2.3 一元二次不等式（教学课件）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

2.3 一元二次不等式 第二章 不等式 北师大版 基础模块上册 学习目标 1.理解一元二次不等式的概念及其解集的学习； 2.能全方面掌握一元二次不等式的解题方法； 3.提高运用一元二次不等式知识解决实际问题能力。 教学引入 汽车行驶过程中，由于惯性的作用，急刹车后会继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为汽车“急刹车的停车距离”。急刹车的停车距离与车速之间具有确定的关系。 教学引入 在正常天气条件下，某汽车在高速公路上急刹车的停车距离与车速之间的函数关系为，如果希望该汽车急刹车的停车距离不超过50m，那么其行驶速度的范围是多少？(注：高速公路上的最低速度为) 【解析】 上述问题要求“汽车急刹车的停车距离不超过50 m”，即 。而该汽车急刹车的停车距离与车速之间的关系为 ，因此得到 ； 教学引入 【解析】 为了求出行驶速度的范围，我们需要对这个不等式进行求解。这个不等式可以进一步整理为 这个不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2。像这样的不等式还有很多，如 ， 等。 导入新知 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式， 叫作一元二次不等式. 一元二次不等式的一般表达式为 或， 其中，，均为常数，且。 案例分析 案例分析 案例分析 案例分析 案例分析 学以致用 导入新知 一般地，使一元二次不等式成立的值叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集. 上面的情形表明，二次函数图像的开口方向及其与x轴的交点坐标，可以确定其对应的一元二次不等式的解集. 导入新知 一般地，与二次函数对应的一元二次不等式有四种情形，分别是 ，， ，。 利用二次函数的图像求解相应的一元二次不等式，可以分为三步。 导入新知 第一步：确定相应的一元二次方程的判别式，从而确定二次函数的图像与轴的相交情况；如果有交点，则利用方程解出交点的横坐标。 第二步：画出二次函数的简图。 第三步：观察简图，写出不等式的解集。 案例分析 案例分析 学以致用 教学引入 观察下列不等式： 以上四个不等式对应的二次函数为，对应的一元二次方程为,其解为，。 教学引入 二次函数的图像与x轴有两个交点，。二次函数的简图如图所示。 结合二次函数的简图，我们可以得到以下结论。 （1）不等式的解在方程=0的两解之间，解集为； 教学引入 （2）不等式的解在方程=0的两解之外，解集为； （3）不等式的解在方程=0的两解之间，解集为； （4）不等式的解在方程=0的两解之外，解集为； 导入新知 一般地，一元二次方程(其中为实数，并且)有两个不相等的实数解，，，二次函数的简图如图所示. 导入新知 案例分析 学以致用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 师生交流 错题1：点A(2, -1)到直线l：2x - y + 3 = 0的距离——小明解答：d=(2×2 - (-1) + 3)/√(2²+(-1)²)=(4+1+3)/√5=8/√5=8√5/5 错题2：点B(3, 4)到直线l：y = -x + 1的距离——小明解答：d=|3 + 4 + 1|=8。 拓展思考互动 学校要制作矩形宣传栏，面积不小于30㎡，且长不超过宽的2倍。设宽为x m，长为(16-x ) m（周长固定为32m）。 问题：①列出一元二次不等式并化为标准式；②求解不等式，用区间表示宽的范围。 答案：①，整理为标准式；②解方程 ，得根,；二次项系数 为正，开口向上，解集为，区间 课堂小结 1.利用二次函数的图像求解相应的一元二次不等式的步骤： ①确定相应的一元二次方程的判别式，从而确定二次函数的图像与轴的相交情况；如果有交点，则利用方程解出交点的横坐标。 ②画出二次函数的简图。 ③观察简图，写出不等式的解集。 课堂小结 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【例题】已知二次函数， （1）画出该函数图像； （2）指出该函数图像上纵坐标分别为，，的所有点； （3）根据函数图像写出，，时所对应的的值或取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）因为，所以函数图像为开口向上的抛物线. 因为，所以一元二次方程有两个不相等的实数解，解方程得，. 所以抛物线与轴的交点坐标为，，抛物线的顶点坐标为，即.抛物线的对称轴方程为，即。抛物线与轴的交点坐标为，即。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根据函数的对称性，可以再取一些点，如。 根据以上信息，就可以画出函数的图像(如图所示)。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （2）观察图像可知， 满足的点是抛物线与轴的交点； 满足的点是抛物线在轴上方的所有点； 满足的点是抛物线在轴下方的所有点。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 观察图像可知， 当时，对应抛物线与轴的两个交点，此时有两个取值，，； 当时，对应抛物线在轴上方的所有点，此时的取值范围是或； 当时，对应抛物线在轴下方的所有点，此时的取值范围是。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 当时，即，得，解得或； 当时，即，得，解得； 当时，即，得，解得或， 综上，当或时，；当时，； 当或时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】设二次函数，当在什么范围取值时，有？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】利用二次函数的图像解一元二次不等式.. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ， 所以函数 的图像与x轴有两个交点. 解方程 可得，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 函数 的图像是开口向下的抛物线， 与x轴的交点坐标是，， 函数的图像如图所示. 观察图像可得，不等式 的解集是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】利用二次函数的图像解一元二次不等式.. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，所以函数 的图像与x轴无交点.函数 的图像是开口向上的抛物线，与x轴无交点，其简图如图所示. 观察图像可得，不等式 的解集为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ；① ；② ；③ 。④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 观察二次函数 的简图，可知下列结论成立. （1）不等式的解集为； （2）不等式的解集为； （3）不等式的解集为； （4）不等式的解集为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】解不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ， 即. 所以不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】解不等式.. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由得， 即. 所以不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，即，解得. 故不等式的解集为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】若关于x的二次不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（ ） A．{或 B． C．或 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为关于x的二次不等式的解集为R，所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．8 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由得，即， 因为关于的不等式的解集为，所以. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】不等式的解集是（ ） A．或 B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 不等式，解得， 即不等式的解集为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 不等式，即不等式，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2.特殊类型一元二次不等式的解法： （1）不等式的解集为； （2）不等式的解集为； （3）不等式的解集为； （4）不等式的解集为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $