4.1.2 数列的递推公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“数列的递推公式”核心知识点，通过智力测试数列、钢管堆放问题等情境导入，系统梳理递推公式概念、由递推公式求通项的方法（归纳法、累加法、累乘法）及aₙ与Sₙ的关系，构建“概念抽象-方法探究-综合应用”的学习支架。 资料以问题链驱动教学，如通过相邻项差规律培养数学眼光，累加法推导过程提升数学思维，规范步骤训练数学语言表达。例题变式丰富，结合示意图辅助理解，课中助力分层教学，课后练习题覆盖基础与提升，有效帮助学生查漏补缺。

第二课时　数列的递推公式 课标要求 情境导入 1.了解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项（逻辑推理）. 2.理解数列的前n项和Sn与an的关系（数学运算）. 　　观察某次智力测试中的一道题，数列1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是： 　　a2－a1＝3－1＝2， 　　a3－a2＝6－3＝3， 　　a4－a3＝10－6＝4， 　　a5－a4＝15－10＝5， 　　…… 　　你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？这就是这节课我们要学习的内容. 　　 知识点一｜数列的递推公式 问题1　观察如图所示的钢管堆放示意图： （1）如果最上面一层为第一层，记第n层的钢管数为an，你能写出an的一个表达式吗？ 提示：an＝n＋3（1≤n≤7）. （2）你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 提示：自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1（2≤n≤7）. 【知识梳理】 如果一个数列的　相邻　两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 　　提醒：（1）与数列通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式；（2）注意通项公式反映的是an与n之间的关系，递推公式反映的是项与项之间的关系. 【例1】　（链接教材P6例5）已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1＋（n∈N*，且n＞1），写出数列{an}的前5项. 解：由题意，得a2＝3a1＋， 而a1＝1，所以a2＝3×1＋＝. 同理a3＝3a2＋＝10，a4＝3a3＋＝，a5＝3a4＋＝91. 【规律方法】 　由递推公式写出数列的项的方法 （1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可； （2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 训练1　（1）在数列{an}中，an＋1＝若a1＝，则a4＝（　C　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：因为an＋1＝a1＝，所以a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝，a4＝2a3＝. （2）已知数列{an}满足an＋1＝，a5＝2，则a1＝　　. 解析：因为an＋1＝，a5＝2，令n＝4，2＝，所以a4＝，令n＝3，＝，所以a3＝－1，令n＝2，－1＝，所以a2＝2，令n＝1，2＝，所以a1＝. 知识点二｜由递推公式求通项公式 问题2　通项公式与递推公式都是表示数列的常见方法，你能比较一下它们的异同吗？ 提示：相同点：都可以求出数列的任何一项. 不同点：通项公式给定任何一个序号n即可求项an；递推公式要求任一项，需先确定它的前后项. 【例2】　（1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an＝（　B　） A. B. C. D. 解析：法一（归纳法）　数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，a3＝＋－＝2－＝，a4＝＋－＝2－＝，a5＝＋－＝2－＝，所以an＝2－＝（n≥2），又a1＝1满足上式，由此可得数列的一个通项公式为an＝. 法二（迭代法）　a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－（n≥2），则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝（n≥2）.又a1＝1也适合上式，所以an＝（n∈N*）. 法三（累加法）　an＋1－an＝－，a1＝1，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－（n≥2），以上各式相加得an＝1＋1－＋－＋…＋－.所以an＝（n≥2）.因为a1＝1也适合上式，所以an＝（n∈N*）. （2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an（n∈N*），则an＝（　D　） A.n＋1 B.n C. D. 解析：法一（累乘法）　因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an（n∈N*），所以＝，所以an＝··…···a1＝××…×××1＝. 法二（构造特殊数列法）　因为an＋1＝an（n∈N*），所以（n＋1）＝nan，所以数列{nan}是常数列，所以nan＝1·a1＝1，所以an＝. 【规律方法】 　由递推公式求通项公式的常用方法 （1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式； （2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f（n）（f（n）是可以求和的），使用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan（p为非零常数），或an＋1＝f（n）an（f（n）是可以求积的），使用累乘法或迭代法； ③an＋1＝pan＋q（p，q为非零常数），适当变形后转化为②中的形式解决. 训练2　（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－（n≥2），求an； 解：因为an＝an－1＋－（n≥2）， 所以an－an－1＝－. 所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝（－）＋（－）＋…＋（－）＋1＝－＋1. 又a1＝1也符合上式， 所以an＝－＋1，n∈N*. （2）已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1（n≥2），求an. 解：因为ln an－ln an－1＝1，所以ln＝1，即＝e（n≥2）. 所以an＝··…··a1＝·1＝en－1（n≥2）， 又a1＝1也符合上式， 所以an＝en－1，n∈N*. 知识点三｜an与Sn的关系 问题3　如果我们把数列{an}的前n项加在一起的和记作Sn，那么你能用它表示a2吗？a6＋a7＋a8＋a9＋a10怎么表示？an呢？ 提示：a2＝S2－S1，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S5，an＝ 【知识梳理】 1.数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作　Sn　，即Sn＝　a1＋a2＋…＋an　. 2.数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和　Sn　与它的　序号n　之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.an与Sn的关系 an＝ 　　提醒：在应用数列的前n项和公式求通项时，往往容易忽略验证n＝1时的情况，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形. 【例3】　（链接教材P7思考）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 解：因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2（n－1）2－30（n－1）]＝4n－32， 且当n＝1时，a1＝4×1－32＝－28，依然成立， 所以an＝4n－32，n∈N*. 变式　（1）将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an； 解：因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2（n－1）2－30（n－1）＋1]＝4n－32. 当n＝1时不适合上式. 所以an＝ （2）若数列{an}满足a1a2a3…an＝n2，求an. 解：由a1a2a3…an＝n2， 可得n≥2时，有a1a2a3…an－1＝（n－1）2， 两式相除得an＝＝（）2，n≥2. 当n＝1时，a1＝12＝1不适合上式， 所以an＝ 【规律方法】 　由Sn求通项公式an的步骤 （1）当n＝1时，a1＝S1； （2）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1； （3）验证a1与an的关系：①若a1适合an（n≥2），则an＝Sn－Sn－1；②若a1不适合an（n≥2），则an＝ 训练3　（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝　　； 解析：当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝（2n＋2－3）－（2n＋1－3）＝2n＋1，当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝ （2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝　　. 解析：当n＝1时，由已知可得a1＝21＝2.由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n①，可得当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）＝②，由①－②得nan＝2n－＝（n≥2），∴an＝（n≥2）.显然a1＝2不适合上式，∴an＝ 1.已知在数列{an}中，a1＝2，＝an＋n（n∈N*），则a4＝（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 解析：D　因为a1＝2，＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8. 2.已知数列{an}满足a1＝1， －＝1，则a10＝（　　） A.10 B.20 C.100 D.200 解析：C　数列{an}满足a1＝1，－＝1，可得＝1，－＝1，－＝1，…，－＝1，叠加可得＝10，所以a10＝100. 3.若数列{an}满足（n－1）an＝（n＋1）an－1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，则a100＝　5 050　. 解析：由（n－1）an＝（n＋1）an－1，得＝（n≥2，n∈N*），则a100＝a1···…·＝1×××…×＝ 5 050. 4.已知数列{an}的前n项和为Sn， （1）若Sn＝3n＋2，则数列{an}的通项公式为an＝　　； 解析：当n＝1时，a1＝S1＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2）－（3n－1＋2）＝2·3n－1，a1＝5不满足上式，故an＝ （2）若Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式为an＝　2n－2　. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2－n）－[（n－1）2－（n－1）]＝2n－2，又a1＝0满足an＝2n－2，故an＝2n－2. 课堂小结 1.理清单 （1）数列的递推公式； （2）由数列的递推公式求通项公式； （3）数列的前n项和Sn与an的关系. 2.应体会 利用递推公式求数列的通项公式时，利用了迭代法、累加法、累乘法. 3.避易错 （1）累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式； （2）由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况. 1.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（　　） A.an＝an－1＋2（n≥2） B.an＝2an－1（n≥2） C.a1＝2，an＝an－1＋2（n≥2） D.a1＝2，an＝2an－1（n≥2） 解析：C　A、B中没有说明第一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.故选C. 2.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9＝（　　） A.15 B.17 C.49 D.64 解析：B　由已知，a9＝S9－S8＝92－82＝17. 3.已知a1＝1，an＝an－1＋3（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为（　　） A.an＝3n＋1 B.an＝3n C.an＝3n－2 D.an＝3（n－1） 解析：C　因为an＝an－1＋3，所以an－an－1＝3.所以a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3（n－1），因为a1＝1，所以an＝a1＋3（n－1）＝1＋3（n－1）＝3n－2.当n＝1时，也适合上式，所以an＝3n－2. 4.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则a11＝（　　） A.512 B.256 C.2 048 D.1 024 解析：D　因为an＋1＝2an，即＝2，所以＝2，＝2，…，＝2，累乘可得a11＝1 024. 5.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝（n＋1）an（n∈N*），且a1＝2，则数列{an}的通项公式为（　　） A.－n－1 B.－n C.n＋1 D.2n 解析：D　因为2Sn＝（n＋1）an，n∈N*，所以2Sn＋1＝（n＋2）an＋1，n∈N*，两式相减得2an＋1＝（n＋2）·an＋1－（n＋1）an，整理得nan＋1＝（n＋1）an，得＝，n∈N*，所以为常数列，所以＝＝2，所以an＝2n. 6.〔多选〕符合递推公式an＝an－1的数列是（　　） A.1，2，3，4，… B.1，，2，2，… C.3，3，6，6，… D.0，，2，2，… 解析：BC　B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为an＝an－1＋1.D中，无法推出递推公式.综上，B、C正确. 7.〔多选〕已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的是（　　） A.a1＝3 B.an＝2n（n≥2） C.an＝2n D.an＝2n（n≥2） 解析：AD　当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n＋1－1）－（2n－1）＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝ 8.数列{an}中，已知a1＝5，且an＋1＝an＋（－1）n，则a10＝　4　. 解析：因为an＋1＝an＋（－1）n，所以an＋1－an＝（－1）n，所以a10＝a10－a9＋a9－a8＋…＋a2－a1＋a1＝（－1）9＋（－1）8＋…＋（－1）1＋5＝4. 9.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋），则数列{an}的通项公式an＝　2＋ln n　. 解析：a2＝a1＋ln（1＋），a3＝a2＋ln（1＋），…，an＝an－1＋ln（1＋）（n≥2），则an＝a1＋ln（×××…×）＝2＋ln n（n≥2）.又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n. 10.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2（n≥3）给出. （1）写出此数列的前5项； 解：（1）因为an＝an－1＋an－2（n≥3），且a1＝1，a2＝2， 所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. （2）通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项. 解：因为bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， 所以b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 11.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an＋2＝an＋1＋an（n≥1），那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝（　　） A.a2 023 B.a2 024 C.a2 025 D.a2 026 解析：C　由于an＋2＝an＋1＋an（n≥1），则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a5＋a6＋…＋a2 024＝a2 023＋a2 024＝a2 025. 12.〔多选〕由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝，则（　　） A.b3＝5 B.b4＝9 C.b5＝15 D.b6＝33 解析：ABD　因为an＝2n－1，bn＝，所以b2＝＝a2＝3，b3＝＝a3＝5，b4＝＝a5＝9，b5＝＝a9＝17，b6＝＝a17＝33. 13.已知数列{an}满足4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n（n∈N*），则an＝　4－3n　. 解析：由4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n（n∈N*），可得＋＋…＋＝（n∈N*），所以＋＋…＋＝（n∈N*，n≥2），两式相减得＝－＝＝（n∈N*，n≥2），所以an＝4－3n（n∈N*，n≥2），当n＝1时，41－1a1＝1，所以a1＝1，适合上式，所以an＝4－3n. 14.（1）已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，（2n＋1）an＝（2n－3）an－1，求通项公式an； （2）已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋（n≥2），求an. 解：（1）当n≥2时，因为（2n＋1）an＝（2n－3）·an－1，所以＝， 所以···…··＝×××…××＝. 所以＝，所以an＝， 当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝. （2）因为an＝an－1＋（n≥2）， 所以an－an－1＝＝－， 所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－（n≥2）. 以上各式相加，得an－a1＝－（n≥2），所以an＝a1＋－＝（n≥2）， 又a1＝适合上式，所以an＝. 15.已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值. 解：若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1. 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0（舍去）， 若a2为偶数，则＝1，a2＝2. 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝（舍去）， 若a1为偶数，则＝2，a1＝4； 若a3为偶数，则＝4，a3＝8. 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝（舍去）， 若a2为偶数，则＝8，a2＝16. 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 若a1为偶数，则＝16，a1＝32. 故m所有可能的取值为4，5，32. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $