注意点：①与该点的位置有关；②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.若割线有极限位置，则在此点有切线，且切线是唯一的；若割线不存在极限位置，则曲线在此点处无切线；③曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个交点. 【例3】　（链接教材P64练习2题）求抛物线f（x）＝x2－2x＋3在点（1，2）处的切线斜率. 解：由 ＝＝Δx， 可得切线的斜率为k＝Δx＝0. 变式　若本例条件不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程. 解：设切点坐标为（x0，－2x0＋3）， 由 ＝ ＝2x0－2＋Δx， 所以切线的斜率为k＝（2x0－2＋Δx）＝2x0－2，故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切点坐标为（2，3），所求切线方程为2x－y－1＝0. 【规律方法】 求曲线在点P0（x0，f（x0））处的切线方程的步骤 训练3　求函数y＝在x＝2处的切线方程. 解：因为Δy＝－＝－1 ＝－，所以＝－， 所以k＝＝＝＝－1. 又x＝2时，y＝＝1. 所以切线方程为y－1＝－1×（x－2）， 即x＋y－3＝0. 1.一物体运动的位移y与时间t满足函数y＝t，则该物体在上的平均速度是（　　） A.0 B.1 C.2 D.Δt 解析：B　＝＝1. 2.已知某质点运动的方程是s＝2＋，当t由1变到2时，其路程的增量Δs＝（　　） A. B.－ C.1 D.－1 解析：B　Δs＝－（2＋1）＝－. 3.一物体做直线运动，其运动方程为s（t）＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为（　　） A.－2 B.－1 C.0 D.2 解析：D　因为 ＝ ＝ （－2t＋2－Δt）＝－2t＋2，所以当t＝0时，其速度为2. 4.抛物线f（x）＝x2－x在点（2，2）处的切线的斜率为　3　. 解析：f（2＋Δx）－f（2）＝（2＋Δx）2－（2＋Δx）－2＝3Δx＋（Δx）2，所以切线的斜率k＝＝＝ （3＋Δx）＝3. 课堂小结 1.理清单 （1）物体运动的平均速度； （2）物体运动的瞬时速度； （3）求曲线在某点处的切线斜率（方程）. 2.应体会 无限趋近法、定义法.研究曲线在某点处的切线的斜率问题时，要注意数形结合思想与极限思想的应用. 3.避易错 对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位. 1.已知抛物线y＝f（x）＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则＝（　　） A.－0.11 B.－1.1 C.3.89 D.0.29 解析：B　因为Δy＝f（2＋0.1）－f（2）＝（3×2.1－2.12）－（3×2－22）＝－0.11，所以＝＝－1.1.故选B. 2.若函数f（x）在x0处有定义，则的结果（　　） A.与x0，h均无关 B.仅与x0有关，而与h无关 C.仅与h有关，而与x0无关 D.与x0，h均有关 解析：B　根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与x0有关，而与h没有关系. 3.某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为s（t）＝t2＋t，则这个物体在时间段[1，2]内的平均速度为（　　） A.2 B. C.3 D. 解析：D　＝＝＝.故选D. 4.已知抛物线y＝2x2上一点A（2，8），则在点A处的切线斜率为（　　） A.4 B.16 C.8 D.2 解析：C　k＝＝8.故选C. 5.某物体的运动方程为s＝t2，该物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度为k1，在t0－Δt到t0之间的平均速度为k2，则k1与k2的大小关系为（　　） A.k1＞k2 B.k1＜k2 C.k1＝k2 D.不确定 解析：D　令s＝f（t）＝t2，则k1＝＝＝2t0＋Δt，k2＝＝＝2t0－Δt.因为Δt可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小关系不确定. 6.〔多选〕已知某物体的运动方程为s（t）＝7t2＋8（0≤t≤5），则下列说法正确的是（　　） A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70 解析：ABD　A项，该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，A正确；B项，＝＝56＋7Δt，当Δt趋近于0时，趋近于56，故B正确；C项，当t＝5时，s（t）有最大值s（t）max＝s（5）＝183，C错误；D项，＝＝7Δt＋70，当Δt趋近于0时，趋近于70，D正确. 7.〔多选〕已知物体做自由落体运动的位移函数为s（t）＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝，当Δt无限趋近于0时，v趋近于9.8 m/s，则9.8 m/s是（　　） A.物体从0 s到1 s这段时间的平均速度 B.物体从1 s到（1＋Δt）s这段时间的平均速度 C.物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D.函数s（t）＝gt2在t＝1处的切线斜率 解析：CD　由平均速度、瞬时速度及切线斜率的几何意义知C、D正确. 8.抛物线f（x）＝x2－4x在点（－1，5）处的切线方程为　6x＋y＋1＝0　. 解析：k＝＝－6，所以切线方程为y－5＝－6（x＋1），即6x＋y＋1＝0. 9.物体M的运动方程为s＝f（t）＝t2＋2t，物体N的运动方程为s＝g（t）＝2t－3，物体M在上的平均速度是物体N在上的平均速度的2倍，则实数a的值为　2　. 解析：由题意，得物体M在上的平均速度为＝＝a＋2，物体N在上的平均速度为＝＝2.由题意知a＋2＝2×2，所以a＝2. 10.在受到制动后的t s内飞轮转过的角度（单位：rad）由函数φ（t）＝4t－0.3t2给出. 求：（1）t＝2 s时，飞轮转过的角度； （2）飞轮停止旋转的时刻. 解：（1）t＝2 s时，飞轮转过的角度φ（2）＝8－1.2＝6.8（rad）. （2）飞轮停止旋转时的瞬时角速度为 ＝ ＝ ＝（4－0.3Δt－0.6t）＝4－0.6t， 飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0， 所以令4－0.6t＝0，得t＝，所以在t＝ s时飞轮停止旋转. 11.若抛物线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，则（　　） A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1 解析：A　由题意可知，抛物线在点（0，b）处的切线的斜率为k＝＝1，解得a＝1，又点（0，b）在切线上，∴b＝1. 12.〔多选〕如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（　　） A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 解析：BC　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以＞，故C正确，D错误. 13.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为　2　. 解析：体积的增加量ΔV＝m3－＝（m3－1），所以＝＝，所以m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3（舍去）. 14.已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10. （1）求它们的交点； （2）求抛物线在交点处的切线方程. 解：（1）由解得或 ∴抛物线与直线的交点坐标为（－2，8），（3，13）. （2）若交点坐标为（－2，8）， 则k＝＝ ＝（－4＋Δx）＝－4. ∴抛物线在点（－2，8）处的切线方程为y－8＝－4（x＋2），即4x＋y＝0. 若交点坐标为（3，13）， 则k＝＝ ＝＝（6＋Δx）＝6. ∴抛物线在点（3，13）处的切线方程为y－13＝6（x－3），即6x－y－5＝0. 15.若一物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）s＝f（t）＝ 求：（1）物体在t∈[3，5]内的平均速度； （2）物体的初速度v0； （3）物体在t＝1时的瞬时速度. 解：（1）因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3，5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－（3×32＋2）＝3×（52－32）＝48， 所以物体在t∈[3，5]内的平均速度为＝＝24（m/s）. （2）求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度. 因为＝ ＝ ＝3Δt－18， 所以物体的初速度v0＝＝（3Δt－18）＝－18（m/s）. （3）因为 ＝ ＝3Δt－12， 所以物体在t＝1时的瞬时速度为（3Δt－12）＝－12（m/s）. 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $