专题01 数轴上的距离公式与中点公式 - 《数学》人教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题01 数轴上的距离公式与中点公式 一、知识梳理 （1）数轴上的距离公式 一般地，在数轴上，如果A（）, B（），则这两点之间的距离公式为： |AB|=|| （2）数轴上的中点公式 一般地，在数轴上，以A（）, B（）两点为端点的线段中点坐标满足中点公式： 二、题型精练 题型1 数轴上的距离公式 【典例1】．点M（-8）到原点的距离等于（    ） A．8 B．4 C．0 D．-8 【典例2】．在数轴上，与原点距离等于3的点的坐标是（    ） A．3 B．-3 C．0 D．-3或3 【典例3】．已知数轴上点A的坐标为-3，点B的坐标为5，求线段|AB|的长度（    ） A．2 B．8 C．-8 D．5 题型2 数轴上的中点公式 【典例1】．已知点A（-2），B（1），则线段AB的中点坐标是（    ） A．-1 B．-0.5 C．0 D．3 【典例2】. 已知线段AB的中点坐标为2，点A的坐标为-1，求点B的坐标（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 三、知识检测 1．数轴上点P的坐标为-2，点Q的坐标为6，求线段PQ的中点M的坐标（    ） A． 1 B．2 C． 3 D．4 2．数轴上，点A与点B的距离为10，若点A的坐标为-4，点B的坐标是（   ） A．6 B． -14 C．6或-14 D．10 3．已知点C是线段AB的中点，且A(-5)， B(7)，求点C的坐标（    ） A．2 B．1 C．6 D．-1 4．数轴上点A(3)与点B(x)的距离为7，求点B的坐标（    ） A．10 B．-4 C．10或-4 D． 7 5．已知点M是数轴上的一点，它到点N(4)的距离是9，点M的坐标为（    ） A．13 B．10 C．-5 D．13或-5 6．点A(2)与点B(-6)关于点C对称，求点C的坐标（    ） A．-2 B．4 C．-4 D．8 7．在数轴上，点P从原点出发，先向左移动3个单位，再向右移动8个单位到达点Q，点P与点Q之间的距离为（　　） A．8 B．5 C．3 D．11 8．已知线段CD的长度为12，端点C的坐标为-8，求另一个端点D的坐标（    ） A．4 B．-20 C．-10 D．4或-20 9．若数轴上点A表示的数为a，且 |a+2| = 3，则点A对应的数是（    ） A．5 B．1 C．-5或1 D．1或5 10．数轴上，点P表示从 -4 的点开始，先向右移动7个单位，再向左移动5个单位，到达点Q，则点P与点Q之间的距离是（    ） A．0 B．2 C．12 D．7 11．（多选）点P在数轴上，且到点A(-4)的距离是到点B(2)的距离的，则点P的坐标可能是（    ） A．10 B．-2 C．2 D．10 12．数轴上，点A表示 -2，点C表示 4，点B是线段AC的中点。现将点A向右移动5个单位得到点A'，点C向左移动3个单位得到点C'，则线段A'C'的中点坐标是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 13． 数轴上点E和点F的中点坐标是 2，若点E的坐标是 -3，则点F的坐标是 ______。 14．数轴上点A( -5 )与点B( 7 )之间的距离是 ______，它们的中点坐标是 ______。 15．点M、N在数轴上对应的数分别为 -8 和 4。点P从点M出发，以每秒3个单位的速度向右运动；点Q从点N出发，以每秒2个单位的速度向左运动。若它们同时出发，则 ______ 秒后，两点相遇。 16． 若数轴上两点P(m)和Q(n)的距离是10，且其中点坐标是 -1，则m + n = ______， |m - n| = ______。 17．数轴上有A、B两点，如果点A与原点的距离为3，且A、B两点的距离为1，那么点B对应的数是 ______。 18. 在数轴上表示满足下列条件的所有点 （1）-1＜≤3； （2）| |≥2 20. 在数轴上求某点对应的实数，使该点到点A（-9）的距离是到点B（-3）的距离2倍。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数轴上的距离公式与中点公式 一、知识梳理 （1）数轴上的距离公式 一般地，在数轴上，如果A（）, B（），则这两点之间的距离公式为： |AB|=|| （2）数轴上的中点公式 一般地，在数轴上，以A（）, B（）两点为端点的线段中点坐标满足中点公式： 二、题型精练 题型1 数轴上的距离公式 【典例1】．点M（-8）到原点的距离等于（    ） A．8 B．4 C．0 D．-8 答案：A 分析：本题考查数轴上点的坐标到原点的距离公式。距离等于该坐标的绝对值。 详解：数轴上点  坐标为 ，则它到原点的距离为 因为距离是非负的，所以正确选项是 A. 8。 【典例2】．在数轴上，与原点距离等于3的点的坐标是（    ） A．3 B．-3 C．0 D．-3或3 答案：D 分析：本题考查数轴上“距离”概念的理解。在数轴上，到原点的距离为 3 的点在原点两侧各有一个，对应坐标分别是 3 和 -3。 详解：设该点坐标为 ，根据点到原点的距离公式： 解方程得： 或 因此满足条件的点有两个，分别是 3 和 -3。 选项 D 正确，其他选项只给了其中一种情况或错误值。 【典例3】．已知数轴上点A的坐标为-3，点B的坐标为5，求线段|AB|的长度（    ） A．2 B．8 C．-8 D．5 答案：B 分析：本题考查数轴上两点距离公式的应用，线段长度是非负数，等于两点坐标之差的绝对值。 详解：设  的坐标 ， 的坐标 ，则线段  的长度为： 或 因此线段 。 题型2 数轴上的中点公式 【典例1】．已知点A（-2），B（1），则线段AB的中点坐标是（    ） A．-1 B．-0.5 C．0 D．3 答案：B 分析：本题考查数轴上两点的中点坐标公式：中点坐标等于两点坐标的平均值。 详解：设  的坐标 ， 的坐标 ，则  中点  的坐标为： 因此线段  的中点坐标是 。 【典例2】. 已知线段AB的中点坐标为2，点A的坐标为-1，求点B的坐标（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 分析：本题考查利用中点坐标公式反求端点坐标。设中点坐标为 ，已知 ，已知  和  可求 。 详解：设  的坐标为 ，中点坐标为 ，点  的坐标为 。 由中点公式： 两边乘以  得： 移项得： 因此点  的坐标是 。 三、知识检测 1．数轴上点P的坐标为-2，点Q的坐标为6，求线段PQ的中点M的坐标（    ） A． 1 B．2 C． 3 D．4 答案：B 分析：本题考查数轴上线段中点坐标的计算，中点坐标等于两端点坐标之和的一半。 详解：设  的坐标为 ， 的坐标为 ，则中点  的坐标为： 因此线段  的中点  的坐标是 。 2．数轴上，点A与点B的距离为10，若点A的坐标为-4，点B的坐标是（   ） A．6 B． -14 C．6或-14 D．10 答案：C 分析：本题考查数轴上已知一点坐标以及两点距离求另一点坐标，解绝对值方程即可，注意符合条件的点有两个。 详解：设点  的坐标为 ，已知 ，且  坐标为 ，则 解该方程得： 因此点  的坐标可能为  或 。 3．已知点C是线段AB的中点，且A(-5)， B(7)，求点C的坐标（    ） A．2 B．1 C．6 D．-1 答案：B 分析：本题考查数轴上两点的中点坐标公式，中点坐标等于两端点坐标的平均值。 详解：设  的坐标为 ， 的坐标为 ， 则中点  的坐标为： 因此点  的坐标是 。 4．数轴上点A(3)与点B(x)的距离为7，求点B的坐标（    ） A．10 B．-4 C．10或-4 D． 7 答案：C 分析：本题考查数轴上已知一点坐标和距离，求另一点坐标的方法。利用两点距离公式  求解即可，符合条件的点有两个。 详解：设点  的坐标为 ，已知 ，且  坐标为 ，根据距离公式： 解该方程得： 因此点  的坐标可能是  或 。 5．已知点M是数轴上的一点，它到点N(4)的距离是9，点M的坐标为（    ） A．13 B．10 C．-5 D．13或-5 答案：D 分析：本题考查数轴上点到已知点的距离公式，并解绝对值方程得到两个可能的坐标。 详解：设点  的坐标为 ，根据题意： 解该方程： 因此点  的坐标可能是  或 。 6．点A(2)与点B(-6)关于点C对称，求点C的坐标（    ） A．-2 B．4 C．-4 D．8 答案：A 分析：本题考查数轴上两点关于某点对称的概念，对称点即两点的中点。 详解：点  与点  关于点  对称，则  是线段  的中点。 设  坐标为 ， 坐标为 ，则中点  的坐标为： 因此点  的坐标是 。 7．在数轴上，点P从原点出发，先向左移动3个单位，再向右移动8个单位到达点Q，点P与点Q之间的距离为（　　） A．8 B．5 C．3 D．11 答案：B 分析：本题考查数轴上点的移动与两点间距离的计算。注意题目中  是原点，先移到  再移到 ，然后问的是原 （原点）与最终  的距离。 详解： 1. 起点 。 2. 向左移动  个单位，到达 。 3. 再向右移动  个单位，到达 ，这就是  的坐标。 4. 点  与点  之间的距离为： 或者 因此距离是  个单位。 8．已知线段CD的长度为12，端点C的坐标为-8，求另一个端点D的坐标（    ） A．4 B．-20 C．-10 D．4或-20 答案：C 分析：本题考查根据已知线段长度与一个端点的坐标，求另一端点坐标。通过绝对值方程求解，应有两个可能解。 详解：设  的坐标为 ，已知 ，且  坐标为 ，根据距离公式： 解该方程： 因此点  的坐标可能是  或 。 9．若数轴上点A表示的数为a，且 |a+2| = 3，则点A对应的数是（    ） A．5 B．1 C．-5或1 D．1或5 答案：C 分析：本题考查解含绝对值的方程，直接根据  得到两个可能解。 详解：由 ，可得： 因此点  对应的数是  或 。 10．数轴上，点P表示从 -4 的点开始，先向右移动7个单位，再向左移动5个单位，到达点Q，则点P与点Q之间的距离是（    ） A．0 B．2 C．12 D．7 答案：B 分析：本题考查在数轴上经过两次移动后，起点与终点之间的距离。注意移动是顺序进行的，先算终点坐标再算距离。 详解： 1. 起点  的坐标为 。 2. 先向右移动  个单位： 3. 再向左移动  个单位： 得到终点 。 4. 求  与  的距离： 或 因此点  与点  之间的距离是 。 11．（多选）点P在数轴上，且到点A(-4)的距离是到点B(2)的距离的，则点P的坐标可能是（    ） A．10 B．-2 C．2 D．10 答案：AB 分析：设所求点为 ，其坐标为 ，根据题意可列方程 ，解此绝对值方程即可。 详解： 设点  的坐标为 ，根据题意有： 即： 两边乘 2： 分区间讨论： 1. 当  时： ， 但  不成立，舍去。 2. 当  时： ， 满足区间，是解。 3. 当  时： ，， 满足 ，是解。 所以  的坐标为：-2或10 12．数轴上，点A表示 -2，点C表示 4，点B是线段AC的中点。现将点A向右移动5个单位得到点A'，点C向左移动3个单位得到点C'，则线段A'C'的中点坐标是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 分析：本题考查数轴上点的平移和中点坐标的计算。可以先根据平移后的  与  坐标，再求它们的中点。也可以利用中点平移的性质：原始线段  的中点为 ，A 向右 5，C 向左 3，整体中线点移动距离为两端点移动量的平均值。 详解： 方法一（直接计算坐标）： 1. ，向右 5： 2. ，向左 3： 3. 线段  的中点 ： 方法二（利用原始中点和平移）： 原始  的中点： 点  向右 5 ⇒ 中点影响量为 （如果是单独 A 动的话，但两端都动时，中点平移量是两端平移量的平均） A 平移 ，C 平移 ，中点平移量： 于是新中点： 因此线段  的中点坐标是 。 13． 数轴上点E和点F的中点坐标是 2，若点E的坐标是 -3，则点F的坐标是 ______。 答案：7 分析：利用中点公式  解  的坐标。 详解：设 ，中点 ，设 。 由中点公式： 两边乘 2： 因此点  的坐标是：7 14．数轴上点A( -5 )与点B( 7 )之间的距离是 ______，它们的中点坐标是 ______。 答案：12；1 分析：利用距离公式以及中点公式求解。 详解： 1. 求距离 2. 求中点 15．点M、N在数轴上对应的数分别为 -8 和 4。点P从点M出发，以每秒3个单位的速度向右运动；点Q从点N出发，以每秒2个单位的速度向左运动。若它们同时出发，则 ______ 秒后，两点相遇。 答案：2.4 分析：本题考查数轴上的相遇问题。相遇时，两点的位置坐标相同。利用初始位置、运动方向和速度，分别表示出  和  在  秒后的位置坐标，列方程求解。 详解： 设运动时间为  秒。 点  从  出发向右运动，速度为  单位/秒，则  秒后它的位置为： 点  从  出发向左运动，速度为  单位/秒，则  秒后它的位置为： 相遇时 ，即 移项整理： 因此，它们同时出发后  秒相遇。 16． 若数轴上两点P(m)和Q(n)的距离是10，且其中点坐标是 -1，则m + n = ______， |m - n| = ______。 答案：，  分析：本题考查数轴上两点的距离公式和中点公式。已知中点和距离，可直接求出两点的和与差的绝对值。 详解： 1. 已知中点坐标 ，由中点公式： 因此 2. 已知两点距离是 ，由距离公式： 17．数轴上有A、B两点，如果点A与原点的距离为3，且A、B两点的距离为1，那么点B对应的数是 ______。 答案：， ， ，   分析：由  到原点的距离为 ，得  可能是  或 。 再根据  的距离为 ，分别求出  可能的坐标。 详解 1. 点  与原点的距离为 ，即 ，所以： 2. 若 ，且 ： 解出： 此时  可能是  或 。 3. 若 ，且 ： 解出： 此时  可能是  或 。 综上，点  对应的数可能是：， ， ，  18. 在数轴上表示满足下列条件的所有点 （1）-1＜≤3； （2）| |≥2 答案：见详解 （1）分析：这是一个一元一次不等式的区间，需要表示出所有大于  且小于或等于  的实数。 详解： · 空心圈（○）表示不包括端点  · 实心点（●）表示包括端点  · 中间用线段连接 数轴表示如下（文字描述）： 1. 画一条水平数轴，标出  和  的位置。 2. 在  处画一个空心圈，表示 ，不包含 。 3. 在  处画一个实心点，表示 ，包含 。 4. 将  到  之间的区间用粗线或阴影线连接起来。 （2）分析：绝对值不等式  等价于  或 。表示数轴上距离原点大于或等于 2 的所有点。 详解： · 在  和  处画实心点（因为  包含等于）。 · 从  向右画射线，从  向左画射线。 数轴表示如下（文字描述）： 1. 画一条水平数轴，标出  和  的位置。 2. 在  和  处分别画实心点。 3. 从  向右画带箭头的射线，表示 。 4. 从  向左画带箭头的射线，表示 。 总结 （1）区间 ，左开右闭。 （2） 或 ，在数轴上为两段射线，包括端点。 19．在数轴上求点P的坐标，使它到点A（1）的距离与到点B（9）的距离相等。 答案：5 分析：本题实际是求与两定点  和  距离相等的点的坐标，即求线段  的垂直平分线与数轴的交点。在数轴上，这个点就是线段  的中点。 详解： 1. 设点  的坐标为 。 2. 已知 ，。 由题意： 即： 3. 解绝对值方程。 方法一（几何法）： 与 、 距离相等的点在 、 的中点处， 中点坐标： 方法二（代数法）： 解方程  两边平方或分情况讨论，例如：  无解； 或  4. 验证： 当  时， ，，符合。 20. 在数轴上求某点对应的实数，使该点到点A（-9）的距离是到点B（-3）的距离2倍。 答案： 或  分析：设所求点为 ，其坐标为 ，根据题意可列方程 ，解此绝对值方程即可 详解： 设点  的坐标为 。 已知 A（-9）、B（-3），由题意： 即： 下面分类讨论去掉绝对值符号： 1. 当  时 ，，方程为： 满足 ，是解。 2. 当  时 ，，方程为： 满足 ，是解。 3. 当  时 ，，方程为： 但  不在  范围内，舍去。 所以方程的解为： 检验 · 当  时： ，，，成立。 · 当  时： ，，，成立。 因此，所求的点  对应的实数为  或 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $