4.2.1 指数函数的概念(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.2　指数函数 4.2.1　指数函数的概念 1.A　对于A，函数y＝中，a＝＞1，是指数函数；对于B，函数y＝（－8）x中，a＝－8＜0，不是指数函数；对于C，函数y＝＝2·2x，不是指数函数；对于D，函数y＝x2，是幂函数，不是指数函数. 2.D　由指数函数y＝f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点，可得a－2＝，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f（4）·f（2）＝24·22＝64.故选D. 3.D　∵函数f（x）＝（2a－3）ax是指数函数，∴解得a＝2.∴f（x）＝2x，∴f（1）＝2. 4.B　∵产品的成本是a元，1年后，成本为a－p%·a＝a（1－p%）；2年后，成本为a（1－p%）－a（1－p%）·p%＝a（1－p%）2，…，∴x年后，成本y＝a（1－p%）x（0＜x＜m）. 5.ACD　设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），由题意得，＝＝，所以a＝5，所以f（x）＝5x，故A中结论正确，B中结论错误；因为f（－1）＝5－1＝，所以C中结论正确；因为5f（1）＝5×51＝25＝52＝f（2），所以D中结论正确.故选A、C、D. 6.ABD　f（x＋y）＝＝axay＝f（x）·f（y），故A中的等式正确；f（x－y）＝＝ax＝＝，故B中的等式正确；f＝＝（ax，f（x）－f（y）＝ax－ay≠（ax，故C中的等式错误；f（nx）＝anx＝（ax）n＝[f（x）]n，故D中的等式正确. 7.2x　x2　解析：设指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），幂函数g（x）＝xα，将（2，4）代入两个解析式得4＝a2，4＝2α，解得a＝2，α＝2，故f（x）＝2x，g（x）＝x2. 8.63　解析：设年增长率为x，根据题意得40（1＋x）10＝50，解得（1＋x）10＝.若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2032年的年产量约为40（1＋x）20＝40×＝62.5≈63（万吨）. 9.3　解析：因为1个细胞分裂一次时变为21个细胞，分裂2次时变为2×2＝22个细胞，分裂3次时变为2×2×2＝23个细胞……所以当分裂n次时变为2n个细胞，故可得出2n＝4 096.因为212＝4 096，所以n＝12，因为细胞15分钟分裂一次，所以细胞分裂12次所需的时间为12×15＝180分钟＝3小时.故这种细胞由1个分裂成4 096个需经过3小时. 10.解：因为这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍. 所以x分钟后的病毒所占内存为，得y＝（x∈R＋）， 因为病毒所占据内存不超过1 GB时，计算机能够正常使用，故有≤220，解得x≤95. 所以本次开机计算机能正常使用的时长为95分钟. 11.A　因为x＞0时，f（x）＝2x－3，且函数f（x）为奇函数，所以f（－1）＝－f（1）＝－（21－3）＝1. 12.A　设每年减少的百分比为a，由在50年内减少了5%，得（1－a）50＝1－5%＝95%，即a＝1－（95%.所以经过x年后，y与x的函数关系式为y＝m·（1－a）x＝m·（95%＝·m.故选A. 13.f（x）＝2×4x　解析：由题意，得＝4，＝42，…，＝4x，∴f（x）＝2×4x. 14.解：（1）由a2＋a－5＝1，a＞0，且a≠1， 可得a＝2或a＝－3（舍去），所以f（x）＝2x. （2）F（x）＝是奇函数. 证明如下：F（x）的定义域是R，关于原点对称，且F（x）＝f（x）－＝2x－＝2x－2－x， 又因F（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－F（x）， 所以F（x）是奇函数. 15.解：因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx（k，r为常数）， 所以解得所以y＝100（）x， 所以当x＝10时，y＝100×（）10＝64， 所以在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1　指数函数的概念 1.下列函数是指数函数的是（　　） A.y＝ B.y＝（－8）x C.y＝ D.y＝x2 2.指数函数y＝f（x）的图象经过点，那么f（4）·f（2）＝（　　） A.8 B.16 C.32 D.64 3.函数f（x）＝（2a－3）ax是指数函数，则f（1）＝（　　） A.8 B. C.4 D.2 4.一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x（0＜x＜m）的函数，其关系式是（　　） A.y＝a（1＋p%）x（0＜x＜m） B.y＝a（1－p%）x（0＜x＜m） C.y＝a（p%）x（0＜x＜m） D.y＝a－（p%）x（0＜x＜m） 5.〔多选〕已知指数函数f（x）满足f＝，则下列结论中正确的是（　　） A.f（x）＝5x B.f（x）＝5－x C.f（－1）＝ D.5f（1）＝f（2） 6.〔多选〕设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则下列等式中正确的是（　　） A.f（x＋y）＝f（x）f（y） B.f（x－y）＝ C.f＝f（x）－f（y） D.f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q） 7.若指数函数f（x）的图象与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），则f（x）＝　　　　，g（x）＝　　　　. 8.某钢厂的年产量由2012年的40万吨增加到2022年的50万吨，若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2032年的年产量约为　　　　万吨（结果保留整数）. 9.某种细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则这种细胞由1个分裂成4 096个需经过　　　　小时. 10.一种占据内存的计算机病毒A，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为y KB.如果病毒占据内存不超过1 GB（1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB）时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长. 11.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－3，则f（－1）＝（　　） A.1 B.－1 C. D.－ 12.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是（　　） A.y＝0.9·m B.y＝·m C.y＝0.9550－x·m D.y＝（1－0.0550－x）·m 13.已知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝2，＝2，＝2，…，＝2，n∈N，则函数y＝f（x）的一个可能的解析式为　　　　. 14.已知函数f（x）＝（a2＋a－5）ax是指数函数. （1）求f（x）的表达式； （2）判断F（x）＝的奇偶性，并加以证明. 15.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx（k，r为常数）.若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $