专题05 排列组合与二项式定理11大考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期北师大版

专题05 排列组合与二项式定理 考点01 分类加法与分步乘法综合 1 考点02 排列数与组合数的计算 5 考点03 相邻与不相邻问题综合 7 考点04 特殊元素与特殊位置优先 9 考点05 定序倍缩法 12 考点06 隔板法 17 考点07 平均分组与不平均分组 20 考点08 先分组后分配 21 考点09 二项式定理求特定项的系数 25 考点10 二项式定理中二项式系数与系数最大问题 27 考点11 二项式定理中系数和的问题 33 考点01 分类加法与分步乘法综合 1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 2．（25-26高二上·广西钦州·月考）如图所示，六个不同的自然数排成三角形，且每一行中最小的数均大于下一行中最小的数，则这样的排列共有（    ）种. A．36 B．240 C．120 D．60 3．（25-26高三上·陕西西安·月考）现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有 种. 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）用数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（    ） A．6 B．12 C．24 D．36 5．（25-26高二上·江西赣州·月考）某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正､副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有 种. 考点02 排列数与组合数的计算 6．（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 7．【多选题】（24-25高二下·河北承德·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·河北石家庄·期末）计算： 9．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知，则 10．（24-25高二下·广东肇庆·期末）若，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点03 相邻与不相邻问题综合 11．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有 种． 12．（24-25高二下·福建泉州·期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 13．（24-25高二下·河南信阳·期末）某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种． 14．（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 15．（24-25高二下·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（   ） A．144 B．240 C．336 D．456 考点04 特殊元素与特殊位置优先 16．（25-26高三上·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）. 17．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（   ） A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种 18．（23-24高二下·江苏镇江·期末）甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学在CMO竞赛中取得了前六名的好成绩（无并列情况），甲、乙两位同学去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“6人中你不是最低的”，从这个回答分析，6人的名次排列共可能有 种不同的情况．（用数字作答） 19．（24-25高二下·江苏南京·期中）甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．8种 20．（24-25高二下·四川绵阳·期末）有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为 ． 考点05 定序倍缩法 21．（2025高三·全国·专题练习）要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要再插入5个歌唱节目，则共有 种插入方法． 22．（24-25高二下·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 23．（24-25高二下·四川广元·期末）2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（   ）个． A．480 B．600 C．720 D．840 24．（24-25高二下·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 25．（24-25高二下·江西·月考）在一次交流活动中，有4名男同学（包含甲）和3名女同学共7名同学排成一行，则男同学甲的右侧（可不相邻）没有其他男同学的排法种数为（    ） A．468 B．540 C．720 D．1260 考点06 隔板法 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 3．（24-25高二下·河北·期末）现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 4．（24-25高二下·河北邢台·月考）某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（   ） A．105种 B．455种 C．120种 D．560种 二、填空题 5．（22-23高二下·黑龙江佳木斯·月考）若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 考点07 平均分组与不平均分组 26．（25-26高二上·辽宁·月考）（1）要把6本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学： （i）如果每人都得2本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果要求甲得1本，乙得2本，丙得3本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果要求一人得1本，一人得2本，一人得3本，则共有不同的分法多少种？ （2）要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里： （i）如果一个袋子中1本，一个袋子中2本，一个袋子中3本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果每个袋子中都是2本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果每个袋子中至少1本，则共有不同的分法多少种？ （计算结果用数字作答） 27．（25-26高二上·全国·期末）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要.某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（    ） A．25 B．40 C．150 D．240 28．（2025高三·全国·专题练习）将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数． (1)平均分成三堆； (2)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (3)平均分给甲、乙、丙三人； (4)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (5)一人得1本，一人得2本，一人得3本． 29．（2025·四川泸州·一模）要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 30．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量，需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B两个比赛场馆服务，则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为 ． 考点08 先分组后分配 31．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．150 D．240 32．（25-26高二上·全国·期末）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为 ． 33．（24-25高二下·河北衡水·期末）为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（   ） A．20种 B．24种 C．30种 D．36种 34．（24-25高二下·河北·期末）已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有 种． 35．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团必须有人参加，则这5个同学中有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为 .（用数字作答） 考点09 二项式定理求特定项的系数 36．（25-26高三上·江苏南通·期中）若的展开式中，的系数为-50，则 . 37．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 38．（25-26高三上·上海·月考）的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 39．（25-26高三上·山东济南·开学考试）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 40．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 考点10 二项式定理中二项式系数与系数最大问题 41．（25-26高二上·广西桂林·月考）已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 42．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知. (1)当时，，求中的最大值； (2)若，求. 43．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数． (1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； (2)化简； (3)当时，定义：，化简：． 44．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 45．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等. (1)求的值，并求二项式系数的最大值； (2)求第四项的二项式系数与系数； (3)的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值. 考点11 二项式定理中系数和的问题 46．【多选题】（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 47．【多选题】（25-26高二上·辽宁·月考）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 48．【多选题】（24-25高二下·福建厦门·月考）若，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 49．【多选题】（25-26高二上·全国·月考）已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（    ） A． B． C．除以8所得的余数为1 D．20 50．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知，则 ． 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 排列组合与二项式定理 考点01 分类加法与分步乘法综合 1 考点02 排列数与组合数的计算 5 考点03 相邻与不相邻问题综合 7 考点04 特殊元素与特殊位置优先 9 考点05 定序倍缩法 12 考点06 隔板法 17 考点07 平均分组与不平均分组 20 考点08 先分组后分配 21 考点09 二项式定理求特定项的系数 25 考点10 二项式定理中二项式系数与系数最大问题 27 考点11 二项式定理中系数和的问题 33 考点01 分类加法与分步乘法综合 1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 【答案】D 【分析】先从10张书签中选出4张，其中两张相同，另外两张各不相同，再分配给4位同学. 【详解】第一步，先从10张书签中选出4张，由题可知选到的4张书签中有两张汉字相同，其余两张各不相同， 共有种不同的选法； 第二步，将抽到的4张书签分给4位同学有种不同的分法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有：种. 故选：D. 2．（25-26高二上·广西钦州·月考）如图所示，六个不同的自然数排成三角形，且每一行中最小的数均大于下一行中最小的数，则这样的排列共有（    ）种. A．36 B．240 C．120 D．60 【答案】B 【分析】设最上面一行为第一行，由题意可知最小的数一定在第三行，确定另两个数，然后全排列，继而确定第二行的排列，最后剩下一个数排在第一行，由此可解. 【详解】设最上面一行为第一行， 由题意可知最小的数一定在第三行，则这一行的另外两个数从剩下的五个数中选， 有种选法，然后全排列，故有种排法； 第二行最小的数应是剩下的三个数中最小的数，另一个数从其余两个数中选，然后全排列， 此时共有种排法， 则剩余的一个数排在第一行，则这样的排列共有种， 故选：B 3．（25-26高三上·陕西西安·月考）现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有 种. 【答案】420 【分析】分使用五种染料、四种染料、三种染料求解，最后相加即可. 【详解】五个顶点涂五种不同的颜色，有（种）涂法； 五个顶点涂四种不同的颜色，其中同色不同色或不同色同色，有（种）涂法； 五种顶点涂三种不同的颜色，其中同色且同色，有（种）涂法. 综上，共有120＋240＋60=420（种）涂色方法. 故答案为：420 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）用数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（    ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】D 【分析】先确定个位的排法数，再确定百位和十位的排法数，结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】用数字组成没有重复数字的三位奇数，可分为两步完成， 第一步，先确定个位数字，个位可能为或或，有种方法， 第二步，确定十位和百位数字，有种方法， 由分步乘法计数原理可得符合要求的奇数的个数为． 故选：D 5．（25-26高二上·江西赣州·月考）某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正､副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有 种. 【答案】 【分析】由分类加法和分步乘法计数原理即可求解． 【详解】若恰有1名女生被选中，则有种选法； 若有2名女生被选中，则有种选法， 所以共有种选法， 故答案为：. 考点02 排列数与组合数的计算 6．（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【详解】， ，, 因此. 故选：B. 7．【多选题】（24-25高二下·河北承德·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB选项，利用排列和组合的性质得到BC正确；C选项，可举出反例；D选项，利用组合数公式得到. 【详解】A选项，由组合数性质得，A正确； B选项，由组合数计算公式得，B正确； C选项，不妨设，则， 显然，C错误； D选项，，D正确. 故选：ABD 8．（24-25高二下·河北石家庄·期末）计算： 【答案】 【分析】根据排列数和组合数的公式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 9．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知，则 【答案】2或7 【分析】根据组合数的性质来求解的值. 【详解】由组合数的性质， 则有或， 解得或. 故答案为：2或7. 10．（24-25高二下·广东肇庆·期末）若，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据排列数和组合数的计算公式，列出方程，求出结果即可. 【详解】由题意得，，解得. 故选：C. 考点03 相邻与不相邻问题综合 11．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有 种． 【答案】144 【分析】先对进行捆绑，再与全排，最后用插空法求解即可. 【详解】由题知，先把学生与进去捆绑有种，再与进行全排，有种， 最后把2名老师插入4个空中，有种，所以共有. 故答案为：144. 12．（24-25高二下·福建泉州·期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 【答案】C 【分析】应用分类计数，及排列组合数求不相邻和元素位置有限制问题的排列方法数. 【详解】将5个位置从左到右编号为，则甲只能站中的一个位置， 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 综上，共有种. 故选：C 13．（24-25高二下·河南信阳·期末）某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种． 【答案】2016 【分析】应用分类计数及排列组合数求同年级的同学不相邻的站法数. 【详解】先将4名高三学生全排列， 若高一、高二学生不相邻，站法有， 若高一学生与高二学生相邻，站法有， 共有种站法． 故答案为：2016 14．（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 15．（24-25高二下·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（   ） A．144 B．240 C．336 D．456 【答案】C 【分析】根据题意，先让“雨水”和“谷雨”不相邻，再让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，分别求得不同的放置方式，结合间接法，即可求解. 【详解】根据题意，第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为； 第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为； 所以不同放置方式种数为. 故选：C. 考点04 特殊元素与特殊位置优先 16．（25-26高三上·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）. 【答案】72 【分析】由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排即得. 【详解】根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法； 第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 故答案为：72. 17．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（   ） A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】若A、B不值班，值班安排有种； 若A、B只有一人不值班，值班安排有种； 若A、B都值班，值班安排有种， 所以值班安排共有1860种. 故选：D. 18．（23-24高二下·江苏镇江·期末）甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学在CMO竞赛中取得了前六名的好成绩（无并列情况），甲、乙两位同学去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“6人中你不是最低的”，从这个回答分析，6人的名次排列共可能有 种不同的情况．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意利用分步计数原理结合组合数分析求解即可. 【详解】根据题意可知甲、乙都不是第一名，所以第一名只能从丙、丁、戊、戌这4人中选择，共4种情况， 由于乙不是第一名也不是第六名，所以乙的名次只能是第二、三、四、五名，共4种情况， 第一名和乙的名次确定后，剩下的4个名次由剩余的4人（包括甲）全排列，种情况， 所以共有种情况， 故答案为： 19．（24-25高二下·江苏南京·期中）甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．8种 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有种排法， 其次选一人在乙丙中间有种排法， 然后乙丙中间排序有种排法， 最后另一人选在排头排尾有种排法， 共种排法. 故选：B. 20．（24-25高二下·四川绵阳·期末）有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为 ． 【答案】50 【分析】先利用插空法求得两名女生不能相邻的站法；然后分别求出两名女生不能相邻且男生甲站在最左边、两名女生不能相邻且女生乙站在最中间、两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间三种情况的站法，根据排除法求解即可. 【详解】先求出两名女生不能相邻的站法有种； 若两名女生不能相邻且男生甲站在最左边，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻且女生乙站在最中间，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间， 则满足题意的站法有种， 所以满足条件的站法种数为种. 故答案为：50 考点05 定序倍缩法 21．（2025高三·全国·专题练习）要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要再插入5个歌唱节目，则共有 种插入方法． 【答案】55440 【分析】利用倍缩法解决定序问题即可. 【详解】对全部的11个节目全排列，有种，已排定顺序的6个舞蹈节目的全排列数有种， 故满足题意的插入方法有（种）. 故答案为： 22．（24-25高二下·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【答案】B 【分析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果，进而根据计数原理得到最终结果. 【详解】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果， 因此根据计数原理可知共有种结果. 故选：B 23．（24-25高二下·四川广元·期末）2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（   ）个． A．480 B．600 C．720 D．840 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用倍缩法，排除首位为0的情况即可. 【详解】数字：2，0，2，5，4，2，3中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种， 当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，2，3出现了3次，排列的情况有种， 所以不同的7位数有个. 故选：C. 24．（24-25高二下·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 【答案】D 【分析】用倍缩法直接计算求解该定序问题即可. 【详解】6人全排有中排序方法， 所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有种加入方法. 故选：D 25．（24-25高二下·江西·月考）在一次交流活动中，有4名男同学（包含甲）和3名女同学共7名同学排成一行，则男同学甲的右侧（可不相邻）没有其他男同学的排法种数为（    ） A．468 B．540 C．720 D．1260 【答案】D 【分析】由排列数的概念可得结果. 【详解】要使排列符合题意，甲在4名男同学的排列中位于最右边，则排列的方法数为1260. 故选：D. 考点06 隔板法 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题： 将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法? 由隔板法可得，方程的正整数解共有组． 故选：C 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 3．（24-25高二下·河北·期末）现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 【答案】D 【分析】根据隔板法，求出不同的分配方法. 【详解】根据隔板法，9个名额，分给四个班级，每个班级至少1个名额，则有种. 故选：D 4．（24-25高二下·河北邢台·月考）某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（   ） A．105种 B．455种 C．120种 D．560种 【答案】A 【分析】采用隔板法分析，取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板，再结合组合数计算可得. 【详解】取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板， 这样就把16个元素分成3个区间，这3个区间的元素个数分别对应这3个年级的学生名额， 则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等． 因为隔板插入方法共有种，所以名额的分配方案共有105种． 故选：A. 二、填空题 5．（22-23高二下·黑龙江佳木斯·月考）若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 【答案】28 【分析】依据隔板法去求解即可. 【详解】已知方程，且， 则，其中均为自然数. 将其转化为， 其中为正整数. 运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组， 第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个隔板的放置方法共有种， 故方程的正整数解的个数为28. 即方程的自然数解的个数为28. 故答案为：28. 考点07 平均分组与不平均分组 26．（25-26高二上·辽宁·月考）（1）要把6本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学： （i）如果每人都得2本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果要求甲得1本，乙得2本，丙得3本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果要求一人得1本，一人得2本，一人得3本，则共有不同的分法多少种？ （2）要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里： （i）如果一个袋子中1本，一个袋子中2本，一个袋子中3本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果每个袋子中都是2本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果每个袋子中至少1本，则共有不同的分法多少种？ （计算结果用数字作答） 【答案】（1）（i）种，（ii）种，（iii）种.（2）（i）种，（ii）种，（iii）种. 【分析】（1）（i）依次从6本书中选择2本分给甲，从剩余4本书中选择2本分给乙，剩余2本分给丙.（ii）按要求将书直接分配给甲乙丙三人即可.（iii）将6本书按照1组1本，1组2本，1组3本的分组方式进行分组，然后再分配给甲乙丙三人. （2）（i）因为手提袋相同，所以即为将6本不同的书分为3组，1组1本，1组2本，1组3本，按照不平均分组进行计算即可.（ii）每个袋子中都是2本，即为平均分组，要除以重复部分，可计算结果;（iii）每个袋子至少1本，有可能2组各有1本，1组4本，有可能1组1本，1组2本，1组3本，有可能每组2本，按照平均分组和不平均分组的方式计算可得结果. 【详解】（1）（i）从6本书中选择2本书给甲，有种方法； 再从剩余4本书中选择2本书给乙，有种方法； 剩余的2本书给丙，有种方法;所以有种分配方法． （ii）从6本书中选一本给甲，有种分配方法；从剩余5本书中选2本给乙，有种分配方法，将剩余3本书给丙，有种分配方法. 所以分配方式共有种. （iii）将6本书按照1组1本，1组2本，1组3本的分组方式进行分组，有种方法，再将分好的组分给甲乙丙三人，则有种分配方法. （2）（i）因为手提袋相同，所以即为将6本不同的书分为3组，1组1本，1组2本，1组3本， 种方法， （ii）每袋2本，为平均分组，所以要除以重复的部分，所以共有种. （iii）每个袋子至少1本，有可能有2组各1本，1组4本，有种方法， 有可能1组1本，1组2本，1组3本，有种方法， 有可能每组2本，有种方法，所以共有种. 27．（25-26高二上·全国·期末）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要.某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（    ） A．25 B．40 C．150 D．240 【答案】C 【分析】将五门课程分成3，1，1和2，2，1这两种情况讨论 【详解】先将五门课程分成3，1，1和2，2，1这两种情况，再安排到三个学年中，则共有种选修方式. 28．（2025高三·全国·专题练习）将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数． (1)平均分成三堆； (2)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (3)平均分给甲、乙、丙三人； (4)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (5)一人得1本，一人得2本，一人得3本． 【答案】(1)15 (2)60 (3)90 (4)60 (5)360 【分析】（1）是平均分组问题，是无序的，要将直接分组后的结果除以组数的全排列数； （2）是非平均分组，按规定中的各组中元素的个数，直接分组即可； （3）是平均分配问题，将（1）中的平均分组数再乘以组数的全排列数； （4）是确定了方案的非平均分配问题，（2）中的非平均分组数即是本小题的非平均分配数； （5）是无确定方案的非平均分配问题，将（2）中的非平均分组数乘以组数的全排列数，即为非平均分配数． 【详解】（1）将6本书平均分成三堆，不需要考虑顺序． 故有， 将6本书平均分成三堆共有15种不同的分法. （2）由于三堆书的本数各不相同，所以直接分组后，不会出现相同的分法． 故有． 所以6本书分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本共有60种不同的分法． （3）先将书平均分成三堆，再分给甲、乙、丙三人， 故有． 所以6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人共有90种不同的分法 （4）实际上和（2）的问题是等价的. 故有． 所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法． （5）由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以． 故有． 所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法. 29．（2025·四川泸州·一模）要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【分析】分别讨论一个村1名，另一村3名志愿者和一个村2名，另一个村2名志愿者，两种情况，根据分组分配的处理方法，分析计算，即可求得答案. 【详解】若一个村1名，另一村3名志愿者，则有种选法； 若一个村2名，另一个村2名志愿者，则有种选法， 所以不同的安排方法共有8+6=14种. 故选：B 30．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量，需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B两个比赛场馆服务，则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为 ． 【答案】 【分析】先将四人分成两组，再将两组人分配到两个场馆，根据分步乘法计数原理即可求出总的分法数，再求出小赵与小周分到一个场馆的分法数，最后利用古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】将4人平均分为两组，每组两人，共种分法， 再将两组人分配到A，B两个场馆，因此共种分法， 小赵与小周分到同一个场馆的分法有2种； 故小赵与小周分到同一个场馆的概率为． 故答案为：． 考点08 先分组后分配 31．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．150 D．240 【答案】B 【分析】先选名学生分配给甲，再将剩余人分成两组分配给乙、丙，由分步乘法计数原理可得. 【详解】第一步，从六名学生中选名，分配给甲指导，有种不同的方法， 第二步，将剩余名学生分成两组，分配给乙、丙指导，有种不同的方法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有种. 故选：B. 32．（25-26高二上·全国·期末）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为 ． 【答案】150 【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解. 【详解】先将五门课程分成，，和，，这两种情况，再安排到三个学年中， 则共有种选修方式． 故答案为；150. 33．（24-25高二下·河北衡水·期末）为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（   ） A．20种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】B 【分析】利用分类计数原理，先分组再分配即可. 【详解】分类计数： 第一类：仅甲乙两人在一组，此时不同的安排方案有：种； 第二类：甲乙再加一人在一组，此时不同的安排方案有：种， 根据分类计数加法原理，则不同的安排方案共有种， 故选：B 34．（24-25高二下·河北·期末）已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有 种． 【答案】 【分析】分甲学校有2名师范生实习和1名师范生实习两种情况求解，结合分类加法计数原理计算即可. 【详解】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习， 所以有一所学校必然有2名师范生实习. 若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生按照分配到乙、丙2所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 综上，不同的安排方法有种. 故答案为：. 35．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团必须有人参加，则这5个同学中有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为 .（用数字作答） 【答案】180 【分析】先分组再分配，并且特殊位置优先考虑,即可得解. 【详解】根据题意，先将5个同学分成4组，为，有种分法， 再从只有1人的组中选1人参加“舞动青春”社团，有种， 其余3组同学分配到另外3个社团，有种分法， 则不同的方法数为种. 故答案为：180 考点09 二项式定理求特定项的系数 36．（25-26高三上·江苏南通·期中）若的展开式中，的系数为-50，则 . 【答案】3 【分析】根据二项式定理求解即可. 【详解】根据二项式定理， 所以项的系数为，解得. 故答案为：3. 37．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式的常数项，进而得解. 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式的常数项为. 故选：B 38．（25-26高三上·上海·月考）的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 【答案】924 【分析】把三项变成两项再应用二项式展开式计算求解. 【详解】的展开式中常数项是. 故答案为：． 39．（25-26高三上·山东济南·开学考试）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式确定展开式中的奇数次幂项的系数和的表达式，列方程求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 则的展开式中的奇数次幂项的系数和为， 故，则， 故选：B 40．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 【答案】1 【分析】利用三项式展开式原理，可得含的项为含的项的系数，即可求解参数. 【详解】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为： 考点10 二项式定理中二项式系数与系数最大问题 41．（25-26高二上·广西桂林·月考）已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 【答案】(1)1024 (2) (3)第5项系数的绝对值最大 【分析】（1）由“第6项二项式系数最大”确定，利用二项式系数之和公式求解. （2）通过赋值得，赋值代入展开式，变形后求得目标式子的值. （3）写出展开式通项，建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的值，确定项数. 【详解】（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的所有二项式系数之和为. （2）令，得. 令，得， 所以. （3）展开式的通项. 由得. 因为r为整数，所以，所以的展开式中第5项系数的绝对值最大. 42．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知. (1)当时，，求中的最大值； (2)若，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二项展开式得，则，分析为偶数时，取得最大值，再列出不等式组，解出即可； （2）法一：两边同时求导后再代入即可；法二：首先得，，再根据恒等式计算即可. 【详解】（1）当时，， ，则， 显然为奇数时，；为偶数时，； 则当取到最大值时，为偶数， 设为最大项，其中．当时， 得，即， 解得，又因为，经验证得：． 又因为，所以最大项为． （2）法一：因为， ， 令，得：，所以：． 法二： 则，因为，所以， 所以 43．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数． (1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； (2)化简； (3)当时，定义：，化简：． 【答案】(1)或13； (2) (3) 【分析】（1）利用不等式法求系数最大的项即可求出； （2）把所求式提出，对，令，即可求解； （3）利用倒序相加以及二项式系数和的性质即可求解. 【详解】（1）因为二项式展开式的通项为：， 又在中，唯一的最大的数是，由于， 所以，即，解得，即， 又，所以或； （2）， 原式； （3）①， ②， 在①、②添加，则得 ③， ④， ③+④得：， . 44．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【详解】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 45．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等. (1)求的值，并求二项式系数的最大值； (2)求第四项的二项式系数与系数； (3)的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值. 【答案】(1)，最大值为 (2)二项式系数：，系数： (3)第项的系数最大，最大值为 【分析】（1）首先由第三项与第九项的二项式系数相等的条件可得：，求出的值，进而求解二项式系数的最大值； （2）直接根据二项式定理的通式进行求解即可； （3）首先由，得：，进而可知时，，时，，从而确定第8项的系数最大，进而求解出系数的最大值. 【详解】（1）记展开式的第项为的二项式系数为， 因为第三项的二项式系数与第九项的二项式系数相等， 即，故 因为10是偶数，故二项式系数的最大值为 （2），故， 所以第四项的二项式系数为， 系数为. （3）因为，故 因为，令， 得： 因为是正整数，故时，； 时，. 所以第8项的系数最大，最大值为. 考点11 二项式定理中系数和的问题 46．【多选题】（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于ABC，分别利用赋值法分别判断即可；对于D，对等式两边同时求导，再赋值即可求解判断. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 所以， 故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导， 得， 令，则4050，故D错误. 故选：AC 47．【多选题】（25-26高二上·辽宁·月考）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令得判断A；令得判断B；令得，结合B项求解判断C；根据二项式定理求解即可判断D. 【详解】对于A项，令，则，A项正确； 对于B项，令，则，B项正确； 对于C项，令，则，结合B项得，C项错误； 对于D项，，，则，D项正确． 故选：ABD 48．【多选题】（24-25高二下·福建厦门·月考）若，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用赋值法可判断BCD，由二项式展开项的通项公式可求的值，判断A. 【详解】当时，．B错误． 当时，． 又，所以，C错误． 当时， ．D正确． 又 , 当时，即，此时,展开式中的系数为 当时，即，此时，展开式中的系数为 ， ，A正确. 故选：AD 49．【多选题】（25-26高二上·全国·月考）已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（    ） A． B． C．除以8所得的余数为1 D．20 【答案】BC 【分析】根据二项式系数公式可得，利用赋值法即可求解求解AB，根据即可求解C，求导，即可求解D. 【详解】根据题意可知，故， 故， 对于A，令，则，令，则， 故，故A错误； 对于B，， 所以， 故为负值，为正，且令时，， 因此，B正确； 对于C，，故除以8所得的余数为1，C正确； 对于D，对求导可得 ， 令可得，因，故D错误. 故选：BC 50．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】借助赋值法，分别令及计算即可得. 【详解】令，则，即， 令，则，即， 故. 故答案为：. 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $