专题02 抽样的基本方法（高效培优讲义，2知识+7题型+强化训练）高一数学北师大版2019必修第一册

本讲义聚焦抽样的基本方法，系统梳理简单随机抽样（含抽签法、随机数法的步骤与优缺点）和分层随机抽样（定义、适用范围及步骤），构建两者区别与联系的知识支架，帮助学生形成完整的抽样方法知识体系。 该资料以实际情境案例（如视力调查、学生身高抽样）为载体，通过即学即练和变式题设计，培养数学抽象（概念理解）、逻辑推理（方法比较）等核心素养。课中辅助教师高效授课，课后练习题助力学生巩固应用，查漏补缺。

专题02 抽样的基本方法 教学目标 1. 了解简单随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数法的一般步骤,培养数学抽象的核心素养. 2.了解分层随机抽样的方法与概念,会应川分层随机抽样抽取样木,培养逻辑推理与数学运算的核心素养. 3.了解简单随机抽样与分层随机抽样的区别和联系,培养逻辑推理的核心素养. 教学重难点 重点：理解简单随机抽样、分层抽样的必要性;掌握分层抽样的方法 难点：在简单的问题情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题。 知识点01 简单随机抽样 1.简单随机抽样的定义 从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全 的随机抽样称为简单随机抽样. 2.常用方法 抽签法、随机数法. 3抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中， 后，每次从中抽取一个号签， n 次，就得到一个 容量为n（n≤N）的样本. 4.抽签法的步骤 (1)对个体编号时，也可以利用已有的编号．例如，从全班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等. (2)制作号签时，所使用的工具（如纸条、小球等）的形状、大小、材质等要完全一样，以确保每个号签被抽到的可能性相等. (3)在抽签法中，“搅拌均匀”的目的是让每个号签被抽到的机会相等. 5.抽签法的优缺点 优点： . 缺点∶当总体的容量 时，操作起来就比较麻烦；如果抽取之前 ，可能导致抽取的样本不具有代表性. 6.随机数法 简单随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机试验或信息技术(即计算器、电子表格软件和R统计软件)生成的随机数进行抽样. 7.随机数法步骤 (1)对总体进行 。 (2)在随机数表中 指定一个开始选取的位置。 (3)按照一定规则选取编号。 (4)按照得到的编号找到对应的个体。 8.抽签法与随机数法的比较 共同点∶①抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法，并且要求被抽取样本总体的个体数有限； ②抽签法和随机数法都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样。 不同点∶①抽签法相对于随机数法简单，随机数法较抽签法稍麻烦一点 ②随机数法更适用于总体中的个体数较多的情况，而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，这样可以节约大量的人力和制作号签的成本与精力。 【即学即练】 1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列抽样中，不是简单随机抽样的为（    ） A．从无数个个体中抽取50个个体作为样本 B．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查 C．一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签 D．箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里 2.（23-24高一下·全国·课后作业）某家具厂要为育才小学一年级新生制作新课桌椅，他们要事先了解全体一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度. 已知育才小学一年级有165名学生，如果通过简单随机抽样的方法调查一年级学生的平均身高，需抽取16人，需怎样抽取？ 知识点02分层抽样 1.分层抽样的定义 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成 的、 的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样（简称为分层抽样）. 2.适用范围 当总体是由差异明显的几类个体构成，并且知道某一类个体在总体中所占的百分比时，通常采用分层抽样.通过分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此. 3.分层抽样的特点 (1)适用于由差异明显的几部分（即层）组成的总体； (2)分成的各层互不重叠 (3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总 体容量 (4)分层抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽 样方法. 【知识剖析】应用分层随机抽样的前提条件 1.总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． 2.每层中所抽取的个体差异可按各层个体在总体中所占的比例抽取． 3.分层随机抽样要求对总体的情况有一定的了解，明确分层的界限和数目． 【即学即练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）为了了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．则下列抽样方法最合理的是（   ） A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．按性别或学段分层抽样都行 2.（24-25高一上·全国·课堂例题）有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 题型01 简单随机抽样 【典例1-1】（2025高三·全国·专题练习）下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（    ） ①将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本；②某班有55名同学指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；③福利彩票用摇奖机摇奖. A．0 B．1 C．2 D．3 【典例1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（    ） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些 D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定 判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：个数有限，逐个抽取，等可能，不放回. 上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）对于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②它是从总体中逐个进行抽取的，以便在抽样实践中进行操作； ③它分无放回抽样和有放回抽样； ④它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种抽样方法的公平性． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下面的抽样方法适合用简单随机抽样的是（   ） A．校运会为参加决赛的6名同学安排道次 B．从某厂生产的30000件产品中抽取600件进行质量检验 C．全国人口普查 D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验 【变式1-3】（多选）（24-25高三上·甘肃定西·期末）一次期中考试后，某校高三年级选取了（1）班、（2）班、（3）班进行成绩分析，经统计得到这三个班每班学生的数学成绩的优秀率（成绩不低于120分的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 则下列结论正确的是（   ） A．（3）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．这三个班学生的数学成绩的优秀率为 C．（2）班学生的人数一定最多 D．若把（1）班和（3）班学生的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为，则（1）班人数比（3）班人数少 题型02 抽签法 【典例2-1】（23-24高一下·全国·课后作业）上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，则抽签法的序号是 ． ①将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选； ②将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员． 【典例2-2】（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便，二是号签是否容易被搅匀．在适用此法时，一定要注意“放入不透明容器，并充分搅匀”. 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课前预习）某单位拟从40名员工中选5人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取5个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将35个白球与5个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？ 题型03：随机数法 【典例3-1】（25-26高二上·四川成都·月考）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ） 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．457 B．253 C．007 D．860 【典例3-2】（25-26高一上·全国·单元测试）当今，青少年视力水平的下降已引起全社会的关注．为了了解某中学高三年级400名学生的视力情况，从中抽取了50名学生进行视力检测． (1)在这个问题中，总体、样本各是什么？ (2)为深入了解这50名学生的视力情况，从中随机抽取6人，分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程． 1.当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本; 2.用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数. 【变式3-1】（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）某总体由编号为的个个体组成，利用下列随机数表选出个个体，选法是下列表中第一行第列开始从左到右依次选个数字，选出的第个个体编号为（    ） 1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6216 7650 0310 5523 6405 0526 6238 A．16 B．09 C．19 D．61 【变式3-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）一个总体的60个个体编号为00，01，…，59，现需从中抽取一个容量为6的样本，请从下面给出的随机数表的第10列开始向右读取，直到取足样本，则抽取的第五个样本的号码是 . 95   33   95   22   00   18   74   72   00   18   38   79   58   69   32   81   76   80   26   92   82   80   84   25  39 【变式3-3】（25-26高一上·全国·课后作业）某班共有60名学生，现有10张学术报告的入场券，请用抽签法和随机数法把10张入场券分发下去，试写出过程． 【答案】答案见解析 题型04 简单随机抽样的概率 【典例4】（25-26高二上·广东·期中）某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 从N个个体中利用简单随机抽样的方法抽出M个个体，每个个体被抽到的概率都相等，都等于. 【变式4-1】（25-26高二上·广东茂名·期中）为了了解某地区5000名小学生的体育素质情况，从中抽取了500名小学生进行测试，该地区每位小学生被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·江西宜春·期末）某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·全国·随堂练习）用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么n＝ . 题型05 分层抽样的概念 【典例5】（24-25高一上·全国·随堂练习）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（    ） A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．抽签法 分层随机抽样的依据 （1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况； （2）样本能更充分地反映总体的情况； （3）等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等. 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（    ） A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．红星中学共有学生1600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本 C．从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 【变式5-2】（2024高一下·全国·专题练习）某家电视台在互联网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场节目，采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众． ①确定抽样比，样本容量，总体容量，抽样比为． ②分层，按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区． ③按比例确定每层抽取的个体数，在东城区抽取（人），在西城区抽取（人），在南城区抽取（人），在北城区抽取（人）． ④在各层分别用简单随机抽样法抽取样本，将各城区抽取的观众合在一起组成样本． 正确的抽取步骤是 ． 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）某奶茶店推出新品，为预估受欢迎度，店主连续3天在排队顾客中调查50人，其中45人表示喜欢.店主认为“90%顾客喜爱新品”. (1)该结论可能因何种偏差失真？ (2)如何设计更可靠的抽样方案？ 题型06 分层抽样的计算 【典例6-1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（    ） A．52 B．48 C．36 D．24 【典例6-2】（多选）（24-25高二上·四川成都·期中）某中学三个年级学生共人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有人，则下列说法正确的有（   ）    A．该学校高一学生共人 B．志愿服务小组共有学生人 C．志愿服务小组中高三学生共有人 D．某高三学生被选入志愿服务小组的概率为 分层随机抽样问题解题思路 1.分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，抽样比＝＝. 2.在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行. 【变式6-1】（25-26高二上·四川成都·期中）某学校有青年教师60人，中年教师40人，老年教师20人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为的样本，若青年教师抽了6人，则样本容量 . 【变式6-2】（25-26高三上·甘肃·月考）第十五届全运会将于年月日至日在广东举行.广东某高中现有高一学生人，高二学生人，高三学生人，为调查该校学生对全运会的了解程度，现利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人进行问卷调查，则高二年级应抽取 人. 【变式6-3】（25-26高三上·上海·期中）某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为 . 题型07 设计分层抽样的过程 【典例7】（21-22高一·湖南·课后作业）学校要在高一年级450名同学中随机选取45人参加暑假的夏令营，试完成以下工作： (1)设计一个随机抽样方案； (2)设计一个分层抽样方案，使得选取出男生23名，女生22名； (3)如果全年级有9个班，设计一个分层抽样方案，使得各班随机选取5人． 分层抽样的步骤 （1)根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；（分层） (2)根据总体的个体数N和样本容量n计算抽样比k=；(求比) (3)确定每一层应抽取的个体数目,并使每一层应抽取的个体数目之和为样本容量n; (定数) (4)确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本.(抽样) 说明：在分层、求比、定数、抽样的四步中，定数是关键，定数时只需将各层个体数乘以同一抽样比即可得到各层应抽取的个体数; 【变式7-1】（24-25高一上·全国·周测）有以下三个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况； (1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程？ 【变式7-2】（22-23高一·全国·随堂练习）为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式（已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同）： 方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩； 方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别（若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名），从中按比例抽取40名学生进行考察． 根据上面的叙述，试回答下列问题： (1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？ (2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤． 一、单选题 1.（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）为了了解某小区2000户居民缴纳社保情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南南阳·月考）某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对户居民进行抽样，先将户居民进行编号，，，…，，从中抽取个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ） 21 45 70 16 33 88 29 54 07 61 10 84 37 11 69 28 50 74 36 02 95 41 83 15 72 60 49 08 39 24 56 81 09 80 43 19 67 52 03 98 45 96 A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南南阳·月考）某高中共有学生2800人，高一、高二、高三人数比为2:2:3，为了解该校学生每天阅读的时间，采取分层抽样的方法从高一中抽取了14人，那么在全体学生中抽取的样本总数为（ ） A．49 B．42 C．48 D．50 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）某中学七年级有人，八年级有人，九年级有人，若每人被抽到的可能性都为，用随机数法在该学校抽取容量为的样本，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（    ） A．40人 B．36人 C．30人 D．24人 7．（24-25高二下·上海·月考）从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 8．（24-25高一下·福建福州·期末）用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（    ） A．a = ， B．a = ， C．a = ， D．a = ， 二、多选题 9．（25-26高二上·湖北十堰·期中）下列四种抽样中，不是简单随机抽样的是（   ） A．从一个不透明的盒中，抽取2个球（盒中每个球的大小和质感一样） B．一节公开课，老师点了7位同学回答问题或板书 C．根据某校学生的学籍号，教务处利用电脑软件抽取了20名学生 D．利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生 10．（24-25高一下·贵州黔南·期末）某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2500人、中部地区的学生有1500人、西部地区的学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列说法正确的有（   ） A．用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合 B．用分层随机抽样的方法从新生中选出100人最适合，且用分层随机抽样的方法分别抽取东部地区学生50人、中部地区学生30人、西部地区学生20人 C．用分层随机抽样的方法抽取的100名学生中，西部地区学生小刘被选中的可能性比中部地区学生小张被选中的可能性大 D．总体是该高校全体大一新生 11．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）某高校从参加今年“强基计划”招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下，则下列说法正确的有（   ） 组号 分组 频数 频率 第一组 8 0.16 第二组 ① 0.24 第三组 15 ② 第四组 10 0.20 第五组 5 0.10 合计 50 1.00 A．表中①位置的数据是12 B．表中②位置的数据是0.30 C．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人 D．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名来自第四组的概率为0.5 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）实验室的笼子里共有100只小白鼠，现要从中抽取10只做试验用．①每次不经任何挑选地抓一只，抓满10只为止；②将笼中的100只小白鼠按1～100编号，任意选取编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠，则以上两种情况属于简单随机抽样的是 ． 13．（25-26高二上·广东·月考）现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是 .（下面摘取了随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31  57 24 55 06 88  77 04 74 47 67  21 76 33 50 25  83 92 12 06 76 63 01 63 78 59  16 95 56 67 19  98 10 50 71 75  12 86 73 58 07  44 39 52 38 79 33 21 12 34 29  78 64 56 07 82  52 42 07 44 38  15 51 00 13 42  99 66 02 79 54 14．（25-26高二上·四川成都·期中）为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕捉一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只.根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）下面的抽样中适合用简单随机抽样的有哪些？ (1)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈； (2)从10台冰箱中抽出3台进行质量检查； (3)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本； (4)某乡农田有：山地800公顷，丘陵1200公顷，平地2400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量． 16．（2022高一·全国·专题练习）要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请分别用抽签法和随机数法抽样，并写出抽样过程． 17．（2024高一下·全国·专题练习）某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验． (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号． 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667. 18．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场.已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 50% 40% 10% B会场 40% 50% 10% 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本. (1)求的值； (2)若抽到的B会场的高二学生有150人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数. 19.（24-25高一下·四川巴中·期末）统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为，摧毁某年生产的架战机编号从小到大为，，，…，，最大的编号为，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号，，，…，，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间（如下图），可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度进而得到的估计值. 已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题. (1)根据材料估计敌军生产的战机数量； (2)已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，. （ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式； （ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为，，，样本量分别为，，，据此证明： 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 抽样的基本方法 教学目标 1. 了解简单随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数法的一般步骤,培养数学抽象的核心素养. 2.了解分层随机抽样的方法与概念,会应川分层随机抽样抽取样木,培养逻辑推理与数学运算的核心素养. 3.了解简单随机抽样与分层随机抽样的区别和联系,培养逻辑推理的核心素养. 教学重难点 重点：理解简单随机抽样、分层抽样的必要性;掌握分层抽样的方法 难点：在简单的问题情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题。 知识点01 简单随机抽样 1.简单随机抽样的定义 从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体的随机抽样称为简单随机抽样. 2.常用方法 抽签法、随机数法. 3抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取 n 次，就得到一个 容量为n（n≤N）的样本. 4.抽签法的步骤 (1)对个体编号时，也可以利用已有的编号．例如，从全班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等. (2)制作号签时，所使用的工具（如纸条、小球等）的形状、大小、材质等要完全一样，以确保每个号签被抽到的可能性相等. (3)在抽签法中，“搅拌均匀”的目的是让每个号签被抽到的机会相等. 5.抽签法的优缺点 优点：简单易行. 缺点∶当总体的容量非常大时，操作起来就比较麻烦；如果抽取之前搅拌不均匀，可能导致抽取的样本不具有代表性. 6.随机数法 简单随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机试验或信息技术(即计算器、电子表格软件和R统计软件)生成的随机数进行抽样. 7.随机数法步骤 (1)对总体进行编号。 (2)在随机数表中任意指定一个开始选取的位置。 (3)按照一定规则选取编号。 (4)按照得到的编号找到对应的个体。 8.抽签法与随机数法的比较 共同点∶①抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法，并且要求被抽取样本总体的个体数有限； ②抽签法和随机数法都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样。 不同点∶①抽签法相对于随机数法简单，随机数法较抽签法稍麻烦一点 ②随机数法更适用于总体中的个体数较多的情况，而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，这样可以节约大量的人力和制作号签的成本与精力。 【即学即练】 1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列抽样中，不是简单随机抽样的为（    ） A．从无数个个体中抽取50个个体作为样本 B．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查 C．一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签 D．箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里 【答案】ABD 【分析】根据简单随机抽样的定义即可求解. 【详解】对于A,简单随机抽样的总体个数是有限个，所以A不是简单随机抽样， 对于B，简单随机抽样是逐一抽取，所以B不是简单随机抽样， 对于D, 取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里，这违背了等可能性，所以不是简单随机抽样， 对于C，符合简单随机抽样， 故选：ABD 2.（23-24高一下·全国·课后作业）某家具厂要为育才小学一年级新生制作新课桌椅，他们要事先了解全体一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度. 已知育才小学一年级有165名学生，如果通过简单随机抽样的方法调查一年级学生的平均身高，需抽取16人，需怎样抽取？ 【答案】答案见解析 【分析】根据随机数法抽样的步骤即可得解. 【详解】①先给165名学生编号，如编号为； ②准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，把它们放入一个不透明的袋中； ③从袋中有放回的摸取3次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数，这样就生成一个三位随机数； ④如果这个三位数在范围内，就代表对应编号的学生被抽中，如果编号有重复就剔除编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的人数． 知识点02分层抽样 1.分层抽样的定义 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样（简称为分层抽样）. 2.适用范围 当总体是由差异明显的几类个体构成，并且知道某一类个体在总体中所占的百分比时，通常采用分层抽样.通过分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此. 3.分层抽样的特点 (1)适用于由差异明显的几部分（即层）组成的总体； (2)分成的各层互不重叠 (3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总 体容量 (4)分层抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽 样方法. 【知识剖析】应用分层随机抽样的前提条件 1.总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． 2.每层中所抽取的个体差异可按各层个体在总体中所占的比例抽取． 3.分层随机抽样要求对总体的情况有一定的了解，明确分层的界限和数目． 【即学即练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）为了了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．则下列抽样方法最合理的是（   ） A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．按性别或学段分层抽样都行 【答案】C 【详解】因为已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，所以为了了解该地区中小学生的视力情况，应按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理． 2.（24-25高一上·全国·课堂例题）有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 【答案】(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样 (2)答案见解析 【分析】（1）由分层抽样和简单随机抽样的定义即可得出答案； （2）按照分层、确定抽样比、确定各层样本数、按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本、汇总构成一个容量为40的样本的过程求解即可. 【详解】（1）案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样． （2）①分层，将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层； ②确定抽样比； ③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8，16，10，6； ④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本． 题型01 简单随机抽样 【典例1-1】（2025高三·全国·专题练习）下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（    ） ①将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本；②某班有55名同学指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；③福利彩票用摇奖机摇奖. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由简单随机抽样的定义对各个抽取方式进行判断即可得到结论. 【详解】②不是等可能抽取，故不是简单随机抽样，①③是简单随机抽样. 故选：C. 【典例1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（    ） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些 D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样的性质即可求解. 【详解】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等, 故选：B 判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：个数有限，逐个抽取，等可能，不放回. 上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）对于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②它是从总体中逐个进行抽取的，以便在抽样实践中进行操作； ③它分无放回抽样和有放回抽样； ④它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种抽样方法的公平性． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由简单随机抽样的特点逐项分析判断. 【详解】对于①：简单随机抽样要求样本的总体个数有限，这样才能保证样本能够很好地代表总体，所以①正确； 对于②：由于总体数量是有限的，所以为了让数据具有代表性需要从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作，所以②正确； 对于③：简单随机抽样分无放回抽样和有放回抽样，所以③正确； 对于④：在随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑，所以④正确． 故选：D. 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下面的抽样方法适合用简单随机抽样的是（   ） A．校运会为参加决赛的6名同学安排道次 B．从某厂生产的30000件产品中抽取600件进行质量检验 C．全国人口普查 D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验 【答案】AD 【详解】A适合用简单随机抽样；B不适合用简单随机抽样（数量过大）；选项C，全国人口普查不是随机抽样；D适合用简单随机抽样． 【变式1-3】（多选）（24-25高三上·甘肃定西·期末）一次期中考试后，某校高三年级选取了（1）班、（2）班、（3）班进行成绩分析，经统计得到这三个班每班学生的数学成绩的优秀率（成绩不低于120分的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 则下列结论正确的是（   ） A．（3）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．这三个班学生的数学成绩的优秀率为 C．（2）班学生的人数一定最多 D．若把（1）班和（3）班学生的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为，则（1）班人数比（3）班人数少 【答案】AD 【分析】结合表格，逐项判断即可； 【详解】对于A，显然（3）班学生的数学成绩的优秀率最高，A正确． 对于B，这三个班学生的数学成绩的优秀率为这三个班成绩优秀的学生人数与总人数之比，由于各班人数不确定， 所以不能计算这三个班学生的数学成绩的优秀率，B错误． 对于C，（2）班学生的数学成绩的优秀率最低，不能说是因为班级人数最多，C错误． 对于D，因为将（1）班和（3）班学生的数学成绩合并起来计算得到的优秀率更偏向（3）班学生的数学成绩的优秀率，所以（3）班学生的人数更多，D正确 故选：AD 题型02 抽签法 【典例2-1】（23-24高一下·全国·课后作业）上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，则抽签法的序号是 ． ①将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选； ②将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员． 【答案】① 【分析】根据抽签法的定义，可得答案. 【详解】①满足抽签法的特征，是抽签法； ②不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而②中39个白球无法相互区分． 故答案为：①. 【典例2-2】（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】B 【分析】根据随机抽样的特征，即可判断出结果. 【详解】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等， 然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的， 所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便，二是号签是否容易被搅匀．在适用此法时，一定要注意“放入不透明容器，并充分搅匀”. 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课前预习）某单位拟从40名员工中选5人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取5个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将35个白球与5个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）选法一满足抽签法的特征，是抽签法，选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中的35个白球，5个红球均无法相互区分． （2）由于选法一中抽取每个号签和选法二中摸到每个球都是等可能的，因此这两种选法中每名员工被选中的可能性相等． 题型03：随机数法 【典例3-1】（25-26高二上·四川成都·月考）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ） 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．457 B．253 C．007 D．860 【答案】C 【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，不在范围的及与前面重复的都舍去，进而得到结论. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第3个样本编号为007. 故选：C. 【典例3-2】（25-26高一上·全国·单元测试）当今，青少年视力水平的下降已引起全社会的关注．为了了解某中学高三年级400名学生的视力情况，从中抽取了50名学生进行视力检测． (1)在这个问题中，总体、样本各是什么？ (2)为深入了解这50名学生的视力情况，从中随机抽取6人，分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据总体、样本的定义及题干信息确定问题中总体和样本； （2）根据抽签法、随机数法的抽样过程，设计抽样步骤即可. 【详解】（1）总体是该中学高三年级400名学生的视力，样本是所抽取的50名学生的视力； （2）利用抽签法步骤如下： 第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50． 第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签． 第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀． 第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码． 对应上面6个号码的学生就是抽取的学生; 利用随机数法步骤如下： 第一步：将这50名学生编号，编号为． 第二步：用计算机产生范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号． 第三步：重复第二步的过程，若出现重复的号码，则舍去，直到抽足6个号码． 对应上面6个号码的学生就是抽取的学生. 1.当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本; 2.用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数. 【变式3-1】（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）某总体由编号为的个个体组成，利用下列随机数表选出个个体，选法是下列表中第一行第列开始从左到右依次选个数字，选出的第个个体编号为（    ） 1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6216 7650 0310 5523 6405 0526 6238 A．16 B．09 C．19 D．61 【答案】C 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得出结果. 【详解】选取方法是从随机数表第1行的第列数字开始， 从左到右依次选取两个数字， 则选出来的个个体编号分别为∶ 所以选出来的第个个体编号为． 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）一个总体的60个个体编号为00，01，…，59，现需从中抽取一个容量为6的样本，请从下面给出的随机数表的第10列开始向右读取，直到取足样本，则抽取的第五个样本的号码是 . 95   33   95   22   00   18   74   72   00   18   38   79   58   69   32   81   76   80   26   92   82   80   84   25  39 【答案】17 【分析】根据给定条件，利用随机数法按要求抽取即得. 【详解】依题意，抽取的前5个号码依次是：01，47，20，28，17， 所以抽取的第五个号码是17. 故答案为：17 【变式3-3】（25-26高一上·全国·课后作业）某班共有60名学生，现有10张学术报告的入场券，请用抽签法和随机数法把10张入场券分发下去，试写出过程． 【答案】答案见解析 【分析】由抽签法和随机数的定义即可得解. 【详解】（1）抽签法： ①先将60名学生随机编号为1，2，…，60； ②把号码写在形状、大小相同的号签上； ③将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀，抽签时每次从中抽出一个号签，不放回地连续抽10次； ④根据抽到的10个号码对应10名同学，10张入场券就分发给这10名同学． （2）随机数法： ①先将60名学生随机编号为01，02，…，60； ②在随机数表中任选一个数字作为起点，则选定的数字可向任意方向依次选取一个两位数，若取到的数在01至60之间，则将它取出，否则舍去，依此下去，直到取满10个满足条件且不重复的数为止； ③根据号码对应的编号，再对应选出10名同学，10张入场券就分发给这10名同学． 题型04 简单随机抽样的概率 【典例4】（25-26高二上·广东·期中）某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据简单随机抽样的性质求解即可． 【详解】从600名同学中抽取30人进行了解，每名同学被抽到的概率为． 故选：D． 从N个个体中利用简单随机抽样的方法抽出M个个体，每个个体被抽到的概率都相等，都等于. 【变式4-1】（25-26高二上·广东茂名·期中）为了了解某地区5000名小学生的体育素质情况，从中抽取了500名小学生进行测试，该地区每位小学生被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用简单随机抽样的定义求解即可. 【详解】该地区每位小学生被抽到的可能性为, 故选：A 【变式4-2】（24-25高一上·江西宜春·期末）某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用简单随机抽样的定义，即可求解. 【详解】总体有个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为， 故选：D. 【变式4-3】（24-25高一上·全国·随堂练习）用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么n＝ . 【答案】8 【分析】根据简单随机抽样的定义求解. 【详解】因为用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中逐个抽取，个体a在第一次就被抽取的可能性为， 因此，所以. 故答案为：8 题型05 分层抽样的概念 【典例5】（24-25高一上·全国·随堂练习）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（    ） A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．抽签法 【答案】C 【分析】由已知条件，适合分层抽样法，即可得到答案. 【详解】因为事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．为了解该地区中小学生的视力情况，应按学段分层抽样，这种抽样方式抽出的样本具有代表性，比较合理． 故选；C. 分层随机抽样的依据 （1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况； （2）样本能更充分地反映总体的情况； （3）等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等. 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（    ） A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．红星中学共有学生1600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本 C．从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 【答案】B 【分析】由分层抽样的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样； C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层抽样； B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样． 故选：B. 【变式5-2】（2024高一下·全国·专题练习）某家电视台在互联网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场节目，采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众． ①确定抽样比，样本容量，总体容量，抽样比为． ②分层，按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区． ③按比例确定每层抽取的个体数，在东城区抽取（人），在西城区抽取（人），在南城区抽取（人），在北城区抽取（人）． ④在各层分别用简单随机抽样法抽取样本，将各城区抽取的观众合在一起组成样本． 正确的抽取步骤是 ． 【答案】②①③④ 【分析】根据分层抽样的步骤排序即可. 【详解】按照分层随机抽样的步骤分层、求比、定数、抽样可得正确的步骤为②①③④． 故答案为：②①③④ 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）某奶茶店推出新品，为预估受欢迎度，店主连续3天在排队顾客中调查50人，其中45人表示喜欢.店主认为“90%顾客喜爱新品”. (1)该结论可能因何种偏差失真？ (2)如何设计更可靠的抽样方案？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据抽样调查偏差和抽样方案设计知识分析即可. 【详解】（1）抽样偏差：排队顾客多为品牌忠实粉丝，高估喜爱率； 时间局限：仅调查高峰排队时段，忽略非高峰时段顾客偏好. （2）分时段抽样（早/中/晚各抽20人），按顾客类型分层（新客、老客各占50%），以此覆盖不同时段、不同类型顾客，提升结果可靠性. 题型06 分层抽样的计算 【典例6-1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（    ） A．52 B．48 C．36 D．24 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得. 【详解】依题意，应抽取的一年级学生的人数为. 故选：C 【典例6-2】（多选）（24-25高二上·四川成都·期中）某中学三个年级学生共人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有人，则下列说法正确的有（   ）    A．该学校高一学生共人 B．志愿服务小组共有学生人 C．志愿服务小组中高三学生共有人 D．某高三学生被选入志愿服务小组的概率为 【答案】AC 【分析】利用扇形图的特点和分层抽样的概念，即可判断. 【详解】对于A：由图可知，高三年级学生人数占总人数的，高二年级学生人数占总人数的， 所以高一年级学生人数占总人数的， 所以高一学生共人，故A正确； 对于B：因为，所以志愿服务小组共有学生人，故B错误； 对于C：因为志愿服务小组中高三学生共有人，故C正确； 对于D：高三学生共人，志愿服务小组中高三学生共有人， 所以某高三学生被选入志愿服务小组的概率为，故D错误； 故选：AC. 分层随机抽样问题解题思路 1.分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，抽样比＝＝. 2.在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行. 【变式6-1】（25-26高二上·四川成都·期中）某学校有青年教师60人，中年教师40人，老年教师20人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为的样本，若青年教师抽了6人，则样本容量 . 【答案】12 【分析】由分层抽样比相同即可求解. 【详解】由题意，得. 故答案为：12 【变式6-2】（25-26高三上·甘肃·月考）第十五届全运会将于年月日至日在广东举行.广东某高中现有高一学生人，高二学生人，高三学生人，为调查该校学生对全运会的了解程度，现利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人进行问卷调查，则高二年级应抽取 人. 【答案】 【分析】根据分层抽样原则直接按比例求解即可. 【详解】高二年级应抽取：人. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高三上·上海·期中）某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为 . 【答案】 【分析】根据分层抽样求解即可. 【详解】由分层抽样可知，应从青年员工中抽取的人数为（人）， 故答案为： 题型07 设计分层抽样的过程 【典例7】（21-22高一·湖南·课后作业）学校要在高一年级450名同学中随机选取45人参加暑假的夏令营，试完成以下工作： (1)设计一个随机抽样方案； (2)设计一个分层抽样方案，使得选取出男生23名，女生22名； (3)如果全年级有9个班，设计一个分层抽样方案，使得各班随机选取5人． 【答案】(1)以全体学生的学籍号为编号，用计算机在450名学生的学籍号中随机抽取45个学籍号，这45个学籍号对应的学生就是要抽取的对象； (2)将总体450名同学分为男、女两部分，把所有男生进行编号，再进行简单随机抽样进行抽取23人，再把所有女生进行编号，进行简单随机抽样抽取22人； (3)将每班男女进行分层抽样，如果第个班的人数为，则为抽取的比例数，按照此比例对男生和女生进行抽取. 【分析】根据题目要求，选择合适的抽样方法即可. 【详解】（1）以全体学生的学籍号为编号，用计算机在450名学生的学籍号中随机抽取45个学籍号，这45个学籍号对应的学生就是要抽取的对象； （2）将总体450名同学分为男、女两部分，把所有男生进行编号，再进行简单随机抽样进行抽取23人，再把所有女生进行编号，进行简单随机抽样抽取22人； （3）将每班男女进行分层抽样，如果第个班的人数为，则为抽取的比例数，按照此比例对男生和女生进行抽取. 分层抽样的步骤 （1)根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；（分层） (2)根据总体的个体数N和样本容量n计算抽样比k=；(求比) (3)确定每一层应抽取的个体数目,并使每一层应抽取的个体数目之和为样本容量n; (定数) (4)确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本.(抽样) 说明：在分层、求比、定数、抽样的四步中，定数是关键，定数时只需将各层个体数乘以同一抽样比即可得到各层应抽取的个体数; 【变式7-1】（24-25高一上·全国·周测）有以下三个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况； (1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的使用范围合理进行选择； （2）分层抽样步骤：分层、确定抽样比、按抽样比确定各层样本数、在各层按简单随机抽样方式抽取样本、汇总. 【详解】（1）案例一数量少，用简单随机抽样，案例二员工收入差距明显，用分层抽样，案例三数量多，用系统抽样. （2）分层抽样的抽样过程如下： ①分层，将总体分为高级职称，中级职称、初级职称及其余人员四层； ②确定抽样比例； ③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人； ④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本. 【变式7-2】（22-23高一·全国·随堂练习）为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式（已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同）： 方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩； 方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别（若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名），从中按比例抽取40名学生进行考察． 根据上面的叙述，试回答下列问题： (1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？ (2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤． 【答案】(1)方式1采用的是简单随机抽样法，方式2采用的是分层抽样法； (2)答案见解析； 【分析】（1）根据抽样的定义即可合理选取不同的抽样方式； （2）利用简单随机抽样和分层抽样的定义即可写出具体步骤； 【详解】（1）根据题意可知，方式1采用的是简单随机抽样法，方式2采用的是分层抽样法； （2）方式1抽样的步骤如下： 在全年级10个班中用抽签法任意抽取一个班级，考察他们的成绩； 方式2抽样的步骤如下： 第一步：分层 把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别； 第二步：确定各个层抽取的人数 由于样本容量与总体个数比值为， 所以每层抽取的个体数依次为人，人，人； 第三步：按层分别抽取样本人数 在优秀学生中用简单随机抽样法抽取6人， 在良好学生中用简单随机抽样法抽取18人， 在普通学生中用简单随机抽样法抽取16人. 一、单选题 1.（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）为了了解某小区2000户居民缴纳社保情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由样本容量除以总体容量即可. 【详解】由题意可知为了了解某小区2000户居民缴纳社保情况， 从中抽取了100户居民进行调查，该小区每位居民被抽到的可能性都是相同的， 故可能为. 故选：C 2．（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽样的概念，每个个体被抽中的概率是均等的，进而即可选择答案. 【详解】因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为， 所以. 故选：B. 3．（25-26高一上·河南南阳·月考）某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对户居民进行抽样，先将户居民进行编号，，，…，，从中抽取个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ） 21 45 70 16 33 88 29 54 07 61 10 84 37 11 69 28 50 74 36 02 95 41 83 15 72 60 49 08 39 24 56 81 09 80 43 19 67 52 03 98 45 96 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由随机数表依次读取数据，注意舍去超出范围的编号与重复的编号即可. 【详解】从随机数表中的第2行第7列开始向右读取数据，依次为163，388（超出299，舍去），295，407（超出299，舍去），611（超出299，舍去），084，371（超出299，舍去），169，285，074，360（超出299，舍去），295（与前样本重复，舍去），418（超出299，舍去），315（超出299，舍去），726（超出299，舍去），049， 故得到的第7个样本编号是049， 故选：C. 4．（25-26高一上·河南南阳·月考）某高中共有学生2800人，高一、高二、高三人数比为2:2:3，为了解该校学生每天阅读的时间，采取分层抽样的方法从高一中抽取了14人，那么在全体学生中抽取的样本总数为（ ） A．49 B．42 C．48 D．50 【答案】A 【分析】由分层抽样比即可求解. 【详解】设全体学生中抽取的样本总数为，则，解得. 故选：A 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）某中学七年级有人，八年级有人，九年级有人，若每人被抽到的可能性都为，用随机数法在该学校抽取容量为的样本，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简单随机抽样的概率公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由简单随机抽样的概率公式可得，解得. 故选：C. 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（    ） A．40人 B．36人 C．30人 D．24人 【答案】D 【分析】确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解； 【详解】由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为， 根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人， 故选：D 7．（24-25高二下·上海·月考）从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】A 【分析】先说明采用抽签法每个人被剔除概率都相等，都是，不被剔除的概率也相等，都是，即可判断B；然后采用随机数表法，在没被剔除的100人中被抽到概率都是，即可判断C，综合B，C，即可判断D；综和B，C，D即可判断A. 【详解】由于先采用抽签法，从101个人中剔除1个人， 对101个人中的每个人来说被抽到（即被剔除）概率都相等，都是， 不被剔除的概率也相等，都是，故B错误； 然后采用随机数表法，在剩余的100个人中抽取10个人， 如果被抽到，概率为，也是相等的，故C错误； 所以由B,C可知，每个人被剔除的概率都是相等的，都是； 没被剔除，然后被抽到的概率也是相等的，都是，故D错误； 所以综上可知这是一种科学的抽样方法，故A正确. 故选：A 8．（24-25高一下·福建福州·期末）用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（    ） A．a = ， B．a = ， C．a = ， D．a = ， 【答案】B 【分析】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数，的值. 【详解】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到， 因为每次抽取一个号码，所以李华第一次被抽到的可能性为， 第五次被抽到的可能性为. 即李华同学在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·湖北十堰·期中）下列四种抽样中，不是简单随机抽样的是（   ） A．从一个不透明的盒中，抽取2个球（盒中每个球的大小和质感一样） B．一节公开课，老师点了7位同学回答问题或板书 C．根据某校学生的学籍号，教务处利用电脑软件抽取了20名学生 D．利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生 【答案】BD 【分析】根据简单随机抽样的特点逐一分析即可. 【详解】简单随机抽样的特点是总体中的个体有限，从总体中逐个进行抽取，每个个体被抽到的机会均等，抽样是随机、无差别的； 对于A，从一个不透明的盒中，抽取2个球，所有球被抽到的可能性相同，故A是简单随机抽样； 对于B，老师点名有自己主观的考量，因此每位同学被抽到的可能性并不相同，故B不是简单随机抽样； 对于C，根据学籍号，并用电脑软件抽取，避免了人为因素的影响，从客观角度看，每位同学被抽到的可能性相同，故C是简单随机抽样； 对于D，利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生，此方法选出的样本容量不固定，不是简单随机抽样. 故选：BD. 10．（24-25高一下·贵州黔南·期末）某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2500人、中部地区的学生有1500人、西部地区的学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列说法正确的有（   ） A．用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合 B．用分层随机抽样的方法从新生中选出100人最适合，且用分层随机抽样的方法分别抽取东部地区学生50人、中部地区学生30人、西部地区学生20人 C．用分层随机抽样的方法抽取的100名学生中，西部地区学生小刘被选中的可能性比中部地区学生小张被选中的可能性大 D．总体是该高校全体大一新生 【答案】BD 【分析】由分层抽样的性质结合题意逐一判断可得. 【详解】因为各部地区的饮食习惯各不相同，差异较大，所以用分层抽样更合适， 又各地区人数比为，若抽取人数为100人， 则取东部地区学生50人、中部地区学生30人、西部地区学生20人，故A错误，B正确； 采取分层抽样，每个学生被抽取的可能性均为，各地区学生被选中的可能性大小是相等的，故C错误； 事件的总体为该高校全体大一新生，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）某高校从参加今年“强基计划”招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下，则下列说法正确的有（   ） 组号 分组 频数 频率 第一组 8 0.16 第二组 ① 0.24 第三组 15 ② 第四组 10 0.20 第五组 5 0.10 合计 50 1.00 A．表中①位置的数据是12 B．表中②位置的数据是0.30 C．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人 D．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名来自第四组的概率为0.5 【答案】AB 【分析】根据频数之和为50可判断A；由频数除以样本容量等于频率可判断B；根据分层抽样的概念可判断C；记“2人中到少有1名是第四组的”为事件A，用列举法可得事件A所含的基本事件的种数，由等可能事件的概率，计算可判断D. 【详解】①位置的数据为，A正确； ②位置的数据为，B正确； 由分层随机抽样得， 第三､四､五组参加考核的人数分别为，，，C错误； 设上述6人为a，b，c，d，e，f（其中第四组的两人分别为d，e）， 则从6人中任取2人的所有情况为，，，，，，，，，，， ，，，，共15种. 记“2人中至少有1名是第四组的”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数为9. 所以，故2人中至少有1名是第四组的概率为，D错误. 故选：AB 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）实验室的笼子里共有100只小白鼠，现要从中抽取10只做试验用．①每次不经任何挑选地抓一只，抓满10只为止；②将笼中的100只小白鼠按1～100编号，任意选取编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠，则以上两种情况属于简单随机抽样的是 ． 【答案】①② 【分析】先明确简单随机抽样的定义及特征，再分别分析两种抽样方法是否满足这些特征，从而判断是否属于简单随机抽样. 【详解】简单随机抽样是一种从总体中抽取样本的方法，其特征包括：1、总体中的个体数有限；2、从总体中逐个地进行抽取；3、不放回抽样；4、每个个体抽到的机会均等.以上两个抽样，逐个分析，都满足简单随机抽样的特征. 故答案为：①② 13．（25-26高二上·广东·月考）现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是 .（下面摘取了随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31  57 24 55 06 88  77 04 74 47 67  21 76 33 50 25  83 92 12 06 76 63 01 63 78 59  16 95 56 67 19  98 10 50 71 75  12 86 73 58 07  44 39 52 38 79 33 21 12 34 29  78 64 56 07 82  52 42 07 44 38  15 51 00 13 42  99 66 02 79 54 【答案】704 【分析】根据随机数表读取编号的方法，即可求得答案. 【详解】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157，245，506，704， 所以得到的第4个样本个体的编号是704. 故答案为：704 14．（25-26高二上·四川成都·期中）为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕捉一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只.根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为 . 【答案】1500只 【分析】根据样本数据估计总体数据即可. 【详解】由题可设该自然保护区中天鹅的数量的估计值为， 从而可得，解得， 故该自然保护区中天鹅的数量估计值为1500只. 故答案为：1500只. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）下面的抽样中适合用简单随机抽样的有哪些？ (1)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈； (2)从10台冰箱中抽出3台进行质量检查； (3)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本； (4)某乡农田有：山地800公顷，丘陵1200公顷，平地2400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量． 【答案】(1)不适合 (2)适合 (3)不适合 (4)不适合 【分析】（1）总体容量较大，不适合； （2）总体容量较少，适合； （3）个体差异明显，不适合； （4）总体容量大，差异还较大，不适合. 【详解】（1）总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦； （2）总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便； （3）由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法； （4）总体容量大，且各类田地的差别很大，不宜采用简单随机抽样法． 16．（2022高一·全国·专题练习）要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请分别用抽签法和随机数法抽样，并写出抽样过程． 【答案】答案见解析 【分析】抽签法需要先制签，随机数法需要有随机数表或计算器. 【详解】解：用抽签法，步骤如下： ①将30辆汽车编号，号码是1，2，3，…，30； ②将1～30这30个编号写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签； ③将写好的小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌； ④从盒里不放回地逐个抽取3个号签，并记录上面的编号； ⑤与号签上的编号对应的3辆汽车就是要抽取的样本． 用随机数法，步骤如下： ①将30辆汽车编号，号码是1，2，3，…，30； ②进入计算器的计算模式，调出生成随机数的函数并设置参数，如RandInt#(1，30)，按“=”键3次，得到3个1～30内的随机数，若这3个随机数有重复，剔除重复的编号，继续按“=”键，直到生成3个不同的随机数；（本步还可以用其他方式生成随机数） ③把产生的随机数作为抽中的编号，与编号对应的3辆汽车就是要抽取的样本． 17．（2024高一下·全国·专题练习）某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验． (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号． 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667. 【答案】(1)答案见解析 (2)162，277，354，384，263，491，175，331，455，068. 【分析】（1）根据随机数法抽取样本的原则操作即可； （2）根据随机数与编号相对应，一次写出即可； 【详解】（1）第一步，将500袋牛奶编号为001，002，…，500. 第二步，用随机数工具产生1～500范围内的整数随机数． 第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的袋装牛奶进入样本． 第四步，重复上述过程，直到产生10个不同编号为止． （2）应抽取的袋装牛奶的编号为162，277，354，384，263，491，175，331，455，068. 18．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场.已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 50% 40% 10% B会场 40% 50% 10% 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本. (1)求的值； (2)若抽到的B会场的高二学生有150人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数. 【答案】(1) (2)，50，40，10. 【分析】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，列表表示出去会场的各年级人数，由此可得比例. （2）由B会场的高二学生人数求得样本容量，按比例求得抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数． 【详解】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c， 则去A会场的学生总数为，去B会场的学生总数为，     则对应人数如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 B会场 则. （2）依题意，，解得，则抽到的A会场的学生总数为100人， 所以高一年级人数为，高二年级人数为，高三年级人数为. 19.（24-25高一下·四川巴中·期末）统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为，摧毁某年生产的架战机编号从小到大为，，，…，，最大的编号为，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号，，，…，，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间（如下图），可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度进而得到的估计值. 已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题. (1)根据材料估计敌军生产的战机数量； (2)已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，. （ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式； （ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为，，，样本量分别为，，，据此证明： 【答案】(1)24架； (2)（ⅰ）不能，需要知道这三个等级战机具体的个体数量，，，或者抽取样本的数量，，，估计式见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）由题设得求参数，即可得； （2）（i）根据题意需要知道这三个等级战机具体的个体数量，，，或者抽取样本的数量，，，进而写出公式；（ii）按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为、、，得，应用分层等比例性质即可证. 【详解】（1）因为可用估计，所以，得，故敌军每年生产战机24架. （2）（ⅰ）不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度， 需要知道这三个等级战机具体的个体数量，，，或者抽取样本的数量，，， 估计式为或 （ⅱ）因为样本是按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为、、， 所以，则， 所以，，， 又因为样本平均数为， 所以. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $