4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学等差数列前n项和的性质及应用，系统梳理依次k项和的等差关系、Sn/n成等差数列、奇偶项和关系等核心性质，衔接通项公式性质，通过问题链引导探究，构建知识支架。 以问题驱动探究性质，如通过具体问题推导依次k项和关系培养逻辑推理，例题多解法（如例1三种方法）提升数学运算能力，实际应用案例（如销售问题）强化数学建模。课中助力教师系统教学，课后训练题与小结帮助学生巩固，查漏补缺。

第二课时　等差数列前n项和的性质及应用 课标要求 情境导入 1.理解并应用等差数列前n项和的性质（逻辑推理、数学运算）. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题（数学建模、数学运算）. 　　前面我们学习了等差数列通项公式an的有关性质，那么等差数列前n项和Sn有哪些性质呢？这就是这节课我们要学习的内容. 　　 知识点一｜等差数列前n项和的性质 问题1　（1）若等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…有什么关系？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋＝Sn＋（a1＋nd）＋（a2＋nd）＋…＋（an＋nd）＝2Sn＋n2d，同样我们发现＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. （2）若等差数列{an}的前n项和为Sn，则{}是等差数列吗？ 提示：由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得＝a1＋（n－1），所以数列{}是以a1为首项，以为公差的等差数列. （3）在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么数列{an}的所有偶数项的和S偶与所有奇数项的和S奇之间有什么关系？ 提示：因为S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n， 所以S偶－S奇＝（a2－a1）＋（a4－a3）＋（a6－a5）＋…＋（－a2n－1）＝nd. 又由等差数列的性质知a1＋a2n－1＝2an， a2＋a2n＝2an＋1，且S奇＝， S偶＝，所以＝. 【知识梳理】 等差数列前n项和的常见性质 （1）等差数列的依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列； （2）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{}也是等差数列，且公差为　　； （3）在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－（m＋n）； （4）若等差数列的项数为2n，则S2n＝n（an＋an＋1），S偶－S奇＝　nd　，＝（S偶≠0）； （5）若等差数列的项数为2n－1（n≥2，n∈N*），则S2n－1＝（2n－1）an（an是数列的中间项），S奇－S偶＝an，＝（S偶≠0）. 【例1】　（1）（链接教材P23练习5题）在项数为2n＋1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝（　B　） A.9 B.10 C.11 D.12 解析：根据等差数列前n项和的性质可得＝＝，解得n＝10. （2）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 解：法一　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列， 设公差为d， ∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22， ∴前11项和S110＝11×100＋×（－22）＝－110. 法二　由{}也是等差数列，构造新的等差数列，＝10，＝， 则d＝＝－， ∴＝＋10d＝＋（－）＝－1， ∴S110＝－110. 法三　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－（m＋n），可得S110＝－110. 【规律方法】 　利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列的问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法； （2）等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果； （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 训练1　（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－10，－＝1，则S10＝　－10　； 解析：在等差数列中，因为a1＝－10，－＝1，所以＝－10，所以{}是以－10为首项，1为公差的等差数列，所以＝－10＋9×1＝－1，S10＝－10. （2）已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是　－4　. 解析：设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－a1＝（2m－1）d＝－28①，∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md②，由①②得d＝－4. 知识点二｜等差数列前n项和的最值问题 问题2　已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？ 提示：由Sn＝n2－5n求得an＝2n－6，d＝2＞0，故{an}为递增数列. 法一　考虑a1＜a2＜0，a3＝0，0＜a4＜a5＜…，则前n项和Sn在n＝2或3时取最小值. 法二　Sn＝n2－5n＝（n－）2－，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，图象开始下降后又上升说明了{an}的前几项为负数.由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小. 【知识梳理】 1.在等差数列{an}中： （1）当a1＞0，d＜0时，Sn有　最大　值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定； （2）当a1＜0，d＞0时，Sn有　最小　值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. 2.因为Sn＝n2＋（a1－）n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有　最小　值；当d＜0时，Sn有　最大　值，且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 　　提醒：由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值. 【例2】　（链接教材P23例9）在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值. 解：法一　因为S8＝S18，a1＝25， 所以8×25＋d＝18×25＋d，解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×（－2）＝－n2＋26n＝－（n－13）2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 法二　同法一，求出公差d＝－2.所以an＝25＋（n－1）×（－2）＝－2n＋27. 因为a1＝25＞0， 由得 又因为n∈N*，所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 【规律方法】 　求等差数列前n项和Sn最值的方法 （1）寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找； （2）运用二次函数求最值，注意n∈N*. 训练2　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设等差数列的公差为d， 因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15， 所以解得所以an＝3n－12，n∈N*. （2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值. 解：因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12， 所以Sn＝＝（3n2－21n）＝（n－）2－， 所以当n＝3或4时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值S3＝S4＝－18. 知识点三｜等差数列前n项和的实际应用 【例3】　7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件. （1）问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？ 解：设7月n日售出的服装件数为an（n∈N*，1≤n≤31），最多售出ak件. 由题意知解得 ∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件. （2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？ 解：设Sn是数列{an}的前n项和， ∵an＝ ∴Sn＝ ∵S13＝273＞200，∴当1≤n≤13时，由Sn＞200，得12≤n≤13， 当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an＜20，得23≤n≤31， ∴该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）. 【规律方法】 　应用等差数列解决实际问题的一般思路 训练3　某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10. （1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； 解：由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}， 所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋（10－1）×40＝400. 从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390. （2）该地区9月份流感病毒的新感染者共有多少人？ 解：9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S10＝＝2 200， 9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}， 又b20＝390－10×19＝200， 所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为T20＝＝5 900， 所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100（人）. 1.已知等差数列{an}共有2n－1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＝（　　） A.30 B.29 C.28 D.27 解析：B　由S奇－S偶＝an，得an＝290－261＝29.故选B. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝（　　） A.8 B.12 C.16 D.20 解析：D　因为数列{an}是等差数列，且S4＝8，S8＝20，S8－S4＝12，所以数列S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，…是等差数列，且首项为8，公差为4.所以a13＋a14＋a15＋a16＝S16－S12＝8＋4×3＝20. 3.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8个兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（　　） A.两 B.两 C.两 D.两 解析：C　设10个兄弟由大到小依次分得an（n＝1，2，…，10）两银子，设数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，则由题意得即解得所以长兄分得两银子. 4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2 023，－＝6，则S2 025＝　2 025　. 解析：由等差数列的性质可得数列{}也为等差数列.设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 024d＝－2 023＋2 024＝1，所以S2 025＝1×2 025＝2 025. 课堂小结 1.理清单 （1）等差数列前n项和的性质； （2）等差数列前n项和的最值问题； （3）等差数列前n项和的实际应用. 2.应体会 （1）应用等差数列前n项和的性质解决问题时，要注意整体思想的应用； （2）解决等差数列前n项和的最值问题，要注意函数思想的应用. 3.避易错 （1）等差数列奇偶项和的问题，n的取值易出错； （2）等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列； （3）忽视最值问题中n的取值个数. 1.在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12＝（　　） A.12 B.18 C.24 D.30 解析：D　在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，则S9－S6＝9，S12－S9＝12，则S12＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋（S12－S9）＝3＋6＋9＋12＝30. 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝（　　） A.－1 B.－ C. D.1 解析：D　＝＝＝×＝1. 3.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，则正整数k＝（　　） A.2 022 B.2 024 C.2 025 D.2 026 解析：D　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，可得＝，解得k＝2 026. 4.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（　　） A.413 B.427 C.308 D.133 解析：A　由题知，每日布施的德拉玛数依次构成等差数列{an}，设数列的首项为a1，公差为d，则a1＝4，d＝5.则an＝4＋（n－1）×5＝5n－1，a15＝74，a8＝39，则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为S15－S8＝－＝585－172＝413. 5.已知等差数列{an}的公差d＝，a2＋a4＋…＋a100＝80，则S100＝（　　） A.80 B.120 C.135 D.160 解析：C　在等差数列{an}中，公差d＝，a2＋a4＋…＋a100＝80，所以a1＋a3＋…＋a99＝a2＋a4＋…＋a100－50d＝80－50×＝55，所以S100＝（a1＋a3＋…＋a99）＋（a2＋a4＋…＋a100）＝55＋80＝135. 6.〔多选〕已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2＝S6，则下列四个选项中正确的是（　　） A.a7＝0 B.S13＝0 C.S7最小 D.S5＝S8 解析：ABD　根据题意，设等差数列{an}的公差为d.对于A，a1＋3a2＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋d，变形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝＝13a7＝0，故B正确；对于C，因为不能确定前6项的符号，故不能判断S7最小还是最大，故C不正确；对于D，S5－S8＝（5a1＋d）－（8a1＋d）＝－3a1－18d＝－3a7＝0，故D正确. 7.〔多选〕设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是（　　） A.若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0 D.若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 解析：ABD　显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A、B正确；若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确；而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}为递增数列，但S1＝－1＜0，故C不正确. 8.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d＝　5　. 解析：记该等差数列的前12项中偶数项的和为S偶，奇数项的和为S奇.由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5. 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S25＝0，则使Sn取得最大值时的n的值为　12或13　. 解析：设数列{an}的公差为d，所以S25＝25a1＋d＝0，则a1＝－12d，所以Sn＝na1＋d＝n2－n.考虑函数y＝n2－n，因为a1＞0，d＜0，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线n＝.因为n为正整数，所以当n＝12或13时，Sn取得最大值. 10.一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部货款付清后，买这件家用电器实际花了多少钱？ 解：购买当天付了150元，欠款1 000元，每月付50元，分20次付完.设每月的付款数依次组成数列{an}，则a1＝50＋1 000×0.01＝60， a2＝50＋（1 000－50）×0.01＝60－0.5＝59.5， a3＝50＋（1 000－50×2）×0.01＝60－0.5×2＝59， … a10＝60－0.5×9＝55.5， … an＝60－0.5（n－1）（1≤n≤20）. 所以数列{an}是等差数列，公差d＝－0.5，全部货款付清后付款总数为S20＋150＝＋150＝（2a1＋19d）×10＋150＝（2×60－19×0.5）×10＋150＝1 225. 故第10个月应交付55.5元.全部货款付清后，买这件家用电器实际花了1 255元. 11.已知等差数列{an}满足S30＝120，a3＋a6＋a9＋…＋a30＝60，则an＝（　　） A.2n－25 B.2n－27 C.3n－15 D.3n－18 解析：B　设等差数列的公差为d，则S30＝（a1＋a4＋…＋a28）＋（a2＋a5＋…＋a29）＋（a3＋a6＋…＋a30）＝（a3＋a6＋…＋a30）－20d＋（a3＋a6＋…＋a30）－10d＋（a3＋a6＋…＋a30）＝180－30d，即120＝180－30d，解得d＝2.又S30＝30a1＋×2＝120，解得a1＝－25.所以an＝－25＋（n－1）×2＝2n－27，故选B. 12.〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列命题中正确的是（　　） A.d＜0 B.S11＞0 C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 解析：AB　∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确. 13.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，Sn有最小值，若＜－1，则使Sn＜0成立的n的最大值为　15　. 解析：因为＜－1，所以＋1＜0，即＜0.又Sn有最小值，所以a8＜0，a8＋a9＞0，所以S15＝＝15a8＜0，S16＝＝8（a8＋a9）＞0，因此，使Sn＜0成立的n的最大值为15. 14.已知项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数. 解：设等差数列{an}共有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项是第n＋1项，即an＋1. 所以＝＝＝＝＝，所以n＝3. 因为S奇＝（n＋1）an＋1＝44，所以an＋1＝11.所以这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7（项）. 15.一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点A和终点B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个. （1）证明：若列车从第k站出发时，车厢内共有邮袋数为（－k2＋nk）个； （2）试判断第几站的车厢内邮袋数最多，最多是多少？ 解：（1）证明：设列车从各站出发时，邮政车厢内的邮袋数构成一个数列{an}，则a1＝n－1，a2＝a1－1＋n－2＝（n－1）＋（n－2）－1， a3＝a2－2＋n－3＝（n－1）＋（n－2）＋（n－3）－1－2，…， 所以ak＝（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋…＋（n－k）－（1＋2＋…＋k－1）＝kn－k（k＋1）－k（k－1）＝－k2＋nk（k∈N*）. （2）由ak＝－（k－）2＋得， 当n为偶数，k＝时，ak的最大值为，当n为奇数，k＝或时，ak的最大值为. 即若n为偶数，则第站的车厢内邮袋数最多，最多为个； 若n为奇数，则第或站的车厢内邮袋数最多，最多为个. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $