2.3 一元二次不等式（教学设计）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

北师大版《数学基础模块上册》 第二章 不等式 2.3 一元二次不等式 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “一元二次不等式”是中职数学“不等式”模块的重要内容，是后期学习二次函数的铺垫。.它在实际生活中（如最值问题、范围求解）具有广泛应用，教材通过“一元二次不等式定义、一元二次不等式形式、一元二次不等式解题步骤”的逻辑顺序，引导学生从具体到抽象，逐步理解其内在联系。重点突出图像法解不等式，强调数学的直观性与逻辑性的统一，帮助学生构建知识网络. 五、学情分析 有基础的学生已掌握一元二次方程解法，对二次方程求解有初步认识，但部分学生对二次方程特征根的求解可能存在计算障碍.从概念到步骤的转化过程（尤其是区间表示）易混淆；对方程、不等式、函数关系的抽象理解不足；实际问题中不等式建模能力较弱。因此，在教学过程中，需要通过实例等方式引导学生观察、思考，逐步培养学生的抽象思维能力和自主学习能力。 六、教学目标 1.理解一元二次不等式的概念及其解集的学习； 2.能全方面掌握一元二次不等式的解题方法； 3.提高运用一元二次不等式知识解决实际问题能力。 七、教学重点 掌握一元二次不等式的解题方法。. 八、教学难点 求取一元二次不等式的解集 九、教学方法 讲授法：对于一元二次不等式的重要知识点进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 类比法：引导学生探究一元二次不等式的概念和解题思路，培养学生的类比推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 汽车行驶过程中，由于惯性的作用，急刹车后会继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为汽车“急刹车的停车距离”。急刹车的停车距离 与车速 之间具有确定的关系。 在正常天气条件下，某汽车在高速公路上急刹车的停车距离与车速之间的函数关系为，如果希望该汽车急刹车的停车距离不超过50m，那么其行驶速度的范围是多少？(注：高速公路上的最低速度为) 上述问题要求“汽车急刹车的停车距离不超过50 m”，即 。而该汽车急刹车的停车距离与车速之间的关系为 ，因此得到 为了求出行驶速度的范围，我们需要对这个不等式进行求解。这个不等式可以进一步整理为 这个不等式只含有一个未知数 ，并且未知数 的最高次数为2。像这样的不等式还有很多，如 ， 等。 通过举例分析引出一元二次不等式的概念。 导入新知 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫作一元二次不等式. 一元二次不等式的一般表达式为或，其中，，均为常数，且。 总结一元二次不等式的概念。 案例分析 【例题】已知二次函数， （1）画出该函数图像； （2）指出该函数图像上纵坐标分别为，，的所有点； （3）根据函数图像写出，，时所对应的的值或取值范围. 【解析】（1）因为，所以函数图像为开口向上的抛物线. 因为， 所以一元二次方程有两个不相等的实数解. 解方程，得，. 所以抛物线与轴的交点坐标为，. 抛物线的顶点坐标为，即. 抛物线的对称轴方程为，即。抛物线与轴的交点坐标为，即。根据函数的对称性，可以再取一些点，如。 根据以上信息，就可以画出函数的图像(如图所示)。 （2）观察图像可知，满足的点是抛物线与轴的交点；满足的点是抛物线在轴上方的所有点；满足的点是抛物线在轴下方的所有点。 （3） 观察图像可知，当时，对应抛物线与轴的两个交点，此时有两个取值，，； 当时，对应抛物线在轴上方的所有点，此时的取值范围是或； 当时，对应抛物线在轴下方的所有点，此时的取值范围是。 通过案例来帮助学生更好地理解一元二次不等式的概念。 学以致用 【练习】设二次函数，当在什么范围取值时，有？ 【解析】当时，即，得，解得或； 当时，即，得，解得； 当时，即，得，解得或， 综上，当或时，； 当时，； 当或时，. 通过及时练习进一步加强学生对一元二次不等式的概念的记忆与理解。 导入新知 一般地，使一元二次不等式成立的值叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集.上面的情形表明，二次函数图像的开口方向及其与x轴的交点坐标，可以确定其对应的一元二次不等式的解集. 一般地，与二次函数对应的一元二次不等式有 四种情形，分别是，，， 。利用二次函数的图像求解相应的一 元二次不等式，可以分为三步。 第一步：确定相应的一元二次方程的判别式，从而确定二次函数的图像与轴的相交情况；如果有交点，则利用方程解出交点的横坐标。 第二步：画出二次函数的简图。 第三步：观察简图，写出不等式的解集。 通过分点总结求取一元二次不等式的解集的步骤。 案例分析 【例题】利用二次函数的图像解下列一元二次不等式. ； 【解析】 ，所以函数 的图像与x轴有两个交点. 解方程 可得， ，. 函数 的图像是开口向下的抛物线，与x轴的交点坐标 是，，函数的图像如图所示. 观察图像可得，不等式 的解集是 、 通过真题案例分析来帮助学生理解求取一元二次不等式的解集的步骤. 学以致用 【练习】利用二次函数的图像解下列一元二次不等式. . 【解析】 ，所以函数 的图像与x轴无交点. 函数 的图像是开口向上的抛物线，与x轴无交点，其简 图如图所示. 观察图像可得，不等式 的解集为 . 通过及时练习来加深学生对求取一元二次不等式的解集的步骤的记忆。 教学引入 观察下列不等式： ；① ；② ；③ 。④ 以上四个不等式对应的二次函数为，对应的一元二次方程为 。其解为，。二次函数的图像与x轴有两个交点，。 二次函数的简图如图所示。 结合二次函数的简图，我们可以得到以下结论。 （1）不等式的解在方程的两解之间，解集为； （2）不等式的解在方程的两解之外，解集为； （3）不等式的解在方程的两解之间，解集为； （4）不等式的解在方程的两解之外，解集为。 通过举例分析引出特殊类型一元二次不等式的解法。 导入新知 一般地，一元二次方程(其中，为实数，并且)有两个不相等的实数解，，二次函数的简图如图所示. 观察二次函数 的简图，可知下列结论成立. （1） 不等式的解集为； （2） 不等式的解集为； （3） 不等式的解集为； （4） 不等式的解集为。 总结特殊类型一元二次不等式的解法。 案例分析 【例题】解不等式. 【解析】 ，即. 所以不等式的解集为. 通过真题案例分析来帮助学生理解特殊类型一元二次不等式的解法. 学以致用 【练习】解不等式.. 【解析】 由得，即. 所以不等式的解集为. 通过及时练习来加深学生对特殊类型一元二次不等式的解法的记忆。 课堂练习 【练习1】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【解析】，即，解得. 故不等式的解集为. 故选：C. 【练习2】若关于x的二次不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（ ） A．{或 B． C．或 D． 【解析】因为关于x的二次不等式的解集为R， 所以，解得， 即实数m的取值范围是. 故选：B. 【练习3】若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．8 【解析】由得，即， 因为关于的不等式的解集为， 所以. 故选：A. 【练习4】不等式的解集是（ ） A．或 B． C． D． 【解析】不等式，解得， 即不等式的解集为. 故选：D. 【练习5】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【解析】不等式，即不等式，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 学校要制作矩形宣传栏，面积不小于30㎡，且长不超过宽的2倍。设宽为x m，长为(16-x ) m（周长固定为32m）。 问题：①列出一元二次不等式并化为标准式；②求解不等式，用区间表示宽的范围。 答案： ①x(16−x)≥30，整理为标准式−16x+30=0； ②解方程−16x+30=0，得根=8−≈2.47,=8+≈13.53；二次项系数为正，开口向上，解集为8−≤x≤8+，区间[8−,8+] 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 1.利用二次函数的图像求解相应的一元二次不等式的步骤： ①确定相应的一元二次方程的判别式，从而确定二次函数的图像与轴的相交情况；如果有交点，则利用方程解出交点的横坐标。 ②画出二次函数的简图。 ③观察简图，写出不等式的解集。 2.特殊类型一元二次不等式的解法： （1）不等式的解集为； （2）不等式的解集为； （3）不等式的解集为； （4）不等式的解集为。 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 一元二次不等式： 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫作一元二次不等式. 一元二次不等式的一般表达式为或，其中，，均为常数，且。 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 本次“一元二次不等式”教学整体成效显著，多数学生能熟练掌握解题基本步骤，课堂互动氛围良好。板书结构清晰，更加高效辅助学生理解核心逻辑；；增加小组交流环节，更好关注学生的理解情况。但唯一的不足是在时间分配上，参数讨论环节耗时较长，导致巩固练习时间压缩，下次提前预设讨论深度，避免压缩巩固练习时间。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $