4.1.1 数列的概念与简单表示（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦数列的概念、分类及表示方法，通过树高记录、成绩变化等生活实例导入，引导学生观察数的顺序与项数差异，逐步抽象出定义与分类标准，再过渡到列表、图象、通项公式三种表示，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合数学抽象与数学运算素养，如通过实例辨析数列概念（例1判断是否同一数列）、用三种方法表示练习本总价（训练2），培养学生用数学眼光观察、用数学语言表达的能力。规律方法总结系统，例题变式丰富，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学资源。

第一课时　数列的概念与简单表示 1 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念及分类（数学抽象）. 2.理解数列的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数（数学抽象、数学运算）. 课标要求 在生活中，常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例.例如，一棵树在某一时刻的高度为2 m，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按时间的先后顺序排列起来就得到一列数.通过对记录下来的这列数的分析，可以研究树的生长规律.将某个学生某一学科的历次考试成绩按考试时间顺序逐个记录，据此可研究该学生这科成绩的变化情况.你还能举出一些这样的例子吗？ 情境导入 知识点一　数列的概念与分类 01 知识点二　数列的表示 02 课时作业 03 目录 4 知识点一 数列的概念与分类 01 PART 目 录 问题1　请同学们观察以下五组数据： ① ②古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； ③战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话 中隐藏着一列数：1， ， ， ， ，…； 数学·选择性必修第二册 目 录 ④从学号1开始，记下本班的每一个同学的某次数学考试成绩：101， 115，91，95，121，…，95； ⑤－ 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－ ， ，－ ， ，…. （1）以上各组数据中数可以交换位置吗？ 提示：不能. （2）每组数据中数的个数有什么不同？ 提示：②④中项数有限；①③⑤中项数无限. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 数列的概念 （1）定义：按照确定的 排列的一列数称为数列； （2）项：数列中的 叫做这个数列的项.数列的第一个位置上 的数叫做这个数列的第1项，常用符号 表示，第二个位置上的数叫 做这个数列的第2项，用 表示……第n个位置上的数叫做这个数列的 第n项，用 表示.其中第1项也叫做 ⁠； （3）记法：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. 顺序　 每一个数　 a1　 a2　 an　 首项　 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数 ⁠的数列 无穷数列 项数 ⁠的数列 有限　 无限　 数学·选择性必修第二册 目 录 分类标准 名称 含义 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都 ⁠它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都 ⁠它的前一项的数列 常数列 各项都 ⁠的数列 周期数列 项呈现周期性变化的数列 摆动数列 从第2项起，有些项 它的前一项，有些项 ⁠ ⁠它的前一项的数列 大于　 小于　 相等　 大于　 小 于　 数学·选择性必修第二册 目 录 　　提醒：（1）如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同 的数列；（2）同一个数可以在数列中重复出现；（3）{an}表示一个数 列，an表示数列中的第n项. 数学·选择性必修第二册 目 录 【例1】　（1）〔多选〕下列说法中正确的有（　　） A. 数列4，7，3，4的首项是4，末项是4 B. 数列1，2，5，6和数列6，5，2，1是同一数列 C. 数列{an}中，若a3＝3，则从第2项起，各项都不等于3 D. 数列中的项不能是代数式 解析：　由数列的定义可知，数列4，7，3，4的首项是4，末项也是4， 故A正确；数列是按照确定的顺序排列的一列数，所以这两个数列不是同 一数列，故B错误；同一个数在一个数列中可以重复出现，即数列的项可 以相等，故C错误；数列是按照一定顺序排列的一列数，因此数列中的项 必须是数，不能是其他形式，故D正确. √ √ 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪 些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ ①1，0.84，0.842，0.843，…； ②2，4，6，8，10，…； ③7，7，7，7，…； ④ ， ， ， ，…； ⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； ⑥0，－1，2，－3，4，－5，…. 解：⑤是有穷数列；①②③④⑥是无穷数列；②是递增数列；①④⑤是递 减数列；③是常数列；⑥是摆动数列. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 　数列的判定方法及其分类 （1）判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列 的数； （2）判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋 势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练1　（1）下列各项表示数列的是（　B　） A. △，○，☆，□ B. 2 008，2 009，2 010，…，2 024 C. 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 D. a＋b，a－b，a·b，λa 解析：数列是指按照确定的顺序排列的一列数，而不能是图形、文字、向 量等，只有B项符合. B 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）给出下列数列： ①1，2，22，23，24，…，263；②－ ，－ ，－ ，…，－ ，…；③ 1，2，3，…，10 000；④－1，1，－1，1，－1，1，…；⑤1，2，3，5， 8，13，21，…；⑥ ， ， ， ，…. 其中， 为有穷数列， 为无穷数列， ⁠为递 增数列， 为递减数列， 为常数列， 为摆动数列.（填 序号） 解析：根据数列的分类，容易得到：①③为有穷数列，②④⑤⑥为无穷数 列，①③⑤为递增数列，②为递减数列，⑥为常数列，④为摆动数列. ①③ ②④⑤⑥ ①③⑤ ② ⑥ ④ 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点二 数列的表示 02 PART 目 录 问题2　（1）如果我们以序号n为自变量，以项an为函数值，可以将数列 看作函数吗？ 提示：两者具有一一对应的关系，可以看作特殊的函数. （2）回顾函数的表示方法：列表、图象、解析法，你认为数列可以用上 面的方法表示吗？ 提示：可以.但是对于解析法来说，数列不同于连续函数的表示，需要重 新作定义. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 数列中的项与序号的对应关系 数列{an}是从 （或它的有限子集{1，2，…，n}）到 ⁠ 的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记 为 ⁠. 正整数集N*　 实 数集R　 an＝f（n）　 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来 表示，那么这个式子叫做这个数列的 ⁠. 　　提醒：（1）数列是自变量取1，2，3，…时的离散函数；（2）数列 的表示方法有列表法、图象法及通项公式法；（3）数列的通项公式可能 有多个，也可能不存在. 通项公式　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P4例1）根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5 项，并画出它们的图象. （1）an＝（－1）n＋2； 解：数列{an}的前5项依次是1，3，1，3，1，图象如图1所示. （2）an＝ . 解：数列{an}的前5项依次是2， ， ， ， ，图象如图2所示. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它 只能表示有限个元素之间的对应关系. 2. 图象法表示数列时，数列的图象是以（n，an）为坐标的一系列孤立 的点. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练2　某种练习本单价5元，小王买了n本（n∈N*，n≤5）该练习本， 记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}. 解：通项公式法：an＝5n（n∈N*，n≤5）. 列表法： n 1 2 3 4 5 an 5 10 15 20 25 图象法： 数学·选择性必修第二册 目 录 提能点｜数列通项公式的求解及应用 角度1　由数列的前几项写出数列的通项公式 【例3】　（链接教材P5例2）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数： （1）3，5，7，9，…； 解：各项减去1后为正偶数，所以它的一个通项公式为an＝2n＋1. （2） ， ， ， ，…； 解：每一项的分子比分母小1，而分母组成的数列为21，22，23，24，…， 所以原数列的一个通项公式为an＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 （3）9，99，999，9 999，…； 解：各项加1后，分别变成10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公 式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1. （4）－1， ，－ ， ，…. 解：这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数 项为正，所以它的一个通项公式为an＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 变式　（1）试写出前4项为1，11，111，1 111的数列的一个通项公式； 解：由本例的第（3）题可知，每一项除以9即可，即an＝ （10n－1）. （2）试写出前4项为0.9，0.99，0.999，0.999 9的数列的一个通项公式. 解： an＝1－0.1n. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 　根据数列的前几项求其通项公式的方法 （1）先统一各项的结构，如都化成分数、根式等； （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应 序号间的函数解析式； （3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（－1）n或 （－1）n＋1处理； （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周 期函数，如三角函数等. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练3　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）2×3，3×4，4×5，5×6，…； 解：由2×3＝（1＋1）×（1＋2），3×4＝（2＋1）×（2＋2），4×5＝ （3＋1）×（3＋2），5×6＝（4＋1）×（4＋2），…，可得an＝（n＋ 1）（n＋2）. （2）1 ，2 ，3 ，4 ，…； 解：此数列的整数部分1，2，3，4，…，恰好是序号n，分数部分与序号 n的关系为 ，故所求数列的一个通项公式为an＝n＋ ＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 （3）3，33，333，3 333，…； 解：联想特殊数列9，99，999，…的通项公式为an＝10n－1，于是该数列 的一个通项公式为an＝ （10n－1），即an＝ （10n－1）. （4）－1，0，－1，0，…. 解： an＝ 是此数列的一个通项公式. 由于－1＝－ － ，0＝－ ＋ . 联想到（－1）n具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也可写成an＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 角度2　数列中项的求解及判断 【例4】　（链接教材P5例3）已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. （1）写出数列的第4项和第6项； 解： a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）－49是否为该数列的项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的 项呢？ 解：令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝ （舍去）， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项. 令3n2－28n＝68，解得n＝ 或n＝－2. 因为 ∉N*，－2∉N*，所以68不是该数列的项. （3）数列{an}中有多少个负数项？ 解： an＝n（3n－28），令an＜0，结合n∈N*，解得n＝1，2，3，4， 5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项. 数学·选择性必修第二册 目 录 变式　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值 时，an取得最小值？并求出最小值. 解：∵an＝n2－5n＋4＝（n－ ）2－ ， ∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 　求项或判断某数是否为数列的项的方法 （1）如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就 可以求出数列中的指定项； （2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中， 求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数 列的项. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练4　已知数列{an}的通项公式为an＝ ，n∈N*. （1）求a10； 解： a10＝ ＝ . （2） 是不是这个数列的项？ 解：令 ＝ ，得n＝100，故 是这个数列的项. （3）这个数列中有多少项是整数？ 解：易知an＝1＋ ，若an是整数，则n＝1，2，3，6， 故这个数列中共有4项是整数. 数学·选择性必修第二册 目 录 （4）该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明 理由. 解：令 ＝n，得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2（舍去）. 故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. 数学·选择性必修第二册 目 录 1. 下列说法正确的是（　　） A. {0，1，2，3，4，5}是有穷数列 B. 所有正整数构成的数列是无穷数列 C. 数列2，5，7，8和数列5，2，7，8是同一数列 D. 数列1，2，3，4，…，n是无穷数列 解析：　因为{0，1，2，3，4，5}是集合，不是数列，故A错误；所有正 整数构成的数列是无穷数列，故B正确；数列是按照一定次序排列的一列 数，因此数的次序很关键，所以这两个数列不是同一数列，故C错误；数 列1，2，3，4，…，n，共有n项，是有穷数列，故D错误. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 已知数列－1，0， ， ，…， ，…，则 是其（　　） A. 第14项 B. 第12项 C. 第10项 D. 第8项 解析：　令 ＝ ，整理得5n2－72n＋144＝0，解得n＝12或n＝ （舍去）.故选B. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 数列－1， ，－ ， ，－ ，…的一个通项公式an＝ 　​ 　. 解析：由题可知，数列－1， ，－ ， ，－ ，…，每项的分子为1， 分母是项数的平方，奇数项为负，偶数项为正，故可得数列的一个通项公 式为an＝ . ​ 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 已知数列{an}的通项公式是an＝n2－pn＋q，且a1＝0，a2＝－4. （1）a5＝ ⁠； 解析：由已知得 解得 所以an＝n2－7n＋6， 所以a5＝52－7×5＋6＝－4. （2）150是数列中的第 项. 解析：令an＝n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9（舍去），所以150 是该数列的第16项. －4 16 数学·选择性必修第二册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）数列的概念与分类； （2）数列的表示； （3）数列通项公式的求解及应用. 2. 应体会 （1）对数列进行分类应用了观察法； （2）由数列的前n项求数列的通项公式时要注意归纳法、猜想法的应用. 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 避易错 （1）归纳法求数列的通项公式时归纳不全面； （2）不注意用（－1）n进行调节，不注意分子、分母间的联系. 数学·选择性必修第二册 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 下列说法错误的是（　　） A. 数列可以用图象来表示 B. 数列的通项公式是唯一的 C. 数列可以用一群孤立的点表示 D. 数列{2n＋1}是递增数列 解析：　易知A、C正确；数列的通项公式不唯一，故B错误；因为y＝ 2n＋1在（0，＋∞）上单调递增，所以数列{2n＋1}是递增数列，故D正 确.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 已知数列 ，2， ，2 ， ，…， ， ，…，则 是这个数列的（　　） A. 第19项 B. 第20项 C. 第21项 D. 第22项 解析：　令 ＝ ，解得n＝21，所以 是这个数列的第21项.故 选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 数列－1， ，－ ， ，…的一个通项公式是（　　） A. an＝（－1）n B. an＝（－1）n C. an＝（－1）n D. an＝（－1）n 解析：　因为数列－1， ，－ ， ，…，所以其奇数项符号为负，偶 数项符号为正，而分母1，3，5，7可归纳为2n－1，分子1，4，9，16可归 纳为n2，故数列－1， ，－ ， ，…的一个通项公式是an＝（－1） n ，故B正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 已知数列{an}的一个通项公式为an＝（－1）n·2n＋a，且a3＝－5， 则实数a＝（　　） A. 3 B. 1 C. －1 D. 0 解析：　因为a3＝－5，an＝（－1）n·2n＋a，所以－8＋a＝－5，解 得a＝3，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 5. 下列各图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒 组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去，第51个图中的 火柴棒有（　　） A. 151根 B. 154根 C. 157根 D. 160根 解析：　第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴棒组 成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，…，第51个图中的火柴棒有4 ＋50×3＝154根.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 6. 〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则（　　） A. 3不是数列{an}中的项 B. 3可能是数列{an}的第2项 C. 3可能是数列{an}的第6项 D. a3＜0 解析： 　令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可能是 该数列的第2项，也可能是该数列的第6项，a3＝9－24＋15＝0. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 7. 〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝ ，则下列n的值中满足 an＜an＋1的有（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析： 　由数列{an}的通项公式为an＝ ，可得a3＝ ，a4＝ ， a5＝4，a6＝－4，a7＝－ ，显然a3＜a4＜a5，a6＜a7，但a5＞a6.故满足 an＜an＋1的n的值有3，4，6. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 8. 已知数列{an}的通项公式为an＝ 则a2a3＝ ⁠. 解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 9. 已知数列{an}的通项公式为an＝2 025－3n，则使an＞0成立的正整数n 的最大值为 ⁠. 解析：由an＝2 025－3n＞0，得n＜675，又因为n∈N*，所以正整数n的 最大值为674. 674 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 10. 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的 图象. （1）an＝ n－1； 解： 当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为 － ，0， ，1， .图象如图1所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）an＝ sin . 解：当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为 －1，0，1，0，－1.图象如图2所示. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 11. 设an＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ （n∈N*），则a2＝（　　） A. B. ＋ C. ＋ ＋ D. ＋ ＋ ＋ 解析：　∵an＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ （n∈N*），∴a2＝ ＋ ＋ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 12. 已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22 项为（　　） A. 6 B. 7 C. 64 D. 65 解析：　由数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1有1个， 2有2个，3有3个，4有4个，5有5个，6有6个，7有7个，因为1＋2＋3＋4＋ 5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 13. 正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例 如a4，3＝9，则a64，9＝ ⁠. 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 2 025 …… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1＝ ＋1＝1，第 2行第1列的数为2，此时a2，1＝ ＋1＝2，第3行第1列的数为4， 此时a3，1＝ ＋1＝4，据此分析可得：第64行第1列的数为a64，1 ＝ ＋1＝2 017，则a64，9＝2 025. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 14. 已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110. （1）20是不是{an}中的项？ 解： 令an＝－n2＋n＋110＝20， 即n2－n－90＝0， ∴（n＋9）（n－10）＝0，∴n＝10或n＝－9（舍去）. ∴20是数列{an}中的项，且为数列{an}中的第10项. （2）当n取何值时，an＝0？ 解： 令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0， ∴（n－11）（n＋10）＝0，∴n＝11或n＝－10（舍去）， ∴当n＝11时，an＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 15. 在数列{an}中，an＝ . （1）求数列{an}的第7项； 解： a7＝ ＝ . （2）求证：此数列的各项都在区间（0，1）内； 解： 证明：因为an＝ ＝1－ ， 所以0＜an＜1，故此数列的各项都在区间（0，1）内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （3）区间（ ， ）内有没有数列{an}中的项？若有，有几项？ 解： 令 ＜ ＜ ，则 ＜n2＜2，n∈N*， 解得n＝1，即在区间（ ， ）内有数列{an}中的项，且只有1项a1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $