2.3.2 两点间的距离公式(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.3.2　两点间的距离公式 1.已知点M（x，－4）与点N（2，3）间的距离为7，则x＝（　　） A.－5 B.－9 C.－5或9 D.－9或5 2.已知直线l1：x＋2y－5＝0，直线l2：3x－y－1＝0的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离为（　　） A.1 B.2 C. D. 3.到点A（1，3），B（－5，1）的距离相等的动点P满足的方程是（　　） A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0 C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0 4.光线从点A（－3，5）射到x轴上，经反射后经过点B（2，10），则光线从A到B经过的路程为（　　） A.5 B.2 C.5 D.10 5.若点A（－3，4）与坐标轴上的点P的距离等于5，则点P的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 6.〔多选〕在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为（0，4），（3，3），则点B的坐标可能是（　　） A.（6，4） B.（2，0） C.（4，6） D.（0，2） 7.〔多选〕对于，下列说法正确的是（　　） A.可看作点（x，0）与点（1，2）的距离 B.可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离 C.可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离 D.可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离 8.已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为　　　　. 9.（2025·杭州月考）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A（2，0）.若直线l上存在点M满足｜MA｜＝2｜MO｜（O为坐标原点），则实数a的取值范围是　　　　. 10.已知A（－2，0），B（0，4），线段AB的垂直平分线为直线l. （1）求直线l的一般式方程； （2）若点C在直线l上，且｜AC｜＝，求点C坐标. 11.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则｜PA｜2＋｜PB｜2＝（　　） A.5 B. C. D.与m的取值有关 12.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离.结合上述观点，可得y＝＋的最小值为（　　） A.4 B.2 C.＋ D.3＋ 13.〔多选〕已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：ax＋y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则实数a的取值可能为（　　） A.－2 B.0 C.1 D.3 14.在△ABC中，D是BC边上的任意一点（D与B，C不重合），且｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜.求证：△ABC为等腰三角形. 15.如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC，∠ADC＝90°，｜AB｜＝｜DA｜＋｜CB｜.腰DC在x轴上，O是线段DC的中点，｜BO｜＝4，且∠BOC＝60°.求： （1）A，B，C，D各点的坐标； （2）梯形ABCD的面积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2　两点间的距离公式 1.C　由｜MN｜＝7，得｜MN｜＝＝7，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5. 2.C　解方程组得即A（1，2），而O为坐标原点，则｜AO｜＝＝，所以点A到原点的距离为. 3.B　设P（x，y），则＝，化简得3x＋y＋4＝0. 4.C　点A（－3，5）关于x轴的对称点为A'（－3，－5），则光线从A到B经过的路程为A'B的长度，｜A'B｜＝＝5.故选C. 5.C　若点P在x轴上，设点P的坐标为（x，0），由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得x＝0或x＝－6.∴点P的坐标为（0，0）或（－6，0）.若点P在y轴上，设点P的坐标为（0， y），由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得y＝0或y＝8.∴点P的坐标为（0，0）或（0，8）.综上所述，满足题意的点有3个. 6.BC　设B（x，y），因为△ABC是等腰直角三角形，且∠C＝90°，点A，C的坐标分别为（0，4），（3，3），所以解得或故选B、C. 7.BCD　＝＝ ＝，可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离，也可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离，或者可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故B、C、D正确. 8.　解析：设点A（a，2a－1），点B（b，2b－1），因为｜a－b｜＝，所以｜AB｜＝＝｜a－b｜＝. 9.［，］　解析：设M（x，－x－a）.由｜MA｜＝2｜MO｜，得（x－2）2＋（－x－a）2＝4x2＋4（－x－a）2，整理得6x2＋（6a＋4）x＋3a2－4＝0.由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，解得≤a≤，故实数a的取值范围为［，］. 10.解：（1）因为A（－2，0），B（0，4），所以线段AB的中点坐标为（－1，2），kAB＝＝2. 又线段AB的垂直平分线为直线l，所以kl＝－＝－， 所以直线l的方程为y－2＝－（x＋1）， 即x＋2y－3＝0. （2）设点C的坐标为（a，b）.由题意有 解得或 所以点C的坐标为（1，1）或（－3，3）. 11.A　直线x＋my－m＝0过定点A（0，1），直线mx－y－m＋3＝0过定点B（1，3），且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝12＋22＝5.故选A. 12.A　因为y＝f（x）＝＋＝＋，则f（x）可看作x轴上一点P（x，0）到点A（－2，－2）与点B（2，2）的距离之和，即｜PA｜＋｜PB｜，则可知当A，P，B三点共线时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值，即（｜PA｜＋｜PB｜）min＝｜AB｜＝＝4.故选A. 13.CD　直线l：ax＋y＋3a－3＝0变形为y－3＝－a（x＋3），故直线l过定点C（－3，3），且斜率为－a，又｜AB｜＝＝5，要想直线l：ax＋y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5， 即l：ax＋y＋3a－3＝0与线段AB有交点，因为kBC＝＝－，kAC＝＝－4，故－a∈［－4，－］，解得a∈［，4］，故C、D满足要求，A，B不满足要求.故选C、D. 14.证明： 作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设A（0，h），B（b，0），C（c，0），D（d，0）. 因为｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜， 则由两点间的距离公式得b2＋h2＝d2＋h2＋（d－b）·（c－d）， 整理得－（d－b）（b＋d）＝（d－b）（c－d）. 因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0， 所以－b－d＝c－d，即－b＝c. 所以｜OB｜＝｜OC｜，于是｜AB｜＝｜AC｜，即△ABC为等腰三角形. 15.解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BC于点E， 因为AD∥BC，∠ADC＝90°， 所以∠BCD＝90°， 又因为｜BO｜＝4，且∠BOC＝60°， 所以｜OC｜＝2，｜BC｜＝2， 所以点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（2，2）. 又因为O为线段DC的中点， 所以｜DO｜＝2， 所以点D的坐标为（－2，0）， 设点A的纵坐标为y，所以点A的坐标为（－2，y）. 所以｜AE｜＝｜DC｜＝4，｜EC｜＝｜AD｜＝y， ｜BE｜＝｜BC｜－｜EC｜＝2－y. 因为｜AB｜＝｜DA｜＋｜CB｜＝y＋2，且∠BEA＝90°， 所以｜AB｜2＝｜AE｜2＋｜BE｜2，即（y＋2）2＝42＋（2－y）2，解得y＝，所以点A的坐标为（－2，）. （2）S梯形ABCD＝×（＋2）×4＝. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $