2.4.2 圆的一般方程（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“圆的一般方程”核心知识点，从圆的标准方程展开引入一般方程形式，通过配方探究其表示圆的条件（D²+E²-4F>0），明确圆心（-D/2,-E/2）和半径公式，衔接待定系数法求方程及轨迹问题（定义法、直接法等），构建完整知识支架。 该资料以问题链驱动思维，情境导入自然关联旧知，例题含参数讨论、特殊图形判断等，培养数学抽象与逻辑推理。训练题覆盖轨迹方程多种方法，提升数学运算和直观想象，课堂小结梳理易错点，课中助教师高效授课，课后方便学生回顾强化，弥补知识盲点。

2.4.2　圆的一般方程 课标要求 1.在平面直角坐标系中，探索掌握圆的一般方程（数学抽象、逻辑推理）. 2.掌握待定系数法求圆的方程，能求与圆有关的轨迹方程（数学运算、直观想象）. 情境导入 　　前面我们已学习了圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆吗？下面我们来探讨这一方面的问题. 知识点一｜圆的一般方程的概念 问题　（1）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需要满足什么条件？ 提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，（x＋）2＋（y＋）2＝，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆. （2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示：①当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点（－，－）. ②当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 【知识梳理】 1.概念：当　D2＋E2－4F＞0　时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心为　（－，－）　，半径长为　　. 　　提醒：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，xy的系数为0. 【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标及半径： （1）2x2＋y2－7y＋5＝0； 解：2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆. （2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； 解：x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆. （3）x2＋y2－4x＝0； 解：方程可变形为（x－2）2＋y2＝4，表示圆心坐标是（2，0），半径是2的圆. （4）x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0； 解：方程可变形为（x－2a）2＋（y－a）2＝a2. 当a＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆； 当a≠0时，方程表示圆心坐标是（2a，a），半径是｜a｜的圆. （5）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0. 解：方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋＝0， 法一　由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4×＝－1＜0，不表示任何图形. 法二　方程可变形为（x－）2＋（y＋）2＝－，故方程不表示任何图形. 【规律方法】 圆的一般方程的辨析 （1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆； （2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的关系，确定它是否表示圆. 训练1　（1）（2025·许昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是圆，则实数m的取值范围为（　D　） A.（－∞，1）　　　　　　　B.（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞） 解析：法一　因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）. 法二　方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.故选D. （2）〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（　BD　） A.m＝－1 B.m＝1 C.圆心为（－1，－2） D.圆心为（1，－2） 解析：根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为，若其直径为4，则＝2，解得m＝1.故选B、D. 知识点二｜求圆的一般方程 【例2】（链接教材P86例4）求满足下列条件的圆的一般方程： （1）过点A（－4，0），B（0，2）和原点； 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件得解得 故所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0. （2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点. 解：法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为（－，－）. 因为圆心在直线y＝x上，且圆过（－1，0），（3，0）两点， 所以解得 所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 法二　因为圆与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点， 所以圆心在直线x＝1上. 又圆心在直线y＝x上，所以圆心坐标为（1，1）. 所以圆的半径为＝， 所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝5. 所以圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 【规律方法】 待定系数法求圆的一般方程的步骤 （1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； （2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； （3）解此方程组，求出D，E，F的值； （4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. 训练2　求满足下列条件的圆的一般方程： （1）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为； 解：由题意得圆心C（－，－）， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0，即D＋E＝－2，　① 又半径r＝＝， ∴D2＋E2＝20，　② 由①②可得或 又圆心在第二象限，∴－＜0，－＞0，即D＞0，E＜0. ∴∴圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. （2）已知圆经过点（4，2）和（－2，－6），该圆与坐标轴的四个截距之和为－2. 解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）. ∵圆经过点（4，2）和（－2，－6）， ∴ 设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D. 设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E. 由已知，得－D＋（－E）＝－2， 即D＋E－2＝0.　③ 联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20. ∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 提能点｜与圆有关的轨迹问题 角度1　直接法求轨迹方程 【例3】求到点O（0，0）的距离是到点A（3，0）的距离的2倍的点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标是（x，y）， 则＝2.∴＝2. 化简，得x2＋y2－8x＋12＝0， 即所求轨迹方程为x2＋y2－8x＋12＝0. 角度2　定义法求轨迹方程 【例4】　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求直角顶点C的轨迹方程. 解：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1，0）. 由直角三角形的性质，知｜CD｜＝｜AB｜＝2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径长的圆（因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）. 角度3　代入法求轨迹方程 【例5】　已知点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，P是圆上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程. 解：设线段AP的中点为M（x，y）， 由中点坐标公式，得点P的坐标为（2x－2，2y）. ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴（2x－2）2＋（2y）2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1. 变式　若本例条件不变，如图，点B（1，1）是圆内一点，Q为圆上的动点，若∠PBQ＝90°，如何求线段PQ的中点N的轨迹方程？ 解：设线段PQ的中点为N（x，y）， 在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜， 连接ON（图略）， 则ON⊥PQ， ∴｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2， ∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 【规律方法】 求与圆有关的轨迹方程的3种方法 　　提醒：（1）弄清题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹，若求的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形；（2）要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形. 训练3　（2025·徐州月考）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半. （1）求动点M的轨迹方程； 解：设动点M的坐标为（x，y）. 因为A（2，0），B（8，0）， ｜MA｜＝｜MB｜. 所以（x－2）2＋y2＝[（x－8）2＋y2]. 化简得x2＋y2＝16. 即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. （2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹. 解：设点N的坐标为（x0，y0）， 因为A（2，0），N为线段AM的中点， 所以点M的坐标为（2x0－2，2y0）. 又点M在圆x2＋y2＝16上， 所以（2x0－2）2＋4＝16， 即得（x0－1）2＋＝4. 所以点N的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆. 1.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则实数k的取值范围是（　　） A.（－∞，－1）　　　　B.（－1，＋∞） C.（－1，0） D.（－1，1） 解析：A　方程可化为（x－1）2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆. 2.已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋9＝0，则下列直线中必过圆心C的是（　　） A.3x－2y＋1＝0 B.3x＋2y＋1＝0 C.3x＋2y＝0 D.3x－2y＝0 解析：C　圆心为C（2，－3）在直线3x＋2y＝0上.故选C. 3.（2025·威海质检）已知两定点A（－2，0），B（1，0），若动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则P的轨迹为（　　） A.直线　　B.线段 C.圆　　　D.半圆 解析：C　设点P的坐标为（x，y），∵A（－2，0），B（1，0），动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，∴＝2，两边平方得（x＋2）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]，即（x－2）2＋y2＝4.∴P的轨迹为圆.故选C. 4.已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5），求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径. 解：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵点A，B，C在圆上， ∴ 解得 ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即（x－1）2＋（y＋1）2＝25. ∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5. 课堂小结 1.理清单 （1）圆的一般方程； （2）与圆有关的轨迹方程. 2.应体会 （1）求圆的一般方程常用待定系数法； （2）求动点的轨迹方程的常用的方法有定义法、直接法、代入法等. 3.避易错 （1）忽视一般方程表示圆的条件； （2）轨迹方程求出后，忽视点及轨迹不存在的情形. 1.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－2，3），则D，E分别为（　　） A.D＝4，E＝－6 B.D＝－4，E＝－6 C.D＝－4，E＝6 D.D＝4，E＝6 解析：A　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－，－），又已知该圆的圆心坐标为（－2，3），∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6. 2.与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点（1，－1）的圆的方程是（　　） A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D.x2＋y2－4x－6y－4＝0 解析：B　依题意，设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由于所求圆过点（1，－1），所以1＋1－4－6＋m＝0，解得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.故选B. 3.若点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是（　　） A.（－2，＋∞） B.［－2，－］ C.（－2，） D.（－2，2） 解析：C　因为点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，所以需满足解得－2＜k＜. 4.圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：C　由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M（，1），圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N（2，0），又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有×1＝－1，解得a＝2. 5.已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（　　） A.点 B.直线 C.线段 D.圆 解析：D　∵圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），∴（1－a）2＋（0－b）2＝1，∴（a－1）2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是圆心为（1，0），半径为1的圆. 6.〔多选〕已知圆的方程为x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有（　　） A.关于点（2，0）对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 解析：ABC　x2＋y2－4x－1＝0⇒（x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为.选项A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以A正确；选项B，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B正确；选项C，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C正确；选项D，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D不正确.故选A、B、C. 7.〔多选〕若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（　　） A.F＝4 B.点（0，1）在圆外 C.圆与y轴相切 D.点（2，1）与圆上任一点距离的最大值为9 解析：ABD　由题知解得D＝－4，E＝8，F＝4，A正确；由A知圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，将（0，1）代入得0＋1－0＋8＋4＝13＞0，故点（0，1）在圆外，B正确；由题知圆心纵坐标的绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，C错误；因为圆心（2，－4）到点（2，1）的距离为5，所以圆上动点（x，y）到定点（2，1）的距离的最大值为5＋4＝9，D正确. 8.当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m＝1. 解析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为（x－2）2＋（y－m）2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝（m－1）2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小. 9.长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2＝9. 解析：设M（x，y），因为△AOB是直角三角形，所以｜OM｜＝｜AB｜＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求. 10.已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0表示一个圆. （1）求t的取值范围； （2）求该圆的圆心坐标和半径； （3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程. 解：（1）圆的方程可化为[x－（t＋3）]2＋[y＋（1－4t2）]2＝1＋6t－7t2. 由1＋6t－7t2＞0，即7t2－6t－1＜0，得－＜t＜1. 故t的取值范围是（－，1）. （2）由（1）知，圆的圆心坐标为（t＋3，4t2－1），半径为. （3）r＝ ＝≤. 所以r的最大值为，此时t＝， 故此时圆的标准方程为（x－）2＋（y＋）2＝. 11.（2025·淄博月考）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（　　） A.（－∞，－2） B.（－∞，－1） C.（1，＋∞） D.（2，＋∞） 解析：D　由题意得，曲线C的标准方程为（x＋a）2＋（y－2a）2＝4，因此曲线C是圆心为（－a，2a），半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均在第二象限内，∴解得a＞2，∴a的取值范围是（2，＋∞）. 12.已知圆C：x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C.若∠ACB＝，则实数m＝－3. 解析：∵x2＋y2－4x＋2y＋m＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5－m，∴圆心C的坐标为（2，－1），圆C的半径r＝.由∠ACB＝可得△ACB为等腰直角三角形，∴2＝r，解得r＝2，∴＝2，解得m＝－3. 13.已知A（－2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是3＋. 解析：依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心（－，0）位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是（1，0），半径是1.由题意可得｜AB｜＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心（1，0）到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，△PAB面积的最大值为×2×＝3＋. 14.已知圆C经过（0，2），（1，），（，）三点. （1）求圆C的方程； （2）设定点M（－3，4），动点N在圆C上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP（O为坐标原点），求点P的轨迹. 解：（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 解得 则圆C的方程为x2＋y2＝4. （2）法一（定义法）　设点P（x，y）.由题意知｜MP｜＝｜ON｜＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上，即（x＋3）2＋（y－4）2＝4.又因为四边形MONP为平行四边形，所以O，M，P三点不共线.当点P在直线OM上时有或 因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－，）和点（－，）. 法二（代入法）　如图所示， 设点P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为（，），线段MN的中点坐标为（，）. 由于平行四边形的对角线互相平分，故从而 又点N（x＋3，y－4）在圆x2＋y2＝4上， 故（x＋3）2＋（y－4）2＝4. 当点P在直线OM上时， 有或 因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆并除去点（－，）和点（－，）. 15.已知曲线C：（1＋a）x2＋（1＋a）y2－4x＋8ay＝0，a∈R. （1）当a取何值时，方程表示圆； （2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点； （3）当曲线C表示圆时，求圆的面积最小时a的值. 解：（1）当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线；当a≠－1时，方程为（x－）2＋（y＋）2＝，因为＞0，所以a≠－1时方程表示圆. （2）证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a（x2＋y2＋8y）＝0. 对于a取任何值，上式成立，则有 解得或 所以C过定点A（0，0），B（，－）. （3）由（2）知曲线C过定点A，B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小， 从而得以AB为直径圆的方程为 （x－）2＋（y＋）2＝， 所以＝，＝，＝， 解得a＝. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $