4.3.1 对数的概念（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.3.1　对数的概念 课标要求 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念（数学抽象）. 2.会进行对数式与指数式的互化（逻辑推理）. 3.会求简单的对数值（数学运算）. 情境导入　 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依次类推，1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数N是多少？分裂多少次得到的细胞个数为8和256？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数？ 知识点一｜对数的概念 问题1　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，以此类推. （1）1个这样的细胞分裂5次得到多少个这样的细胞？ 提示：1个这样的细胞分裂5次得到25＝32个这样的细胞. （2）1个这样的细胞分裂多少次可得到128个这样的细胞？ 提示：设分裂x次，由2x＝128，得x＝7，即1个这样的细胞分裂7次可得到128个这样的细胞. （3）你认为（1）与（2）的运算过程有何区别呢？ 提示：（1）是已知底数和指数求幂，（2）是已知底数和幂求指数. 【知识梳理】 1.对数的定义 一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做　以a为底N的对数　，记作　x＝logaN　，其中a叫做　对数的底数　，N叫做　真数　. 　　提醒：logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数. 2.常用对数与自然对数 【例1】　若对数式log（t－2）3有意义，则实数t的取值范围是（　　） A.[2，＋∞） B.（2，3）∪（3，＋∞） C.（－∞，2） D.（2，＋∞） 解析：B　要使对数式log（t－2）3有意义，需解得t＞2，且t≠3.所以实数t的取值范围是（2，3）∪（3，＋∞）. 【规律方法】 对数式有意义的判断问题 　　利用式子logab⇒求字母的范围. 训练1　在M＝log（x－3）（x＋1）中，要使式子有意义，则x的取值范围为（　　） A.（－∞，3] B.（3，4）∪（4，＋∞） C.（4，＋∞） D.（3，4） 解析：B　由对数的概念可得解得3＜x＜4或x＞4. 知识点二｜对数式与指数式的互相转化 问题2　（1）通过对指数的学习我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若＝128，则x＝－7等这些方程，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能通过指数运算求出方程的解吗？ 提示：不能 （2）现在学习了对数，你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？ 提示：能.x＝log23；x＝log1.112；x＝log105＝lg 5. 【知识梳理】 对数与指数的关系：指数式与对数式的互化（其中a＞0，且a≠1）. 【例2】　（链接教材P122例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）3－2＝；　　 解：因为3－2＝，所以log3＝－2. （2）＝16； 解：因为＝16，所以lo16＝－2. （3）lo27＝－3； 解：因为lo27＝－3，所以＝27. （4）lo64＝－6. 解：因为lo64＝－6，所以（）－6＝64. 【规律方法】 指数式与对数式互化的方法 （1）指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式； （2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 训练2　将下列指数式与对数式互化： （1）log216＝4； 解：因为log216＝4，所以24＝16. （2）lox＝6； 解：因为lox＝6，所以（）6＝x. （3）43＝64； 解：因为43＝64，所以log464＝3. （4）3－3＝. 解：因为＝，所以log3＝－3. 知识点三｜对数的基本性质 问题3　（1）你能把20＝1，21＝2，log2x＝log2x化成对数式或指数式吗？ 提示：log21＝0；log22＝1；＝x. （2）你能推出＝N（a＞0且a≠1，N＞0）这一恒等式吗？ 提示：因为ax＝N（其中a＞0且a≠1，N＞0），所以x＝logaN，所以＝N成立. 【知识梳理】 1.对数的性质 （1）负数和0　没有　对数； （2）loga1＝　0　（a＞0，且a≠1）； （3）logaa＝　1　（a＞0，且a≠1）. 2.对数恒等式 （1）＝N（a＞0，且a≠1，N＞0）； （2）logaab＝b（a＞0，且a≠1，b∈R）. 【例3】　求下列各式的值： （1）log981； 解：设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2. （2）log0.41； 解：设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0. （3）ln e2； 解：设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2. （4）10lg 5； 解：10lg 5＝5. （5）. 解：＝51×＝5×8＝40. 【规律方法】 对数式中求值的基本思想和方法 （1）基本思想：在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解； （2）基本方法：①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题；②利用幂的运算性质和指数的性质计算. 训练3　求下列各式的值： （1）log28； 解：设log28＝x，则2x＝8＝23.∴x＝3.∴log28＝3. （2）log9； 解：设log9＝x，则9x＝＝9－1，∴x＝－1. ∴log9＝－1. （3）ln e； 解：ln e＝1. （4）lg 1； 解：lg 1＝0. （5）. 解：＝32×＝9×5＝45. 提能点｜利用对数性质求值 【例4】　求下列各式中x的值： （1）log2（log5x）＝0； 解：∵log2（log5x）＝0， ∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5. （2）log3（lg x）＝1； 解：∵log3（lg x）＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. （3）x＝； 解：x＝＝7÷＝7÷5＝. （4）log27x＝－； 解：由log27x＝－，得x＝3－2＝. （5）logx16＝－4. 解：由logx16＝－4，得x－4＝16，即x4＝＝， 又x＞0，且x≠1，∴x＝. 【规律方法】 利用对数的性质求值的方法 （1）求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1（a＞0且a≠1）进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算； （2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解. 训练4　求下列各式中x的值. （1）lox＝－3； 解：x＝＝27. （2）logx49＝4； 解：由x4＝49，x＞0且x≠1，得x＝. （3）lg 0.000 01＝x； 解：由10x＝0.000 01＝10－5，得x＝－5. （4）ln＝－x； 解：由e－x＝＝，得x＝－. （5）log8[log7（log2x）]＝0； 解：由log8[log7（log2x）]＝0，得log7（log2x）＝1，即log2x＝7，∴x＝27. （6）log2[log3（log2x）]＝1. 解：由log2[log3（log2x）]＝1，得log3（log2x）＝2，∴log2x＝9，∴x＝29. 1.在b＝log（a－2）（5－a）中，实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，2）∪（5，＋∞）　B.（2，5） C.（2，3）∪（3，5） D.（3，4） 解析：C　由对数的定义知解得2＜a＜3或3＜a＜5. 2.已知logx16＝2，则x＝（　　） A.4 B.±4 C.256 D.2 解析：A　由logx16＝2，得x2＝16.又x＞0，∴x＝4. 3.〔多选〕下列指数式与对数式互化正确的有（　　） A.e0＝1与ln 1＝0 B.log39＝2与＝3 C.＝与log8＝－ D.log77＝1与71＝7 解析：ACD　对于A，e0＝1可化为0＝loge1＝ln 1，所以A正确；对于B，log39＝2可化为32＝9，所以B不正确；对于C，＝可化为log8＝－，所以C正确；对于D，log77＝1可化为71＝7，所以D正确.故选A、C、D. 4.计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝　　. 答案：0 解析：原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0. 课堂小结 1.理清单 （1）对数的概念； （2）自然对数、常用对数； （3）指数式与对数式的互化； （4）对数的性质. 2.应体会 利用指数式与对数式的互化解决问题，体现了转化与化归思想. 3.避易错 易忽视对数式中底数与真数的范围. 1.使对数loga（－2a＋1）有意义的a的取值范围为（　　） A.a＞且a≠1 B.0＜a＜ C.a＞0且a≠1 D.a＜ 解析：B　由对数的概念可知使对数loga（－2a＋1）有意义的a需满足解得0＜a＜. 2.若logx＝z，则x，y，z之间满足（　　） A.y7＝xz B.y＝ C.y＝7xz D.y＝ 解析：B　由题意得＝xz，∴y＝（xz）7＝. 3.方程lg（x2－1）＝lg（2x＋2）的根为（　　） A.－3 B.3 C.－1或3 D.1或－3 解析：B　由lg（x2－1）＝lg（2x＋2），得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1不合题意，所以原方程的根为x＝3.故选B. 4.若log32＝x，则3x＋9x＝（　　） A.6 B.3 C. D. 解析：A　由log32＝x得3x＝2，因此9x＝（3x）2＝4，所以3x＋9x＝2＋4＝6，故选A. 5.已知log7[log3（log2x）]＝0，那么＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由条件，知log3（log2x）＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所以＝＝＝＝.故选C. 6.〔多选〕下列各式中正确的有（　　） A.lg（lg 10）＝0 B.lg（ln e）＝0 C.若10＝lg x，则x＝100 D.若log25x＝，则x＝±5 解析：AB　对于A，因为lg 10＝1，lg 1＝0，所以lg（lg 10）＝lg 1＝0，故A正确；对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg（ln e）＝lg 1＝0，故B正确；对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；对于D，因为log25x＝，所以2＝x，所以x＝5，故D错误.故选A、B. 7.若log3＝1，则x＝6；若log3（2x－1）＝0，则x＝1. 解析：若log3＝1，则＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3（2x－1）＝0，则2x－1＝1，即x＝1. 8.计算：（1）＝5；（2）＝. 解析：（1）＝（32＝＝5. （2）＝＝. 9.－＋lg ＋（－1＝－3. 解析：原式＝－＋lg 10－2＋（－1）0＝－－2＋1＝－3. 10.求下列各式中的x的值： （1）logx27＝；（2）log2x＝－； （3）x＝log27；（4）设a＝log32，x＝. 解：（1）由logx27＝，得＝27，∴x＝2＝32＝9. （2）由log2x＝－，得＝x， ∴x＝＝. （3）由x＝log27，得27x＝， 即＝3－2，则3x＝－2， ∴x＝－. （4）∵a＝log32，∴3a＝2， ∴x＝＝＝＝＝. 11.〔多选〕下列指数式与对数式互化正确的有（　　） A.a0＝1与loga1＝0（a＞0且a≠1） B.lo3＝2与（）2＝3 C.2＝与lo27＝－3 D.log2＝与＝ 解析：ABD　2＝化为对数式为log27＝－，故C错误，A、B、D正确. 12.若lox＝m，loy＝m＋2，则＝16. 解析：∵lox＝m，∴＝x，x2＝.∵loy＝m＋2，∴＝y，y＝.∴＝＝＝＝16. 13.若a＞0，＝，则loa＝3. 解析：因为＝，a＞0，所以a＝＝，设loa＝x，所以＝a，所以x＝3. 14.设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2，若log16（a＋b－c）＝，log5（2a＋b－c）＝1，求a，b，c的值. 解：因为log16（a＋b－c）＝， 所以a＋b－c＝2，　① 因为log5（2a＋b－c）＝1， 所以2a＋b－c＝5，　② 由②－①得a＝3， 将a＝3代入①得c－b＝1， 又因为a2＋b2＝c2，所以b＝4，c＝5. 综上，a＝3，b＝4，c＝5. 15.若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6（a＋b），求＋的值. 解：设2＋log2a＝3＋log3b＝log6（a＋b）＝k， 则a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k， 所以＋＝＝＝22×33＝108. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $