1.3.1 空间直角坐标系(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 1.A　a＋b＝2i－11j＋10k，由于{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）. 2.D　因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B、C都不正确；因为＝－，所以D正确，故选D. 3.A　由B点坐标是（－1，2，1），得＝－i＋2j＋k，故｜｜2＝1＋4＋1＝6，故｜｜＝. 4.C　记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝j，＝k，又＝＋，B1E＝A1B1，所以＝－＝0i－j＋k＝（0，－，1）. 5.B　由题意知PO＝＝＝，点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－，0，，所以点M的坐标为（－，0，）. 6.ABD　A项，关于平面Oxz的对称点，x，z不变，y变为相反数，则点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3），正确；B项，关于y轴的对称点，y不变，x，z变为相反数，则点关于y轴的对称点为，正确；C项，空间点到平面Oyz的距离为该点x坐标值的绝对值，则（2，－1，3）到平面Oyz的距离为2，错误；D项，根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m＝3i－2j＋4k表示m＝（3，－2，4），正确.故选A、B、D. 7.AC　若m＝0，点（0，2，0）在y轴上； 若m≠0，点（0，m2＋2，m）的横坐标为0，纵坐标大于0，竖坐标不为0，点（0，m2＋2，m）在Oyz坐标平面上.故选A、C. 8.（0，，）　解析：由于垂足在平面Oyz上，所以纵坐标、竖坐标不变，横坐标为0. 9.过（0，1，－3）且平行于x轴的一条直线　解析：由空间直角坐标系中点的坐标特点可知，由于y轴上坐标与z轴上坐标已确定，所以点P表示的图形为过（0，1，－3）且平行于x轴的一条直线. 10.解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系. （1）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，1，0），A1（2，0，2），B1（2，4，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）. （2）设i，j，k分别是x，y，z轴上的单位向量，＝＋＝－－＝－2i－4j＋0k＝（－2，－4，0）. 由题意知，＝＋＋＋＝－＋－－＝－2i＋j－4j－2k＝－2i－3j－2k＝（－2，－3，－2）. 11.B　设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（x，y，z），则p＝a＋2b＋3c＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc＝（x＋y）a＋（x－y）b＋zc，所以解得故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（，－，3）. 12.ACD　依据空间中点的坐标的定义可知，B1（4，5，3），C1（0，5，3），A（4，0，0），C（0，5，0），故A正确；设点C1关于点B（4，5，0）的对称点为（x1，y1，z1），由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为（8，5，－3），故B错误；由AB＝5，AD＝4，AA1＝3，易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），故C正确；点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为（8，5，0），故D正确.故选A、C、D. 13.（0，0，－）　（0，－，－） 解析：由题意可知，BG＝BE＝×＝，所以AG＝＝，所以＝0i＋0j－k＝（0，0，－），＝－＝0i－j－k＝（0，－，－）. 14.解：（1）由题易知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2）. （2）易知向量在向量上的投影向量为，在单位正交基底{i，j，k}下，＝＋＝－＋＝－2i＋2j，故＝（－2，2，0）. 15.解：分别取BC，B1C1的中点D，D1，连接DD1，DA，易知DC，DA，DD1两两垂直，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. （1）因为AD＝，BD＝DC＝，所以A1（0，，2），B（－，0，0），C（，0，0）. （2）设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量， 由已知，得＝＝2k， ＝－－＋＝－i－j＋2k， ＝－＋＝i－j＋2k， 所以＝（0，0，2），＝（－，－，2），＝（，－，2）. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.1　空间直角坐标系 1.（2025·南京月考）设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4i－8j＋3k，b＝－2i－3j＋7k，则a＋b的坐标为（　　） A.（2，－11，10） B.（－2，11，－10） C.（－2，11，10） D.（2，11，－10） 2.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（　　） A.向量的坐标与点B的坐标相同 B.向量的坐标与点A的坐标相同 C.向量与向量的坐标相同 D.向量与向量－的坐标相同 3.已知点B的坐标是（－1，2，1），则｜｜＝（　　） A. B.6 C. D.5 4.（2025·枣庄月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则＝（　　） A. B. C. D. 5.（2025·济宁月考）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为（　　） A.（，0，） B.（－，0，） C.（，，） D.（－，，） 6.〔多选〕下列各命题正确的是（　　） A.点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3） B.点关于y轴的对称点为 C.点（2，－1，3）到平面Oyz的距离为1 D.设{i，j，k}是空间向量单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝（3，－2，4） 7.〔多选〕在空间直角坐标系Oxyz中，对于点（0，m2＋2，m），下列说法可能正确的是（　　） A.在y轴上 B.在Oxz坐标平面上 C.在Oyz坐标平面上 D.在x轴上 8.在空间直角坐标系中，已知点P（1，，），过点P作平面Oyz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为　　　　. 9.设x为任意实数，则点P（x，1，－3）表示的图形为　　　　　　. 10.如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，请建立适当的空间直角坐标系. （1）求四棱柱各顶点的坐标； （2）求向量，的坐标. 11.若p＝xa＋yb＋zc，则称（x，y，z）为p在基底{a，b，c}下的坐标.若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（1，2，3），则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（　　） A.（，，3） B.（，－，3） C.（3，－，） D.（－，，3） 12.〔多选〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A.点B1的坐标为（4，5，3） B.点C1关于点B对称的点为（5，8，－3） C.点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3） D.点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0） 13.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为　　　　，的坐标为　　　　. 14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，建立空间直角坐标系，如图所示. （1）写出正方体ABCD-A1B1C1D1各顶点的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标. 15.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，试建立适当的空间直角坐标系. （1）求点A1，B，C的坐标； （2）求向量，，的坐标. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $