第四章数列章末综合检测卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章数列章末综合检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第二册第四章（2019）人教A版） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 2．已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 3．已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 5．（2024高考·全国甲）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023高考·全国甲）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 7．（2023高考·新课标Ⅱ）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 8．已知数列的前n项和为，且．设，则＝（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．取得最小值时 D．数列不是等比数列 10．在公比为的等比数列中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的公比为4 C．当时，的前20项积为 D．当时，数列是公差为2的等差数列 11．数列满足且，则下列结论正确的有（    ） A． B．是等比数列 C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．设为数列的前项和，若，则 ． 13．（2024高考·新课标Ⅱ）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 14．（2023高考·北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知数列的前项和为，满足. (1)求和； (2)求数列的通项公式. 16．已知等差数列的前项和为，是公比大于1的等比数列，，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 17．在数列中，. (1)证明：是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 18．（2023高考·全国乙）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 19．（2024高考·全国甲）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 解析 一、单选题 1．数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 答案:C 分析:根据数列的定义和规律求解即可. 解析：将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ，即： 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 2． 已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 答案:D 分析:由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 解析：因为，，所以，，， 所以是以3为周期的数列，所以. 故选：D. 3．已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 答案:B 分析:利用等差数列的通项公式即可求解. 解析：设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得： . 故选：B. 4．在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 答案:C 分析:设等比数列的公比为，结合等比数列性质运算求解即可. 解析：设等比数列的公比为，则，可得， 所以. 故选：C 5．（2024高考·全国甲）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 答案:B 分析:由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 解析：由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 6．（2023高考·全国甲）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 答案:C 分析:方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 解析：方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是，所以．故选：C. 7．（2023高考·新课标Ⅱ）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 答案:C 分析:方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 解析：方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以 ． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 点睛：本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 8．已知数列的前n项和为，且．设，则＝（   ） A． B． C． D． 答案:C 分析:先根据与的关系求数列的通项公式，再利用裂项相消求和. 解析：当n＝1时，，∴＝2． 当时，，①，，② ∴①－②得，即. ∴数列是首项为2，公比为3的等比数列，∴． ∴. 所以 ． 故选：C 二、多选题 9．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．取得最小值时 D．数列不是等比数列 答案:AB 分析:对于A,B由等差数列的通项公式和前项和公式即可求出，即可判断； 对于C,，当或时，有最小值,故C错误； 对于D，由等比数列的定义可判断数列是等比数列，故D错误. 解析：设等差数列的公差为，则，解得，， 所以，，故A，B正确； 当或时，有最小值，C错误； 因为，所以数列是公比为4的等比数列，故D错误． 故选：AB 10．在公比为的等比数列中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的公比为4 C．当时，的前20项积为 D．当时，数列是公差为2的等差数列 答案:BC 分析:先由等比数列的基本量法求出，再由等比数列的性质可得A错误B正确；结合指数运算和等差数列的求和公式可得C正确；由对数的运算性质及等差数列的概念可判断D. 解析：由题意可得，所以解得，当时，；当时，， 对于A，，故A错误； 对于B，的公比为，故B正确； 对于C，当时，， 所以的前20项积为，故C正确； 对于D，当时，数列的通项公式为，公差为，故D错误.故选：BC. 11．数列满足且，则下列结论正确的有（    ） A． B．是等比数列 C． D． 答案:ABC 分析:根据题意，得到，得到为等差数列，求得，得到，结合等差数列的通项公式和性质，以及等比数列的定义，逐项判定，即可求解. 解析：由数列{an}满足an＋1＝，可得， 所以，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故， 对于A，因是等差数列，则是的等差中项，故A正确； 对于B，由，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确； 对于C，由，可得，其中，故C正确； 对于D，由，可得，则，， 即，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．设为数列的前项和，若，则 ． 答案:17 分析:根据给定条件，利用的关系及等比数列的通项公式求出，进而求出． 解析：数列中，，当时，， 两式相减得，即， 又，即，解得，则， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，即，则．故答案为：17． 13．（2024高考·新课标Ⅱ）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 答案:95 分析:利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案. 解析：因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则.故答案为：. 14．（2023·北京高考）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 答案: 48 384 分析:方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 解析：方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， （1）：可得， （2）： 方法二：（1）：因为为等比数列，则， 且，所以； （2）：因为，则； 设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 四、解答题 15．已知数列的前项和为，满足. (1)求和； (2)求数列的通项公式. 分析:（1）利用给定的递推关系，赋值求解. （2）利用变形给定递推公式，再利用等比数列求出通项公式. 解析：（1）在数列中，，令，得，解得， 令，得，即，解得. （2）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 因此数列是公比为2的等比数列，首项为，所以数列的通项公式. 16．已知等差数列的前项和为，是公比大于1的等比数列，，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 分析:（1）由等差、等比数列的基本量列方程组求解； （2）利用等差数列和等比数列求和公式并结合分组求和的方法即可得到答案. 解析：（1）设等差数列的公差为，则，解得， 所以； 设等比数列的公比为，则，所以，解得或， 若，则，解得； 若，则，解得（舍） 所以； （2）由（1）， 所以. 17．在数列中，. (1)证明：是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 分析:(1)利用等差数列的定义即可证明； (2)由（1）先写出数列的通项，即得数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可. 解析：（1）因为，所以，即， 所以数列是公差为1的等差数列. （2）因为数列是公差为1的等差数列，，所以， 所以于是     设数列的前项和为， 则. 18．（2023高考·全国乙）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 分析:（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 解析：（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 19．（2024高考·全国甲）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 分析:（1）利用退位法可求的通项公式．（2）利用错位相减法可求. 解析：（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $