4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学等比数列前n项和公式，系统梳理公式推导（错位相减法等三种方法）、基本运算（知三求二）及函数特征应用，承接等比数列定义与通项公式，构建“定义-通项-求和”完整知识链，为后续综合应用提供学习支架。 以信息传播情境导入培养数学眼光，多法推导公式发展逻辑推理（数学思维），结合函数特征判断等比数列提升模型意识（数学语言）。例题分层且含规律方法总结，课中助教师高效授课，课后可帮学生梳理知识、查漏补缺，强化数学运算与应用能力。

第一课时　等比数列的前n项和公式 课标要求 情境导入 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路（逻辑推理、数学运算）. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题（数学运算）. 　　如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播），……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列：1，3，9，27，81，…. 　　如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么你能求出知晓这个信息的人数吗？这就是这节课我们要学习的内容. 　　 知识点一｜等比数列前n项和公式 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示：法一 因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即（1－q）Sn＝a1（1－qn），当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1. 法二 当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q⇒（1－q）Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝. 法三 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q（a1＋a2＋…＋an－1）， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q（Sn－an）⇒（1－q）Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝＝. 【知识梳理】 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 　　提醒：求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和. 【例1】 求下列等比数列前8项的和： （1），，，…；（2）a1＝27，a9＝，q＜0. 解：（1）因为a1＝，a2＝，可得q＝， 所以S8＝＝. （2）由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8. 又由q＜0，可得q＝－， 所以S8＝＝＝＝. 【规律方法】 求等比数列的前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，注意公比q＝1是否成立. 训练1　（1）在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则S3＝　26　； 解析： S3＝＝26. （2）数列{（－1）n}的前100项的和S100＝　0　. 解析：法一 a1＝（－1）1＝－1，q＝－1.∴S100＝＝0. 法二 数列{（－1）n}为－1，1，－1，1，…，∴S100＝50×（－1＋1）＝0. 知识点二｜利用等比数列前n项和公式求基本量 【例2】 （链接教材P35例7）在等比数列{an}中. （1）若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； 解：由题意知解得从而S5＝＝. （2）若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q； 解：由Sn＝得11＝，解得q＝－2，又由an＝a1qn－1得，16＝（－2）n－1，解得n＝5. （3）若a2＝1，a4＝，且an＞0，求S10－S5. 解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0）， 由a4＝a2q2，得q2＝，解得q＝或q＝－（舍去），则a1＝＝2，所以S10－S5＝－＝. 【规律方法】 与等比数列前n项和公式有关的基本量的求解 （1）在等比数列前n项和公式中，共可涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； （2）在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 训练2　（1）在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为　5　； 解析：设此数列的公比为q（易知q≠1），则解得故此数列共有5项. （2）在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an. 解：设等比数列{an}的公比为q. 由已知条件知S6≠2S3，则q≠1. 由S3＝，S6＝，得 ②÷①，得1＋q3＝9，∴q＝2. 将q＝2代入①，解得a1＝. 因此an＝a1qn－1＝2n－2. 知识点三｜利用等比数列前n项和公式判断等比数列 问题2　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝（q≠1）的函数特征吗？ 提示：Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A. 【知识梳理】 等比数列前n项和公式的函数特征 （1）当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A（qn－1），即Sn是n的指数型函数； （2）当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝　na1　，Sn是n的正比例函数. 　　提醒：（1）Sn＝Aqn－A（q≠1）时，{an}是首项为（Aq－A），公比为q的等比数列；（2）当q≠1时，qn的系数与常数项互为相反数. 【例3】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－2）－（3n－1－2）＝2·3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不适合上式.所以an＝ 法一 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 法二 由等比数列的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比数列. 【规律方法】 1.已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，需验证当n＝1时是否满足此式. 2.若数列{an}的前n项和Sn＝A（qn－1），其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 训练3　（1）若数列{an}的前n项和Sn＝tn－1（t∈R），则此数列是（　D　） A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上说法均不对 解析：当n＝1时，a1＝S1＝t－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝tn－tn－1＝tn－1（t－1），当t＝1时，an＝0，所以{an}是等差数列；当t＝0时，{an}为非等差数列，非等比数列；当t≠1，且t≠0时，an＝tn－1（t－1），所以{an}是等比数列. （2）等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n－1＋t（其中m，t为常数且mt≠0），则＝　－4　. 解析：法一 a1＝S1＝m＋t，a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，因为{an}为等比数列，则＝a1a3，所以9m2＝12m（m＋t），即m＝－4t，故＝－4. 法二 Sn＝m·4n－1＋t＝m·4n＋t，因为{an}是等比数列，故m＝－t，则＝－4. 1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝. 2.已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝（　　） A.9 B.8 C.7 D.6 解析：D　由等比数列前n项和公式，知＝2n＋1－2＝126，n＝6，故选D. 3.若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝　　. 解析：∵Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝. 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，其公比q为实数，若S3＋S6＝2S9，则q＝　－　. 解析：由S3＋S6＝2S9得（a1＋a2＋a3）＋（a1＋a2＋a3＋…＋a6）＝2（a1＋a2＋a3＋…＋a9），即（a4＋a5＋a6）＋2（a7＋a8＋a9）＝0，所以a1q3（1＋q＋q2）＋2a1q6（1＋q＋q2）＝0，即a1q3（1＋2q3）（1＋q＋q2）＝0.又因为a1≠0，q为非零的实数，所以1＋2q3＝0，求得q＝－. 课堂小结 1.理清单 （1）等比数列的前n项和公式； （2）等比数列前n项和公式的基本运算； （3）等比数列前n项和公式的结构特点. 2.应体会 （1）等比数列前n项和公式的推导应用了错位相减法； （2）利用等比数列的前n项和公式判断数列{an}是等比数列时，利用了分类讨论思想. 3.避易错 （1）等比数列前n项和公式中项数的判断易出错； （2）应用等比数列前n项和公式时，易忘记对公比是否为1进行讨论. 1.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝（　　） A.2－ B.2－ C.2－ D.2－ 解析：B　易知公比q＝，则S10＝＝2－. 2.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q＝（　　） A.－ B.1 C.－或1 D.或1 解析：C　当q≠1时，∵S3＝15，a3＝5，∴解得q＝－.当q＝1时，{an}为各项均为5的常数列，符合题意. 3.在递增等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2an－1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n＝（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：B　因为{an}是递增等比数列，所以a1an＝a2an－1＝64.由可得可得Sn＝＝＝62，解得q＝2.由an＝2×2n－1＝2n＝32，可得n＝5. 4.在等比数列{an}中，若Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则＋＋…＋＝（　　） A.（2n－1）2 B.（2n－1） C.4n－1 D.（4n－1） 解析：D　在数列{an}中有Sn＝2n－1，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－1（n≥2），a1＝1，＝22（n－1）（n≥2），＝1，＝＝22＝4（n≥2），∴＋＋…＋＝＝（4n－1）. 5.数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：C　∵an＋1＝2an，∴＝2，又a1＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an＝2×2n－1＝2n，ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1（210－1）＝25（210－1），∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4. 6.〔多选〕已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1≠a2，a3a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3），则下列结论正确的是（　　） A.q＝ B.a7＝2 C.a8＝8 D.S6＝126 解析：AD　因为等比数列{an}中，a1≠a2，所以q≠1，因为a3·a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3）＝2q（a3－a2），所以q5＝2a1，且2q＝1，即q＝，A正确；所以a1＝64，a7＝64×（）6＝1，B错误；a8＝a1q7＝64×（）7＝，C错误；S6＝＝126，D正确.故选A、D. 7.〔多选〕设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值确定的是（　　） A. B. C. D. 解析：ABC　由8a2＋a5＝0得8a2＋a2q3＝0，∵a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2.A中，＝q2＝4；B中，＝＝＝；C中，＝＝＝；D中，＝与n有关，不确定.故选A、B、C. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝an＋1－1，则Sn＝　　. 解析：当n＝1时，则有2S1＝a2－1，所以a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得2Sn－1＝an－1，上述两式相减得2an＝an＋1－an，所以an＋1＝3an，得＝3且＝3，所以数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以Sn＝＝. 9.一个等比数列的前n项和Sn＝（1－2λ）＋λ·2n，则λ＝　1　. 解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，a1＝S1＝（1－2λ）＋2λ＝1，则Sn＝n，显然与题设不符，∴q≠1，即等比数列不是常数列，∴Sn＝－＝（1－2λ）＋λ·2n，则可得λ＝1. 10.在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m. 解：（1）设等比数列{an}的公比为q， 由题意得an＝qn－1，q4＝4q2， 解得q＝0（舍去），q＝－2或q＝2. 故an＝（－2）n－1或an＝2n－1. （2）若an＝（－2）n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得＝63， 即（－2）m＝－188，此方程没有正整数解. 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6. 11.（2025·广州月考）已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为（　　） A.或5 B.或5 C. D. 解析：C　设数列{an}的公比为q，由9S3＝S6，得q≠1，则＝，即1＋q3＝9，解得q＝2.所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，则数列{}的前5项和为T5＝＝，故选C. 12.〔多选〕已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则（　　） A.Sn＋1－Sn＝2n＋1 B.an＝2n－1 C.Sn＝2n－1 D.Sn＝2n－1－1 解析：BC　设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a2a3a4＝64，得＝43，则a3＝4，由a2＋a4＝10，得＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.又因为数列{an}是递增数列，所以q＝2，所以2a1＋8a1＝10，解得a1＝1.所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－（2n－1）＝2n.故选B、C. 13.等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是（－1，0）∪（0，＋∞）　. 解析：因为数列{an}为等比数列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝＞0，即＞0，所以或所以－1＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范围为（－1，0）∪（0，＋∞）. 14.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）依题意，得2Sn＝an＋1－a1. 当n≥2时，有两式相减， 得an＋1＝3an（n≥2）. 当n＝1时，a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列. 因此an＝a1·3n－1（n∈N*）. （2）存在.因为Sn＝＝a1·3n－a1，所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n. 要使{bn}为等比数列，则1＋a1＝0， 即a1＝－2.此时bn＝3n，符合题意. 15.将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则排成如下数表. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 … 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有（n＋1）bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q（q＞0）的等比数列； ③a66＝. 请解答以下问题： （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）. 解：（1）由（n＋1）bn＋1－nbn＝0，得数列{nbn}为常数列，故nbn＝1·b1＝1，∴bn＝. （2）∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项，a66在表中第十行第三列. 故a66＝b10·q2， 又a66＝，而b10＝，q＞0，∴q＝2.故S（k）＝＝（2k＋2－1）. 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $