5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“两角差的余弦公式”，通过“已知角三角函数值求差角三角函数值”的实际问题导入，衔接诱导公式，利用坐标法推导公式，构建从问题提出到公式应用的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理为核心（如坐标法推导公式），结合数学运算分层设计例题（给角求值、给值求值、给值求角），通过角的变换技巧总结和角范围界定培养数学思维，分层次作业助力巩固，能提升学生运算与推理能力，也为教师提供系统教学资源。

第一课时　两角差的余弦公式 1 1. 了解两角差的余弦公式的推导过程（逻辑推理）. 2. 掌握两角差的余弦公式的应用（数学运算）. 课标要求 　　同学们，大家知道求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式. 情景导入 知识点一　两角差的余弦公式 01 知识点二　给值求值问题 02 提能点　给值求角问题 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 两角差的余弦公式 01 PART 目 录 问题　（1）如图所示，求P，A1，P1的坐标. 提示：P（ cos （α－β）， sin （α－β）），A1（ cos β， sin β），P1 （ cos α， sin α）. 数学·必修第一册 目 录 （2）已知在平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如 何求线段P1P2的长度？ 提示：平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式P1P2＝ . （3）根据AP＝A1P1可以得到什么等式？ 提示：[ cos （α－β）－1]2＋ sin 2（α－β）＝（ cos α－ cos β）2＋（ sin α － sin β）2. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 两角差的余弦公式 cos （α－β）＝ ，其中α，β为任意角，简记作 C（α－β）. 　　提醒：（1）该公式对任意角都能成立；（2）公式的结构：左端为两 角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和. cos α cos β＋ sin α sin β　 数学·必修第一册 目 录 【例1】　（1） cos 15°的值是（　　） A. B. C. D. 解析：　 cos 15°＝ cos （45°－30°）＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°＝ × ＋ × ＝ . √ 数学·必修第一册 目 录 ② cos 105°＋ sin 105°. 解：①原式＝ cos cos ＋ cos （ － ） sin ＝ cos cos ＋ sin sin ＝ cos （ － ）＝ cos ＝ . ②原式＝ cos 60° cos 105°＋ sin 60° sin 105° ＝ cos （60°－105°）＝ cos （－45°）＝ . （2）求下列各式的值： ① cos cos ＋ cos sin ； 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 两角差的余弦公式常见题型及解法 （1）两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解； （2）含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两 角差的余弦公式求解； （3）求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然 后利用两角差的余弦公式求解. 数学·必修第一册 目 录 训练1　（1） cos 105°＝ ⁠； 解析：原式＝ cos （150°－45°）＝ cos 150° cos 45°＋ sin 150° sin 45°＝－ × ＋ × ＝ . （2）求值： cos 80°· cos 35°＋ cos 10°· cos 55°. 解：原式＝ cos 80°· cos 35°＋ sin 80°· sin 35°＝ cos （80°－35°）＝ cos 45°＝ . ​ 数学·必修第一册 目 录 知识点二 给值求值问题 02 PART 目 录 【例2】　（1）已知 sin α＝ ，α∈（ ，π），求 cos （ －α）的值； 解：因为 sin α＝ ，α∈（ ，π）， 所以 cos α＝－ ＝－ ＝－ ， 所以 cos （ －α）＝ cos cos α＋ sin sin α＝ ×（－ ）＋ × ＝ . 数学·必修第一册 目 录 （2）已知α，β为锐角，且 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，求 cos β的值. 解：因为0＜α，β＜ ，所以0＜α＋β＜π. 由 cos （α＋β）＝－ ，得 sin （α＋β）＝ ＝ ＝ . 又因为 cos α＝ ，所以 sin α＝ . 所以 cos β＝ cos ＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝ （－ ）× ＋ × ＝ . 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 给值求值问题的解题策略 （1）从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些 角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要 灵活地进行拆角或凑角的变换； （2）常见角的变换：①α＝（α－β）＋β；②α＝ ＋ ；③2α＝（α ＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）. 数学·必修第一册 目 录 训练2　已知 sin α＝ ，α∈（ ，π）， cos β ＝－ ，β是第三象限角，求 cos （α－β）的值. 解：由 sin α＝ ，α∈（ ，π），得 cos α＝－ ＝－ ＝－ . 又由 cos β＝－ ，β是第三象限角，得 sin β＝－ ＝－ ＝－ . 所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β ＝（－ ）×（－ ）＋ ×（－ ）＝－ . 数学·必修第一册 目 录 03 PART 提能点 给值求角问题 目 录 【例3】　（1）已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， sin β＝ ，则α－β ＝ ⁠； 解析：∵α，β均为锐角，∴ cos α＝ ， cos β＝ .∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ .又∵ sin α＞ sin β， ∴0＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ ，故α－β＝ . ​ 数学·必修第一册 目 录 （2）已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，α，β∈（0， ），则β ＝ ⁠. 解析：∵α，β∈（0， ），∴α＋β∈（0，π）.∵ cos α＝ ， cos （α＋ β）＝－ ，∴ sin α＝ ， sin （α＋β）＝ ，∴ cos β＝ cos [（α＋β） －α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝（－ ）× ＋ × ＝ .∵0＜β＜ ，∴β＝ . ​ 数学·必修第一册 目 录 变式　若本例（1）中“ sin α”变为“ cos α”，“ sin β”变为“ cos β”，则α－β＝ ⁠. 解析：∵α，β均为锐角，∴ sin α＝ ， sin β＝ ，∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ .又∵ sin α＜ sin β， ∴0＜α＜β＜ ，∴－ ＜α－β＜0，故α－β＝－ . － 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围； （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调 的三角函数； （3）结合三角函数值及角的范围求角. 数学·必修第一册 目 录 1. cos 20°＝（　　） A. cos 30° cos 10°－ sin 30° sin 10° B. cos 30° cos 10°＋ sin 30° sin 10° C. sin 30° cos 10°－ sin 10° cos 30° D. sin 30° cos 10°＋ sin 10° cos 30° 解析：　 cos 20°＝ cos （30°－10°）＝ cos 30° cos 10°＋ sin 30° sin 10°. √ 数学·必修第一册 目 录 2. cos （α－35°） cos （25°＋α）＋ sin （α－35°） sin （25°＋α）的 值为（　　） A. － B. C. － D. 解析：原式＝ cos [（α－35°）－（α＋25°）]＝ cos 60°＝ . √ 数学·必修第一册 目 录 3. 已知 sin （α＋60°）＝ ，30°＜α＜120°，则 cos α＝（　　） A. B. － C. D. － 解析：　∵30°＜α＜120°，∴90°＜α＋60°＜180°，又 sin （α＋ 60°）＝ ，∴ cos （α＋60°）＝－ ，∴ cos α＝ cos [（α＋60°）－ 60°]＝ cos （α＋60°） cos 60°＋ sin （α＋60°） sin 60°＝－ × ＋ × ＝ . √ 数学·必修第一册 目 录 4. 若 cos （α－β）＝ ， cos 2α＝ ，且α，β均为锐角，α＜β，则α＋β ＝ ⁠. 解析：因为0＜α＜ ，0＜β＜ ，α＜β.所以－ ＜α－β＜0.又 cos （α－ β）＝ ，所以 sin （α－β）＝－ ＝－ .又因为0＜ 2α＜π， cos 2α＝ ，所以 sin 2α＝ ＝ ，所以 cos （α＋ β）＝ cos [2α－（α－β）]＝ cos 2α cos （α－β）＋ sin 2α sin （α－β）＝ × ＋ ×（－ ）＝－ ，又0＜α＋β＜π，故α＋β＝ . ​ 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）两角差的余弦公式（给角求值）； （2）给值求值问题； （3）给值求角问题. 2.应体会 运用构造法解决给值求值问题. 3.避易错 求角时忽视角的范围. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. cos 56° cos 26°＋ sin 56° cos 64°＝（　　） A. B. － C. D. － 解析：　原式＝ cos 56° cos 26°＋ sin 56° sin 26°＝ cos （56°－ 26°）＝ cos 30°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 已知点P（1， ）是角α的终边上一点，则 cos （ －α）＝（　　） A. B. C. － D. 解析：　由题意可得 sin α＝ ， cos α＝ ，所以 cos （ －α）＝ cos cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 已知A，B，C是△ABC的三个内角，且方程x2＋x cos A cos B＋ sin A sin B－1＝0的两根之和与两根之积相等，则△ABC是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 解析：　由题意得－ cos A cos B＝ sin A sin B－1，即 cos A cos B＋ sin A sin B＝1，则 cos （A－B）＝1，又A，B为△ABC的内角，所以A＝B. 故 △ABC是等腰三角形.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 已知 cos （x－ ）＝－ ，则 cos x＋ cos （x－ ）＝（　　） A. － B. ± C. －1 D. ±1 解析：　 cos x＋ cos （x－ ）＝ cos x＋ cos x＋ sin x＝ cos x＋ sin x＝ （ cos x＋ sin x）＝ cos （x－ ）＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 〔多选〕下列各式化简正确的是（　　） A. cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°＝ cos 60° B. cos ＝ cos cos ＋ sin sin C. sin （α＋45°） sin α＋ cos （α＋45°） cos α＝ cos 45° D. cos （α－ ）＝ cos α＋ sin α 解析：　根据两角差的余弦公式A、B、C都是正确的；而对于D， cos （α－ ）＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin α，故D错误. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕若 sin x＋ cos x＝ cos （x－φ），则φ的一个可能值是 （　　） A. B. － C. D. 解析：　因为 sin x＋ cos x＝ cos （x－φ）＝ cos x cos φ＋ sin x sin φ，所以有 所以φ＝ ＋2kπ，k∈Z，故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 已知 cos （α－ ）＝ cos α，则tan α＝ 　​ 　. 解析： cos （α－ ）＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin α＝ cos α，所以 sin α＝ cos α，所以 ＝ ，即tan α＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. ＝ 　​ 　. 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝ cos 15°＝ cos （60°－45°）＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. （2025·永州期中）在△ABC中， sin A＝ ， cos B＝－ ，则 cos （A －B）＝ ⁠. 解析：因为 cos B＝－ ，且0＜B＜π，所以 ＜B＜π，所以 sin B＝ ＝ ＝ ，且0＜A＜ ，所以 cos A＝ ＝ ＝ ，所以 cos （A－B）＝ cos A cos B＋ sin A sin B＝ ×（－ ）＋ × ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. 如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于 A，B两点. （1）如果A，B两点的纵坐标分别为 ， ，求 cos α和 sin β的值； 解：∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为 ， ， ∴ sin α＝ ， sin β＝ ， 又∵α为锐角，∴ cos α＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）在（1）的条件下，求 cos （β－α）的值. 解：∵β为钝角， ∴由（1）知 cos β＝－ ＝－ ， ∴ cos （β－α）＝ cos β cos α＋ sin β sin α ＝－ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. （2025·郑州一中月考）已知函数f（x）＝ sin 126°· sin （x－36°） ＋ cos 54° cos （x－36°），则函数f（x）是（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 解析：因为函数的定义域为R，且f（x）＝ sin 126°· sin （x－36°）＋ cos 54° cos （x－36°）＝ cos 54° cos （x－36°）＋ sin 54° sin （x－36°）＝ cos [54°－（x－36°）]＝ cos （90°－x）＝ sin x，故函数f（x）为奇函数. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. （2025·深圳中学期末）已知 sin α－ sin β＝1－ ， cos α－ cos β＝ ，则 cos （α－β）的值为（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　因为 sin α－ sin β＝1－ ，所以 sin 2α－2 sin α· sin β＋ sin 2β＝ － ①.又因为 cos α－ cos β＝ ，所以 cos 2α－2 cos α cos β＋ cos 2β＝ ②.由①＋②得，2 cos （α－β）＝ ，所以 cos （α－β）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 已知0＜α＜π， sin （α＋ ）＝ ，则 cos α＝ 　​ 　. 解析：由0＜α＜π，得 ＜α＋ ＜ ，又 sin （α＋ ）＝ ＜ ，故 ＜α ＋ ＜π，即位于第二象限，由同角三角函数关系得 cos （α＋ ）＝－ ＝－ ， cos α＝ cos （α＋ － ）＝ cos （α＋ ） cos ＋ sin （α＋ ） sin ＝－ × ＋ × ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 已知α，β为锐角且 cos （α－β）＝ ， cos α＝ ，求 cos β的值. 解：∵ cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，α，β为锐角， ∴ sin α＝ ， sin （α－β）＝± . 当 sin （α－β）＝ 时， cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α· sin （α－β）＝ . 当 sin （α－β）＝－ 时， cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β） ＋ sin α· sin （α－β）＝0. ∵β为锐角，∴ cos β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 已知函数f（x）＝2 cos （ωx＋ ）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周 期为10π. （1）求ω的值； 解：由于函数f（x）的最小正周期为10π， 所以10π＝ ，所以ω＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）设α，β∈［0， ］，f（5α＋ ）＝－ ，f（5β－ ）＝ ，求 cos （α－β）的值. 解：因为f（5α＋ ）＝－ ， 所以2 cos ［ （5α＋ ）＋ ］＝2 cos （α＋ ）＝－ ，所以 sin α＝ ， 又因为f（5β－ ）＝ ， 所以2 cos ［ （5β－ ）＋ ］＝2 cos β＝ ， 所以 cos β＝ ， 因为α，β∈［0， ］，所以 cos α＝ ， sin β＝ ， 所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $