2.3 一元二次不等式（教学设计）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

教学环节

教学内容

设计意图

教学引入

汽车行驶过程中，由于惯性的作用，急刹车后会继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为汽车“急刹车的停车距离”。急刹车的停车距离 与车速 之间具有确定的关系。

在正常天气条件下，某汽车在高速公路上急刹车的停车距离与车速之间的函数关系为，如果希望该汽车急刹车的停车距离不超过50m，那么其行驶速度的范围是多少？(注：高速公路上的最低速度为)

上述问题要求“汽车急刹车的停车距离不超过50 m”，即 。而该汽车急刹车的停车距离与车速之间的关系为 ，因此得到

为了求出行驶速度的范围，我们需要对这个不等式进行求解。这个不等式可以进一步整理为

这个不等式只含有一个未知数 ，并且未知数 的最高次数为2。像这样的不等式还有很多，如 ， 等。

通过举例分析引出一元二次不等式的概念。

导入新知

一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫作一元二次不等式. 一元二次不等式的一般表达式为或，其中，，均为常数，且。

总结一元二次不等式的概念。

案例分析

【例题】已知二次函数，

（1）画出该函数图像；

（2）指出该函数图像上纵坐标分别为，，的所有点；

（3）根据函数图像写出，，时所对应的的值或取值范围.

【解析】（1）因为，所以函数图像为开口向上的抛物线.

因为，

通过案例来帮助学生更好地理解一元二次不等式的概念。

所以一元二次方程有两个不相等的实数解.

解方程，得，.

所以抛物线与轴的交点坐标为，.

抛物线的顶点坐标为，即.

抛物线的对称轴方程为，即。抛物线与轴的交点坐标为，即。根据函数的对称性，可以再取一些点，如。

根据以上信息，就可以画出函数的图像(如图所示)。

（2）观察图像可知，满足的点是抛物线与轴的交点；满足的点是抛物线在轴上方的所有点；满足的点是抛物线在轴下方的所有点。

（3）

观察图像可知，当时，对应抛物线与轴的两个交点，此时有两个取值，，；

当时，对应抛物线在轴上方的所有点，此时的取值范围是或；

当时，对应抛物线在轴下方的所有点，此时的取值范围是。

学以致用

【练习】设二次函数，当在什么范围取值时，有？

【解析】当时，即，得，解得或；

当时，即，得，解得；

当时，即，得，解得或，

通过及时练习进一步加强学生对一元二次不等式的概念的记忆与理解。