12.4.3 角平分线（二） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

12.4.3 角平分线（二） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 满分：120分 时间：60分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 训练内容：角平分线的判定定理 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（  ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 2．如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第3题图 第4题图 第2题图 第1题图 3．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（   ） A．平分的外角 B．平分 C． D． 第8题图 第7题图 第6题图 第5题图 7．如图，，M是的中点，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，为了达到就近检测的目的，某地决定设立一个核酸检测点，要求其到两村庄A，B的距离相等，且到两公路m，n的距离相等，则该监测点应设（　　） A．线段AB的垂线上 B．两公路m，n夹角的角平分线上 C．线段AB的垂直平分线上 D．线段AB的垂直平分线和两公路m，n夹角平分线的交点 10．如图，在中，，D是上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第12题图 第11题图 第10题图 第9题图 11．如图，于点E，于点F，，与相交于点D，有以下结论：①；②；③点D在的平分线上．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．如图，是内部一条射线，为射线上一点，于点于点．下面不能判定是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．如图，是内的射线，，，垂足分别为，且，，则的度数为 ． 14．如图，，则 ． 第16题图 第15题图 第13题图 第14题图 15．如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为 ． 16．如图，点是内部的一点，点到三边，，的距离，，则的度数为 ． 三、解答题（共72分） 17．（10分）如图，于点E，于点F，且．求证：点D在的平分线上． 18．（10分）如图，已知，点P在垂直平分线上，，，垂足分别为、，若，求证：点P在的平分线上． 19．（10分）如图，已知，交的延长线于点，交的延长线于点，，求证：． 20．（12分）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 21．（14分）如图，在四边形中，，为的中点，且平分．求证： (1)平分； (2)； (3)若，，求． 22．（16分），直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 12.4.3 角平分线（二） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D D A A B B D C 题号 11 12 答案 D D 1．A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，如图，过点作于点，于点，再结合，从而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． 直尺的宽度相等， ， ，， 平分． 故选：A． 2．D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的判定定理，过点D作于H，则，由角平分线的判定定理可得平分，则． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵中边上的高为3， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的角平分线上是解题的关键，利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度即可． 【详解】解：∵，，， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形的内角和，掌握以上知识是解答本题的关键；根据角平分线的判定求得是的角平分线，然后根据三角形的内角和知识求得，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵于点，于点，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 6．A 【分析】过点D作于点E，于点N，于点G，利用角的平分线的判定和性质，解答即可．本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握性质和解析式是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，于点N，于点G， ∵的平分线与的外角平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴点D一定在的角平分线上， 则平分的外角， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键. 作于N，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，即可得到答案． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴，又， ∴， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理的应用．由题意可知点O为的三条角平分线的交点，可得，，根据三角形内角和定理求出，可得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵点O到三边距离相等， ∴点O为的三条角平分线的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．D 【详解】根据垂直平分线的判定定理，角平分线的判定定理处理； 【解答】解：∵核酸检测点到两村庄A，B的距离相等， ∴核酸检测点在线段的垂直平分线上， ∵核酸检测点到两公路m，n的距离相等， ∴核酸检测点在两公路m，n夹角平分线上， ∴核酸检测点为线段AB的垂直平分线和两公路m，n夹角平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定定理、角平分线的判定定理；掌握判定定理，根据线段相等判定点的位置是解题的关键． 10．C 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积. 过D作于H，由三角形的面积公式得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出，即可得到的度数． 【详解】解：过D作于H， ∴的面积， ∵， ∴的面积， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 11．D 【分析】本题考查了全等判定定理及角平分线判定定理，解决本题的关键是灵活使用全等的方法证明两个三角形全等． ①：根据题意得，进而利用“”进行证明全等；②：根据可得，则，进而利用“”进行证明全等；③：根据可得，再依据角平分线判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴在和中， ， ∴，故②正确； ∴， 又∵于点E，于点F， ∴点D在的平分线上，故③正确， 综上所述，正确的有：①②③， 故选D． 12．D 【分析】根据角平分线的定义，角平分线的判定定理，三角形全等的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，根据角平分线的定义可以得出是的平分线，故A不符合题意； B．∵，，， ∴是的平分线，故B不符合题意； C．∵，， ∴和都是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线，故C不符合题意； D．根据无法判断是的平分线，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法． 13． 【分析】先求出平分，再结合已知的度数求出的度数． 【详解】解：∵,，且， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 14．/30度 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理．根据角平分线的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 15．5 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 先证明为的平分线，再根据垂线段最短，可知当时，的长度最小，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ，即为的平分线， 为的平分线， 当时，的长度最小， 又∵， ， ，， ，即长的最小值为5． 故答案为：5． 16． 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，由题意得分别平分；推出，进而得，推得即可求解； 【详解】解：∵点到三边，，的距离， ∴分别平分； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 17．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定以及角平分线的判定定理是解题的关键．证明，可得，根据角平分线的判定定理，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ，， ∴点D在的平分线上． 18．见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 连接、，证明，得，证出点P在的平分线上． 【详解】证明：连接、， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴点在的平分线上． 19．见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的性质与判定，根据已知可得平分．进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵，，， ∴平分， ∴， 又∵,， ∴， ∴． 20．(1)的度数为； (2)． 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、角平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． （1）由垂直平分线性质得，再由，即可判定平分，进而求得的度数； （2）由垂直平分线性质得，再结合的周长为，的周长为即可得解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， 又， 平分， ， 即的度数为； （2）解：垂直平分， ， 的周长， 的周长， ， ， 即的长为． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）过点作于，根据角平分线性质得；根据中点得进而得，再根据角平分线的判定得 平分； （2）根据“”证明和得和，根据，即可得证； （3）根据和得和，代入已知 ,即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于， ∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）证明：由（1）得， 在和中， ∴， ∴ 在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ （3）由（2）可得，， ∴，， ∴． 22．(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理， （1），先说明，再根据“边角边”证明，可得，进而根据角平分线的判定定理得出答案； （2）过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N，由（1）得，可知，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据角平分线的判定定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）解：成立，理由：过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N， 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴平分． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $