3.4 函数的应用（一）（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

3.4　函数的应用（一） 课标要求 1.了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数、幂函数模型）的广泛应用（直观想象、数据分析）. 2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题（数学建模、数学运算）. 　 情境导入 　随着经济和社会的发展，电动汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一电动汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表： 年份 2022 2023 2024 销量/万辆 8 18 30 　　结合以上三年的销量及人们生活的需要，2025年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标.你认为该目标能实现吗？ 知识点一｜一次函数模型的应用 【例1】　城镇化是国家现代化的重要指标，有关资料显示，1978—2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t（限定t＜50）年的城镇常住人口为f（t）亿.写出f（t）的解析式，并由此估算出我国2025年的城镇常住人口数. 解：因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以f（t）是一次函数，设f（t）＝kt＋b，其中k，b是常数. 注意到2013年是1978年后的第2 013－1 978＝35年，因此 即 解得k＝0.16，b＝1.7. 因此f（t）＝0.16t＋1.7，t∈N且t＜50. 又因为2025年是1978年后的第2 025－1 978＝47年，即f（47）＝0.16×47＋1.7＝9.22， 所以由此可估算出我国2025年的城镇常住人口为9.22亿. 【规律方法】 一次函数模型的特点和求解方法 （1）一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线； （2）一次函数模型f（x）＝kx＋b（其中k，b为常数），当k＞0时，f（x）为增函数，当k＜0时，f（x）为减函数； （3）解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解. 训练1　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分）与通话费用y（元）的关系如图所示. （1）分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； 解：由图象可设y1＝k1x＋30（k1≠0），y2＝k2x（k2≠0），把点B（30，35），C（30，15）分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝，k2＝. 所以y1＝x＋30（x≥0），y2＝x（x≥0）.　 （2）请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. 解：令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90. 当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当x＜90时，y1＞y2，使用便民卡便宜； 当x＞90时，y1＜y2，使用如意卡便宜. 知识点二｜二次函数模型的应用 【例2】　“十一”长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用（人工费，消耗费用等等）.受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元（x≥0且x为10的整数倍）. （1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围； 解：y＝50－x（0≤x≤160，且x是10的整数倍）. （2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数解析式； 解：W＝（180＋x－20）＝－x2＋34x＋8 000（0≤x≤160，且x是10的整数倍）. （3）一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少元？ 解：由（2）得W＝－x2＋34x＋8 000＝－（x－170）2＋10 890，当x＜170时，W随x的增大而增大. 又0≤x≤160. 所以当x＝160时，Wmax＝10 880，此时y＝50－x＝34. 故一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10 880元. 【规律方法】 利用二次函数求最值的方法及注意点 （1）方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题； （2）注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.　 训练2　据市场分析，某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点. （1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数关系式； 解：设y＝a（x－15）2＋17.5（a≠0）， 将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5，解得a＝. 所以y＝（x－15）2＋17.5（10≤x≤25）. （2）已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ 解：设最大利润为Q（x）， 则Q（x）＝1.6x－y＝1.6x－［（x－15）2＋17.5］＝－（x－23）2＋12.9（10≤x≤25）. 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元. 知识点三｜分段函数模型的应用 【例3】　经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且日销售量近似满足g（t）＝80－2t，价格近似满足f（t）＝ （1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式； 解：由已知得， y＝ ＝ ＝ （2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值. 解：由（1）知，①当0≤t≤10时， y＝－t2＋10t＋1 200＝－（t－5）2＋1 225， 函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]上单调递增，在t∈（5，10]上单调递减， ∴ymax＝1 225（当t＝5时取得）， ymin＝1 200（当t＝0或10时取得）； ②当10＜t≤20时，y＝t2－90t＋2 000＝（t－45）2－25， 函数图象开口向上，对称轴为t＝45， 该函数在t∈（10，20]上单调递减， ∴y＜1 200， ymin＝600（当t＝20时取得）. 由①②知ymax＝1 225（当t＝5时取得）， ymin＝600（当t＝20时取得）. 【规律方法】 　　分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值. 训练3　某网店经营的一种商品，该商品的进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P（件）与单价x（元）之间的关系如图所示，该网店与这种商品有关的周开支平均为25元. （1）根据周销量与单价之间的关系图直接写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数解析式； 解：周销量P（件）与单价x（元）之间的函数解析式为P＝ （2）写出周利润y（元）与单价x（元）之间的函数解析式.