5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第三课时　两角和与差的正切公式 1.A　tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝＝＝2＋. 2.A　＝tan（38°＋22°）＝tan 60°＝，故选A. 3.C　因为角α的终边上一点P的坐标为（－1，2），角β的终边与角α的终边关于x轴对称，所以点（－1，－2）是角β的终边上的点，所以tan β＝2，所以tan（β＋）＝＝＝－3，故选C. 4.B　因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝，tan α＝，所以tan（α＋β）＝＝＝－1.又α＋β∈（，），故α＋β＝. 5.CD　因为cos α＝－，所以sin α＝±＝±，所以tan α＝±.当tan α＝时，tan（－α）＝＝；当tan α＝－时，tan（－α）＝＝7. 6.BCD　由题意得，故A错误，B正确；由于tan（α＋β）＝＝16，故C正确；＝＝＝＝－8，故D正确.故选B、C、D. 7.7　解析：∵β＝（α＋β）－α，∴tan β＝＝7. 8.2　解析：因为α＋β＝，所以tan（α＋β）＝1，即＝1，即tan α＋tan β＝1－tan αtan β，因此（1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2. 9.　解析：因为B为锐角，sin B＝，所以cos B＝，所以tan B＝，所以tan（A＋B）＝＝＝1.又因为0＜A＋B＜π，所以A＋B＝. 10.解：（1）∵tan 60°＝tan（10°＋50°） ＝， ∴tan 10°＋tan 50° ＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°. ∴ ＝ ＝ ＝－tan 60°＝－. （2）整理可得＝－， 即tan（A＋B）＝－， 又∵0＜A＋B＜π， ∴A＋B＝π，∴C＝π－（A＋B）＝π－π＝. 11.C　由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得tan α＝3，又tan（α－β）＝，所以tan β＝tan[α－（α－β）]＝＝＝，故第二次的“晷影长”是“表高”的倍.故选C. 12.A　∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，∴tan（A＋B）＝，∴tan C＝－tan（A＋B）＝－，∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形. 13.　解析：因为tan α＝，tan β＝，所以tan（α＋β）＝＝＝，因为tan γ＝，所以tan（α＋β＋γ）＝＝＝1，因为α，β，γ∈（0，），所以α＋β∈（0，π），因为tan（α＋β）＝＞0，所以α＋β∈（0，），所以α＋β＋γ∈（0，π），所以α＋β＋γ＝. 14.解：（1）tan 2α＝tan[（α＋β）－（β－α）]＝＝＝－， 故tan 4α＝tan（2α＋2α）＝＝－. （2）tan 2β＝tan[（α＋β）＋（β－α）] ＝＝＝－1， 则有－1＝，解得tan β＝1＋或tan β＝1－. 15.解：（1）证明：法一　由条件sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝，则2sin（α－β）＝3sin（α＋β）， 即2sin αcos β－2cos αsin β ＝3sin αcos β＋3cos αsin β， 整理得sin αcos β＝－5cos αsin β， 也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证. 法二　由条件sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝， 即sin αcos β－cos αsin β＝，sin αcos β＋cos αsin β＝， 得sin αcos β＝，cos αsin β＝－， 从而可得tan α＝－5tan β， tan α＋5tan β＝0得证. （2）由于tan（α－β）＝ ⇒tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）， 所以 ＝ ＝－＝－＝. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三课时　两角和与差的正切公式 1.tan 75°＝（　　） A.2＋ B.2－ C.－2＋ D.－2－ 2.＝（　　） A. B.2 C.1 D. 3.已知角α的终边上一点P的坐标为（－1，2），角β的终边与角α的终边关于x轴对称，则tan（β＋）＝（　　） A.－ B. C.－3 D.3 4.（2025·扬州期末）已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为（　　） A. B. C. D. 5.〔多选〕已知cos α＝－，则tan（－α）＝（　　） A.－ B.－7 C. D.7 6.〔多选〕已知不等式x2＋16x＋2＜0的解集为（tan α，tan β），则（　　） A.tan α＋tan β＝16 B.tan αtan β＝2 C.tan（α＋β）＝16 D.＝－8 7.已知tan（α＋β）＝，tan α＝－2，则tan β＝　　　　. 8.若α＋β＝，则（1＋tan α）（1＋tan β）＝　　　　. 9.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝　　　　. 10.（1）化简求值：； （2）已知△ABC中，tan Atan B－tan A－tan B＝，求C的大小. 11.（2025·抚州月考）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（0≤θ＜π）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且tan（α－β）＝，则第二次的“晷影长”是“表高”的（　　） A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 12.（2025·诸暨期中）已知角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是（　　） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 13.（2025·泉州期中）已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝　　　　.　 14.已知tan（α＋β）＝2，tan（β－α）＝3. （1）求tan 4α的值； （2）求tan β的值. 15.已知sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝. （1）证明：tan α＋5tan β＝0； （2）计算：的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $