2.4.2 圆的一般方程（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.4.2　圆的一般方程

课标要求

1.在平面直角坐标系中，探索掌握圆的一般方程（数学抽象、逻辑推理）.

2.掌握待定系数法求圆的方程，能求与圆有关的轨迹方程（数学运算、直观想象）. 

情境导入

　　前面我们已学习了圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆吗？下面我们来探讨这一方面的问题.

知识点一｜圆的一般方程的概念

问题　（1）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需要满足什么条件？

提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，（x＋）2＋（y＋）2＝，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆.

（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？

提示：①当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点（－，－）.

②当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.

【知识梳理】

1.概念：当　D2＋E2－4F＞0　时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程.

2.圆的一般方程对应的圆心和半径

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心为　（－，－）　，半径长为　　.

　　提醒：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，xy的系数为0.

【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标及半径：

（1）2x2＋y2－7y＋5＝0；

解：2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆.

（2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；

解：x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆.

（3）x2＋y2－4x＝0；

解：方程可变形为（x－2）2＋y2＝4，表示圆心坐标是（2，0），半径是2的圆.

（4）x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；

解：方程可变形为（x－2a）2＋（y－a）2＝a2.

当a＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆；

当a≠0时，方程表示圆心坐标是（2a，a），半径是｜a｜的圆.

（5）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.

解：方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋＝0，

法一　由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4×＝－1＜0，不表示任何图形.

法二　方程可变形为（x－）2＋（y＋）2＝－，故方程不表示任何图形.

【规律方法】

圆的一般方程的辨析

（1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆；

（2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的关系，确定它是否表示圆.

训练1　（1）（2025·许昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是圆，则实数m的取值范围为（　D　）

A.（－∞，1）　　　　　　　B.（1，＋∞）

C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）

解析：法一　因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.

法二　方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.故选D.

（2）〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（　BD　）

A.m＝－1

B.m＝1

C.圆心为（－1，－2）

D.圆心为（1，－2）

解析：根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为，若其直径为4，则＝2，解得m＝1.故选B、D.

知识点二｜求圆的一般方程

【例2】（链接教材P86例4）求满足下列条件的圆的一般方程：

（1）过点A（－4，0），B（0，2）和原点；

解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件得解得

故所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0.

（2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点.

解：法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为（－，－）.

因为圆心在直线y＝x上，且圆过（－1，0），（3，0）两点，

所以解得

所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.

法二　因为圆与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点，

所以圆心在直线x＝1上.

又圆心在直线y＝x上，所以圆心坐标为（1，1）.

所以圆的半径为＝，

所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝5.

所以圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.