当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求 出最大周利润. 解：周利润y＝P·（x－10）－25＝ 整理得，当x∈[12，20]时，y＝－2（x－17.5）2＋87.5， 所以当x＝17.5时，ymax＝87.5； 当x∈（20，28]时，y＝－（x－20）2＋75， 此函数在（20，28]上单调递减，所以y＜75. 因为75＜87.5，所以当x＝17.5时，ymax＝87.5，即当该商品的销售价格为17.5元时，周利润最大，最大周利润为87.5元. 知识点四｜幂函数模型的应用 【例4】　某企业抓住机遇推进生产改革，从生产单一产品转为生产A，B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，且当投资2万元时，利润为1万元；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，且当投资4万元时，利润为4万元. （1）分别求出A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； 解：设投资为x万元， 则A产品的利润yA＝kx，B产品的利润yB＝t， 由题意得，1＝2k，4＝t，解得k＝，t＝2， 所以A产品的利润yA＝x（x≥0），B产品的利润yB＝2（x≥0）. （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入到A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 解：设企业利润为W，分配给B产品的投资为x万元，则分配给A产品的投资为（10－x）万元，所以W＝yA＋yB＝（10－x）＋2＝－（－2）2＋7（0≤x≤10）， 故当＝2，即x＝4时，企业利润W取得最大值7， 所以这10万元资金中有6万元投资给A产品，4万元投资给B产品，可使企业获得最大利润，且最大利润为7万元. 【规律方法】 幂函数模型应用的求解策略 （1）给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式； （2）根据题意，直接列出相应的函数关系式； （3）幂函数模型有两类设法：①y＝kxn＋b（k，n，b为常数）；②y＝a（1＋x）n（a，n为常数）. 训练4　在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比.已知气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s. （1）求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； 解：由题意设R＝kr4（k是大于0的常数）. 由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，所以k＝，所以函数解析式为R＝·r4. （2）当气体通过的管道半径为5 cm时，计算该气体的流量（精确到1 cm3/s）. 解：因为R＝·r4，所以当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086（cm3/s）. 所以气体通过的管道半径为5 cm时，该气体的流量为3 086 cm3/s. 1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.分段函数模型 D.无法确定 解析：C　由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型. 2.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元；如果购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨（　　） A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 解析：C　设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.当y＝400时，即400＝－10x＋9 000，得x＝860（元）.故选C. 3.2025年春节假期，国内旅游业迎来了“开门红”，某旅游景区投放市场的广告费x（万元）与景区利润y（万元）存在的关系为y＝xα（α为常数）.其中由于经费限制，广告费不超过5万元，已知往年投入广告费为3万元时，景区利润为27万元，若今年广告费投入5万元，预计今年景区利润为125万元. 解析：由已知得，当投入广告费用为3万元时，景区利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125. 4.生产某机器的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为50台. 解析：设生产x台，获得利润f（x）万元，则f（x）＝25x－y＝－x2＋100x＝－（x－50）2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大. 课堂小结 1.理清单 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0） 二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） 分段函数模型 f（x）＝ 幂函数模型 f（x）＝axα＋b（a，b，α为常数，a≠0） 2.应体会 待定系数法、配方法、换元法. 3.避易错 函数的实际应用问题易忽略函数的定义域. 1.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y（km）与时间t（h）之间的函数关系式是（　　） A.y＝2t B.y＝120t C.y＝2t（t≥0） D.y＝120t（t≥0） 解析：D　因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120（km/h），则路程y（km）与时间t（h）之间的函数关系式是y＝120t（t≥0）. 2.小明经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q（束）与销售单价x（元）的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（　　） A.15元 B.13元 C.11元 D.10元 解析：B　设每天获利y元，则y＝（100－5x）·（x－6）－100＝－5（x－13）2＋145，由x＞0，Q＝100－5x≥0，得0＜x≤20，故当x＝13时，每天获利最大. 3.已知某停车场规定：停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为（　　） A.16元 B.18元 C.20元 D.22元 解析：C　由已知得7小时20分钟按8小时计算，所以停车费为5＋（8－3）×3＝20元.故选C. 4.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为（　　） A.2 800元 B.3 000元 C.3 800元 D.3 818元 解析：C　由题意知，纳税额y（元）与稿费x（元）之间的函数关系式为y＝令（x－800）×0.14＝420，解得x＝3 800，令0.112x＝420，得x＝3 750（舍去）.故这个人应得稿费（扣税前）3 800元，故选C. 5.某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f（x）的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（　　） A.上午10：00 B.中午12：00 C.下午4：00 D.下午6：00 解析：C　由图象知，当0≤x≤4时，设y＝k1x，把点（4，320）代入得k1＝80，所以y＝80x；当4＜x≤20时，设y＝k2x＋b，将点（4，320）和（20，0）代入得解得此时y＝－20x＋400，所以f（x）＝当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4，当4＜x≤20时，令y＝－20x＋400≥240，解得4＜x≤8，所以3≤x≤8，故第二次服药最迟的时间应为8小时后，即下午4：00. 6.〔多选〕某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（　　） A.10 B.15 C.16 D.20 解析：BC　设这批台灯的售价为x元，则x≥15，由题意可得[30－2（x－15）]x＞400，即x2－30x＋200＜0，即（x－10）·（x－20）＜0，故10＜x＜20，又x≥15，所以15≤x＜20. 7.〔多选〕已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示： 型号 小包装 大包装 质量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.0元 8.4元 则下列说法正确的是（　　） A.买小包装实惠 B.买大包装实惠 C.卖3小包比卖1大包盈利多 D.卖1大包比卖3小包盈利多 解析：BD　大包装300克8.4元，则等价于100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故A错误，B正确；卖1大包盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3（元），卖3小包盈利3×（3－0.5－1.8）＝2.1（元），则卖1大包比卖3小包盈利多，故C错误，D正确. 8.某汽车运输公司购买了一批豪华客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈N）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过7年. 解析：设二次函数为y＝a（x－6）2＋11，又图象过点（4，7），所以a＝－1，即y＝－（x－6）2＋11.由y≥0解得6－≤x≤6＋，所以有营运利润的时间为2年.又6＜2＜7，所以有营运利润的时间不超过7年. 9.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算， 计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为25. 解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意.故该公司拟录用25人. 10.为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如表所示. 分档 户年用水量/m3 综合用水单价/（元·m－3） 第一阶梯 0～220（含） 3.45 第二阶梯 220～300（含） 4.83 第三阶梯 300以上 5.83 记户年用水量为x m3时应缴纳的水费为f（x）元. （1）写出f（x）的解析式； （2）假设居住在该市的张明一家某一年共用水260 m3，则张明一家该年应缴纳水费多少元？ 解：（1）不难看出，f（x）是一个分段函数， 当0＜x≤220时，有f（x）＝3.45x； 当220＜x≤300时，f（x）＝220×3.45＋（x－220）×4.83＝4.83x－303.6； 当x＞300时，f（x）＝220×3.45＋（300－220）×4.83＋（x－300）×5.83＝5.83x－603.6. 因此f（x）＝ （2）因为220＜260≤300，所以f（260）＝4.83×260－303.6＝952.2，因此张明一家该年应缴纳水费952.2元. 11.已知某公司工人生产第x件产品的时间f（x）（单位：min）满足f（x）＝若第2件产品的生产时间为2 min，第λ件产品的生产时间为16 min，则第9件产品的生产时间是第1件产品的（　　） A.54倍 B.42倍 C.36倍 D.9倍 解析：B　依题意f（λ）＝2λ2－λ2＝16，解得λ＝4，∴f（2）＝＝2，可得μ＝6，故f（x）＝∴＝＝42，故选B. 12.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p＝at2＋bt＋c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 解析：B　根据图象，把（t，p）的三组数据（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入函数关系式，得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－＋.当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟. 13.一超市对某种原价55元每箱的酸奶进行促销活动，促销方案如表所示，若顾客甲购买该酸奶共用去360元，则顾客甲共购买酸奶8箱. 购买量 促销价 不超过2箱的部分 52元/箱 超过2箱但不超过4箱的部分 48元/箱 超过4箱的部分 40元/箱 解析：设顾客甲购买了x箱酸奶，因为共用去360元，根据题意可得x＞4，所以52×2＋48×2＋40（x－4）＝360，解得x＝8，则顾客甲共购买酸奶8箱. 14.某游乐场每天的盈利额y（元）与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试解决下列问题. （1）求y关于x的函数解析式； （2）若要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，则每天至少需要卖出多少张门票？ 解：（1）当x∈[0，200]时，可设y＝k1x＋b1（k1≠0）， 代入点（0，－1 000）和（200，1 000），解得k1＝10，b1＝－1 000， 所以y＝10x－1 000，x∈[0，200]. 当x∈（200，300]时，可设y＝k2x＋b2（k2≠0）， 代入点（200，500）和（300，2 000），解得k2＝15，b2＝－2 500， 所以y＝15x－2 500，x∈（200，300]. 所以y＝ （2）若每天的盈利额超过1 000元， 则x∈（200，300]，所以y＝15x－2 500. 由15x－2 500＞1 000，解得x＞≈233.3，故每天至少需要卖出234张门票. 15.用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.现作如下假定：用x个单位的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）＝. （1）①试解释f（0）与f（1）的实际意义； ②写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质； （2）现有a（a＞0）个单位的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由. 解：（1）①f（0）＝1，表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量不变. f（1）＝，表示用1个单位的水清洗时，可清除蔬菜上农药量的. ②函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，并且有0＜f（x）≤1. （2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a个单位的水清洗1次后，残留的农药量为W1，则W1＝1×f（a）＝. 如果用个单位的水清洗1次，则残留的农药量为1×f＝， 然后再用个单位的水清洗1次后，残留的农药量为W2＝f2＝. 由于W1－W2＝－＝， 所以W1－W2的符号由a2－16决定. 当a＞4时，W1＞W2.此时，把a个单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少； 当a＝4时，W1＝W2.此时，两种清洗方法效果相同； 当a＜4时，W1＜W2.此时，用a个单位的水清洗一次，残留的农药量较少. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $