2.1 不等式的基本性质（教学设计）--北师大版《数学 基础模块上册》《上好课》

北师大版《数学基础模块上册》 第二章 不等式 2.1 不等式的基本性质 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “不等式的基本性质”与方程、函数等核心概念紧密相连，是解决数学问题的重要工具。在后续学习中，学生会频繁用到不等式基本性质来求解各类不等式问题，如一元一次不等式、一元二次不等式等。它为学生提供了一种分析数量关系的数学思维模式，帮助学生从更广泛的角度理解数学的本质。通过对不等式基本性质的学习，学生能更好地理解现实世界中不等关系的普遍存在，培养逻辑思维能力和问题解决能力，为后续的数学学习和实际应用奠定坚实基础。 五、学情分析 部分学生已经掌握了一些基本的数学运算和概念，如实数运算、简单的方程求解等，这为学习不等式基本性质提供了一定的知识支撑。他们能理解不等式的基本含义，如“大于”“小于”的概念，也能进行简单的实数大小比较。然而，也有不少学生在初中阶段数学基础较为薄弱，对一些数学概念理解不深，如对实数的分类和性质掌握不够清晰，这可能会影响他们对不等式性质中涉及实数运算的理解。在不等式基本性质的学习上，学生可能会在不等式两边同时乘除负数时改变不等号方向这一性质上出现混淆，难以准确判断不等号的变化。 六、教学目标 1.掌握不等式的基本性质及推论，能准确运用性质判断不等关系的变化； 2.理解“作差比较大小”的基本思路，能解决生活中简单的数值大小比较问题； 3.掌握不等式基本性质的应用，提高分析问题和解决问题的能力。 七、教学重点 不等式的基本性质及推论。 八、教学难点 对不等式的基本性质中“乘负数不等号反向”的理解。 九、教学方法 启发式教学：在不等式基本性质教学中，教师可先给出一些具体的不等式实例，引导学生观察两边数字变化与不等号的关系。 讲授法：对不等式的基本性质进行系统讲解，确保学生理解和掌握相关知识内容。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 知识回顾 我们知道： (1) ； (2) ； (3)若，，则。 初中我们还学习过不等式的下列性质： 性质1： 性质2： 性质3： 通过回顾所学习的不等式的基本性质来引出不等式性质的3条推论。 教学引入 有观点认为，最美人体的下半身长（肚脐至脚的触地点的长度）与全身长之比是，这被称为黄金分割比例。某芭蕾舞演员全身长166 cm，下半身长98 cm。表演过程中，芭蕾舞演员会立起脚尖跳舞，此时肚脐与脚的触地点的距离增加了8 cm。 试问：该芭蕾舞演员下半身长与全身长的比值，在脚尖立起前后哪个大？哪一个更接近0.618？ 分析理解 该芭蕾舞演员脚尖立起前，下半身长与全身长的比值为；脚尖立起后，下半身长与全身长的比值为。本题要求比较这两个分数的大小。 通过举例来引出不等式性质的3条推论，引发学生思考激发求知欲。 导入新知 为了借助不等式知识解决上面的问题，我们需要进一步研究不等式的性质。根据初中学过的不等式的3个基本性质，可以得到一系列推论。 推论1：， 推论2： 推论3：， 总结引出不等式性质的3条推论。 深入理解 请思考： 能否利用所学知识给出三个推论的证明过程呢？ 推论1 如果，，那么. 【证明】： 根据性质1有a>⟹a+c>b+c，c>d⟹ +c>+d， 从而+c>+c>+d.，即+c>b+d. 推论2 如果+>c，那么>c−. 【证明】： +>c⟹a++(−)>c+(−)⟹>c−. 推论3 如果a>>0，c>d>0,那么 c> d. 【证明】： 根据性质2有 >b，c>0⟹ a c>b c，c>d，b>0⟹ b c>b d， 从而c>b c>b d.，即 c>b d 通过证明不等式性质的3条推论来进一步加深学生的记忆和理解。 案例分析 【例题】已知。 （1） 比较与的大小； （2） 比较与的大小； （3） 比较与的大小。 【解析】 （1）因为，，根据性质2，有。 （2）因为，，根据性质3，有。 （3）若，根据性质2，有。 若，根据性质3，有。 若，则有，所以。 【例题】已知，比较与的大小。 【解析】因为，， 根据推论1，有， 即。 通过案例来帮助学生理解引出不等式性质的3条推论。。 学以致用 【练习】如果 ，那么（ ） A． B． C． D． 【解析】根据不等式的性质，，故D选项正确 当时，满足， 此时，，， 故时，A、 B 、C不一定成立， 故选：D. 【练习】若，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 所以，即，故选项A错误； 所以，即，故选项B正确； 所以，即，故选项C错误； 所以，即，故选项D错误； 故选：B. 通过及时练习进一步加强学生对不等式性质的3条推论的运用。 导入新知 我们知道实数可以比较大小. 数学中经常用下面的等价关系比较，的大小. 由此可见，比较，的大小，只要判断它们的差与的大小关系即可. 例如，我们可以作差比较与的大小. 因为，且当时，，所以. 总结运用作差比较法来比较比较实数，的大小。 案例分析 【例题】分析本节“问题提出”中的问题：该芭蕾舞演员下半身长与全身长的比值，在脚尖立起前后哪个大？哪一个更接近0.618？. 【解析】作差可得 ，所以 . 又因为 ，，所以立起脚尖后，该芭蕾舞演员的下半身长与全身长的比值更接近. 特别提示 【例题】已知 ，，比较 与 的大小. 【解析】作差可得 . 因为 ，所以 . 又因为 ，所以 ， 即 ，所以 . 通过案例分析来帮助学生理解作差比较法来比较比较实数，的大小. 学以致用 【练习】设，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．与有关 【解析】，. 故选：A. 【练习】比较与的大小，结果是（ ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法确定 【解析】因为， 所以. 故选：B. 通过及时练习来加深学生对作差比较法来比较比较实数，的大小的方法的理解记忆。 课堂练习 【练习1】若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，由不等式的加法性质知，所以A选项错误； 因为，所以，所以B选项正确； C选项中若，则不等式不成立；D选项应为，错误. 故选：B. 【练习2】已知，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 又，所以，即. 所以的范围是. 故选：C. 【练习3】已知都是实数，并且，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】对A：因为，所以，当时，，故A项错误； 对B：因为，所以，根据不等式的加法法则， 不等式两边同时加上，则，故B项正确； 对C：当时，，即，故C项错误； 对D：因为，当时，故D项错误. 故选：B. 【练习4】下列不等式正确的是（ ）. A． B． C． D． 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D. 小明计划周末去零食店买零食，假设某零食原价x元，有两家零食店可以选择：A店：先打7折，再减5元；B店：先减5元，再打7折。问题：哪家店的最终价格更低？用不等式性质说明理由。 答案：A店：；B店：； 由性质1：，故A店价格更低。 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺. 知识梳理 1.不等式的基本性质有哪些？ 性质1： 性质2： 性质3： 2.不等式性质的推论有哪些？ 推论1：， 推论2： 推论3：， 3.作差比较法 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 不等式的基本性质 性质1： 性质2： 性质3： 不等式性质的推论 推论1：， 推论2： 推论3：， 作差比较法 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 通过生活实例导入，激发了学生的学习兴趣，使抽象知识变得生动易懂。启发式教学与小组合作学习的运用，让学生主动参与，积极思考，增强了学生的逻辑思维能力和团队协作精神。但教学中也存在一些问题。部分学生在理解不等式两边同时乘除负数时仍有困难，后续需要增加部分课堂练习来帮助学生理解记忆。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $