专题03 用样本估计总体分布（高效培优讲义，4知识+7题型+强化训练）高一数学北师大版2019必修第一册

本讲义聚焦“用样本估计总体分布”核心知识点，从频数与频率的基础概念出发，通过频率分布表的制作步骤搭建桥梁，过渡到频率分布直方图的构成与绘制，再延伸至频率分布折线图的应用，形成从数据整理到图表表达的完整学习支架，涵盖条形、折线、扇形等统计图的综合分析。 资料以“即学即练”和分层题型为特色，通过学生成绩统计、居民消费价格分析等真实案例，培养学生用数学眼光观察数据规律，用数学思维推理统计关系，用数学语言表达图表结论。课中助力教师实施案例教学提升数据意识，课后通过多样化练习帮助学生巩固方法，查漏补缺。

专题03 用样本估计总体分布 教学目标 1.通过实例体会分布的意义和作用. 2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图. 3.通过实例体会频率分布直方图，并准确地做出总体估计. 教学重难点 重点：理解简单随机抽样、分层抽样的必要性;掌握分层抽样的方法 难点：在简单的问题情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题. 知识点01 频数与频率 1.频数 在一组数据中，数据出现的次数称为频数，某个区间内的数据的个数称为区间对应的频数. 2.频率 在一组数据中，数据的频数与这组数据总个数的比称为频率，区间对应的频数与这组数据总个数的比称为区间对应的频率. 【即学即练】 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在检测一批相同规格共800kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了360片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（    ） A．11.1kg B．36kg C．111kg D．50kg 【答案】A 【分析】先求出样本中非优质品所占比例；再利用样本估计总体的思想即可求解. 【详解】由题意可得：样本中非优质品所占比例为， 所以这批垫片中非优质品约为. 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·周测）在如图所示的扇形统计图中，数据丙的频率为（   ） A．31％ B．30％ C．21％ D．11％ 【答案】D 【分析】根据扇形图各部分所占的百分比之和为1即可求解. 【详解】由已知得. 故选：D． 知识点02 频率分布表 1.频率分布表的定义 频率分布表是对大量数值型数据进行整理与分析的统计表格，通过将数据按 “等距区间” 分组，统计每组内数据的出现次数（频数），并计算每组频数占总数据的比例（频率），以此清晰呈现数据的分布特征. 2.频率分布表的核心构成 分组区间：将数据划分的等距范围； 频数：每组区间内包含的原始数据个数； 频率：每组频数与总数据个数的比值（公式：频率 = 频数 ÷ 总数据数）. 3.频率分布表的制作步骤 （1）计算极差：极差 = 最大值 - 最小值； （2）确定组距与组数：选组距，组数≈极差 ÷ 组距→取整数组； （3）划分分组区间，将数据分组； （4）统计频数，列频率分布表； （5）计算频率 【即学即练】 1．（2024高一下·全国·专题练习）一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在内的频率为，则估计样本在，内的数据个数共为 ． 分组 频数 3 4 5 【答案】15 【分析】根据条件得到样本数据在内的频数为，即可求出结果. 【详解】因为样本中数据在内的频率为， 所以样本数据在内的频数为， 得到样本在，内的数据个数共为， 2．（2025高二下·福建·学业考试）敬骅小区共有100名住户，该小区用电量千瓦时（kW·h）频率分布表如下表所示.求的户数 . 频率/组距 用电量 0 (0，50] 0.0024 (50，100] 0.0036 (100，150] 0.0056 (150，200] 0.0042 (200，250] 0.0030 (250，300] 0.0012 (300，350] 【答案】21 【分析】根据频数=频率样本总量，由表求解即可. 【详解】由题，组距为50，则的户数为户， 故答案为：21. 知识点03 频率分布直方图 1.频率分布直方图 频率分布直方图的横坐标表示所研究数据的类型.纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为__1_. 2. 频率分布直方图的画法∶ （1）找出最值，计算极差； （2）合理分组，确定区间； （3）整理数据； （4）作出有关图示. 【即学即练】 1.（24-25高一上·全国·课堂例题）某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩（单位：分），数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109   104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92     114   108    104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121    80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97    102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108   123    119    98    121    101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题目所给数据列出频率分布表. （2）根据频率分布表画出频率分布直方图. 【详解】（1）在这100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为． 取组距为5，则组数为． 频率分布表如下： 分组 频数 频率 [80，85） 1 0.01 [85，90） 2 0.02 [90，95） 4 0.04 [95，100） 14 0.14 [100，105） 24 0.24 [105，110） 15 0.15 [110，115） 12 0.12 [115，120） 9 0.09 [120，125） 11 0.11 [125，130） 6 0.06 [130，135] 2 0.02 合计 100 1.00 （2）根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图，如图所示． 知识点04 频率分布折线图 1.频率分布折线图 （1）定义：以频率分布直方图为基础，将每个小矩形上端的中点用线段依次连接（并向左右两端延伸至相邻组的中点）形成的折线图形. （2）核心特征：折线顶点对应各组中点的 “频率 / 组距” 值；图形更平滑地体现数据分布的连续变化. （3）用途：更直观地展示数据分布的变化趋势，也可近似估计数据在某区间的频率. 2.频率分布直方图与频率分布折线图的关系 频率分布折线图是频率分布直方图的延伸，二者均以频率分布表为基础，核心功能是展示数据的分布特征 —— 直方图侧重区间内的分布密度，折线图侧重分布的连续变化趋势. 【即学即练】 1.（25-26高一·全国·课后作业）从总体中抽取容量为100的样本，制作频率分布直方图和频率分布折线图． 分组 累积频数 频数 频率 [2.5.3.5） 12 12 0.12 [3.5，4.5） 20 8 0.08 [4.5，5.5） 31 11 0.11 [5.5，6.5） 53 22 0.22 [6.5，7.5） 72 19 0.19 [7.5，8.5） 86 14 0.14 [8.5，9.5] 100 14 0.14 【答案】作图见解析 【分析】分别根据各区间所占的频率，再计算频率除以组距即可作出频率分布直方图与折线图. 【详解】如图所示： 题型01 条形统计图及其应用 【典例1】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【答案】A 【分析】根据图1和图2，逐项分析判断即可. 【详解】结合图1和图2，计算可得2020至2024年第一产业增加值依次为 3167.578，3362.034,3505.425,3520.571,3543.75，成递增趋势，故A错误； 结合图1和图2，计算可得2020至2024年第二产业增加值依次为 15297.084,16939.479,17709.225,18712.076,19591.875，成递增趋势，故B正确； 由图2可知，2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高，故C正确； 由图1可知，2020至2024年全省地区生产总值逐年增长，故D正确. 故选：A. 用条形统计图表示量的变化时，要注意横、纵轴所表示的实际意义，关于条形统计图中的矩形框的宽没有严格要求,但高度必须以数据为准，用高度形象直观地反映数据或数据所占百分比的大小. 【变式1-1】（2025高三·上海·专题练习）如图所示，下面是出口，上面是进口，哪个进出口贸易总额不对（    ） A．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大； B．从2018年开始后，进出口总额逐年增大； C．从2018年开始后，进口总额逐年增大； D．从2018年开始后，图表2020年增长率最小. 【答案】C 【分析】利用图象数据分析选项即可. 【详解】根据图象可以发现：2018年到2019年进口总额是降低的，故C错误. 故选：C 【变式1-2】（多选）（24-25高一下·广东河源·期末）2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则（    ） A．2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上 B．近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大 C．从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增 D．从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增 【答案】ABC 【分析】根据条形图，逐项判断即可. 【详解】对于A，根据条形图，2024年，我国数字阅读用户规模为6.7亿，网民规模为11.1亿，数字阅读用户规模约占网民规模的，故A正确； 对于B，近五年，我国数字阅读用户规模的增长量为亿，网民规模的增长量为亿， 数字阅读用户规模的增长量大于网民规模的增长量，故B正确； 对于C，根据条形图，可以看出，从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模在逐年递增，故C正确； 对于D，根据条形图，从2020年至2021年，我国网民规模的增长率为， 从2023年至2024年，我国网民规模的增长率为，增长率减小了，故D错误. 故选：ABC. 题型02 折线统计图及其应用 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）2022年7月至2023年7月，我国居民消费价格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则（   ） 备注：同比增长率， 环比增长率=. A．2023年1月全国居民消费价格比2022年1月全国居民消费价格有所下降 B．2023年5月全国居民消费价格比2023年4月全国居民消费价格有所上升 C．2022年7月至2023年7月全国居民消费价格同比增长率的40%分位数为1.0% D．2022年10月至2023年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数为0.25% 【答案】D 【分析】根据已知折线图数据分别判断A，B，应用百分位数定义计算判断C，计算平均数判断D选项即可. 【详解】对A，从图中可以看出2023年1月全国居民消费价格的同比增长率为，所以2023年1月全国居民消费价格有所上升，故A错误； 对B，由图2023年5月全国居民消费价格环比增长率为，所以2023年5月全国居民消费价格有所下降，故B错误； 对C，将C选项中的数据由小到大排列得0.7%，0.8%，0.9%，0.9%，1%，1.5%，1.5%，1.5%，2.1%，2.1%，2.3%，2.5%，2.7%， 因为，则同比增长率的40%分位数为第6个数，故C错误； 对D，环比增长率的平均数为，故D正确. 故选：D. :折线统计图是以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化的.与条形统计图比较，折线统计图不仅可以表示数量的多少，而且可以更直观地反映同一事物在不同时间里的发展变化情况. 【变式2-1】（24-25高一下·河北·月考）在统计学中，月度同比是指本月份和上一年同月份相比较的增长率，月度环比是指本月份和上一个月份相比较的增长率.如图是国家统计局发布的2023年全国居民消费价格月度涨跌幅度折线图，则下列说法正确的是（    ） A．2023年2月至6月居民的消费价格持续下降 B．2023年7月居民消费价格高于2022年同期 C．2023年4月居民消费价格环比上涨0.1%，同比下降0.1% D．2023年8月的居民消费价格是全年最高的 【答案】A 【分析】由月度同比、月度环比折线图逐个判断即可. 【详解】对于A：2月至6月环比增长率分别是，故消费价格持续下降；正确 对于B：由月度同比图可知2023年7月居民消费价格低于2022年同期；错误 对于C：2023年4月居民消费价格环比下降0.1%，同比上升0.1%，错误 对于D：虽然2023年8月的月度环比上涨幅度较大，但仅根据环比数据不能直接得出8月的居民消费价格是全年最高的，因为前面的月份价格也有变化情况，例如1月同比上涨,且后续月份价格变化复杂，不能简单判断8月价格最高，​错误​. 故选：A 【变式2-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度如图所示，则下列结论错误的是（    ）    备注：同比增长速度 A．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额逐月增大 B．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的极差为 C．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的平均数小于 D．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的60%分位数为 【答案】D 【分析】由同比增长速度均为正数即可判断A；由极差定义计算即可判断B；由平均数定义计算即可判断C；根据百分位数定义计算求解即可判断D. 【详解】由图可知，2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度均为正数， 所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额逐月增大，A正确； 2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的极差为，B正确； 因为， 所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的平均数小于，C正确； 因为， 所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的分位数为，D错误. 故选：D 题型03 扇形统计图及其应用 【典例3】（2026高三·全国·专题练习）某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（   ） A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C．2024年该校本科达线人数增加了80% D．2024年该校不上线的人数有所减少 【答案】C 【分析】根据扇形统计图及各人数的百分比进行计算即可. 【详解】不妨设2023年的高考人数为a，则2024年的高考人数为. 由图可知2023年本科达线人数为，2024年本科达线人数为， 故2024年与2023年的本科达线人数比为9：5，故A不正确； 本科达线人数增加了，故C正确； 2023年专科达线人数为，2024年专科达线人数为， 所以2024年与2023年的专科达线人数比为9：7，故B错误； 2023年不上线人数为，2024年不上线人数也是，不上线的人数无变化，故D错误. 故选：C. 作扇形统计图的关键是搞清每个部分占总体的百分比与扇形圆心角的关系.一般地，圆心角的度数＝百分比×，同时扇形的面积越大，圆心角的度数越大,扇形的面积越小，圆心角的度数也越小，这也就是说用扇形的面积占整个圆的多少来反映各部分占总体的百分比. 【变式3-1】（24-25高一上·全国·周测）在如图所示的扇形统计图中，数据丙的频率为（   ） A．31％ B．30％ C．21％ D．11％ 【答案】D 【分析】根据扇形图各部分所占的百分比之和为1即可求解. 【详解】由已知得. 故选：D． 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·河北保定·期末）改革开放以来，某地区率先推进经济转型升级和高质量发展，成功实现从传统的农业、工业化经济向现代化服务型、创新型、数字经济转化，实现了从粗放型增长向高质量发展的迈进.该地区经过近十年的发展，经济总收入增加了两倍，下图统计了该地区经济转型前和经济转型后经济总收入的构成比例，则下面结论中正确的是（    ） A．经济转型后，农业收入减少 B．经济转型后，工业收入增加了一倍以上 C．经济转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上 D．经济转型后，第三产业收入超过了经济转型前经济总收入 【答案】BCD 【分析】设该地区经济转型前经济总收入为，经济转型后经济总收入为．通过选项逐一分析经济转型前后经济收入情况，利用数据推出结果． 【详解】设该地区经济转型前经济总收入为，经济转型后经济总收入为．由图可知： A项，经济转型后农业收入，经济转型前农业收入， 故转型后，农业收入增加了，故A项错误． B项，经济转型后工业收入，经济转型前工业收入，故转型后，工业收入增加了一倍以上，故B项正确． C项，经济转型后其他产业收入，经济转型前其他产业收入，故转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上，故C项正确． D项，经济转型后第三产业收入，经济转型前经济总收入，故转型后，第三产业收入超过经济转型前经济总收入，D正确. 故选：BCD 题型04 统计图的综合应用 【典例4-1】（25-26高二上·四川成都·期中）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【答案】B 【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图的数据进行分析，逐项判断即可. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为，占芯片、软件行业从业者的， 而芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位人数的比例， 故无法确定两者人数的多少，所以选项Ａ不一定正确； 对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为， 所以超过从事这两个行业总人数的，所以选项Ｂ正确； 对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，所以选项C不正确； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 占芯片、软件行业从业者的，“80前”占比，所以选项Ｄ错误. 故选：B. 【典例4-2】（24-25高一上·山东潍坊·期末）某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高分成，，，，五个组，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（   ） A．女生人数和男生人数一样多 B．组中男生人数多于女生人数 C．组男生人数为24人 D．组人数最少 【答案】C 【分析】根据给定的柱状图及饼状图，逐项判断即可. 【详解】对于A，女生组有18人，组有48人，组有30人，组有18人，组有6人， 女生共有人，男生有人，因此女生人数多于男生人数，A错误； 对于B，由扇形图，男生组有人，而女生有18人，因此女生多于男生，B错误； 对于C，组有人人，C正确； 对于D，组有人，组有人，组人数不是最少的，D错误. 故选：C 在实际问题中，我们常常根据不同的需要，选择合适的统计图进行表示.为此，我们要注意掌握常用统计图的特点，学会根据题目的需要选择合适的统计图，并会从不同的统计图中获得各种所需的信息. 【变式4-1】（多选）（24-25高一下·甘肃·月考）如图1为某省2024年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2024年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是（    ） A．2024年月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件 B．2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关 C．从两图中看，业务量与业务收入变化高度一致 D．从月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合两个统计图，对选项逐一判断，即可得到结果． 【详解】对于A，由图1可知，快递业务量3月份为4397万件，2月份为2411万件，差值为万件，故A正确； 对于B，由图1可知2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，故B正确； 对于C，由两图易知业务量从高到低是3月4月1月2月，业务收入从高到低是3月4月1月2月，保持高度一致，故C正确； 对于D，由图2知业务收入2月比1月减少，4月比3月减少，整体不具备高速增长之说，故D错误； 故选：ABC． 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）共享单车入驻某城区5年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此5周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放10000份调查问卷，回收到有效问卷6300份，现从中随机抽取160份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格： 表（一） 使用者年龄段 25岁以下 26～35岁 36岁～45岁 45岁以上 人数 40 80 20 20 表（二） 使用频率 0～6次/月 7～14次/月 15～22次/月 23～31次/月 人数 10 20 40 10 表（三） 满意度 非常满意（10） 满意（9） 一般（8） 不满意（7） 人数 30 20 20 10 依据上述表格完成下列三个统计图形： 【答案】答案见解析 【分析】根据表中的数据依次完成各统计图的绘制即可. 【详解】 【变式4-3】（多选）（23-24高二上·四川眉山·月考）如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：    下列结论中正确的是（    ） A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加 B．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 C．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 D．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 【答案】ABC 【分析】根据所给折线图、扇形图以及直方图，分析每个选项中涉及的量的变化，即可得答案. 【详解】对于A，从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确； 对于B，从扇形图中能够明显地看出2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确； 对于C，从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平，故C正确； 对于D，由题中三幅统计图可看得出北美洲人口数量最少， 并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误. 故选：ABC 题型05 频率分布表及其应用 【典例5-1】（2025高二·重庆·学业考试）王老师对本班名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（　　） 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】将本班人数乘以参加科技小组的频率，即可得解. 【详解】参加科技小组的频率为，则本班报名参加科技小组的人数是人. 故选：A. 【典例5-2】（24-25高二上·黑龙江·期中）某校 1 200 名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为 100 分），为了分析这次数学测验的成绩， 从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题： 成绩分组 频数 频率 平均分 3 0.015 16 a b 32.1 25 0.125 55 c 0.5 74 62 0.31 88 (1)求 a，b，c 的值； (2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60 分及 60分以上为及格）. 【答案】(1) (2)0.81 【分析】（1）根据统计图中数据分析得到a，b，c 的值； （2）计算出抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率，从而估计出这名学生该次数学测验及格的概率. 【详解】（1），解得， 故，， （2）抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率为， 故估计这名学生该次数学测验及格的概率. 编制频率分布表的步骤: (1)求极差,即计算出一组数据中最大值与最小值的差； (2)决定组距与组数,在确定组距与组数时，要根据极差的大小，数据的多少，选择恰当的组距，使表格不至于太长或太短； (3)分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； (4)列频率分布表,登记频数，计算频率，,列出频率分布表. 【变式5-1】（2025高二上·黑龙江·学业考试）王老师对本班50名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加数学小组的人数是（    ） 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 A．11人 B．10人 C．9人 D．5人 【答案】B 【分析】将本班人数乘以参加数学小组的频率，即可得解. 【详解】参加数学小组的频率为0.2， 所以本班报名参加数学小组的人数是， 故选：B 【变式5-2】（21-22高一·全国·课后作业）某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中20辆汽车进行车速分析，分析的结果如下（单位：km/h）： 62  66  71  73  76  79  80  82  83  85 85  86  88  89  91  93  96  97  99  105 (1)制作频率分布表； (2)估计该时段内经过车辆车速大于等于80km/h的数量占比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题中所给数据完成频率分布表即可； （2）求出该时段内经过车辆车速大于等于80km/h的频率，从而可得出答案. 【详解】（1）解：频率分布表如下所示： 车速分布区间 频数 频率 2 0.10 0.010 4 0.20 0.020 8 0.40 0.040 5 0.25 0.025 1 0.05 0.005 （2）解：估计该时段内经过车辆车速大于等于80km/h的数量占比为． 题型06 频率分布直方图及其应用 【典例6】（25-26高二上·上海奉贤·月考）为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）由各小矩形的高之和为求解； （2）由比例求解. 【详解】（1）. （2）因为， 所以在，，内应各抽取： ，，. 故在，，内分别抽取，，人. 当用频率分布直方图表示各个区间内取值的频率时，组数应力求合适，从而使数据的分布规律能清楚地呈现出来. 当数据在120个以内时，按数据多少常分5-12组.在实际操作中，一般要求各组的组距相等. 【变式6-1】（2022高二下·河北·学业考试）某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 【答案】C 【分析】由频率之和为1得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得 故选：C 【变式6-2】（24-25高二下·云南昆明·月考）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（   ） A．0.017，0.048 B．0.017，0.48 C．0.17，0.048 D．0.17，0.48 【答案】A 【分析】根据已知条件，由频率分布直方图中矩形高度的概念可求出，由频率分布直方图中各组矩形面积之和为1，即可求出. 【详解】由频率分布直方图可知组距为10，则， 又因为，解得. 故选：A 【变式6-3】（2024高一下·江苏·专题练习）某校高二年级期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统计如下表. 分组 频数 频率 3 0.03 3 0.03 37 0.37 m n 15 0.15 合计 M N (1)求出表中的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率直方图； (2)若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数. 【答案】(1)，作图见解析 (2)342 【分析】（1）利用频率分布表的性质依次求得，再利用频率分布直方图的作法即可得解； （2）利用频率分布表，结合比例列式即可得解. 【详解】（1）由频率分布表得， 所以，， 频率直方图如图所示， （2）由题意，知全校成绩在90分以上的学生的人数约为. 题型7 频率分布折线图及其应用 【典例7】（22-23高二下·上海·单元测试）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下： 分组 频数 7 11 15 40 49 41 20 17 分组 频数 频率 合计 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出样本的频率分布直方图和折线图； (3)求样本数据不足0的频率． 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图和折线图见解析 (3)0.365 【分析】（1）根据表中数据作出频率分布表即可； （2）结合频率分布表作出频率分布直方图与折线图； （3）根据题意，求出，，，的频率和即可． 【详解】（1）根据表中数据，频率分布表如下： 7 0.035 11 0.055 15 0.075 40 0.200 49 0.245 41 0.205 20 0.100 17 0.085 合计 200 1 （2）结合频率分布表得直方图与折线图如下： （3）样本数据不足0的频率为． 【变式7-1】(多选）（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）某同学将全班同学期中考试的成绩绘制成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率折线图（如下图所示）.    据此图，下列说法正确的是（　　） A．由频率折线图可以看出，在[75，115）区间内，随着成绩的增加，各分数对应的人数一直增加 B．由频率折线图可以看出，在[115，145）区间内各分数段的人数逐渐减少 C．据频率折线图可以估计此次考试成绩的众数是115 D．据频率折线图可以看出有50%以上的同学的分数在[95，135）区间内 【答案】BCD 【分析】根据折线图分别判断各个选项即可. 【详解】由题图可知分数在[95，105）内的人数没有增加，故A错误； 由折线变化趋势可知B正确； 115对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，频数也最大，据此估计此次考试成绩的众数为115，故C正确； 由折线图的绘制过程及频率分布直方图中小矩形的面积意义可知D正确． 故选：BCD. 【变式7-2】（2024高一下·江苏·专题练习）有一容量为50的样本，数据的分组及各组的数据如下：，4；，9；，5；，8；，10；，3；，11. (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率直方图及频率折线图. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率直方图及频率折线图见解析 【分析】（1）由各组的频数除以样本容量即可求得频率分布表； （2）根据（1）中的频率除以组距得到各组的纵坐标，进而绘制出频率分布直方图，然后连接各个小矩形顶端的中点得到频率分布折线图. 【详解】（1）由所给的数据，不难得出以下样本的频率分布表. 数据段 频数 频率 4 0.08 5 0.10 10 0.20 11 0.22 9 0.18 8 0.16 3 0.06 合计 50 1 （2）频率直方图如图1所示，频率折线图如图2折线部分所示.         一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）某学习小组对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，其中全部都知道，大部分知道，小部分知道和完全不知道“二十四节气”的受访者分别占12.6％，49.0％，34.6％和3.8％，下列选项中用来表示上述调查结果的统计图表合适的是（    ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．条形统计图 D．以上都可以 【答案】B 【分析】根据调查结果和各种统计图表的功能可得答案. 【详解】调查结果是分类比例，选项中只有扇形统计图适合. 故选：B. 2．（23-24高一下·广西·月考）一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（    ）    A．225 B．295 C．235 D．305 【答案】C 【分析】根据题设条件求出数据在内的频数，去掉内的频数即得. 【详解】因为数据在内的频率为0.75，所以数据在内的频数为， 故样本中数据在内的个数为． 故选：C. 3．（2025高三·江苏·专题练习）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为（    ） A．68 B．27 C．66 D．86 【答案】A 【分析】先根据频率分布直方图计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数. 【详解】由图表可知今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：A 4．（24-25高一上·重庆长寿·期末）年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（    ） A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 【答案】C 【分析】根据折线图逐项判断. 【详解】A. 由折线图知：月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低，故正确； B. 由折线图知：月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为，故正确； C.根据图象，这一天时所对应的温度约为，故错误； D. 根据图象，这一天时所对应的温度为，故正确， 故选：C 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在检测一批相同规格共800kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了360片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（    ） A．11.1kg B．36kg C．111kg D．50kg 【答案】A 【分析】先求出样本中非优质品所占比例；再利用样本估计总体的思想即可求解. 【详解】由题意可得：样本中非优质品所占比例为， 所以这批垫片中非优质品约为. 故选：A. 6．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】D 【分析】根据演讲人数及所占比求出选取的总人数，再由条形图得演讲人数即可得解. 【详解】由条形图得合唱人数为70，由饼状图得合唱人数占比， 因此选取的总人数为， 由饼状图得演讲及舞蹈人数和占比为， 人数和为， 由条形图得演讲人数为30，所以舞蹈人数为40. 故选：D. 7．（22-23高一下·广东佛山·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】B 【分析】利用统计图表一一分析选项即可. 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为， 超过五成，故A正确； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比：，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比， 人均参保费用在，而54岁及以上人群参保比例虽， 但人均参保费用在6000，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约 ， 不超过5000元，故D正确. 故选：B 8．（24-25高一下·江苏·期末）某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他区 营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7% 净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8% 已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（   ） A．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 B．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 C．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40% D．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 【答案】D 【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断． 【详解】生鲜区的净利润占比，故A正确． 生鲜区的营业利润率为，故C正确． 熟食区的营业利润率为； 乳制品区的营业利润率为； 其他区的营业利润率为； 日用品区的营业利润率为，最高，故B正确． 由题中数据知，其他区的营业收入占比4.7%为最低的，故D错误． 故选：D 二、多选题 9.如图给出的是某高校土木工程系大四55名学生期末考试专业成绩的频率折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，下列结论中正确的是（ ） A．成绩是75分的人数为20 B．成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多 C．成绩落在内的人数为35 D．成绩落在内的人数为20 【答案】CD 【分析】根据折线图提供的数据及概率的意义判断各选项． 【详解】成绩落在内的人数为，不能说成绩是75分的人数为20，所以A错误，D正确； 从频率折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩落在内的人数和成绩落在内的人数相等，所以B错误； 成绩落在内的人数为，所以C正确. 故选：CD． 10．（24-25高一上·辽宁大连·月考）2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是（   ）    图一  2019～2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度  图二为2023年全国居民人均消费支出及其构成 A．2019~2023年全国居民人均可支配收入逐年递增 B．2019~2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增 C．2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少 D．2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60% 【答案】AD 【分析】根据统计图表及其数据逐个选项进行分析可得结论. 【详解】对于A，根据条形图可知，2019~2023年全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，逐年递增，即A正确； 对于B，根据折线图可知2020年、2022年增长速度在下降，即B错误； 对于C，根据扇形图可知，2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用为2904元，比衣着、生活用品及服务等要多，不是最少的，即C错误； 对于D，2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比为：，不足60%，即D正确. 故选：AD 11．（24-25高一下·广东梅州·月考）为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占则下列结论正确的是（     ） A．男、女员工得分在A区间的占比相同 B．在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数 C．得分在C区间的员工最多 D．得分在D区间的员工占总人数的19% 【答案】AD 【分析】先求出员工总数和男员工人数，再求出男女员工在各区间的人数，从而对四个结论逐一判断即可. 【详解】根据题意，设员工总人数为，因为女员工人数为（人）， 所以，解得， 所以男员工人数为（人）， 对于A，女员工得分在区间的占比为， 男员工得分在区间的占比为， 即男、女员工得分在A区间的占比相同，故A正确； 对于B，由题图1可知，女员工在区间有20人，区间有60人，区间有70人，区间有50人， 男员工在区间有（人），区间有（人）， 区间有（人），区间有（人）， 所以区间男员工少于女员工，故B错误； 对于C，区间有（人），区间有（人）， 所以区间人数比C区间多，故C错误； 对于D，区间有（人）， 所以得分在区间的员工占总人数的，故D正确． 故选：AD 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·单元测试）容量为50的样本数据，按从小到大的顺序分成4组，频数依次为11、14、x、13，则第三组的频率为 ． 【答案】0.24 【分析】根据题意先求出第三组的频数，再可求出第三组的频率. 【详解】由题意得，得， 所以第三组的频率为. 故答案为：0.24 13．（24-25高一上·全国·课后作业）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如图的统计图表（图1～图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度； （2）图2，3中的 ， ． 【答案】 36 60 14 【分析】（1）根据扇形统计图求出“统计与概率”所占的百分比，再乘以可得答案； （2）先求出“数与代数”的总课时，减去“数与式”与“函数的”课时可求出，根据条形统计图可求出 【详解】（1）由扇形统计图可知“统计与概率”所在扇形的圆心角为； （2）由图1和图2可知，由图3知． 故答案为：①36，②60，③14 14．（24-25高三上·山西大同·期末）我市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到如图的统计图表，则样本中人数最多的是 层，样本中层的男生人数为 人.    【答案】 【分析】运用条形统计图得到女生人数，进而得到男生人数，最后按照比例求出各层人数即可. 【详解】解析：由图可知女生人数为60，则男生人数为40， 样本中层的人数为；样本中层的人数为； 样本中层的人数为；样本中层的人数为； 样本中层的人数为.故样本中层的人数最多． 样本中层的男生人数为. 故答案为：；6. 四、解答题 15．(24-25高一上·陕西西安·开学考试）“千年古都，大美西安”.某校数学兴趣小组就最想去的西安旅游景点随机调查了本校部分学生，要求每位学生选择且只能选择一个最想去的景点（景点对应的名称分别是A：大雁塔；B：兵马俑；C：陕西历史博物馆；D：秦岭野生动物园；E：曲江海洋馆）.下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求被调查的学生总人数； (2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示最想去景点“D”的扇形圆心角的度数； (3)若该校共有800名学生，请估计该校学生中最想去兵马俑的人数. 【答案】(1)人 (2)作图见解析， (3)人 【分析】（1）对于求被调查学生总人数，我们可以根据已知部分人数及其所占比例来计算总人数，这里用到比例关系的概念； （2）补全条形统计图需要先求出各部分的人数，再根据人数画出图形。求扇形圆心角的度数，根据圆心角的度数等于该部分占总体的比例乘以； （3）估计全校想去兵马俑旅游的人数，是利用样本中想去兵马俑的比例来估计总体的情况. 【详解】（1）被调查的学生总人数为（人）； （2）最想去D景点的人数为：(人)， 补全条形统计图为： 扇形统计图中表示“最想去景点“D”的扇形圆心角的度数为. （3），所以估计“最想去景点兵马俑”的学生人数为280人. 16．（2023高一上·全国·专题练习）某单位名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表. 区间 人数 20 (1)补全表格中的数据（不需要写过程）； (2)现要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，求从第组分别抽取的人数； 【答案】(1)答案见解析； (2)年龄第组人数分别是1人，1人，4人； 【分析】（1）由频率分布直方图各组小矩形的高度的关系求解即可； （2）根据分层抽样的方法求解即可； 【详解】（1）由频率分步直方图可知，，两组的人数与组的人数相等，均为人， 第3组的人数是第一组人数的4倍，为人， 第4组的人数是第一组人数的3倍，为人 所以，表格中的数据为：第2组的人数为20人，第3组的人数为80人，第4组的人数为60人，第5组的人数为20人. （2）由频率分布表和频率分布直方图知： 第1组的频率为， 第2组的频率为， 第3组的频率为， 第组的人数比为， 要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人， 所以，年龄第组人数分别是1人，1人，4人. 17．（24-25高一下·吉林长春·月考）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 (1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？ (2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； (3)现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 【答案】(1)①应填，②应填； (2)直方图见解析，人数为175； (3)15 【分析】（1）结合抽取的总人数，结合表格中数据，计算出结果； （2）计算出区间的频率/组距，绘制直方图，并利用年龄在岁的频率得到答案； （3）计算出三个区间的比例，从而计算出从、中分别抽取的人数，得到答案. 【详解】（1）①应填，②应填； （2）区间的频率为0.20，故频率/组距为， 故补全频率分布直方图，如下： 这500名志愿者中年龄在岁的人数为； （3）、、的人数比例为， 从中抽取了2人，故从、中分别抽取了7人和6人， 故. 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）某中学从高一年级随机抽取50名学生进行体能测试，其得分（满分100分）如下（单位：分）： 48    64    52    86    71    48    64    41    86    79 71    68    82    84    68    64    62    68    81    57 90    52    74    73    56    78    47    66    55    64 56    88    69    40    73    97    68    56    67    59 70    52    79    44    55    69    62    58    32    58 根据上面的数据，回答下列问题： (1)这次测试成绩的最高分和最低分分别是多少？ (2)将区间平均分成7个小区间，试列出这50名学生体能测试成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图和频率分布折线图． 【答案】(1)最低分是32分，最高分是97分 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题目所给数据求得最高分和最低分. （2）根据题目所给数据列出频率分布表，进而画出频率分布直方图和频率分布折线图. 【详解】（1）这次测试成绩的最低分是32分，最高分是97分． （2）根据题意，列出样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 1 0.02 6 0.12 12 0.24 14 0.28 9 0.18 6 0.12 2 0.04 合计 50 1.00 频率分布直方图和频率分布折线图如图所示． 19．（2024高一下·全国·专题练习）某校高一某班的某次数学测试成绩（满分100分，单位：分）如下：56，58，62，63，63，65，66，68，69，71，72，72，73，74，75，76，77，78，79，  ，90，95，由于保存不利，其中内的成绩被墨水覆盖．根据该数据绘制的频率分布直方图（如图）也被墨水覆盖了部分区域．    (1)求成绩在区间内的频率及抽样人数； (2)求成绩在区间内的频数，并计算频率分布直方图中区间对应的小长方形的高． 【答案】(1)0.08；25 (2)4；0.016 【分析】（1）根据频率分布直方图求频率，再根据频率和样本个数求抽样人数； （2）根据（1）的结果，以及样本数据，结合频率公式，即可求解. 【详解】（1）易知成绩在区间内的频率为，成绩在区间内的频数为2，所以抽样人数为． （2）成绩在区间内的频数为； 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 用样本估计总体分布 教学目标 1.通过实例体会分布的意义和作用. 2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图. 3.通过实例体会频率分布直方图，并准确地做出总体估计. 教学重难点 重点：理解简单随机抽样、分层抽样的必要性;掌握分层抽样的方法 难点：在简单的问题情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题. 知识点01 频数与频率 1.频数 在一组数据中， 称为频数，某个区间内的数据的个数称为区间对应的频数. 2.频率 在一组数据中，数据的频数与 的比称为频率，区间对应的频数与这组数据总个数的比称为区间对应的频率. 【即学即练】 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在检测一批相同规格共800kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了360片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（    ） A．11.1kg B．36kg C．111kg D．50kg 2．（24-25高一上·全国·周测）在如图所示的扇形统计图中，数据丙的频率为（   ） A．31％ B．30％ C．21％ D．11％ 知识点02 频率分布表 1.频率分布表的定义 频率分布表是对大量数值型数据进行整理与分析的统计表格，通过将数据按 “ ” 分组，统计每组内数据的出现次数（频数），并计算每组频数占总数据的比例（频率），以此清晰呈现数据的分布特征. 2.频率分布表的核心构成 分组区间：将数据划分的等距范围； 频数：每组区间内包含的原始数据个数； 频率：每组频数与总数据个数的比值（公式：频率 = 频数 ÷ 总数据数）. 3.频率分布表的制作步骤 （1）计算极差：极差 = 最大值 - 最小值； （2）确定组距与组数：选组距，组数≈极差 ÷ 组距→取整数组； （3）划分分组区间，将数据分组； （4）统计频数，列频率分布表； （5）计算频率 【即学即练】 1．（2024高一下·全国·专题练习）一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在内的频率为，则估计样本在，内的数据个数共为 ． 分组 频数 3 4 5 2．（2025高二下·福建·学业考试）敬骅小区共有100名住户，该小区用电量千瓦时（kW·h）频率分布表如下表所示.求的户数 . 频率/组距 用电量 0 (0，50] 0.0024 (50，100] 0.0036 (100，150] 0.0056 (150，200] 0.0042 (200，250] 0.0030 (250，300] 0.0012 (300，350] 知识点03 频率分布直方图 1.频率分布直方图 频率分布直方图的横坐标表示所研究数据的类型.纵坐标是 ，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的 ，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为__1_. 2. 频率分布直方图的画法∶ （1）找出最值，计算极差； （2）合理分组，确定区间； （3）整理数据； （4）作出有关图示. 【即学即练】 1.（24-25高一上·全国·课堂例题）某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩（单位：分），数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109   104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92     114   108    104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121    80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97    102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108   123    119    98    121    101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 知识点04 频率分布折线图 1.频率分布折线图 （1）定义：以频率分布直方图为基础，将每个小矩形 用线段依次连接（并向左右两端延伸至相邻组的中点）形成的折线图形. （2）核心特征：折线顶点对应各组中点的 “频率 / 组距” 值；图形更平滑地体现数据分布的连续变化. （3）用途：更直观地展示数据分布的变化趋势，也可近似估计数据在某区间的频率. 2.频率分布直方图与频率分布折线图的关系 频率分布折线图是频率分布直方图的延伸，二者均以频率分布表为基础，核心功能是展示数据的分布特征 —— 直方图侧重区间内的分布密度，折线图侧重分布的连续变化趋势. 【即学即练】 1.（25-26高一·全国·课后作业）从总体中抽取容量为100的样本，制作频率分布直方图和频率分布折线图． 分组 累积频数 频数 频率 [2.5.3.5） 12 12 0.12 [3.5，4.5） 20 8 0.08 [4.5，5.5） 31 11 0.11 [5.5，6.5） 53 22 0.22 [6.5，7.5） 72 19 0.19 [7.5，8.5） 86 14 0.14 [8.5，9.5] 100 14 0.14 题型01 条形统计图及其应用 【典例1】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 用条形统计图表示量的变化时，要注意横、纵轴所表示的实际意义，关于条形统计图中的矩形框的宽没有严格要求,但高度必须以数据为准，用高度形象直观地反映数据或数据所占百分比的大小. 【变式1-1】（2025高三·上海·专题练习）如图所示，下面是出口，上面是进口，哪个进出口贸易总额不对（    ） A．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大； B．从2018年开始后，进出口总额逐年增大； C．从2018年开始后，进口总额逐年增大； D．从2018年开始后，图表2020年增长率最小. 【变式1-2】（多选）（24-25高一下·广东河源·期末）2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则（    ） A．2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上 B．近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大 C．从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增 D．从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增 题型02 折线统计图及其应用 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）2022年7月至2023年7月，我国居民消费价格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则（   ） 备注：同比增长率， 环比增长率=. A．2023年1月全国居民消费价格比2022年1月全国居民消费价格有所下降 B．2023年5月全国居民消费价格比2023年4月全国居民消费价格有所上升 C．2022年7月至2023年7月全国居民消费价格同比增长率的40%分位数为1.0% D．2022年10月至2023年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数为0.25% :折线统计图是以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化的.与条形统计图比较，折线统计图不仅可以表示数量的多少，而且可以更直观地反映同一事物在不同时间里的发展变化情况. 【变式2-1】（24-25高一下·河北·月考）在统计学中，月度同比是指本月份和上一年同月份相比较的增长率，月度环比是指本月份和上一个月份相比较的增长率.如图是国家统计局发布的2023年全国居民消费价格月度涨跌幅度折线图，则下列说法正确的是（    ） A．2023年2月至6月居民的消费价格持续下降 B．2023年7月居民消费价格高于2022年同期 C．2023年4月居民消费价格环比上涨0.1%，同比下降0.1% D．2023年8月的居民消费价格是全年最高的 【变式2-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度如图所示，则下列结论错误的是（    ）    备注：同比增长速度 A．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额逐月增大 B．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的极差为 C．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的平均数小于 D．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的60%分位数为 题型03 扇形统计图及其应用 【典例3】（2026高三·全国·专题练习）某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（   ） A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C．2024年该校本科达线人数增加了80% D．2024年该校不上线的人数有所减少 作扇形统计图的关键是搞清每个部分占总体的百分比与扇形圆心角的关系.一般地，圆心角的度数＝百分比×，同时扇形的面积越大，圆心角的度数越大,扇形的面积越小，圆心角的度数也越小，这也就是说用扇形的面积占整个圆的多少来反映各部分占总体的百分比. 【变式3-1】（24-25高一上·全国·周测）在如图所示的扇形统计图中，数据丙的频率为（   ） A．31％ B．30％ C．21％ D．11％ 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·河北保定·期末）改革开放以来，某地区率先推进经济转型升级和高质量发展，成功实现从传统的农业、工业化经济向现代化服务型、创新型、数字经济转化，实现了从粗放型增长向高质量发展的迈进.该地区经过近十年的发展，经济总收入增加了两倍，下图统计了该地区经济转型前和经济转型后经济总收入的构成比例，则下面结论中正确的是（    ） A．经济转型后，农业收入减少 B．经济转型后，工业收入增加了一倍以上 C．经济转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上 D．经济转型后，第三产业收入超过了经济转型前经济总收入 题型04 统计图的综合应用 【典例4-1】（25-26高二上·四川成都·期中）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【典例4-2】（24-25高一上·山东潍坊·期末）某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高分成，，，，五个组，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（   ） A．女生人数和男生人数一样多 B．组中男生人数多于女生人数 C．组男生人数为24人 D．组人数最少 在实际问题中，我们常常根据不同的需要，选择合适的统计图进行表示.为此，我们要注意掌握常用统计图的特点，学会根据题目的需要选择合适的统计图，并会从不同的统计图中获得各种所需的信息. 【变式4-1】（多选）（24-25高一下·甘肃·月考）如图1为某省2024年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2024年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是（    ） A．2024年月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件 B．2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关 C．从两图中看，业务量与业务收入变化高度一致 D．从月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）共享单车入驻某城区5年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此5周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放10000份调查问卷，回收到有效问卷6300份，现从中随机抽取160份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格： 表（一） 使用者年龄段 25岁以下 26～35岁 36岁～45岁 45岁以上 人数 40 80 20 20 表（二） 使用频率 0～6次/月 7～14次/月 15～22次/月 23～31次/月 人数 10 20 40 10 表（三） 满意度 非常满意（10） 满意（9） 一般（8） 不满意（7） 人数 30 20 20 10 依据上述表格完成下列三个统计图形： 【变式4-3】（多选）（23-24高二上·四川眉山·月考）如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：    下列结论中正确的是（    ） A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加 B．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 C．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 D．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 题型05 频率分布表及其应用 【典例5-1】（2025高二·重庆·学业考试）王老师对本班名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（　　） 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 A．人 B．人 C．人 D．人 【典例5-2】（24-25高二上·黑龙江·期中）某校 1 200 名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为 100 分），为了分析这次数学测验的成绩， 从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题： 成绩分组 频数 频率 平均分 3 0.015 16 a b 32.1 25 0.125 55 c 0.5 74 62 0.31 88 (1)求 a，b，c 的值； (2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60 分及 60分以上为及格）. 编制频率分布表的步骤: (1)求极差,即计算出一组数据中最大值与最小值的差； (2)决定组距与组数,在确定组距与组数时，要根据极差的大小，数据的多少，选择恰当的组距，使表格不至于太长或太短； (3)分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； (4)列频率分布表,登记频数，计算频率，,列出频率分布表. 【变式5-1】（2025高二上·黑龙江·学业考试）王老师对本班50名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加数学小组的人数是（    ） 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 A．11人 B．10人 C．9人 D．5人 【变式5-2】（21-22高一·全国·课后作业）某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中20辆汽车进行车速分析，分析的结果如下（单位：km/h）： 62  66  71  73  76  79  80  82  83  85 85  86  88  89  91  93  96  97  99  105 (1)制作频率分布表； (2)估计该时段内经过车辆车速大于等于80km/h的数量占比． 题型06 频率分布直方图及其应用 【典例6】（25-26高二上·上海奉贤·月考）为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 当用频率分布直方图表示各个区间内取值的频率时，组数应力求合适，从而使数据的分布规律能清楚地呈现出来. 当数据在120个以内时，按数据多少常分5-12组.在实际操作中，一般要求各组的组距相等. 【变式6-1】（2022高二下·河北·学业考试）某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 【变式6-2】（24-25高二下·云南昆明·月考）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（   ） A．0.017，0.048 B．0.017，0.48 C．0.17，0.048 D．0.17，0.48 【变式6-3】（2024高一下·江苏·专题练习）某校高二年级期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统计如下表. 分组 频数 频率 3 0.03 3 0.03 37 0.37 m n 15 0.15 合计 M N (1)求出表中的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率直方图； (2)若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数. 题型7 频率分布折线图及其应用 【典例7】（22-23高二下·上海·单元测试）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下： 分组 频数 7 11 15 40 49 41 20 17 分组 频数 频率 合计 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出样本的频率分布直方图和折线图； (3)求样本数据不足0的频率． 【变式7-1】(多选）（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）某同学将全班同学期中考试的成绩绘制成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率折线图（如下图所示）.    据此图，下列说法正确的是（　　） A．由频率折线图可以看出，在[75，115）区间内，随着成绩的增加，各分数对应的人数一直增加 B．由频率折线图可以看出，在[115，145）区间内各分数段的人数逐渐减少 C．据频率折线图可以估计此次考试成绩的众数是115 D．据频率折线图可以看出有50%以上的同学的分数在[95，135）区间内 【变式7-2】（2024高一下·江苏·专题练习）有一容量为50的样本，数据的分组及各组的数据如下：，4；，9；，5；，8；，10；，3；，11. (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率直方图及频率折线图. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）某学习小组对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，其中全部都知道，大部分知道，小部分知道和完全不知道“二十四节气”的受访者分别占12.6％，49.0％，34.6％和3.8％，下列选项中用来表示上述调查结果的统计图表合适的是（    ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．条形统计图 D．以上都可以 2．（23-24高一下·广西·月考）一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（    ）    A．225 B．295 C．235 D．305 3．（2025高三·江苏·专题练习）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为（    ） A．68 B．27 C．66 D．86 4．（24-25高一上·重庆长寿·期末）年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（    ） A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在检测一批相同规格共800kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了360片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（    ） A．11.1kg B．36kg C．111kg D．50kg 6．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 7．（22-23高一下·广东佛山·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 8．（24-25高一下·江苏·期末）某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他区 营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7% 净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8% 已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（   ） A．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 B．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 C．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40% D．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 二、多选题 9.如图给出的是某高校土木工程系大四55名学生期末考试专业成绩的频率折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，下列结论中正确的是（ ） A．成绩是75分的人数为20 B．成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多 C．成绩落在内的人数为35 D．成绩落在内的人数为20 10．（24-25高一上·辽宁大连·月考）2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是（   ）    图一  2019～2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度  图二为2023年全国居民人均消费支出及其构成 A．2019~2023年全国居民人均可支配收入逐年递增 B．2019~2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增 C．2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少 D．2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60% 11．（24-25高一下·广东梅州·月考）为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占则下列结论正确的是（     ） A．男、女员工得分在A区间的占比相同 B．在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数 C．得分在C区间的员工最多 D．得分在D区间的员工占总人数的19% 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·单元测试）容量为50的样本数据，按从小到大的顺序分成4组，频数依次为11、14、x、13，则第三组的频率为 ． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如图的统计图表（图1～图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度； （2）图2，3中的 ， ． 14．（24-25高三上·山西大同·期末）我市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到如图的统计图表，则样本中人数最多的是 层，样本中层的男生人数为 人.    四、解答题 15．(24-25高一上·陕西西安·开学考试）“千年古都，大美西安”.某校数学兴趣小组就最想去的西安旅游景点随机调查了本校部分学生，要求每位学生选择且只能选择一个最想去的景点（景点对应的名称分别是A：大雁塔；B：兵马俑；C：陕西历史博物馆；D：秦岭野生动物园；E：曲江海洋馆）.下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求被调查的学生总人数； (2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示最想去景点“D”的扇形圆心角的度数； (3)若该校共有800名学生，请估计该校学生中最想去兵马俑的人数. 16．（2023高一上·全国·专题练习）某单位名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表. 区间 人数 20 (1)补全表格中的数据（不需要写过程）； (2)现要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，求从第组分别抽取的人数； 17．（24-25高一下·吉林长春·月考）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 (1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？ (2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； (3)现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）某中学从高一年级随机抽取50名学生进行体能测试，其得分（满分100分）如下（单位：分）： 48    64    52    86    71    48    64    41    86    79 71    68    82    84    68    64    62    68    81    57 90    52    74    73    56    78    47    66    55    64 56    88    69    40    73    97    68    56    67    59 70    52    79    44    55    69    62    58    32    58 根据上面的数据，回答下列问题： (1)这次测试成绩的最高分和最低分分别是多少？ (2)将区间平均分成7个小区间，试列出这50名学生体能测试成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图和频率分布折线图． 19．（2024高一下·全国·专题练习）某校高一某班的某次数学测试成绩（满分100分，单位：分）如下：56，58，62，63，63，65，66，68，69，71，72，72，73，74，75，76，77，78，79，  ，90，95，由于保存不利，其中内的成绩被墨水覆盖．根据该数据绘制的频率分布直方图（如图）也被墨水覆盖了部分区域．    (1)求成绩在区间内的频率及抽样人数； (2)求成绩在区间内的频数，并计算频率分布直方图中区间对应的小长方形的高． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $