2025～2026学年高一上学期寒假物理预习讲义：第5讲 功与功率

第5讲 功与功率 【体系构建】 1. 功的概念和功的计算 2. 功率的概念和功率的分析和计算 3. 机车启动的两类问题 【情境引入】 手动挡的摩托车上陡坡的时候为什么要降到2-3档而不是高档位高速上坡呢？其中有什么物理知识？ 【必备知识】 知识点一 功的概念和功的计算 1.定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 2.公式：W＝Flcos__α。 (1)α是力与位移之间的夹角，l为物体对地的位移。 (2)该公式只适用于恒力做功。 (3)功是标量，没有方向，但有正负。 3.单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是 J。1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。 4.做功的两个条件：力和物体在力的方向上发生位移。 5.功的正负：由W＝Flcos α可知 (1)当α＝时，cos α＝0，W＝0，力对物体不做功。 (2)当0≤α<时，cos α>0，W>0，力对物体做正功。 (3)当<α≤π时，cos α<0，W<0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功。 说明：功的正、负不表示功的大小，只表示力的性质，即正功表示该力是动力，负功表示该力是阻力。 例1．如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中（　　） A．摩擦力做功大小与F方向无关 B．合力做功大小与F方向无关 C．F为水平方向时，F做功为 D．F做功的最小值为 【答案】BD 【详解】A．设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为 摩擦力的功 即摩擦力的功与F的方向有关，故A错误； B．合力功 可知合力功与力F方向无关，故B正确； C．当力F水平时，则 力F做功为，故C错误； D．因合外力功为max大小一定，而合外力的功等于力F与摩擦力f做功的代数和，而当时，摩擦力f=0，则此时摩擦力做功为零，此时力F做功最小，最小值为max，故D正确。 故选BD。 例2．如图所示，质量为2kg的物体从固定的光滑斜面顶端由静止滑下，滑到斜面底端时速度为10m/s，已知斜面长10m，倾角为，取g=10m/s2。在此过程中（　　） A．支持力做正功 B．重力做负功 C．重力做功200J D．合外力做功为100J 【答案】D 【详解】A．斜面对物体的支持力垂直斜面向上，与运动方向垂直，不做功，故A错误； BCD．物体向下运动，所以重力做正功，且只有重力做功，所以合外力做的功等于重力做的功，则有，故BC错误，D正确。 故选D。 例3．质量为的物体置于倾角为的斜面上，物体和斜面体间的动摩擦因数为。在外力作用下，斜面体沿水平面向左做直线运动，运动过程中物体与斜面体之间保持相对静止，下列说法正确的是（　　） A．斜面对物体的支持力一定做正功 B．物体对斜面的压力一定做功 C．斜面对物体的摩擦力一定做负功 D．物体对斜面的摩擦力可能不做功 【答案】ABD 【详解】AB．由功的计算公式可知，斜面对物体的支持力方向垂直斜面向上，与位移的方向夹角小于90°，斜面对物体的支持力一定做正功，同理物体对斜面的压力一定做负功，故AB正确； CD．摩擦力是否存在需要讨论：当加速度较小时，摩擦力沿斜面向上，即时，摩擦力沿斜面向上，做负功；当加速度较大时，摩擦力沿斜面向下，即时，摩擦力沿斜面向下，做正功；当时，摩擦力不存在，不做功，故D正确，C错误； 故选ABD。 例4．关于对“功”的理解以下说法正确的是（　　） A．物体只要受到力的作用，力对物体就一定会做功 B．一对摩擦力做功的代数和总为零 C．若物体所受某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有发生位移 D．做匀速圆周运动的物体所受合力做功一定为零 【答案】D 【详解】A．功的计算公式为，若物体受力但位移为零（如静止），或力与位移垂直（），则功为零。因此，受力不一定做功，故A错误； B．一对滑动摩擦力做功时，两物体的位移可能不同（如木块在木板上滑动），摩擦力对两物体做功的代数和可能不为零。例如，若木板固定，木块滑动，则摩擦力对木块做负功，对木板不做功，代数和不为零，故B错误； C．力不做功可能是力与位移垂直，而非物体无位移。例如，匀速圆周运动中向心力始终与速度方向垂直，不做功，但物体有位移，故C错误； D．匀速圆周运动中，合力提供向心力，方向始终与速度方向垂直，故每个瞬间合力做功为零；从动能定理看，动能变化为零，总功也为零，故D正确。 故选D。 知识点二 功率的概念和功率的分析和计算 1.定义：功W与完成这些功所用时间t之比。 2.公式：P＝。单位：瓦特，简称瓦，符号是W。 3.意义：功率是表示力做功快慢的物理量。 4.功率是标量。 5.功率与速度 (1)功率与速度关系式：P＝Fv(F与v方向相同)。 (2)若v是平均速度，则P＝Fv表示平均功率；若v是瞬时速度，则P＝Fv表示瞬时功率。 6.公式P＝Fv中三个量的制约关系 定值 各量间的关系 应用 P一定 F与v成反比 汽车上坡时，需增大牵引力，应换低速挡减小速度 v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力 F一定 v与P成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度 7.平均功率与瞬时功率 项目 平均功率 瞬时功率 公式 P＝或P＝Fcos α P＝Fvcos α，式中v表示某一时刻的瞬时速度 物理意义 只能粗略地描述物体做功的快慢 能精确地描述物体做功的快慢 注意 ①求解功率时，一定要分析清楚所求功率是瞬时功率还是平均功率 ②应用P＝Fcos α计算平均功率时，力F是恒力，为对应时间t内的平均速度 ③求平均功率时一定要说明是哪个力在哪段时间内的平均功率 例5.如图所示，一个人先后两次用同样的时间、同样大小的力，将不同质量的物体在不同的表面上分别移动相同的距离。该力在此过程中所做功的大小分别为、，功率的大小分别为、，关于它们之间的大小关系说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】根据做功的公式 可知两次所用的力相同，移动的距离也相同，故两次做功的大小相等，即 根据功率的公式 可知两次做功的大小相同，所用的时间也相同，故两次功率的大小相等，即 故选D。 例6.贵州某茶叶种植园为提高运输效率，工人将山地轨道运输车投入使用，如图（a）所示。在某段运输线路中，有一段与水平方向夹角为的倾斜直轨道，其示意图如图（b）所示。一辆装满茶叶的运输车总质量为，在电动机牵引下从轨道底端以的速度匀速运动到顶端，运输过程中车受到的阻力大小恒为（重力加速度取、）。关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．重力做正功 B．重力做负功 C．电动机牵引小车做功的功率为 D．电动机牵引小车做功的功率为 【答案】BD 【详解】AB．运输车从轨道底端运动到顶端，重力方向竖直向下，位移沿轨道向上，重力与位移方向夹角大于，根据 可知重力做负功，故A错误，B正确； CD．对运输车，由平衡条件可知电动机牵引力 则电动机牵引小车做功的功率为 故C错误，D正确。 故选BD。 例7.分别用相同的力拉着甲、乙两物块由静止开始沿着光滑水平面运动相同的距离。已知，两物块均可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动过程中，甲物块所受拉力的瞬时功率越来越大 B．运动过程中，乙物块所受拉力的瞬时功率保持不变 C．运动过程中，两物块所受拉力的平均功率 D．运动过程中，两物块所受拉力的平均功率 【答案】AC 【详解】AB．由牛顿第二定律可得 根据运动学规律可得 物块的瞬时功率 联立整理可得 因此运动过程中，两物块所受拉力的瞬时功率越来越大，故A正确，B错误； CD．由动能定理可得 解得 结合题意，则有 根据匀变速直线运动的平均速度 可得 根据平均功率可知，因此，故C正确，D错误。 故选AC 。 知识点三 机车启动的两类问题 1.恒定功率启动 汽车启动的动态过程如下。 这一过程的速度、功率、牵引力随时间变化的图像分别如图所示。 2. 恒定加速度启动 a不变，F阻不变，由F－F阻＝ma知，F也不变，由P＝Fv知，此过程汽车的实际功率P增大。 汽车刚达到额定功率时，F>F阻，即合力方向仍与运动方向相同，故汽车继续做加速直线运动。由F－F阻＝ma和P额＝Fv1 得v1＝ 此后汽车功率不变，速度继续增大，此时汽车的速度不是最大速度。 汽车启动的动态过程如下。 这一过程的速度、功率、牵引力随时间变化的图像分别如图所示。 汽车的最大速度vmax＝。 例8.作为大同装备制造业的龙头，“大同机车”已成为了我国电力机车走向世界的一张名片！如图为某“复兴”号机车以恒定加速度从静止开始运动，其所受阻力恒定，若经过时间t达到额定输出功率P，则该过程中机车牵引力所做的功为（　　） A．Pt B． C． D．已知条件不足，无法确定 【答案】B 【详解】设匀加速阶段机车的牵引力为F，则达到额定功率P时，其速度为 又该阶段机车运动的位移为 综上所述，该过程中机车牵引力所做的功为 故选B。 例9.如图甲所示，一物体置于倾角θ=30°的足够长光滑斜面上，电动机通过跨过定滑轮的轻绳牵引物体沿斜面上升。启动电动机后，在0~6s时间内物体运动的v-t图像如图乙所示，其中除1~5s时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线，1s后电动机的输出功率保持不变。已知物体的质量为5kg，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2。则（　　） A．0~1s内电动机的输出功率不变 B．1~5s内电动机牵引力逐渐变大 C．0~1s内电动机牵引力大小为45N D．1s后电动机的输出功率为160W 【答案】C 【详解】A．由图可知，0~1s内物体做匀加速直线运动，则电动机牵引力大小不变，物体速度增大，则电动机的输出功率变大，故A错误； B．由图可知，1~5s内物体的加速度逐渐减小，根据牛顿第二定律可得 所以电动机牵引力逐渐减小，故B错误； C．由图可知，0~1s内物体的加速度为 根据牛顿第二定律表达式可得电动机牵引力大小为，故C正确； D．1s后电动机的输出功率不变，等于1s时的输出功率，则有，故D错误。 故选C。 例10.2024年9月29日，自贡到重庆的高铁正式开通，早上吃冷吃兔，中午吃重庆火锅。假设此高铁列车启动后沿水平直轨道行驶，发动机的总功率恒为。且行驶过程中受到的阻力大小恒定，列车的质量为，最大行驶速度为。下列说法正确的是（　　） A．在加速阶段，高铁列车的加速度保持不变 B．高铁列车受到阻力大小为 C．在加速阶段，发动机对高铁列车的牵引力逐渐变大 D．当高铁列车的速度为时，列车的加速度大小为 【答案】B 【详解】AC．发动机的功率恒定，根据 可知加速阶段，随着速度的增大，则发动机对高铁列车的牵引力逐渐减小； 根据牛顿第二定律 可知高铁列车的加速度逐渐减小，故AC错误； B．高铁列车最大速度行驶时 故高铁列车受到的阻力大小为，故B正确； D．当高铁列车的速度为时，则有 解得牵引力为 根据牛顿第二定律有 解得列车的加速度大小为，故D错误。 故选B。 例11.水平高速路面上有一汽车总质量吨，额定功率，在水平路面上行驶时，汽车受到的阻力恒为，重力加速度。 (1)汽车以额定功率行驶时，求在水平高速路面上行驶的最大速度的大小； (2)汽车以额定功率行驶时，当速度为时，汽车的瞬时加速度大小是多少？ (3)汽车在水平高速路面上以速度匀速行驶时，求汽车的实际功率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）汽车以额定功率行驶时，当达到最大速度，牵引力等于阻力，此时做匀速运动。根据功率公式 有 解得最大速度 代入数据得 （2）汽车以额定功率行驶，速度时，由功率公式 牵引力 代入数据得 根据牛顿第二定律 加速度 代入得 （3）汽车匀速行驶时，牵引力 速度 实际功率 代入数据得 知识点四 变力做功 方法 常见情景 方法概述 微元法 将物体的位移分割成许多小段，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题 平均力法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，然后用公式W＝Flcos α求解 图像法 在F－x和P－t图像中，图线与x轴或t轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移或这段时间内所做的功，且位于横轴上方的“面积”为正，位于横轴下方的“面积”为负。图甲中，力F做功W＝x0，图乙中，在0～t0时间内力做功W＝t0 化变力为恒力 直接求解变力做功时，通常比较复杂，但若通过转换研究对象，可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中 用W＝Pt计算 用W＝Pt计算功时，必须满足“变力的功率是一定”的这一条件 例12.如图所示，摆球质量为，悬线的长为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中，空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力做功为 B．悬线拉力做负功 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 【答案】D 【详解】A．重力做功与初末位置的高度差有关，所以重力做功为 故A错误； B．因为悬线的拉力F始终与球的运动方向垂直，故不做功，故B错误； CD．阻力f做功时，阻力大小不变，方向与运动方向相反，阻力f做功等于阻力与路程的乘积，阻力f做的功为 故C错误，D正确。 故选D。 例13.如图甲，质量为1kg的物体静止在光滑水平面上，受到水平向右的力F作用后开始运动。力F随物体运动的位移x变化关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．前5m内物体做匀加速运动 B．前5m内力F对物体所做的功为50J C．位移为5m时物体的速度为m/s D．位移为5m时力F的功率为100W 【答案】C 【详解】A．前5m内，力F大小在增大，地面光滑，根据牛顿第二定律，物体做加速运动，故A错误； B．力F随物体运动的位移x变化的图像与坐标轴围成的面积表示该力对物体做的功，故前5m内力F对物体所做的功为25J，故B错误； C．根据动能定理，位移为5m时物体的速度为m/s，故C正确； D．位移为5m时力F的功率为，故D错误。 故选C。 例14.如图所示，某人用定滑轮提升质量为的重物，人拉着绳从滑轮正下方高的处缓慢走到处，此时绳与竖直方向成角，重力加速度为，不计绳的质量以及绳与滑轮间的摩擦。则此过程中人对重物所做的功是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】全过程人拉着绳缓慢运动，认为重物的动能不变，人对重物所做的功等于重物重力势能的增加，根据几何关系知重物上升的高度 则 A正确，BCD错误。 故选A。 例15.早在两千多年前，我国就发明了汉石磨盘，如图甲所示，它是一种可使谷物脱壳、粉碎的加工工具，凝聚着人类的高度智慧.后来人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，示意图如图乙所示，假设驴拉磨可以看作匀速圆周运动，驴对磨杆末端的平均拉力F=800N，拉力沿圆周切线方向，磨杆半径r=0.7m，驴拉磨转动一周的时间为7s，π≈3，则（　　） A．驴转动一周拉力所做的功为3360J B．驴转动一周拉力所做的功为0 C．驴转动一周拉力的平均功率为480W D．磨杆末端的线速度大小为 【答案】AC 【详解】AB．驴转动一周拉力所做的功为 故A正确，B错误； C．驴转动一周拉力的平均功率为 故C正确； D．磨杆末端的线速度大小为 故D错误。 故选AC。 课时精炼 【基础强化】 1.初中我们学习过功和功率这两个物理量，功在其数值上等于力与沿力方向上位移的乘积，即W＝Fl，在t时间内的平均功率P＝。我们还学过功的单位为焦耳，功率的单位为瓦特，根据力学单位制，焦耳、瓦特可分别用国际单位制中基本单位表示为（　　） A．kg·m－1·s－2，kg·m－1·s－3 B．kg·m2·s－1，kg·m2·s－2 C．kg·m－2·s－2，kg·m－2·s－1 D．kg·m2·s－2，kg·m2·s－3 【答案】D 【详解】焦耳（J）是功的单位，由公式 可知，力的单位牛顿（N）可表示为 ，位移单位为米（m）。因此，焦耳的国际单位制基本单位为 瓦特（W）是功率的单位，由公式 可知，功的单位为焦耳（J），时间单位为秒（s）。因此，瓦特的国际单位制基本单位为 故选D。 2.“抛石机”是古代战争中常用的一种设备。某学习小组用自制的抛石机演练抛石过程，他们先后将甲、乙两石块（可视为质点）从同一地点抛出，石块在空中运动的轨迹分别如图甲、乙所示，不计空气阻力。下列说法正确的是（    ） A．在空中甲运动时间大于乙运动时间 B．抛石机抛石过程中对甲做的功大于对乙做的功 C．甲着地时重力的瞬时功率小于乙着地时重力的瞬时功率 D．石块由抛出到着地运动过程中甲重力的平均功率大于乙重力的平均功率 【答案】A 【详解】A．如图所示，甲石块的高度较高，甲、乙两石块做斜抛运动，竖直方向，根据， 可得甲石块初速度的竖直分量较大，且运动的总时间较大，故A正确； BC．甲、乙两石块的质量关系未知，故甲、乙两石块的初动能关系无法比较，故抛石机抛石过程中对甲做的功和对乙做的功无法比较。 根据，同理，甲、乙两石块着地时重力的瞬时功率无法比较。 故BC错误； D．石块由抛出到着地运动过程中重力做功为0，根据 可得二者重力的平均功率都是0，故D错误。 故选A。 3.力F对物体所做的功可由公式求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是（　　） A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的为 B．乙图中，全过程中F做的总功为 C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功 D．图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是 【答案】AB 【详解】A．因沿着同一根绳做功的功率相等，则力对绳做的功等于绳对物体做的功，则物块从A到C过程中力F做的为 故A正确； B．乙图的面积代表功，则全过程中F做的总功为 故B正确； C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为 故C错误； D．图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是 而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能用力乘以位移计算，故D错误。 故选AB。 4.工人师傅用如图所示滑轮组提升建筑材料，用500N的拉力使建筑材料匀速直线上升了4m，用时20s。不计绳重和摩擦，此过程机械效率为90%。求： (1)拉力做的功； (2)拉力的功率； (3)该建筑材料的重力大小。 【答案】(1)4000J (2)200W (3)900N 【详解】（1）根据动滑轮的特点，建筑材料上升了，则拉力作用点发生的位移为 故拉力做的功 （2）拉力的功率 （3）提升过程中，机械效率为90%，则有 解得 5.一辆小汽车在水平路面上由静止启动，已知汽车的质量为m=1×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的，发动机的输出功率为100kW，若汽车从静止开始匀加速启动，加速度为4m/s2，g=10m/s2，求： (1)汽车的最大速度为多少？ (2)汽车匀加速阶段结束时的速度大小为多少？所用时间是多少？ (3)汽车速度为10m/s时，求汽车牵引力的瞬时功率？ 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）汽车受到地面的阻力为 当牵引力等于阻力时，汽车的速度达到最大，则汽车的最大速度为 （2）汽车匀加速阶段，根据牛顿第二定律可得 解得牵引力大小为 则汽车匀加速阶段结束时的速度大小为 所用时间为 （3）汽车速度为10m/s时，汽车牵引力的瞬时功率为 【素养提升】 6.如图甲所示，在倾角的光滑斜面上，放着质量分为和的A、B两物块，轻弹簧一端与物块B相连，另一端与固定挡板相连，整个系统处于静止状态。从时刻开始，对A施加一沿斜面向上的力F使物块A沿斜面向上做匀加速运动，若力F随时间变化的规律如图乙所示（g取），下列说法正确的是（　　） A．物块A的加速度 B．弹簧的劲度系数 C．物块A、B分离时拉力 D．从A开始运动到A、B刚分离过程中，力F做的功为8J 【答案】C 【详解】A．未施加拉力F时，A、B均静止，可得 t=0时刻刚施加F时，对A、B整体，据牛顿第二定律可得 由图像可得此时，由以上两式解得，选项A错误； B．据题意可知t=0.2s时，A、B开始分离，刚分离时，对B据牛顿第二定律可得 0~0.2s内，对B， 又 解得，选项B错误。 CD．设A、B运动的位移为x，A、B分离前，有 可得 从A开始运动到A、B分离 解得 此时拉力F的大小为 由此可得从开始运动到A、B刚分离，F随A、B的位移x变化的图像如图所示 由图像可得，故C正确，D错误。 故选C。 7.如图甲所示，倾角为θ＝37°的斜面固定在水平面上。物块在与斜面成α＝37°、大小F＝10N的拉力作用下，从底端A点沿斜面向上做匀加速运动，经t＝10s物块运动到B点，物块运动的图像如图乙所示。已知物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法不正确的是（　　） A．物块的质量m＝1kg B．物块的加速度a＝1m/s2 C．A、B两点的距离x＝100m D．t＝10s时拉力的功率P＝80W 【答案】C 【详解】AB．图像的斜率表示物体运动的加速度，故物块沿斜面上滑的加速度为 对物块受力分析，根据牛顿第二定律可知在沿斜面方向上有Fcosα－mgsinθ－μ(mgcos θ－Fsinα)＝ma 联立解得m＝1kg，故AB正确，不符合题意； C．图像与坐标轴围成的面积表示位移，所以A、B两点间的距离为x＝(×10×10)m＝50m，故C错误，符合题意； D．在t＝10s时，速度为10m/s，故拉力的功率为，故D正确，不符合题意。 故选C。 8.一物块在一个水平拉力作用下沿粗糙水平面运动，物块与水平面间的动摩擦因数全程不变，其图象如图甲所示，水平拉力的图象如图乙所示，，求： （1）物块与水平面间的动摩擦因数； （2）物块运动全过程中水平拉力所做的功W； （3）物块在内所受的水平拉力大小； （4）物块质量m。    【答案】（1）0.1；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）由题中两图比较可知，在内已撤去拉力，物块做匀减速运动；此时加速度为 由牛顿第二定律有 解得 （2）全过程水平拉力做的功为 （3）由题图可知，当，时，，根据得 （4）物块匀速运动阶段，有 由图得 ，， 解得 知识清单 1. 功的正负有什么物理意义？ 2.汽车（手动挡）上坡时应该换高档还是抵挡？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 匀变速直线运动应用 Part 1 功的概念和功的计算 Part 2 功率的概念和功率的分析与计算 Part 3 机车启动的两类问题 Part 4 变力做功 【体系构建】 · 功的概念和功的计算 · 功率的概念和功率的分析和计算 · 机车启动的两类问题 【情境引入】 手动挡的摩托车上陡坡的时候为什么要降到2-3档而不是高档位高速上坡呢？其中有什么物理知识？ 【必备知识】 Part 1 功的概念和功的计算 1.定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 2.公式：W＝Flcos__α。 (1)α是力与位移之间的夹角，l为物体对地的位移。 (2)该公式只适用于恒力做功。 (3)功是标量，没有方向，但有正负。 3.单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是 J。1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。 4.做功的两个条件：力和物体在力的方向上发生位移。 5.功的正负：由W＝Flcos α可知 (1)当α＝时，cos α＝0，W＝0，力对物体不做功。 (2)当0≤α<时，cos α>0，W>0，力对物体做正功。 (3)当<α≤π时，cos α<0，W<0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功。 说明：功的正、负不表示功的大小，只表示力的性质，即正功表示该力是动力，负功表示该力是阻力。 例1 如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中（　　） A．摩擦力做功大小与F方向无关 B．合力做功大小与F方向无关 C．F为水平方向时，F做功为 D．F做功的最小值为 例2 如图所示，质量为2kg的物体从固定的光滑斜面顶端由静止滑下，滑到斜面底端时速度为10m/s，已知斜面长10m，倾角为，取g=10m/s2。在此过程中（　　） A．支持力做正功 B．重力做负功 C．重力做功200J D．合外力做功为100J 例3．质量为的物体置于倾角为的斜面上，物体和斜面体间的动摩擦因数为。在外力作用下，斜面体沿水平面向左做直线运动，运动过程中物体与斜面体之间保持相对静止，下列说法正确的是（　　） A．斜面对物体的支持力一定做正功 B．物体对斜面的压力一定做功 C．斜面对物体的摩擦力一定做负功 D．物体对斜面的摩擦力可能不做功 例4．关于对“功”的理解以下说法正确的是（　　） A．物体只要受到力的作用，力对物体就一定会做功 B．一对摩擦力做功的代数和总为零 C．若物体所受某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有发生位移 D．做匀速圆周运动的物体所受合力做功一定为零 Part 2 功率的概念和功率的分析和计算 1.定义：功W与完成这些功所用时间t之比。 2.公式：P＝。单位：瓦特，简称瓦，符号是W。 3.意义：功率是表示力做功快慢的物理量。 4.功率是标量。 5.功率与速度 (1)功率与速度关系式：P＝Fv(F与v方向相同)。 (2)若v是平均速度，则P＝Fv表示平均功率；若v是瞬时速度，则P＝Fv表示瞬时功率。 6.公式P＝Fv中三个量的制约关系 定值 各量间的关系 应用 P一定 F与v成反比 汽车上坡时，需增大牵引力，应换低速挡减小速度 v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力 F一定 v与P成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度 7.平均功率与瞬时功率 项目 平均功率 瞬时功率 公式 P＝或P＝Fcos α P＝Fvcos α，式中v表示某一时刻的瞬时速度 物理意义 只能粗略地描述物体做功的快慢 能精确地描述物体做功的快慢 注意 ①求解功率时，一定要分析清楚所求功率是瞬时功率还是平均功率 ②应用P＝Fcos α计算平均功率时，力F是恒力，为对应时间t内的平均速度 ③求平均功率时一定要说明是哪个力在哪段时间内的平均功率 例5.如图所示，一个人先后两次用同样的时间、同样大小的力，将不同质量的物体在不同的表面上分别移动相同的距离。该力在此过程中所做功的大小分别为、，功率的大小分别为、，关于它们之间的大小关系说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 例6.贵州某茶叶种植园为提高运输效率，工人将山地轨道运输车投入使用，如图（a）所示。在某段运输线路中，有一段与水平方向夹角为的倾斜直轨道，其示意图如图（b）所示。一辆装满茶叶的运输车总质量为，在电动机牵引下从轨道底端以的速度匀速运动到顶端，运输过程中车受到的阻力大小恒为（重力加速度取、）。关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．重力做正功 B．重力做负功 C．电动机牵引小车做功的功率为 D．电动机牵引小车做功的功率为 例7.分别用相同的力拉着甲、乙两物块由静止开始沿着光滑水平面运动相同的距离。已知，两物块均可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动过程中，甲物块所受拉力的瞬时功率越来越大 B．运动过程中，乙物块所受拉力的瞬时功率保持不变 C．运动过程中，两物块所受拉力的平均功率 D．运动过程中，两物块所受拉力的平均功率 Part 3 机车启动的两类问题 1.恒定功率启动 汽车启动的动态过程如下。 这一过程的速度、功率、牵引力随时间变化的图像分别如图所示。 2. 恒定加速度启动 a不变，F阻不变，由F－F阻＝ma知，F也不变，由P＝Fv知，此过程汽车的实际功率P增大。 汽车刚达到额定功率时，F>F阻，即合力方向仍与运动方向相同，故汽车继续做加速直线运动。由F－F阻＝ma和P额＝Fv1 得v1＝ 此后汽车功率不变，速度继续增大，此时汽车的速度不是最大速度。 汽车启动的动态过程如下。 这一过程的速度、功率、牵引力随时间变化的图像分别如图所示。 汽车的最大速度vmax＝。 例8.作为大同装备制造业的龙头，“大同机车”已成为了我国电力机车走向世界的一张名片！如图为某“复兴”号机车以恒定加速度从静止开始运动，其所受阻力恒定，若经过时间t达到额定输出功率P，则该过程中机车牵引力所做的功为（　　） A．Pt B． C． D．已知条件不足，无法确定 例9.如图甲所示，一物体置于倾角θ=30°的足够长光滑斜面上，电动机通过跨过定滑轮的轻绳牵引物体沿斜面上升。启动电动机后，在0~6s时间内物体运动的v-t图像如图乙所示，其中除1~5s时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线，1s后电动机的输出功率保持不变。已知物体的质量为5kg，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2。则（　　） A．0~1s内电动机的输出功率不变 B．1~5s内电动机牵引力逐渐变大 C．0~1s内电动机牵引力大小为45N D．1s后电动机的输出功率为160W 例10.2024年9月29日，自贡到重庆的高铁正式开通，早上吃冷吃兔，中午吃重庆火锅。假设此高铁列车启动后沿水平直轨道行驶，发动机的总功率恒为。且行驶过程中受到的阻力大小恒定，列车的质量为，最大行驶速度为。下列说法正确的是（　　） A．在加速阶段，高铁列车的加速度保持不变 B．高铁列车受到阻力大小为 C．在加速阶段，发动机对高铁列车的牵引力逐渐变大 D．当高铁列车的速度为时，列车的加速度大小为 例11.水平高速路面上有一汽车总质量吨，额定功率，在水平路面上行驶时，汽车受到的阻力恒为，重力加速度。 (1)汽车以额定功率行驶时，求在水平高速路面上行驶的最大速度的大小； (2)汽车以额定功率行驶时，当速度为时，汽车的瞬时加速度大小是多少？ (3)汽车在水平高速路面上以速度匀速行驶时，求汽车的实际功率。 Part 4 变力做功 方法 常见情景 方法概述 微元法 将物体的位移分割成许多小段，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题 平均力法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，然后用公式W＝Flcos α求解 图像法 在F－x和P－t图像中，图线与x轴或t轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移或这段时间内所做的功，且位于横轴上方的“面积”为正，位于横轴下方的“面积”为负。图甲中，力F做功W＝x0，图乙中，在0～t0时间内力做功W＝t0 化变力为恒力 直接求解变力做功时，通常比较复杂，但若通过转换研究对象，可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中 用W＝Pt计算 用W＝Pt计算功时，必须满足“变力的功率是一定”的这一条件 例12.如图所示，摆球质量为，悬线的长为，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中，空气阻力的大小不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力做功为 B．悬线拉力做负功 C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为 例13.如图甲，质量为1kg的物体静止在光滑水平面上，受到水平向右的力F作用后开始运动。力F随物体运动的位移x变化关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．前5m内物体做匀加速运动 B．前5m内力F对物体所做的功为50J C．位移为5m时物体的速度为m/s D．位移为5m时力F的功率为100W 例14.如图所示，某人用定滑轮提升质量为的重物，人拉着绳从滑轮正下方高的处缓慢走到处，此时绳与竖直方向成角，重力加速度为，不计绳的质量以及绳与滑轮间的摩擦。则此过程中人对重物所做的功是（    ） A． B． C． D． 例15.早在两千多年前，我国就发明了汉石磨盘，如图甲所示，它是一种可使谷物脱壳、粉碎的加工工具，凝聚着人类的高度智慧.后来人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，示意图如图乙所示，假设驴拉磨可以看作匀速圆周运动，驴对磨杆末端的平均拉力F=800N，拉力沿圆周切线方向，磨杆半径r=0.7m，驴拉磨转动一周的时间为7s，π≈3，则（　　） A．驴转动一周拉力所做的功为3360J B．驴转动一周拉力所做的功为0 C．驴转动一周拉力的平均功率为480W D．磨杆末端的线速度大小为 课后巩固 【基础巩固】 1.初中我们学习过功和功率这两个物理量，功在其数值上等于力与沿力方向上位移的乘积，即W＝Fl，在t时间内的平均功率P＝。我们还学过功的单位为焦耳，功率的单位为瓦特，根据力学单位制，焦耳、瓦特可分别用国际单位制中基本单位表示为（　　） A．kg·m－1·s－2，kg·m－1·s－3 B．kg·m2·s－1，kg·m2·s－2 C．kg·m－2·s－2，kg·m－2·s－1 D．kg·m2·s－2，kg·m2·s－3 2.“抛石机”是古代战争中常用的一种设备。某学习小组用自制的抛石机演练抛石过程，他们先后将甲、乙两石块（可视为质点）从同一地点抛出，石块在空中运动的轨迹分别如图甲、乙所示，不计空气阻力。下列说法正确的是（    ） A．在空中甲运动时间大于乙运动时间 B．抛石机抛石过程中对甲做的功大于对乙做的功 C．甲着地时重力的瞬时功率小于乙着地时重力的瞬时功率 D．石块由抛出到着地运动过程中甲重力的平均功率大于乙重力的平均功率 3.力F对物体所做的功可由公式求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是（　　） A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的为 B．乙图中，全过程中F做的总功为 C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功 D．图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是 4.工人师傅用如图所示滑轮组提升建筑材料，用500N的拉力使建筑材料匀速直线上升了4m，用时20s。不计绳重和摩擦，此过程机械效率为90%。求： (1)拉力做的功； (2)拉力的功率； (3)该建筑材料的重力大小。 5.一辆小汽车在水平路面上由静止启动，已知汽车的质量为m=1×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的，发动机的输出功率为100kW，若汽车从静止开始匀加速启动，加速度为4m/s2，g=10m/s2，求： (1)汽车的最大速度为多少？ (2)汽车匀加速阶段结束时的速度大小为多少？所用时间是多少？ (3)汽车速度为10m/s时，求汽车牵引力的瞬时功率？ 【能力拓展】 6.如图甲所示，在倾角的光滑斜面上，放着质量分为和的A、B两物块，轻弹簧一端与物块B相连，另一端与固定挡板相连，整个系统处于静止状态。从时刻开始，对A施加一沿斜面向上的力F使物块A沿斜面向上做匀加速运动，若力F随时间变化的规律如图乙所示（g取），下列说法正确的是（　　） A．物块A的加速度 B．弹簧的劲度系数 C．物块A、B分离时拉力 D．从A开始运动到A、B刚分离过程中，力F做的功为8J 7.如图甲所示，倾角为θ＝37°的斜面固定在水平面上。物块在与斜面成α＝37°、大小F＝10N的拉力作用下，从底端A点沿斜面向上做匀加速运动，经t＝10s物块运动到B点，物块运动的图像如图乙所示。已知物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法不正确的是（　　） A．物块的质量m＝1kg B．物块的加速度a＝1m/s2 C．A、B两点的距离x＝100m D．t＝10s时拉力的功率P＝80W 8.一物块在一个水平拉力作用下沿粗糙水平面运动，物块与水平面间的动摩擦因数全程不变，其图象如图甲所示，水平拉力的图象如图乙所示，，求： （1）物块与水平面间的动摩擦因数； （2）物块运动全过程中水平拉力所做的功W； （3）物块在内所受的水平拉力大小； （4）物块质量m。    学科网（北京）股份有限公司 $